Khối đa diện

Khối đa diện Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a HD: * Đáy là  BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy * Tất cả các cạnh đều đầu bằng a * Tính: V = 1 3 Bh = 1 3 SBCD . AH * Tính: SBCD = 2 3 4 a ( BCD đều cạnh a) * Tính AH: Trong V  ABH tại H : AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH = 2 3 BM với BM = 3 2 a ) ĐS: V = 3 2 12 a Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là giao điểm của 2 đường chéo * Tất cả các cạnh đều đầu bằng a * Tính: V = 1 3 Bh = 1 3 SABCD . SH * Tính: SABCD = a 2 * Tính AH: Trong V  SAH tại H: SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH = 2 2 a ) ĐS: V = 3 2 6 a . Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V = 3 2 3 a Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a a) Tính thể tích của khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C HD: a) * Đáy A’B’C’ là  đều cạnh a . AA’ là đường cao * Tất cả các cạnh đều bằng a * ABC.A B C V    = Bh = A BCS    .AA ’ * Tính: A BC S    = 2 3 4 a (A’B’C’ là  đều cạnh a) và AA’ = a ĐS: ABC.A B C V    = 3 3 4 a b) A BB C V   = 1 3 ABC.A B C V    ĐS: 3 3 12 a ( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau) Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C  = 600, đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300. a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ HD: a) * Xác định là góc giữa cạnh BC’ và mp(ACC’A’) + CM: BA  ( ACC’A’)  BA AC (vì  ABC vuông tại A)  BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng) +  = BC A   = 300 * Tính AC’: Trong V  BAC’ tại A (vì BA AC’) tan300 = AB AC AC’ = 030 AB tan = AB 3 * Tính AB: Trong V  ABC tại A, ta có: tan600 = AB AC AB = AC. tan600 = a 3 (vì AC = a). ĐS: AC’ = 3a H S CB A C' B'A' C BA 60 30 C'B' A' C B A b) ABC.A B C V    = Bh = ABCS .CC ’ * Tính: ABC S = 1 2 AB.AC = 1 2 .a 3 .a = 2 3 2 a * Tính CC’: Trong V  ACC’ tại C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 CC’ = 2 2a ĐS: ABC.A B C V    = a 3 6 Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ. HD: * Kẻ A’H  (ABC) * A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của  ABC đều cạnh a * Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là  = A AH   = 600 * Tính: ABC.A B C V    = Bh = ABCS .A ’H * Tính: ABC S = 2 3 4 a (Vì ABC đều cạnh a) * Tính A’H: Trong V  AA’H tại H, ta có: tan600 = AH AH  A’H = AH. tan600 = 2 3 AN. 3 = a ĐS: ABC.A B C V    = 3 3 4 a Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a. Tính thể tích của lăng trụ HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a * Tính: ABC.A B C V    = Bh = ABCS .AA ’ * Tính: ABC S = 1 2 AB.AC (biết AC = a) * Tính AB: Trong V  ABC tại A, ta có: AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2 ĐS: ABC.A B C V    = 33 3 2 a Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A  = 600. Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB’ = a. a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD * B’O  (ABCD) (gt) * Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là  = B BO   * Tính  = B BO   : Trong V  BB’O tại O, ta có: cos = OB BB = OB a + ABD đều cạnh a (vì A  = 600 và AB = a) DB = a OB = 1 2 DB = 2 a . Suy ra: cos = 1 2   = 600 b) * Đáy ABCD là tổng của 2  đều ABD và BDC  ABCD S = 2. 