Kiểm tra chất lượng các môn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2014 - 2015 - Trường THPT Trần Phú

>> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu SỞ GD –DT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI THPT QUỐC GIA Năm học: 2014 -2015 Môn Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. ( ID: 79191) (4,0 điểm) Cho hàm số y = 2 1 1 x x   gọi là đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x+3y+2 = 0. Câu 2 ( ID: 79192 ) (2,0 điểm) Giải phương trình: 2 sin2( 2 x ) = cos 5x + 1 Câu 3 ( ID: 79193 ) (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x.√ trên đoạn [0;5] Câu 4 ( ID: 79194 ) (2,0 điểm) a. Giải phương trình sau: 2 3 33 2log (2 1) 2log (2 1) 2 0x x     b. Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn. Câu 5 ( ID: 79195 ) (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy, cho tam giác ABC có A(4;8), B(-8;2), C(-2;10). Chứng tỏ tam giác ABC vuông và viết phương trình đường cao còn lại. Câu 6 ( ID: 79196 ) (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc 060BAC  , hình chiếu của S trên mặt (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a. Câu 7 ( ID: 79197 ) (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 0xy, cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là 3x + 5y – 8 = 0 và x –y-4 = 0. Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(4;-2). Viết phương trình các đường thẳng AB, AC biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3. Câu 8 ( ID: 79198 )(2, 0 điểm) Giải hệ phương trình{ √ √ √ Câu 9 ( ID: 79199 )(2, 0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c  và a2 +b2+c2 = 5. Chứng minh rằng: (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) -4 >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu ĐÁP ÁN Câu 1: 1. (2,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) * TXĐ: D=R\ 1 0.25 * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y’= 2 3 0, 1 ( 1) x x      0.25 Hàm số đồng biến (- ;-1) và (-1;+ ), khoảng nghịch biến (0;2) - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Giới hạn tại vô cực và tiệm cận: 2 1 lim lim 2 1x x x y y x      , đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang 1 1 2 1 lim ; lim 1x x x y y x         , đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng 0.5 * Bảng biến thiên: 0.5 x  -1 + y’ + + y 2 + 2 - * Đồ thị : 0.5 đ Đồ thị hàm số cắt trục 0x tại điểm A( 1 2 ;0) Đồ thị hàm số cắt trục 0y tại điểm B(0;-1) Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là I(-1;2) làm tâm đối xứng Hình vẽ 2. Viết phương trình tiếp tuyến Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0;yo) ta có k = f’(x0) = 2 0 3 ( 1)x  0.5 Lại có k.(- 1 3 )=-1 k = 3 0.5 Hay 0 2 00 03 3 2( 1) x xx        0.5 Với x0 = 0 suy ra y0 = -1 vậy phương trình tiếp tuyến là y = 3x -1 Với x0 = -2 suy ra y0 = 5 vậy phương trình tiếp tuyến là y = 3x +11 0.5 Câu 2 (2,0 điểm) >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu 22sin ( ) 1 cos5 cos cos5 2 x x x x     0.5 cos( ) cos( 5 )x x   0.5 5 2 6 3 5 2 4 2 k x x x k x x k k x                        là nghiệm của phương trình 1.0 Câu 3: (2,0 điểm) f(x) = 3(5 )x x hàm số liên tục trên đoạn [0;5] f(x) =x(5-x) 3/2, với mọi x thuộc (0;5) 0.5 f’(x)= 5 x (5- 5 2 x) 0.5 f’(x) = 0 suy ra x = 5, x = 2. Ta có f(2) = 6 3 , f(0) = f(5) = 0 0.5 Vậy [0;5] (x) x Max f  =f(2) = 6 3 ; [0;5] (x) x Min f   = f(0)=0 0.5 Câu 4:(2,0 điểm) a. 2 3 33 2log (2 1) 2log (2 1) 2 0x x     ĐK: x 1 2  0.25 PT 2 3 38log (2 1) 6log (2 1) 2 0x x      0.25 3 2 3 3 3 log (2 1) 1 4log (2 1) 3log (2 1) 1 0 1 log (2 1) 4 x x x x               0.25 4 3 2 3 1 2 3 x x       là nghiệm của phương trình đã cho 0.25 b. Tính xác suất Ta có 416 1820C   0.25 Gọi A =”2 nam toán, 1 lý nữ, 1 hóa nữ” B =”1 nam toán, 2 lý nữ, 1 hóa nữ” 0.5 C =” 1nam toán, 1 lý nữ, 2 hóa nữ” Thì H A B C  = “có nữ và đủ ba bộ môn” P(H) = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 8 5 3 8 5 3 8 5 3 3 7 C C C C C C C C C    0.25 Câu 5 : (2,0 điểm) Ta có: AB =(-12;-6); BA=(6;-12) 0.5 Từ đó . 