Hợp đồng chuyển đổi giá Quanto đối với các sản phẩm tài chính

Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 2(46) Tập 1/Năm 2008 32 Hợp đồng chuyển đổi giá QUANTO đối với các sản phẩm tài chính Nguyễn Thị Thuý Hồng (Tr−ờng Cao đẳng hoá chất Phú Thọ) 1. Giới thiệu Ngày nay, cùng với sự phát triển nh− vũ bEo của các thị tr−ờng tài chính nh−: Thị tr−ờng cổ phiếu, thị tr−ờng trái phiếu, thị tr−ờng hợp đồng giao sau, các thị tr−ờng hợp đồng quyền chọn và thị tr−ờng tiền tệ. Trong đó thị tr−ờng tiền tệ là thị tr−ờng lớn nhất trong các thị tr−ờng tài chính.Vì lý do quan trọng của thị tr−ờng tiền tệ nên đE có nhiều ph−ơng pháp toán tài chính nhằm định giá các hợp đồng về tiền tệ, về tỷ giá hối đoái, về các hợp đồng quyền chọn tính theo nhiều chỉ tệ. Bài này tôi xin giới thiệu một loại hợp đồng đặc biệt của thị tr−ờng tiền tệ, đó là loại hợp đồng quyền chọn tính theo hai loại tiền khác nhau cùng với tỷ giá hối đoái của hai loại tiền đó, đó là hợp đồng chuyển đổi giá Quanto. - Bài báo này trình bày mô hình hợp đồng chuyển đổi giá Quanto, sản phẩm tài chính buôn bán đ−ợc do tác giả xây dựng; Tính đ−ợc giá của hợp đồng ký kết tr−ớc Quanto, hợp đồng nhị phân (số hoá) và tính đ−ợc giá của quyền chọn mua; Xây dựng các hợp đồng Quanto. Từ đó giúp cho việc tính toán các hợp đồng tài chính bằng hai giá ngoại tệ khác nhau. 2. Kết quả chính Hợp đồng chuyển đổi giá (hay còn gọi là Quanto ) là hợp đồng tài chính trong một quốc gia nh−ng lại đ−ợc tính giá bằng một đồng tiền không phải của quốc gia đó. Thí dụ: 1. Một hợp đồng ký kết tr−ớc quy định sẽ mua cổ phiếu của hEng dầu PB (British Petroleum) của Anh vào thời điểm T theo giá ấn định tr−ớc nh−ng tính bằng tiền đôla Mỹ. 2. Một hợp đồng nhị phân (số hoá) quy định sẽ trả 1 đôla tại thời điểm T nếu lúc đó giá cổ phiếu của PB cao hơn giá thực thi đE thỏa thuận tr−ớc. 3. Một hợp đồng quyền chọn quy định sẽ mua cổ phiếu của PB thấp hơn giá thực thi, tính theo tiền đôla. Trong mỗi tr−ờng hợp, hợp đồng phái sinh ấy phải thực hiện chi trả theo một đồng tiền khác với đồng tiền dùng để định giá tài sản cơ bản ban đầu. Trực quan cho ta thấy: việc trao đổi đồng tiền không phải chỉ là một việc trao đổi ngoại tệ đơn thuần mà còn là một cái gì đó cơ bản hơn nhiều. Giá cổ phiếu của hEng dầu PB tính theo tiền đôla, bản thân nó là một khái niệm có ý nghĩa, nh−ng nó không phải là một chứng khoán buôn bán đ−ợc. Việc chi trả mà chúng ta đề cập tới hàm chứa một đại l−ợng không buôn bán đ−ợc. Giả sử chúng ta có một mô hình đơn giản 2 – nhân tố. Hai quá trình ngẫu nhiên ở đây là giá cổ phiếu và tỷ lệ hối đoái, chi phối bởi hai chuyển động Brown độc lập W1(t) và W2(t). Nhận xét: Giả sử ρ là một hằng số nằm giữa -1 và 1, thì khi đó quá trình W(t) = ρ W1(t) + 21 ρ− W2(t) Cũng là một chuyển động Brown, và ρ chính là hệ số