Hình học tính toán

13.11.2004*Hình Học Tính Toán13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*35.2 Xác định có cặp đoạn thẳng nào cắt nhau khôngBài toán: Cho tập các đoạn thẳng trong mặt phẳng. Xác định có cặp đoạn thẳng nào cắt nhau hay không.Để đơn giản, giả sử:Không có đoạn thẳng nào là thẳng đứngKhông có ba đoạn thẳng nào cắt nhau tại một điểm chung.13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Giải thuật thô sơGiải thuật thô sơ: Kiểm tra xem mỗi cặp đoạn thẳng có cắt nhau hay không. Thời gian chạy là (n2), với n là số các đoạn thẳng.13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Kỹ thuật quétGiải thuật hữu hiệu dùng kỷ thuật quét (sweeping):Dùng một đưòng thẳng thẳng đứng quét từ trái sang phải và xem xét các thay đổi của phần giao của đường thẳng quét với các đoạn thẳng. Đường thẳng quét (sweep line)Đường thẳng quét thẳng đứng, vị trí hiện thời là toạ độ xx13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Thứ tự các đoạn thẳngĐịnh nghĩa một thứ tự hoàn toàn trên các đoạn thẳng cắt bởi đường thẳng quét.Hai đoạn thẳng s1 và s2 không cắt nhau là có thể so sánh được tại x nếu đường thẳng quét tại vị trí x cắt cả hai đoạn thẳng đó.Nếu s1 và s2 là có thể so sánh được tại x và giao điểm của s1 với đường thẳng quét ở cao hơn giao điểm của s2 với cùng đường thẳng quét đó, thì ta nói s1 ở trên s2 , ký hiệu s1 >x s2 .s2s113.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*abcdeghfirtuvzw(a)(b)a >r ca >t bb >t ca >t cb >u cĐoạn thẳng d không so sánh được vớicác đoạn thẳng khác trong hình (a).e >v f nhưng f >w e Mọi đường thẳng quét mà đi qua vùng xám đều có các đoạn thẳng e và f ở liên tiếp nhau trong quan hệ thứ tự của nóThứ tự các đoạn thẳng (tiếp)13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Các cấu trúc dữ liệu trong kỹ thuật quétĐường thẳng quét Khi di chuyển đường thẳng quét, giải thuật trữ và duy trì các thông tin sauTình trạng của đường thẳng quét (sweep-line status): cho biết thứ tự giữa các đối tượng (đoạn thẳng) bị cắt bởi đường thẳng quét với nhauLịch của các biến cố (event-point schedule): dãy các tọa độ x, sắp từ trái sang phải, xác định các vị trí dừng của đường thẳng quét.13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Các thao tác lên sweep-line statusChi tiết giải thuật hữu hiệu dùng kỷ thuật quétĐường thẳng quét Khi di chuyển đường thẳng quét, giải thuật trữ và duy trì các thông tin sauTình trạng của đường thẳng quét (sweep-line status): Các thao tác lên T: INSERT(T, s): chèn đoạn thẳng s vào T DELETE(T, s): xoá đoạn thẳng s khỏi T ABOVE(T, s): trả về đoạn thẳng ở ngay trên s trong T BELOW(T, s): trả về đoạn thẳng ở ngay dưới s trong T.13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Event-point scheduleLịch của các biến cố (event-point schedule): dãy các tọa độ x, sắp từ trái sang phải, xác định các vị trí dừng của đường thẳng quét.Mỗi điểm đầu mút của các đoạn thẳng (của tập input S) là một điểm biến cố (event point), là điểm mà thứ tự T thay đổi.Lịch của các biến cố là tĩnh và được xây dựng bằng cách sắp xếp các điểm đầu mút của các đoạn thẳng theo thứ tự từ trái qua phải.13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Xác định có cặp đoạn thẳng nào