KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. Đại số tổ hợp 1.1.1. Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp của n phần tử của tập hợp M theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Số hoán vị của tập hợp A là : !nP n Ví dụ 01 : Một bàn tròn có 12 người ngồi. Hỏi có mấy cách xếp chỗ ngồi cho họ ? 1.1.2. Chỉnh hợp : Chỉnh hợp chập k của n phần tử  k n là một nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là :      ! 1 ... 1 ! k n n A n n n k n k       Ví dụ 02 : Một buổi họp gồm 12 người tham dự. Hỏi có mấy cách chọn một chủ toạ và một thư ký. 1.1.3. Chỉnh hợp lặp : Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2,...,k lần trong nhóm. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là : k knB n Ví dụ 03 : Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp ? 1.1.4. Tổ hợp : Tổ hợp chập k của n phần tử  k n là một nhóm không phân biệt thứ tự, gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. Số tổ hợp chập k của n phần tử là :      1 ... 1! ! ! ! k n n n n kn C k n k k       Chú ý : i) 0! 1 ii) k n kn nC C  iii) 11 1 k k k n n nC C C     Ví dụ 04 : Một hộp có 7 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra : a) 3 quả cầ đỏ. b) 4 quả cầu mà có 3 xanh, 1 đỏ. 1.1.5. Nhị thức Newton   0 . n n k n k k n k a b C a b    Ví dụ 05 : Dùng nhị thức Newton khai triển :  52 3x  2 2. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT 2.1. Các khái niệm cơ bản 2.1.1. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố a) Khái niệm : Là sự thực hiện một số điều kiện xác định (thí nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này không thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử thường được lặp lại nhiều lần. Các kết quả xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên gọi là biến cố. b) Ví dụ 1 : Tung đồng tiền lên là một phép thử ngẫu nhiên. Đồng tiền lật mặt nào đó là một biến cố. 2.1.2. Không gian mẫu Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu (hay không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu . Mỗi kết quả của phép thử, , gọi là biến cố sơ cấp. Một tập con của không gian mẫu gọi là biến cố. 2.1.3. Biến cố ngẫu nhiên Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử. Phép thử mà các kết quả của nó là các biến cố ngẫu nhiên được gọi là phép thử ngẫu nhiên  Các ký hiệu : - : không gian mẫu. - : biến cố sơ cấp - A, B, C, …: biến cố - |A|: số phần tử của biến cố A Ví dụ 2 : Tung một đồng xu :  ={S,N}; 1=“S”, 2=“N” Tung con xúc sắc  ={1,…, 6} i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,…,6 Đo chiều cao (đv: cm) 2.1.4. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố a) Quan hệ kéo theo : Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A B , nếu A xảy ra thì B xảy ra b) Quan hệ tương đương : Hai biến cố A, B là tương đương với nhau nếu A B và B A , kí hiệu: A B c) Tổng của 2 biến cố : Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu A+B (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A hoặc B 3 Ví dụ 3 : Hai người thợ săn cùng bắn vào một con thú. Nếu gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng con thú và B là biến cố người thứ hai bắn trúng con thú thì C A B  là biến cố con thú bị bắn trúng. d) Tích của 2 biến cố : Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tích của A và B, ký hiệu AB (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A và B Ví dụ 4 : Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trượt, B là là biến cố người thứ hai bắn trượt thì .C A B là biến cố con thú không bị bắn trúng. e) Biến cố hiệu : Hiệu của 2 biến cố A và B, kí hiệu : \A B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. f) Biến cố xung khắc : Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. g) Biến cố đối lập : Biến cố không xảy ra biến cố A gọi là biến cố đối lập với biến cố A. Kí hiệu : A . Ta có : A A   , .A A   Nhận xét : Ta có thể sử dụng các phép toán trên các tập hợp cho các phép toán trên các biến cố. 2.1.5. Biến cố đồng khả năng Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu chúng có cùng khả năng xuất hiện khi tiến hành phép thử. 2.2. Định nghĩa xác suất 2.2.1. Định nghĩa cổ điển a) Định nghĩa : 4 Giả sử phép thử có n biến cố đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có m biến cố đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A (A là tổng của m biến cố sơ cấp này). Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu  P A được định nghĩa bằng công thức sau :   mP A n    Soá caùc khaû naêng thoûa ñieàu kieän cuûa A Toång soá khaû naêng trong khoâng gian maãu b) Tính chất : i)      0 1, 1, 0P A P P      ii) Nếu A B thì    P A P B iii)     1P A P A  iv)      P A P AB P AB  Ví dụ 5 : Một bình đựng 5 viên bi, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để được hai viên bi xanh. Giải. Có 25 10C  cách chọn 2 viên bi trong 5 bi. (không gian mẫu gồm 10 phần tử). Có 23 3C  cách chọn 2 bi xanh trong 3 bi (đây là số phần tử của biến cố đang xét). Do đó xác suất để lấy được 2 bi xanh là 310 Nhận xét : Định nghĩa theo lối cổ điển có 2 nhược điểm sau: - Tất cả các kết quả phải đồng khả năng xảy ra. - Không gian mẫu  phải hữu hạn 2.2.2. Định nghĩa hình học Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A   được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó, xác suất xảy ra A là : ( ( ) ) ) ( mes A P A mes     Ñoä ño mieàn A Ñoä ño mieàn Ví dụ 6 : Trên đoạn thẳng OA, gieo ngẫu nhiên 2 điểm B và C có toạ độ tương ứng  ,OB x OC y y x   . Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài của đoạn OB . 2.2.3. Định nghĩa thống kê Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu  và A  . Thực hiện phép thử n lần độc lập, thấy biến cố A suất hiện n(A) lần. n(A) gọi là tần số suất hiện biến cố A, và n(A)/n là tần suất xảy ra A. Khi đó xác suất xảy ra A là : ( ) ( ) lim n n A P A n   Soá caû khaû naêng trong toång theå thoûa ñieàu kieän cuûa A Toång soá khaû naêng trong toång theå Chú ý : Giới hạn của tần suất xảy ra biến cố A trong một số phép thử rất lớn, n. Ví dụ 7 : Tung đồng xu 5 - Xác suất xuất hiện mặt S: P(S)=1/2 - Xác suất xuất hiện mặn H: P(H)=1/2 - Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm chứng : Người thí nghiệm Số lần tung Số lần sấp Tần suất Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 2.2.4. Định nghĩa tiên đề : (Tự nghiên cứu) Ví dụ 8 : Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất xuất hiện mặt chẵn. Ví dụ 9 : Trong một hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen. Tìm xác suất để lấy từ hộp ra a) 1 viên bi đen b) 2 viên bi trắng 2.3. Một số công thức tính xác suất 2.3.1. Công thức cộng        .P A B P A P B P A B    Tổng quát :          11 2 1 2 1 ... . ... 1 . ... n n n i i j n i i j P A A A P A P A A P A A A             Nếu : 1 2, ,..., nA A A là các biến cố độc lập toàn phần thì :        1 2 1 2... 1 . ...n nP A A A P A P A P A     Nếu 1 2, ,..., nA A A là các biến cố xung khắc từng đôi thì :      1 2 1... ...n nP A A A P A P A      Nếu 1 2, ,..., nA A A là nhóm các biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi thì :    1 ... 1nP A P A   Lưu ý : i) Các biến cố 1 2, ,..., nA A A là nhóm các biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn, nghĩa là : 1 2 ... , .n i jA A A A A      ii) Hai biến cố A và B là 2 biến cố độc lập nếu sự tồn tại hay không tồn tại của biến cố này không ảnh hưởng đến sự tồn tại hay không tồn tại của biến cố kia iii) Các biến cố 1 2, ,..., nA A A là độc lập hoàn toàn nếu mỗi biến cố độc lập với tích của một tổ hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại. 6 Ví dụ 10 : Một lô hàng gồm 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 6 sản phẩm. Tìm xác suất để có không quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm được lấy ra 2.3.2. Công thức xác suất có điều kiện a) Định nghĩa : Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A, kí hiệu :  AP B b) Công thức :      .P ABAP B P B  Ví dụ 11 : Trong hộp có 3 viên bi trắng, 5 viên bi đen. Lấy lần lượt ra 2 viên bi (không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được viên bi trắng, biết lần thứ nhất đã lấy được viên bi trắng 2.3.3. Công thức nhân và độc lập Từ công thức xác suất có điều kiện, ta có : i)          . . .B AP AB P A P P B PA B  ii) Nếu A, B là 2 biến cố độc lập thì :      . .P A B P A P B iii)        . . CBP ABC P A P PA AB Tổng quát :     21 2 1 1 1 1 . ... . ... ... n n n AAP A A A P A P PA A A             Ví dụ 12 : Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 10 bi đen. Hộp thứ 2 có 8 bi trắng và 4 bi đen. Từ mỗi hộp lấy ra 1 viên bi. Tìm xác suất để : a) Cả 2 viên bi đều là bi trắng b) 1 bi trắng và 1 bi đen 2.3.4. Công thức đầy đủ và Bayès a) Công thức xác suất đầy đủ : Giả sử 1 2, ,..., nA A A là nhóm các biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi và B là biến cố bất kỳ có thể xảy ra trong phép thử. Khi đó :     1 n i ii BP B P A P A        (*) Lưu ý : Công thức (*) vẫn đúng nếu ta thay điều kiện 1 2 ... nA A A     bởi điều kiện 1 2 ... nB A A A    Ví dụ 13 : Xét một lô sản phẩm trong đó số sản phẩm do nhà máy I sản xuất chiếm 20%, nhà máy II sản xuất chiếm 30%, nhà máy III sản xuất chiếm 50%. Xác suất phế phẩm của nhà máy I là 0,001; nhà máy II là 0,005; nhà máy III là 0,006. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên được đúng 1 phế phẩm. b) Công thức Bayes : 7 Giả sử 1 2, ,..., nA A A là nhóm các biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi và B là biến cố bất kỳ có thể xảy ra trong phép thử. Khi đó :     1 .i ii n i ii BP A P AAP B BP A P A                   1,...,i n (**) Ví dụ 14 : Giả sử có 4 hộp như nhau cùng đựng một chi tiết máy, trong đó có 1 hộp 3 chi tiết xấu, 5 chi tiết tốt do máy 1 sản xuất; còn 3 hộp còn lại mỗi hộp đựng 4 chi tiết xấu, 6 chi tiết tốt do máy 2 sản xuất. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ra 1 chi tiết máy. a) Tìm xác suất để chi tiết máy lấy ra là tốt b) Với chi tiết tốt ở câu a, tìm xác suất để nó được lấy ra từ hộp của máy I Khái niệm cây xác suất : Trong thực tế có nhiều phép thử chứa 1 dãy nhiều biến cố. Cây xác suất cung cấp cho ta 1 công cụ thuận lợi cho việc xác định cấu trúc các quan hệ bên trong các phép thử khi tính xác suất. Cấu trúc cây như sau : i) Vẽ biểu đồ của cây xác suất tương ứng với các kết quả của dãy phép thử ii) Gán mỗi xác suất với mỗi nhánh 2.3.5. Công thức Bernoulli a) Định nghĩa : Tiến hành n phép thử độc lập. Giả sử trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra 1 trong 2 trường hợp : hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra. Xác suất để A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng p. Dãy phép thử thoả mãn các điều kiện trên được gọi là dãy phép thử Bernoulli. b) Công thức : Xác suất để A xuất hiện k lần trong n phép thử của dãy phép thử Bernoulli   k k n kn nP k C p q   1 ; 0,1,...,q p k n   Ví dụ 15 : Một bác sĩ có xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8. Có người nói rằng cứ 10 người đến chữa thì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh. Điều khẳng định đó có đúng không ? Ví dụ 16 : Bắn 5 viên đạn độc lập với nhau vào cùng một bia, xác suất trúng đích các lần bắn như nhau là 0,2. Muốn bắn hỏng bia phải có ít nhất 3 viên đạn bắn trúng đích. Tìm xác suất để bia bị hỏng. 8 3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP 3.1. Biến ngẫu nhiên 3.1.