t−ơng quan giữa W(t) và W1(t). Nhận xét đó cho phép ta xây dựng nên hai chuyển động Brown (W và W1) có t−ơng quan với nhau, xuất phát từ hai chuyển động Brown độc lập. Giả sử tồn tại các hằng số sau đây: Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 2(46) Tập 1/Năm 2008 33 . Các hệ số dịch chuyển à và γ . Các độ biến động d−ơng 1σ và 2σ . Hệ số t−ơng quan 11: <<− ρρ Khi đó có thể định nghĩa một mô hình Quanto là nh− sau: * Mô hình hợp đồng chuyển đổi giá Quanto Giá cổ phiếu St tính theo đồng bảng Anh và giá trị Ct của một đồng bảng Anh là các quá trình ngẫu nhiên xác định bởi: St = S0 exp ))(( 11 ttW àρ + Ct = C0 exp ( ))(1 2212 tWtW ρρσ −+ Ngoài ra có một trái phiếu tiền mặt tính theo đôla là Bt = exp (rt), và một trái phiếu tiền mặt tính theo bảng Anh là Dt = exp (ut), với hai lEi suất cố định d−ơng r và u. Tr−ớc khi xem xét các công cụ buôn bán đ−ợc tính theo đôla, hEy l−u ý đến t−ơng quan giữa St và Ct . Nếu viết mô hình trên d−ới dạng véc tơ, thì biến ngẫu nhiên véc tơ (lnSt, lnCt) có phân bố đồng thời là một phân bố chuẩn với véc tơ kỳ vọng là )ln,(ln 00 tCtS υà ++ và ma trận ph−ơng sai là t t t T       =      −             − 2 221 21 2 1 2 22 1 2 22 1 1 0 0 0 1 0 σρσσ ρσσσ ρσρσ σ ρσρσ σ Điều đó có nghĩa là đE đảm bảo một độ biến động cố định 1σ cho St và một độ biến động 2σ cho Ct và hệ số t−ơng quan giữa hai độ biến động ấy là ρ . * Sản phẩm tài chính buôn bán đ−ợc (tradabres) Theo trực quan về vấn đề trao đổi ngoại tệ thì có 3 loại tài sản tài chính buôn bán đ−ợc: . Giá trị tính theo đôla của một trái phiếu tiền mặt bảng Anh (mệnh giá ghi theo bảng Anh): Ct Dt. . Giá trị tính theo đôla của một cổ phiếu có mệnh giá ghi theo bảng Anh: Ct St. . Một đ−ơng kim (numeraire) tính theo đôla, ở đây là một trái phiếu tiền mặt có mệnh giá ghi theo đ−ơng kim mà tính theo đôla là Bt. Ta viết ra giá trị đE triết khấu theo đ−ơng kim của hai tài sản ban đầu: Đó là Yt = Bt -1 Ct Bt và Zt = Bt -1 Ct St. áp dụng công thức Itô nhiều chiều, có các ph−ơng trình vi phân ngẫu nhiên sau:     −+++−+= dtrutdWtdWYdY tt )2 1()(1)( 2222212 συσρρσ [ ] dtrZ tdWtdWZdZ t tt ) 2 1 2 1( )(1)()( 2 221 2 1 22 2 121 −+++++ −++= σσρσσυà σρρσσ Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 2(46) Tập 1/Năm 2008 34 Cần tìm một phép biến đổi độ đo để làm cho Yt và Zt trở thành mác – tin – gan. Muốn vậy phải chọn một véc tơ ( ))(),()( 21 ttt γγγ = sao cho           −++++ −++         −+ − =      r ru t t 2 221 2 1 2 2 2 2 21 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 )( )( σσρσσàυ συ σρρσσ σρρσ γ γ Tức là 1 21 2 1 1 2 1 σ σρσσà γ u−++ = và 2 2 21 2 2 2 1 2 1 ρσ σρσσυ γ − −−++ = ru Véc tơ ( )21 ,γγ là một dạng đại số của phép biến đổi độ đo từ độ đo xác suất mặc định ban đầu P sang độ đo xác suất Q mà với nó Yt và Zt trở thành các mac – tin – gan. D−ới xác suất này các quá trình St và Ct sẽ có dạng       +−+= tutWSS t )2 1()(~exp 2121110 σσρσσ (1)       −−+−+= turtWtWCCt )2 1()(~1)(~exp 22222120 σσρρσ Trong đó 1 ~W và 2 ~W là các chuyển động Brown d−ới độ đo xác suất mới Q ∫ ∫ += += t t dsstWtW dsstWtW 0 222 0 111 )()()(~ ,)()()(~ γ γ Ta thấy trong biểu thức (1) của St, số hạng dịch chuyển lại có thêm một số hạng nữa là 21σρσ− . Với mọi giá trị 21σσ ρ ru −≠ thì số hạng đó ngăn cản việc làm cho giá cổ phiếu triết khấu tính theo đôla trở nên một Q – mác – tin – gan và nh− vậy ngăn việc cổ phiếu tính theo đô la trở nên buôn bán đ−ợc. Đó chính là điều mà trực quan đE mách bảo chúng ta từ tr−ớc. Không có một ph−ơng án đầu t− nào mà giá trị của một khoản đôla Mỹ luôn luôn bằng với giá cổ phiếu của PB. Vì đE có độ đo Q theo đó tài sản buôn bán đ−ợc tính theo đôla là các mác – tin – gan, nên có thể định giá đ−ợc các hợp đồng quyền chọn Quanto. 3. Hợp đồng ký kết tr−ớc Quanto Để định giá một hợp đồng ký kết tr−ớc, cần phải biểu diễn lại giá cổ phiếu tại thời điểm T ) 2 1 exp()exp( 21121 TZTFTST σσσρσ −−= Trong đó F là giá định tr−ớc của ST của cổ phiếu tính theo tiền địa ph−ơng, F = S0 exp (uT) và Z là một biến ngẫu nhiên chuẩn d−ới độ đo xác suất Q. Khi đó giá của hợp đồng ký kết tr−ớc tính theo đôla tại thời điểm 0 là Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 2(46) Tập 1/Năm 2008 35 ( )[ ]kFTrtkSErtV TQ −−−=−−= 210 exp()exp()()exp( σρσ Để cho giá trị này bằng 0 ta phải đặt FTk )exp( 21σρσ−= Tr−ờng hợp đó không giống nh− giá hợp đồng ký kết tr−ớc đơn F tính theo bảng Anh.Vì 1σ và 2σ đều là d−ơng, rõ ràng là giá hợp đồng ký kết tr−ớc Quanto sẽ lớn hơn giá hợp đồng ký kết tr−ớc bình th−ờng nếu và chỉ nếu t−ơng quan giữa giá cổ phiếu và tỷ giá hối đoái là âm. Điều đó rất có ý nghĩa. Giả sử hợp đồng ký kết tr−ớc Quanto có cùng một giá trị với hợp đồng ký kết tr−ớc là F, khi đó có thể xây dựng đ−ợc một ph−ơng án đầu t− tại thời điểm 0 bằng cách: 1. Mua vào [ ]TurC )(exp0 − đơn vị hợp đồng ký kết tr−ớc có giá thực thi là F. 2. Bán ra một đơn vị hợp đồng ký kết tr−ớc đồng bảng Anh bình th−ờng có giá thực thi là F. Nếu giả thiết về “giá định tr−ớc Quanto là F” là đúng thì ph−ơng án này sẽ nh− thế nào? ở thời điểm T, chiến l−ợc đáp ứng tĩnh sẽ sản sinh ra số tiền tính theo đôla là: [ ] [ ]{ } )()(exp)()()(exp 00 FSCTurCFSCFSTurC TTTTT −−−=−−−− Chú ý rằng [ ]TurC )(exp0 − là tỷ giá hối đoái định tr−ớc đối với CT, ta xét tác dụng của mối t−ơng quan âm. Nếu giá cổ phiếu lúc kết thúc cao hơn giá định tr−ớc của nó và tỷ giá hối đoái thấp hơn giá định tr−ớc của nó, thì giá trị của ph−ơng án đầu t− này là d−ơng. Nếu giá cổ phiếu lúc kết thúc thấp hơn F mà tỷ giá hối đoái lại cao hơn giá trị định tr−ớc của nó thì giá trị của ph−ơng án cũng vẫn là d−ơng. Nếu giá trị định tr−ớc Quanto thực