cắt nhau khôngANY-SEGMENTS-INTERSECT(S)1 T  2 Sắp các điểm đầu mút của các đoạn thẳng trong S theo thứ tự từ trái sang phải, breaking ties...3 for mổi điểm p trong danh sách sắp xếp của các điểm đầu mút4 do if p là điểm đầu mút bên trái của đoạn thẳng s5 then INSERT(T, s)6 if (ABOVE(T, s) tồn tại và cắt s) hay (BELOW(T, s) tồn tại và cắt s)7 then return TRUE8 if p là điểm đầu mút bên phải của đoạn thẳng s9 then if cả hai ABOVE(T, s) và BELOW(T, s) đều tồn tại và ABOVE(T, s) cắt BELOW(T, s)10 then return TRUE11 DELETE(T, s)12 return FALSE 13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Thực thi ANY-SEGMENTS-INTERSECT abcdefaaaddeebcacddbcbcbbbthời gian13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Breaking tiesNếu khi sắp xếp các điểm đầu mút của các đoạn thẳng trong S từ trái sang phải mà có nhiều điểm có cùng tọa độ x thì breaking ties như sauCác điểm đầu mút bên trái được xếp trước các điểm đầu mút bên phải.abpqp được xếp trước q khi sắp xếp các điểm đầu mútở dòng 2 của ANY-SEGMENTS-INTERSECT13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Tính đúng đắnTheorem 35.1 (Tính đúng đắn) Giải thuật ANY-SEGMENTS-INTERSECT chạy trên tập S trả về TRUE nếu và chỉ nếu có cắt nhau giửa các đoạn thẳng.Chứng minh“”: xem mã ta thấy ANY-SEGMENTS-INTERSECT trả về TRUE chỉ khi nào nó tìm thấy hai đoạn thẳng cắt nhau.“”: Sẽ chứng minh rằng nếu tồn tại hai đoạn thẳng cắt nhau thì ANY-SEGMENTS-INTERSECT trả về TRUE.13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Tính đúng đắn (tiếp)Giả sử tồn tại một giao điểm.Gọi p là giao điểm bên trái nhất, gọi a và b là các đoạn thẳng cắt nhau tại p.Tồn tại đường quét z mà tại đó a và b trở nên liên tiếp nhau trong thứ tự toàn phần.Tồn tại điểm đầu mút q mà là event point để cho a và b trở nên liên tiếp nhau trong thứ tự toàn phần.Có 2 trường hợp: A) giải thuật xử lý q và B) giải thuật không xử lý q.pzab13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Tính đúng đắn (tiếp)A)Trường hợp 1: đoạn thẳng a hay b được chèn vào T, và đoạn thẳng kia ở trên hay dưới nó. Các dòng 4-7 tìm thấy trường hợp này.pppzzqqqpzqpzqzpqz13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Tính đúng đắn (tiếp)Trường hợp 2: các đoạn thẳng a và b đang trong T, và một đoạn thẳng ở giữa chúng được xóa. Các dòng 8-11 tìm thấy trường hợp này.Trong cả hai trường hợp, giải thuật tìm thấy p và trả về TRUE.B)Nếu q không được giải thuật xử lý, thì có nghĩa là giải thuật đã quay về trước khi xử lý xong tất cả các event points. Vậy giải thuật đã tìm thấy một giao điểm và trả về TRUE.pzq13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*Phân tích ANY-SEGMENTS-INTERSECTThời gian chạyGiả sử tập đoạn thẳng S gồm có n đoạn thẳng. Dùng cấu trúc dữ liệu thích hợp (ví dụ: dựa trên cây nhị phân cân bằng) để hiện thực T sao cho các thao tác lên T đều tốn O(lg n) thời gian.Thời gian chạy của giải thuật ANY-SEGMENTS-INTERSECT gồmDòng 1: O(1) thời gianDòng 2: O(n lg n) thời gianVòng lặp for: O(n lg n) thời gianVậy thời gian chạy tổng cộng của giải thuật là O(n lg n).13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*35.4 Tìm bao lồiTự đọc.13.11.2004Chương 35: Hình học tính toán*35.4 Tìm cặp điểm gần nhau nhấtTự đọc.