0AB BA  vậy tam giác ABC vuông tại B 0.5 >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu Viết phương trình đường cao BH. Ta có đường cao BH đi qua B(-8;2) và nhận AC =(-6;-18) =-6(1;3) làm véc tơ pháp tuyến 0.5 PT BH: x + 3y + 2 = 0 0.5 Câu 6 : (2,0 điểm) Gọi O = ACBD. Ta có OBAC, SOAC  SOB=60 0 0.25 Xét tam giác SOH vuông tại H: tan 600 = 0 3 .tan60 . 3 6 2 SH a a SH OH HO     0.25 Ta có tam giác ABC đều SABCD = 2SABC = 2 3 2 a 0.25 Vậy VS.ABCD = 21 1 3 . . . 3 3 2 2 ABCD a a SH S  (đvdt) = √ 0.25 Tính khoảng cách FB Trong (SBD) kẻ OE //SH khi đó ta có OC, OD, OE đôi một vuông góc và 3 3 ; ; 2 2 8 a a a OC OD OE   0.5 Áp dụng công thức: 2 2 2 2 1 1 1 1 3 ( , ) 112 a d d O SCD OC OD OE      0.5 Mà d(B, SCD) = 2d(O,SCD) = 6 112 a Câu 7: (2,0 điểm) >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD E là giao điểm của BH và AC. Ta kí hiệu ;d dn u lần lượt là véc tơ pháp tuyến, véc tơ chỉ phương của đường thẳng d Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: 7 4 0 7 12 ( ; ) 3 5 8 0 1 2 2 2 x x y M x y y                 0.5 AD vuông góc với BC nên AD BCn u =(1;1) mà AD đi qua điểm D suy ra phương trình của AD: 1(x-4) + 1(y+2) = 0  x+y -2 =0. Do A là giao điểm của AD và Am nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 3 5 8 0 1 (1;1) 2 0 1 x y x A x y y              0.5 Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình: 4 0 3 (3; 1) 2 0 1 x y x K x y y                0.25 Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK KCE , mà KCE BDA ( nội tiếp chắn cung AB ) suy ra BHK BDK . Vậy K là trung điểm của HD nên H(2;4) 0.25 Do B thuộc BC suy ra B(t;t-4), kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C(7-t; 3- t) HB  (t-2;t-8); AC (6-t;2-t). Do H là trực tâm của tam giác ABC nên 2 . 0 ( 2)(6 ) ( 8)(2 ) 0 ( 2)(14 2 ) 0 7 t HB AC t t t t t t t                 0.25 Do t3 suy ra t = 2 suy ra B(2;-2), C(5;1) Ta có: AB =(1;-3), .AC =(4;0) suy ra (3;1), (0;1)AB ACn n  0.25 >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu Suy ra AB: 3x +y – 4 = 0; AC = y -1 = 0 Câu 8 (2,0 điểm) Điều kiện x 3 3 1; y [ ; ] 2 2    0.25 Ta có (1) 32y 2 1 2 1 1y x x x x        32y 2(1 ) 1 1y x x x       0.25 Xét hàm số f(t) = 2t3 + t ta có f’(t) = 6t2 + 1 > 0, t R   f(t) đồng biến trên R Vậy (1) 2 0 ( ) ( 1 ) 1 1 y f y f x y x y x            0.25 Thế vào (2) ta được : 24 5 2 6 1x x x    2 2 22 4 5 4 12 2 ( 4 5 1) (2 2)x x x x x          1 24 5 2 3( ) 1 2( )4 5 1 2 1 2 x x x vn x lx x x                   0.5 Với x = 1- 2 suy ra 4 4 2 2 y x      Câu 9: (2,0 điểm) Ta có: (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) -4  (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) 4 (*) Đặt vế trái của (*) là O Nếu ab + bc + ca <0 thì P 0 suy ra BĐT đã được chứng minh 0.25 Nếu ab + bc + ca  0, đặt ab + bc + ca =x 0 0.25 (a-b)(b-c)  2 3 2 ( ) ( )( ) ( )(b c)(a c) (1) 2 4 4 a b c a a c a c a b            0.25 Ta có 4(a2 +b2+c2 – ab-bc-ca) = 2(a-c)2 +2(a-b)2 +2(b-c)2  2(a-c) 2 +[(a-b)+(b-c)] 2 = 2(a-c) 2 + (a-c) 2 = 3(a-c) 2 Suy ra 4(5-x) 3(a-c) 2 , từ đây ta có x5 và a –c  4 (5 ) 3 x (2) 0.25 Từ (1) (2) suy ra P 3 3 1 4 2 3 . [ (5 )] (5 ) 4 3 9 x x x x   (3) Theo câu a ta có f(x) = x 3(5 )x 6 3 với x thuộc đoạn [0;5] Nên suy ra P  2 3 .6 3 9 suy ra P 4. >> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang và nhập mã ID câu Vậy (*) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0.