sự bằng F thì d−ới những điều kiện trên có thể tạo ra một độ chênh thị giá. Với 0<ρ thì giá định tr−ớc Quanto phải lớn hơn F. 4. Hợp đồng nhị phân (số hoá) Hợp đồng số hoá ( )kST >1 theo đôla, có giá là )()exp(0 kSQrtV T >−= Hoặc nếu viết )exp( 21 TFFQ σρσ−= là giá định tr−ớc Quanto thì             − −= T T k F rtV Q 1 2 2 0 2 1ln )exp( σ σ φ Ta sẽ ngạc nhiên về số hạng )( 12 Tσρσ− . Chắc chắn là biến cố ngẫu nhiên “ST lớn hơn k ” là độc lập với Quyền chọn đ−ợc chi phối bởi đồng bảng Anh hay đồng đô la Mỹ. Thực ra, chính là các chiến l−ợc đáp ứng chứ không phải kỳ vọng theo P, đE định nên giá các Quyền chọn. 5. Quyền chọn mua Cuối cùng có thể tính đ−ợc giá quyền chọn của [ ]+−− )()exp( kSErt TQ bởi                         + −             + −= T T k F k T T k F FrtV QQ Q 1 2 1 1 2 1 0 2 1ln 2 1ln )exp( σ σ φ σ σ φ Điều này không có gì lạ đối với một mô hình lôga chuẩn. Đó chính là công thức Black - Scholes đối với hợp đồng ký kết tr−ớc Quanto
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 2(46) Tập 1/Năm 2008 36 Tóm tắt Toán học tài chính đE ra đời 108 năm nay, đánh dấu bởi một công trình của Louis Bachelier về lý thuyết đầu cơ tài chính. Mục đích của toán tài chính là dùng các công cụ toán học để nghiên cứu về các thị tr−ờng tài chính, giúp đ−a ra các cách định giá các sản phẩm tài chính. Trong bài này tác giả trình bày một loại hợp đồng tiền tệ rất đặc biệt gọi là hợp đồng chuyển đổi giá hay còn gọi theo tên quốc tế là hợp đồng Quanto mà từ đó giúp ta tính đ−ợc các hợp đồng tài chính bằng 2 giá ngoại tệ khác nhau. Summary Mathematical Finance: Quantos in Pricing Market Securities In this paper, we introduced some models of Quanto currency exchange that allow us to calculate the price of a tradable financial product in two different currencies under random pertubations. We constructed models of forward quanto contracts, of digital quanto contracts, and of option quanto contracts. The pricing formulas for these financial products are established as well. Tài liệu tham khảo [1]. Martin Baxter và Andrew Rennie(1996), Toán tài chính: Nhập môn lý thuyết định giá các tài sản phái sinh (Tiếng Anh) Nxb Đại học Cambridge, Anh. [2]. Thomas G.Kurtz(2001) Các bài giảng về giải tích ngẫu nhiên (tiếng Anh), ĐH Wisconsin, Hoa Kỳ. [3]. Espen Gaader Haug (1998) H−ớng dẫn các công thức định giá quyền chọn ( tiếng Anh), Nxb Mc Graw-Hill, New York, Hoa Kỳ. [4]. Nguyễn Văn Tiến ích (2004) Thị tr−ờng chứng khoán, Nxb Thống kê, Hà Nội. [5]. Trần Hùng Thao (2000) Tích phân ngẫu nhiên và ph−ơng trình vi phân ngẫu nhiên, Nxb Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội. [6]. Trần Hùng Thao (2004) Nhập môn toán học tài chính, Nxb Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội [7]. Lê Văn T− (2003) Tỷ giá hối đoái, Nxb Thống kê, Hà Nội.