2 3 4 a = 2 3 2 a * ABCD.A B C D V     = Bh = ABCDS .B ’O = 2 3 2 a .B’O a 60 N H C' B' A' C B A 2a 3a a C'B' A' CB A  a 60 a O D' C' B' A' D C BA * Tính B’O: B’O = 3 2 a (vì  B’BO là nửa tam giác đều) ĐS: 33 4 a Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a. Dựng đường cao SH a) Chứng minh: SABC b) Tính thể tích của hình chóp HD: a) Gọi M là trung điểm của BC * CM: BCSH (SHmp( ABC)) BC AM BCmp(SAM). Suy ra: SABC (đpcm) b) * Tất cả các cạnh đều bằng a * Tính: VS.ABC = 1 3 Bh = 1 3 SABC .SH * Tính: SABC = 2a 3 4 * Tính SH: Trong V  SAH tại H, ta có: SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH = 2 3 AM mà AM = a 3 2 vì ABC đều cạnh a). ĐS: VS.ABC = 3a 2 12 Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC HD: a) Hạ SH  (ABC) H là trọng tâm của  ABC đều cạnh a Gọi E là trung điểm của BC * Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là  =  SAE = 600 * Tính: S.DBC S.ABC V SD SB SC SD . . V SA SB SC SA   * Tính SD: SD = SA – AD * Tính SA: SA = 2AH (vì  SAH là nửa tam giác đều) và AH = 2 3 AE mà AE = a 3 2 vì ABC đều cạnh a. Suy ra: SA = 2a 3 3 * Tính AD: AD = AE 2 ( vì ADE là nửa tam giác đều). Suy ra: AD = a 3 4 * Suy ra: SD = 5a 3 12 . ĐS: S.DBC S.ABC V SD 5 V SA 8   b) Cách 1: * Tính VS.ABC = 1 3 Bh = 1 3 SABC.SH * Tính: SABC = 2a 3 4 (vì ABC đều cạnh a) * Tính SH: Trong V  SAH tại H, ta có: sin600 = SH SA  SH = SA.sin600 = a. Suy ra: VS.ABC = 3a 3 12 * Từ S.DBC S.ABC V 5 V 8  . Suy ra: VS.DBC = 35a 3 96 Cách 2: * Tính: VS.DBC = 1 3 Bh = 1 3 SDBC.SD * Tính: SDBC = 1 2 DE.BC * Tính DE: Trong V  ADE tại D, ta có: sin600 = DE AE DE = AE.sin600 = 3a 4 . Suy ra: SDBC = 23a 8 a M H C B A S 60 E D aH C B A Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB a) Chứng minh rằng: SH  (ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) * Ta có: mp(SAB)  (ABCD) * (SAB)  (ABCD) = AB; * SH  (SAB) * SH AB ( là đường cao của  SAB đều) Suy ra: SH  (ABCD) (đpcm) b) * Tính: VS.ABCD = 1 3 Bh = 1 3 SABCD.SH * Tính: SABCD = a 2 * Tính: SH = a 3 2 (vì  SAB đều cạnh a) ĐS: VS.ABCD = 3a 3 6 Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. HD: * Hạ SH  (ABC) và kẻ HM AB, HNBC, HP AC * Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là  = SMH  = 600 * Ta có: Các  vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600) * Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp  ABC * Tính: VS.ABC = 1 3 Bh = 1 3 SABC .SH * Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c)   = p(p AB)(p BC)(p CA)   (công thức Hê-rông) * Tính: p = 5 6 7 9 2 a a a a    Suy ra: SABC = 26 6a * Tính SH: Trong V  SMH tại H, ta có: tan600 = SH MH SH = MH. tan600 * Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH MH = ABC S p = 2 6 3 a Suy ra: SH = 2 2a ĐS: VS.ABC = 38 3a Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng 3 3 6 a . Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. ĐS: SA = 5 2 a Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 3 2 a và thể tích bằng a3. Tính cạnh đáy của hình chóp. ĐS: AB = 2a Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a3/8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một góc 600. Tính độ dài cạng đáy AB. ĐS: AB = 3a S D a H C A B 7a 6a 5a NM H P C B A 60 Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón HD: a) * Sxq = Rl =  .OB.AB = 15 Tính: AB = 5 (   AOB tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24 b) V = 21 3 R h = 2 1 3 .OB .OA = 2 1 3 4 3 . . = 12 Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Sxq = Rl =  .OB.SB = 2a 2 * Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2 b) V = 21 3 R h = 2 1 3 .OB .SO = 3 21 33 3 3 a .a .a    Tính: SO = 2 3 3 2 a a (vì SO là đường cao của  SAB đều cạnh 2a) Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A  = B  = 450 * Sxq = Rl =  .OA.SA = a2 2 Tính: SA = a 2 ; OA = a (   SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = a2 2 + a2 = (1 + 2 ) a2 b) V = 21 3 R h = 2 1 3 .OA .SO = 3 21 3 3 a .a .a    Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A  = B  = 450 * Sxq = Rl =  .OA.SA =  . 