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị giá trị kết quả của 1 phép thử ngẫu nhiên. Ta dùng các chữ in hoa X, Y, Z, … để kí hiệu cho các biến ngẫu nhiên Ví dụ 1 : Tung 1 con xúc xắc. gọi X là số chấm xuất hiện tren mặt con xúc xắc thì X là một biến ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể là 1, 2, … , 6 3.1.2. Phân loại : có 2 loại Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận 1 số hữu hạn hoặc 1 số vô hạn đếm được các giá trị Ta có thể liệt kê các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc X. Xác suất để X nhận giá trị nx viết là :  nP X x Ví dụ 2 : Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc, số học sinh vắng mặt trong 1 buổi học… là các biến ngẫu nhiên rời rạc. Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị của nó lấp đầy 1 khoảng trên trục số. Ví dụ 3 : Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó 3.2. Phân phối của biến ngẫu nhiên 3.2.1. Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng gồm 2 hàng : hàng thứ 1 liệt kê các giá trị có thể 1 2, ,..., nx x x của X và hàng thứ 2 liệt kê các xác suất tương ứng 1 2, ,..., np p p của các giá trị có thể đó. Ví dụ 4 : Tung 1 con xúc xắc đồng chất. Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất là bảng sau : 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 X P 3.2.2. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm không âm  f x , xác định với mọi  ,x   thoả mãn     B P X B f x dx   , với mọi tập B  Lưu ý :    0, ,f x x     và :   1f x dx    3.2.3. Hàm phân phối Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu  F x , được xác định như sau :    F x P X x  9 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể 1 2, ,..., nx x x thì :     i i i i x x x x F x P X x p       Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất  f x thì :     x F x f x dx    Một số tính chất : i)  0 1,F x x   ii)  F x là hàm không giảm     1 2 1 2x x F x F x   iii)    lim 0, lim 1 x x F x F x     iv)    ' ,F x f x x  Ý nghĩa của hàm phân phối xác suất  F x Hàm  F x phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái của điểm x Ví dụ 5 : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất : 1 3 6 0,3 0,1 0,6 X P Tìm hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị của hàm này. Ví dụ 6 : Cho biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ :   4 0, 0 6 , 0 1 5 6 1 5 x f x x x x x           Tìm hàm phân phối xác suất  F x 3.3. Một số đặc trưng cơ bản 3.3.1. Kỳ vọng a) Định nghĩa : Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1 2, ,..., nx x x có xác suất tương ứng là 1 2, ,..., np p p . Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu  E X được xác định bởi :   1 n i i i E X x p   Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất  f x . Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X được xác định bởi : 10    E X x f x dx     Ví dụ 7 : Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau : 5 6 7 8 9 10 11 1 6 3 2 2 1 1 12 12 12 12 12 12 12 X P   1 2 3 2 2 1 1 315. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 7,75 12 12 12 12 12 12 12 4 E X          Ví dụ 8 : Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ :     22. , 0 2 0, 0,2 xe x f x x          2 0 4 . . 2 3 x E X x f x dx x dx           b) Tính chất : i)   ,E C C C là hằng số;    .E cX c E X ii)      E X Y E X E Y   iii) Nếu X và Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì      . .E X Y E X E Y 3.3.2. Phương sai a) Định nghĩa : Phương sai (độ lệch bình phương trung bình) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu  Var X hay  D X được tính bởi công thức :     2Var X E X E X     Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1 2, ,..., nx x x có xác suất tương ứng là 1 2, ,..., np p p thì :     2 1 n i i i Var X x E X p       Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất  f x thì :       2 Var X x E X f x dx        Trong thực tế, ta thường tính phương sai theo công thức :       22Var X E X E X     Ví dụ 9 : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau : 11 1 3 5 0,1 0,4 0,5 X P . Tìm phương sai của X Ví dụ 10 : Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ     3. , 0 3 0, 0,3 c x x f x x      Tìm : Hằng số c, kỳ vọng và phương sai b) Tính chất : i)    0 :Var C C constant ii)    2.Var cX c Var X iii) Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì :      Var X Y Var X Var Y   3.3.3. Độ lệch tiêu chuẩn : Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu :  X xác định bởi :    X Var X  dùng để đánh giá mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên X 3.3.3. Một số đặc trưng khác a) Mode (Mod) Định nghĩa :  Mod X là giá trị của biến ngẫu nhiên X có khả năng xuất hiện lớn nhất trong một lân cận nào đó của nó.  Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì  Mod X là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất  Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì  Mod X là giá trị của X tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại Ví dụ 11 : Nếu X là điểm trung bình môn Toán của Sinh viên lớp toán tin thì  Mod X là điểm mà nhiều sinh viên của lớp đạt được nhất b) Trung vị (Median) Định nghĩa : Trung vị của biến ngẫu nhiên X là giá trị của X chia phân phối xác suất thành 2 phần có xác suất giống nhau, kí hiệu :  Med X Ta có :       1 2 P X Med X P X Med X    Ví dụ 12 : Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối với hàm mật độ sau :   2 4 0, 0 , 0 2 x x f x x e x        Hãy tìm    ,Mod X Med X 12 c) Moment : Định nghĩa : Moment cấp k của đại lượng ngẫu nhiên X là số  kkm E X Moment qui tâm cấp k của đại lượng ngẫu nhiên X là số   kk E X E X      Nhận xét : i) Moment cấp 1 của X là kỳ vọng của X   1m E X ii) Moment qui tâm cấp 2 của X là phương sai của X   22 2 1m m Var X    iii) 33 3 2 1 13 2m m m m    3.4. Một số phân phối thường gặp 3.4.1. Nhị thức a) Định nghĩa : Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận 1 trong các giá trị 0, 1, 2,…, n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức Bernoulli   x x n xx nP P X x C p q    gọi là có phân phối nhị thức với tham số n và p, kí hiệu :  ,X B n p (hay  ,X B n p ) b) Công thức : Với h nguyên dương và h n x  , ta có :   1 ...x x x hP x X x h P P P        Ví dụ 13 : Tỷ lệ phế phẩm trong lô sản phẩm là 3%. Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để trong đó có : a) 3 phế phẩm b) không quá 3 phế phẩm Chú ý : i) Khi n khá lớn và xác suất p không quá gần 0 và 1. Khi đó ta có thể áp dụng công thức xấp xỉ sau :  1x x n xx nP C p q f u npq   : gọi là công thức địa phương Laplace Trong đó :   2 21; 2 ux np u f u e npq     ii)      2 1P x X x h u u      trong đó : 1 2; x np x h np u u npq npq      : gọi là công thức tích phân Laplace Lưu ý : Nếu  ,X B n p thì ta có : 13 i)  E X np ii)  Var X npq iii)  np q Mod X np p    Ví dụ 14 : Một máy sản xuất được 200 sản phẩm trong một ngày. Xác suất để máy sản xuất ra phế phẩm là 0,05. Tìm số phế phẩm trung bình và số phế phẩm có khả năng tin chắc của máy đó trong một ngày 3.4.2. Poisson Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0, 1,…, n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức :   ! k a k a P P X k e k    được gọi là có phân phối Poison với tham số a, kí hiệu :  X P a hay  ~X P a Chú ý : i)   1 ... ! k a k k k h k a P k X k h P P P P e k                 ii) Nếu  X P a thì      ; 1E X Var X a a Mod X a     Ví dụ 15 : Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để 1 giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,002. Tìm xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có không quá 2 ống sợi bị đứt 3.4.3. Đều : Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn  ,a b nếu hàm mật độ xác suất có dạng :       1 , , 0, , x a b b af x x a b       Nhận xét :  Nếu X có phân phối đều trên  ,a b thì hàm phân phối của X cho bởi : i)   0F x  nếu x a ii)     x x a dx x a F x f x dx b a b a        