Khí động lực học - Phương trình Bernoulli

*Khí động lực học Dòng chảy không nhớt, không nén được*Khái niệmDòng không nhớtDòng nén đượcDòng không xoáy*Phương trình BernoulliVới dòng chảy dừng không nhớt, bỏ qua trọng lựcNếu dòng chảy không nén đượcNếu dòng chảy là không xoáyTrên cùng đường dòngTrên toannf dòng chảy*Dòng không nén được trong ốngVới dòng trong ống như hình vẽ, với dòng nén được và không nén đượcDòng ko nén đượcNhẫn xétV tăng kho A giảm và ngược lạiA=A(x)V1ro1A1V2ro2A2x*Ống ống khí động hởVận tốc tại tiết diện thửV1Ro1A1V2,ro2,A2*Ống khí động kín*Hệ số áp suấtĐịnh nghĩa hệ số áp suấtSử dụng phương trình Bernoulli*Điều kiện vận tốc cho dòng không nén đượcTừ phương trình liên tụcVới dòng không nén được*Phương trình LAPLACEVới dòng không nén được, không xoáy tồn tại hàm thế vận tốc thỏa mãn:Thay vào phương trình liên tục ta đươcGọi là phương trình Laplace áp dụng cho dòng chảy không nén được, không xoáy*Phương trình LAPLACEPhương trình Laplace là phương trình sai phân riêng phần tuyết tính bậc 2.Nghiệm của phương trình là tổng nghiệm riêng*Điều kiện biên ở xa vô cùngDòng vào từ xa coi như đều và theo phương Ox, khi đó điều kiện ở vô cùng: nVU∞U∞U∞U∞*Điều kiện biên ở thành rắnDo ảnh hưởng nhớt giữa chất lỏng và thành là bằng không, nên vận tốc luôn tiếp tuyến với thành rắn do đóNếu thành vật rắn có có dạng phương trình yb=f(x). Phương trình đường dòng cho ta *Tóm tắtVới dòng không xoáy, không nén được cho ta:Phương trình LaplacePhương trình BernoulliMối quan hệ vận tốc và hàm thế vận tốc*Các dòng cơ bản/Dòng đềuVới dòng đềuTích phân ta đượcTrong bài toán khí động học, hàm thế vận tốc thỏa mãn phương trình Laplace, do đó đạo hàm của phần const là bằng không. Do đó ta có thể loại bỏ và viết:*Các dòng cơ bản/Dòng đềuVới hàm dòngTích phân ta đượcXét trong hệ tọa độ cựcKhi đó tính circulation của cung hình chữ nhật hai chiều là l và hĐúng cho cả cung khép kín bất kỳCircualtion của dòng đều bằng 0*Các dòng cơ bản/Dòng nguồn (source)Khái niệm: Coi dòng không nén được hai chiều mà tất cả các đường dòng đều xuất phát từ một điểm O như hình vẽ gọi là điểm nguồnNếu xét hệ tọa độ (r,θ,z)như hình (z vuông góc mặt phẳng) ta nhận được:θVrr*Hàm thế của dòng nguồn (hút)Với một lưu lượng không đổi C sinh ra bởi nguồn (hút):Nếu coi một dòng nguồn có chiều dài theo oz là l, qua một mặt cobán kính là r, xét dòng qua phân tố dS thì:lVrθrxyzdS*Hàm thế của dòng nguồn (hút)Tổng khống lượng qua mặt trụ trong đơn vị thời gian:Nếu gọi Λ là khối lượng trên đơn vị dài trong dơn vị thời gian: Khi đó vận tốc tính:Do đó *Hàm thế của dòng nguồn (hút)Tích phân Vr và Vθ ta được:Với dòng hút*Nhận xétDòng nguồn là dòng không xoáy ở tất cả các điểmĐường dòng là thẳng từ gốc.Ngược lại với dòng nguồn là dòng hút (sink)Luôn thỏa mãn pt LaplaceKết dòng nguồn và hút la dòng lưỡng cực (doublets)*Dòng lưỡng cựcPNguồn ΛHút -ΛΔθθ1θ2lrb*Thế vận tốc của dòng lưỡng cựcVới k=ΛlĐường dòng là những hình tròn đường kính k/2πc (c=const)*Dòng xoáy (vortex flow)Một dòng mà