2 l .l = 2 2 l Tính: OA = 2 l (   SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 2 2 l + 2 2 l = 21 1 22 l        b) V = 21 3 R h = 2 1 3 .OA .SO = 2 31 3 2 2 6 2 l l l . .    Tính: SO = 2 l (   SOA tại O) 2a A B S 3 4 A B O 45 S B A l 45 S B A O Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A  = B  = 300 hay ASO  = BSO  = 600 * Sxq = Rl =  .OA.SA =  . 3a .2a = 22 3a Tính: OA = 3a ; SA = 2a (   SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 22 3a + 3a2 =   22 3 3 a  b) V = 21 3 R h = 2 1 3 .OA .SO = 2 3 1 3 3 . a .a a   Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng  . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A  = B  =  * Sxq = Rl =  .OA.SA =  . lcos .l = 2l cos  Tính: OA = lcos (   SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 2l cos  +  l2cos2 =   21 cos l cos    b) V = 21 3 R h = 2 1 3 .OA .SO = 21 3 2.l cos .lsin   = 3 3 2l cos sin   Tính: SO = lsin (   SOA tại O) Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2a2. Tính thể tích của hình nón HD: * Sxq = Rl  Rl = 2a2 R = 2 22 2 2 a a a l a     * Tính: SO = 3a (   SOA tại O) * V = 21 3 R h = 2 1 3 .OA .SO = 3 21 33 3 3 a .a .a    Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9 . Tính thể tích của hình nón HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều * Sđáy = R2  9 = R2  R2 = 9  R = 3 * SO = 3 2 3 3 3 2 2 AB R   * V = 21 3 R h = 2 1 3 .OA .SO = 2 1 3 3 3 9 3 3 . .   120 a S B A O  l S BA O 2a S A O 60 S B A O Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nó c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A  = B  = 450 * Sxq = Rl =  .OA.SA =  . 2 a .a = 2 2 a Tính: OA = 2 a (   SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 2 2 a + 2 2 a = 21 1 22 a        b) V = 21 3 R h = 2 1 3 .OA .SO = 2 31 3 2 2 6 2 a a a . .    Tính: SO = 2 a (   SOA tại O) c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600: SMO  = 600 * SSAC = 1 2 SM.AC = 1 2 . 6 3 a . 2 3 3 a = 2 2 3 a * Tính: SM = 6 3 a (   SMO tại O). * Tính: AC = 2AM = 2 3 3 a * Tính: AM = 2 2OA OM = 3 3 a * Tính: OM = 6 6 a (   SMO tại O) Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó HD: a) * Sxq = Rl =  .OA.SA =  .25.SA = 25 1025 (cm2) Tính: SA = 1025 (   SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 25 1025 + 625 b) V = 21 3 R h = 2 1 3 .OA .SO = 2 2 1 25 20 3 . . (cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH SI OH = 12cm * SSAB = 1 2 .AB.SI = 1 2 .40.25 = 500(cm2) * Tính: SI = OS.OI OH = 20 12 .OI = 25(cm) (   SOI tại O) * Tính: 2 1 OI = 2 1 OH - 2 1 OS OI = 15(cm) (   SOI tại O) * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) * Tính: AI = 2 2 20OA OI  (cm) (   AOI tại I) l h O I H B A S C M 45 a S BA O Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A  = B  = 450 * Sxq = Rl =  .OA.SA =  . 2 2 a .a = 2 2 2 a Tính: OA = 2 AB = 2 2 a ; Tính: SA = a (   SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 2 2 2 a + 2 2 a = 22 1 2 ( ) a  b) V = 21 3 R h = 2 1 3 .OA .SO = 2 31 2 2 3 2 2 12 a a a . .    