nếu a x b  iii)   1F x  nếu x b  Giả sử    , ,a b   . Xác suất để X rơi vào  ,  là :    P X f x dx b a             14 Ví dụ 16 : Lịch chạy của xe buýt tại 1 trạm xe buýt như sau : chiếc xe buýt đầu tiên trong ngày sẽ khởi hành từ trạm này vào lúc 7 giờ, cứ sau mỗi 15 phút sẽ có 1 xe khác đến trạm. Giả sử 1 hành khách đến trạm trong khoảng thời gian từ 7 giờ đến 7 giờ 30. Tìm xác suất để hành khách này chờ : a) Ít hơn 5 phút b) Ít nhất 12 phút 3.4.4. Mũ Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với tham số 0  nếu nó có hàm mật độ xác suất là :   , 0 0, 0 xe x f x x       Nếu X có phân phối mũ với tham số  thì hàm phân phối xác suất của X là :   0 1 x x xF x e dx e      với 0x  và :   0F x  với 0x  Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số 0  thì : i) Kỳ vọng của X là :   0 0 0 1 . x x xE X x e dx xe e dx                ii) Phương sai của X là :   2 22 2 20 0 0 1 1 1 2x x xVar X x e dx x e xe dx                     Ví dụ 17 : Giả sử tuổi thọ (tính bằng năm) của một mạch điện tử trong máy tính là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kì vọng là 6,25. Thời gian bảo hành của mạch điện tử này là 5 năm. Hỏi có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành ? 3.4.5. Chuẩn Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng  ,  được gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất có dạng :    2 221 2 x f x e        trong đó : ,  là hằng số, 0, x      Kí hiệu :  2,X N   hay :  2~ ,X N   Chú ý : Nếu  2,X N   thì :  E X  và   2Var X  3.4.6. Một số phân phối khác (Sinh viên tự nghiên cứu) 15 4. LÝ THUYẾT MẪU 4.1. Đám đông và mẫu 4.1.1. Đám đông và mẫu a) Đám đông : Khi nghiên cứu về 1 vấn đề người ta thường khảo sát trên một dấu hiệu nào đó. Các dấu hiệu này thể hiện trên nhiều phần tử. Tập hợp các phần tử mang dấu hiệu đó được gọi là tổng thể hay đám đông (population) Ví dụ 1 : Số cử tri trong 1 cuộc bầu cử, thu nhập của các hộ gia đình ở Tp.HCM … b) Mẫu : Từ tổng thể lấy ra n phần tử và đo lường *X (dấu hiệu cần khảo sát)) trên chúng. Các phần tử này gọi là mẫu (sample). Số phần tử của mẫu được gọi là kích thước của mẫu. 4.1.2. Phân loại mẫu và phương pháp điều tra chọn mẫu a) Mẫu ngẫu nhiên : Một mẫu được chọn thỏa các điều kiện sau đây gọi là mẫu ngẫu nhiên  Các phần tử của mẫu lấy ngẫu nhiên từ M (M là tổng thể).  Các phần tử của M có cùng khả năng được lấy ra làm mẫu.  Các phần tử của mẫu được lấy một cách độc lập với nhau.  Tất cả những mẫu cỡ n cũng có cùng khả năng được chọn từ tổng thể M. b) Mẫu lý thuyết : Ký hiệu iX là giá trị quan sát X trên phần tử thứ i của mẫu. Khi đó ta có một bộ n biến ngẫu nhiên  1,..., nX X gọi là mẫu lý thuyết lấy từ M thoả :  Các iX có cùng phân phối như X.  Các iX độc lập với nhau c) Mẫu thực nghiệm : Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số liệu  1,..., nx x gọi là mẫu thực nghiệm lấy từ X d) Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản : Đánh số các phần tử của M từ 1 đến N. Và lập các phiếu cũng đánh số như vậy.Trộn đều các phiếu, sau đó lấy lần lượt có hoàn lại n phiếu. Các phần tử của M có số thứ tự trong phiếu lấy ra sẽ được chọn làm mẫu. 4.1.3. Sắp xếp và trình bày số liệu theo bảng : a) Bảng thống kê đơn giản 1 2 3 1 1 2 3 ... 1 ... n n i n n X x x x x x  hoặc: 1 2 3 1... n nx x x x x Ví dụ 2 : Đo chiều cao của 10 sinh viên trong lớp Kết quả: 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155 (ĐV: cm) b) Bảng tần số : 1 2 3 1 1 2 3 1 ... ... k k i k k X x x x x x n n n n n n   với : 1 2 ... kn n n n    Ví dụ 3 : Khảo sát lương của 50 công nhân trong một nhà máy. X = Lương tháng của công nhân. (ĐV : Triệu đ/tháng) Lương tháng 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 >4 16 Số công nhân 14 12 8 6 4 4 2 c) Bảng tần số chia khoảng :      1 1 2 2 1 2 , , ... , ... k k i k X a b a b a b n n n n với : 1 2 ... kn n n n    C