đường dòng là những đường tròn tập trung tại một điểm Với dòng voáy (tương tự dòng nguồn) ta có:Vθr*Dòng xoáy (vortex flow)Với circulation Γ của dòng tại bán kính r:Khi đóTương tự ta có phương trình hàm thees vaanj toocs*Các dòng chảyDòng qua vật kéo Dài ra vô cùng(semi-infinite body)Dòng chảy qua trụKhông quayDòng qua trụ xoay(hiệu ứng magnus)*Bài tập yêu cầuTừ hình ảnh cho ở trên về kết hợp các dòng cơ bản Hãy thể hiện lại được hình bằng các biểu thức toán họcGợi ý: sử dụng Φ=Φ1+Φ2*Dũng chảy khụng lực nõng bao quanh vật thểVới một đoạn phõn bố nguồn cú cường độ là ΛThế vận tốc sinh ra bởi đoạn nguồn ds:Bởi cả đoạn ab P(x,y)sabds*Dũng chảy khụng lực nõng bao quanh vật thểVới một vật bất kỳ ta chia thành nhiều đoạn thẳng giới hạn bởi pi(xi,yi); pi(xi+1,yi+1) Trờn mỗi đoạn ta đặt phõn bố nguồn khụng đổi Λiα*Dũng chảy khụng lực nõng bao quanh vật thểTại điểm bất kỳ P(x,y) thế vận tốc sinh ra bởi đoạn phõn bố nguồn Λj:P(x,y)αθnβ*Dũng chảy khụng lực nõng bao quanh vật thểThế vận tốc sinh ra bởi tổng cỏc đoạnphõn bố nguồn:Tại một điểm pi(xi,yi) trờn trung điểm của đoanh thứ i:*Dũng chảy khụng lực nõng bao quanh vật thểĐiều kiện biờn tại điểm (xi,yi)Vận tốc vuụng gúc tại điểm đúTớnh cả ảnh hưởng của chớnh đoạn thứ i:*Dũng chảy khụng lực nõng bao quanh vật thểNhư vậy ta cúTa được hệ phương trỡnhĐõy là hệ phương trỡnh tuyến tớnh với cỏc ẩn là Λ1, Λ2, *Dũng chảy khụng lực nõng bao quanh vật thểVận tốc tiếp tuyến sinh ra bởi phõn bố nguồn tại điểm iVận tốc tổng:Hệ số ỏp suất:*Lý thuyết profile cánh mỏng 2DGiả thiết:Phương pháp của Glauert sử dụng coi profil có độ vồng rất nhỏ và đặt ở góc tấn α nhỏDòng không nhớt không nén được và không xoáyHệ tọa độ chọn chọn tại x=0 ở mép vào và x=C ở mép raPhương trình đường vồng theo y=y(x)Dòng qua cánh được tính cho profile*Lý thuyết profile cánh mỏng 2DTa mở rộng khái niệm cho dòng xoáy trong nghiên cứu dòng cơ bản bởi một dải xoáy có cường độ ΓΓ*Lý thuyết cánh mỏng 2DNếu ta để các dải xoáy đặt song song với nhau và thay đổi theo Dải xoáyDải xoáy trong mặt phẳngP(x,y)dVθrdsγ =γ(x)xyHướng vuông góc với rab*Lý thuyết cánh mỏng 2D§èi víi d¶i xo¸y ab, thÕ vËn tãcc t¹i mét ®iÓm bÊt kú tÝnh bëi:L­u sè cña dßng tÝnh qua xo¸y bëi tæng c¸c xo¸y b»ng c«ng thøc:Lùc n©ng *Lý thuyết cánh mỏng 2DĐiều kiện Kutta-JoukowskiẢhh hưởng của đường dòng ở nhũng góc tấn khác nhauV1V2V2V1*zxU∞z=z(x)Lý thuyết cánh mỏng 2DCÁnh mỏngdải xoỏyPhân bố xoáy trên đường vồngααGóc tấn w’(s)w’(x)*Lý thuyết cánh mỏng 2Dw’(s)Vận tốc cảm ứng vuông góc với đường vồngw’(x)Vận tốc cảm ứng vuông góc với dây cungα: góc tấn phân bố xoáy phương trình đường vồng*xU∞z=z(x)Lý thuyết profile cánh mỏng 2DDo cánh mỏng, nên đường vồng rất nhỏ và gần sát dây cungdo đó phân vố xoáy có thể viếtĐiều kiện K-J:Phân bố xoáy trên đường vồngαw’(s)w’(x)z*Lý thuyết profile cánh mỏng 2DLúc này, đường vồng chính là một đường dòng, thành phần vận tốc vuông góc với đường dòng bằng không.Vận tốc tại một điểm trong dòng chảy bằng tổng vận tốc nhiễu sinh ra bởi dòng ngoài