Tính: SO = 2 2 a (   SOA tại O) c) * Kẻ OM BC  SMO  = 600 ; * SSBC = 1 2 SM.BC = 1 2 2 2 3 3 a a . . = 2 2 3 a * Tính: SM = 2 3 a (   SOM tại O) * Tính: BM = 3 a (   SMB tại M) Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ HD: a) * Sxq = 2Rl = 2 .OA.AA’ = 2 .R.2R = 4R2 * OA =R; AA’ = 2R * Stp = Sxq + 2Sđáy = 4R2 + R2 = 5R2 b) * V = 2R h = 2.OA .OO = 2 32 2.R . R R   Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên HD: a) * Sxq = 2Rl = 2 .OA.AA’ = 2 .5.7 = 70 (cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120 (cm2) b) * V = 2R h = 2.OA .OO =  .52.7 = 175 (cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm * ABB A S   = AB.AA ’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8 * Tính: AI = 4(cm) (   OAI tại I) C M a 2 S BA O A B O O' A' B' l h h r l B' A' O' I O B A Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ HD: a) * Sxq = 2Rl = 2 .OA.AA ’ = 2 .r. r 3 = 2 3  r2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 r 2 3 + 2 r2 = 2 ( 3 1)  r2 b) * V = 2R h = 2.OA .OO = 2 33 3.r .r r   c) * OO’//AA’  BAA   = 300 * Kẻ O’H A’B O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO’ của hình trụ * Tính: O’H = 3 2 r (vì  BA’O’ đều cạnh r) * C/m:  BA’O’ đều cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r * Tính: A’B = r (   AA’B tại A’) Cách khác: * Tính O’H = 2 2OA AH   = 2 2 3 4 2 r r r   (   A’O’H tại H) * Tính: A’H = 2 A B = 2 r * Tính: A’B = r (   AA’B tại A’) Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ HD: a) * Sxq = 2Rl = 2 .OA.AA’ = 2 .R. R 2 = 2 2 R2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 2 R2 + 2R2 = 2 ( 2 1) R2 b) * V = 2R h = 2.OA .OO = 2 32 2.R .R R   Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ ( Cách giải và hình vẽ như bài 14) ĐS: a) * Sxq = 2Rl = 5000 (cm2) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000 + 5000 = 10000 (cm2) b) * V = 2R h = 125000 (cm3) c) * O’H = 25(cm) Bài 2: Mặt cầu Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC),  ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) * Gọi O là trung điểm của CD. * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; * Chứng minh: DAC vuông tại A OA = OC = OD = 1 2 CD (T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) r 3 H A B O O' A' r R 2 R A' O' O A * Chứng minh:  DBC vuông tại B OB = 1 2 CD * OA = OB = OC = OD = 1 2 CD A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; 2 CD ) b) * Bán kính R = 2 CD = 1 2 2 2AD AC = 1 2 2 2 2AD AB BC  = 1 2 2 2 2 5 225 9 16 2 a a a a   * S = 2 25 24 50 2 a a         ; * V = 4 3 R3 = 3 34 5 2 125 2 3 2 3 a a        Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS b) R = OA = 2 2 a ; S = 2a2 ; V = 3 2 3 a  Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) * Gọi O là trung điểm SC * Chứng minh: Các  SAC,  SCD,  SBC lần lượt vuông tại A, D, B * OA = OB = OC = OD = OS = 2 SC  S(O; 2 SC ) b) * R = 2 SC = 1 2 2 2 2SA AB BC  = 6 2 a * S = 2 264 6 2 a a         ; * V = 3 34 6 6 3 2 a a         Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ  vuông góc với mp(SAB) tại I * Dựng mp trung trực của SC cắt  tại O  OC = OS (1) * I là tâm đường tròn ngoại tiếp  SAB (vì  SAB vuông tại S) OA = OB = OS (2) * Từ (1) và (2)  OA = OB = OC = OS Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) * R = OA = 2 2 2 2 2 2 SC AB OI AI               = 2 2 2 4 a b c  * S = 2 2 2 2 2 2 24 4 a b c (a b c )             * V = 3 2 2 2 2 2 2 2 2 24 1 3 4 6 a b c (a b c ) a b c               O D C B A 2a a S O D CB A c b a I O S C B A A. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh trung điểm I của cạnh BC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài giải: a) Áp dụng công thức 1 3 V Bh trong đó B = a2, h = SA = a  31 3 V a ( đvtt) b) Trong tam giác vuông SAC, có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1) BC  AB và BC  SA  BC  SB   SBC vuông tại B, IB là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2). Tương tự ta cũng có ID = IS = IC(3). Từ (1), (2), (3) ta có I cách đều tất cả các đỉnh hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Bài tập2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, , 3AB a BC a  . Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Giải: Trong mp( SAC), dựng SH  AC tại H  SH  (ABC). 1 . 3 V B h , trong đó B là diện tích ABC, h = SH. 21 3 . 2 2 a B AB BC  . Trong tam giác đều SAC có AC = 2a  2 3 3 2 a SH a  . Vậy 3 2 a V  (đvtt) Bài tập3. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45o. a) Tính thể tích khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Giải: a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD  SO  (ABCD). 2 01 2. , ; . tan 45 . 3 2 V B h B a h SO OA a      3 2 6 a V  (đvtt) b) Áp dụng công thức . .xqS r l trong đó r = OA, l =SA= a. Thay vào công thức ta được: 22 2 . 2 2 xq a a S a   (đvdt) Bài tập4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ Giải: a) Ta có .V B h , trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ . Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên 2 3 4 a B  . h = AA’ = a  3 3 4 a V  (đvtt) b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức 2 . .xqS r l r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC  2 3 3 . 3 2 3 a a r   , l =AA’ =a nên diện tích cần tìm là 23 3 2 . . 2 3 3 xq a a S a   (đvdt) Bài tập5: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA (ABC). Tam giác ABC vuông cân tại B, 2AB a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp c) Gọi I và H lần lượt là trung điểm SC và SB. Tính thể tích khối chóp S.AIH Giải: a) 3 2 1 . 3 1 2 . 2. 2 , 2 2 3 V B h a B S a a a h SA a V        # ABC b) Gọi I là trung điểm SC SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC BC  SA và BC  Ab nên BC  SB  B thuộc mặt cầu đường kính SC. Như vậy tâm mặt cầu là trung điểm I của SC còn bán kính mặt cầu là 2 SC R  . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 AC a a a SC SA AC a a a R a           c) Áp dụng công thức 3 . . . . 1 1 . . 4 4 6 S AIH S AIH S ACB S ACB V SI SH a V V V SC SB      Bài tập6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Tính thể tích khối lập phương b) Tính bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh của lập phương c) Chứng minh hai khối chóp B’.ABD’ và D.C’D’B có bằng nhau Giải: a) V = a3 (đvtt) b) Gọi O là điểm đồng quy của 4 đường chéo AC’, DB’, A’C, BD’  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lập phương. Bán kính mặt cầu là ' 3 2 2 AC a R   c) Hai khối chóp trên là ảnh của nhau qua phép đối xứng mặt phẳng (ABC’D’)  đpcm C BÀI TẬP TỰ GIẢI: 1) Cho hình chóp đều S.ABCD cậnh đáy bằng a, góc SAC bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp 2) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA bằng a và SA vuông góc đáy. a) Tính thể tích khối chóp. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp. c) Quay tam giác vuông SAC quanh đường thẳng chứa cạnh SA, tính diện tích xung quanh của khối nón tạo ra 3) Cho hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó b) Tính thể tích của khối nón đó 4) Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy a, mặt bên hợp đáy một góc 600 . a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 5) Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC =a và đôi một vuông góc nhau. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. a) Chứng minh OH  (ABC) b) Chứng minh 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    c) Tính thể tích khối tứ diện