và vận tốc cảm ứng sinh ra bởi xoáyU∞,n: vận tốc nhiễu sinh ra bởi dòng vô cùng*Lý thuyết profile cánh mỏng 2DVề mặt hình học ta có:Với cánh mỏng, và ở góc tấn α nhỏ:α tính bằng radU∞,nU∞P*Lý thuyết profile cánh mỏng 2DVới cánh mỏng, đường vồng nhỏ và gần dây cung, do đó:Giá trị vận tốc cảm ứng gâyRa tại điểm có tọa độ x, gây ra bởi đoạn xoáy cườngĐộ xzξxdξ*Lý thuyết profile cánh mỏng 2DVận tốc sinh ra bởi cả đoạn xoáy:Như vậy ta có phương trìnhĐây là phương trình của lý thuyết profile cánh mỏng, nó chi ra rằngĐường vồng của profile chính là đường dòng*Lý thuyết profile cánh mỏng 2DĐố là phương trình tích phân biến là γ(ξ)Phương trình viết tại điểm có tọa độ (x,0) trên dây cungdz/dx tính cho tạo điểm xBiến ξ là biến tích phân cho sự biến thiên của hàm xoáyLời giải của phương trình phải thỏa mãn điều kiện K-J: γ(c)=0*Áp dụng/ profil đối xứngVới cánh đối xứng, dz/dx=0, Phương trình cánh mỏng cho ta:Bài toán profile đối xứng được giải như bìa toán tấm phẳngĐây là phường trình tính toán cho dòng chảy không nhớt, không nén được qua tấm phẳng*Áp dụng/ profil đối xứngĐể giải phương trình trên ta đặt:Do đóThay vào phương trình *Áp dụng/ profil đối xứngNghiệm của phương trình, về mặt toán học có dạng:Thật vậy, thay vào phương trình ta được*Áp dụng/ profil đối xứngTheo công thức tích phân cho ta:Do đóKết luận: đó là nghiệm của phương trìnhTa cũng thấy nghiệm thỏa mãn đk K-J: γ(π)*Áp dụng/ profil đối xứngLưu số dòng chảy tính bởiLực tác dụng trên đơn vị sải cánh tính theo lý thuyết K-J*Áp dụng/ profil đối xứngHệ số lực nângClα*Áp dụng/ profil đối xứngMô men sinh ra bởi mép vàoHệ số mô men tại mép vào*Áp dụng/ profil đối xứngHệ số mô men tại ¼ dây cungCó nghĩa là lực khí động có điểm đặt tại ¼ dây cung, đó cũng là vị trí tâm áp.*Áp dụng/ profil vồngPhương trình lý thuyết cánh mỏng cho ta: Bằng phương pháp đổ biến ta được*Áp dụng/ profil vồngNghiệm của phương trình có dạngỞ đâyn=1,2,3*Áp dụng/ profil vồngLưu số:Vì về mặt toán học*Áp dụng/ profil vồngHệ số lực nângỞ góc tấn bằng không, , cánh không đối xứng có lực nâng, do đó ta có thể viết*Áp dụng/ profil vồngHệ số mô men tại mép vàoMô men tại ¼ c*Áp dụng/ profil vồngTâm áp *Phương pháp số cho dòng chảy có lực nâng bao quanh vật Với một đoạn phõn bố xoỏy cú cường độ là γThế vận tốc sinh ra bởi đoạn xoỏy ds:Bởi cả đoạn ab P(x,y)sabds*Với một vật bất kỳ ta chia thành nhiều đoạn thẳng giới hạn bởi pi(xi,yi); pi(xi+1,yi+1) Trờn mỗi đoạn ta đặt phõn bố xoỏy cường độ khụng đổi γiα*Tại điểm bất kỳ P(x,y) thế vận tốc sinh ra bởi đoạn phõn bố nguồn Λj:P(x,y)αnβ*Phương pháp số cho dòng chảy có lực nâng bao quanh vậtThế vận tốc sinh ra tại điểm P(x,y) bởi tất cả các đoạn:Thế vận tốc sinh ra tại điểm M(xi,yi) thuộc đoạn chia i:*Phương pháp số cho dòng chảy có lực nâng bao quanh vậtVận tốc vuông góc tại điểm M gây ra bởi dòng vô cùng:Vận tốc vuông góc tại M sinh ra bởi các xoáy:*Phương pháp số cho dòng chảy có lực nâng bao quanh vậtÁp dụng điều kiện biên cho ta hệ phương trình:Viết dưới dạng khác ta có: