Hệ thức hình học

HÌNH HỌC I. Bất đẳng thức và cực trị Trong chương trình trung học cơ sở thì những bất đẳng thức chúng ta gặp chỉ xoay quanh các yếu tố của tam giác như ba cạnh , ,a b c , chu vi p , bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ,r R … và các yếu tố độ dài trong một đường tròn. Để nắm bắt rõ điều này, tôi sẽ bổ sung một số hệ thức lượng trong tam giác mà một số hệ thức mà các bạn có thể chưa gặp trong chương trình học cấp 2, tuy nhiên đây là các hệ thức rất cơ bản trên cấp 3 i) Hệ thức về diện tích tam giác ( ) ( )( ) ( )1 1 sin 2 2 4a a abcS ah pr bc A p a r p p a p b p c R = = = = = - = - - - ii) Hệ thức về hàm số sin, cos, trung tuyến, phân giác trong, phân giác ngoài, đường cao ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 2 1 4 2 cos 2 2 1 1 1 1 a a a b c b c bc A a a R A b c am Abc l b c h h h r + - = = + - = = + + + = Trong các hệ thức trên, hầu hết là quen thuộc với các bạn nên tôi sẽ chỉ chứng minh hệ thức (1) và (2). Chứng minh như sau Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác ABC và tam giác ABM với góc B ta có 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 cos 2 2 a a c ac B b ac ac B m ì + - = ï í + - =ïî Trừ hai vế đẳng thức với nhau ta có 2 2 2 2 2 2 4a b c am + -= Đối với hệ thức (2) áp dụng công thức diện tích cho hai tam giác ,ABD ACD ta được 1 sin 2 2 1 sin 2 2 ABD a ACD a AS cl AS bl ì =ïï í ï = ïî Mặt khác ( ) 2 cos1 1 2sin sin 2 2 2ABD ACD a a AbcAS bc A S S l b c l b c = = + = + Þ = + am ah al a b c A C B M D iii) Một số hệ thức đặc biệt khác Với O là điểm bất kì trên mặt phẳng thì ( )2 2 2 2 2 2 23 9OA OB OC OG a b c+ + = + + + với G là trọng tâm tam giác Chứng minh Áp dụng hệ thức trung tuyến cho các tam giác , , ,OAD OGD OBC GBC ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 OA OD OG AD OM GD OG OD OB OC OM BC GM BC GB GC + = + + = + + = + + = + Cộng bốn đẳng thức trên lại vế theo vế ta có 2 2 2 2 2 2 23OA OB OC OG GA GB GC+ + = + + + (*) Mà từ công thức đường trung tuyến ta dễ dàng suy ra 2 2 2 2 2 2 3 a b cGA GB GC + ++ + = Thế vào (*) ta có ( )2 2 2 2 2 2 23 9OA OB OC OG a b c+ + = + + + Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp ta có hệ thức sau 2 2 2 2 2 2 2 2 29 9 9R OG a b c R a b c= + + + Þ ³ + + (**) Trước hết, chúng ta có một bài toán cơ bản là điều kiện tương đương để ba số dương là ba cạnh một tam giác. Điều kiện như sau: , , 0a b c > là ba cạnh tam giác , , 0 : a y z x y z b x z c x y = +ì ïÛ $ > = +í ï = +î Chứng minh Điều kiện cần: Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC , khi đó, , ,x y z là các đoạn được biểu diễn trên hình Điều kiện đủ: Với a y z b x z c x y = +ì ï = +í ï = +î ta dễ dàng chứng minh , , a b c b c a a b c c a b + >ì ï + > Þí ï + >î là ba cạnh tam giác Rõ ràng điều kiện trên là rất đơn giản nhưng lại rất hữu dụng, các bạn sẽ có thể nhìn một bất đẳng thức hình học dưới cái nhìn đại số và không bị ràng buộc bởi cái yếu tố cạnh của tam giác nữa. Ta hãy xét một vài ví dụ · Các bất đẳng thức chỉ chứa yếu tố các cạnh tam giác Cho , ,a b c là ba cạnh tam giác. Chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 [1] 2 [2] 2 [3] 3 1 1 1 1 1 1[4] 2 a b c ab bc ca a b c a b c ab a b bc b c ca c a abc p a p b p c a b c + + < + + + + < + + + + + + + > æ ö+ + ³ + +ç ÷- - - è ø A B C D O M G x x y y z z ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 [5] 2 3[6] 2 [7] 2 [8] 3[9] 2 1[10] 4 1 2 [11] a b c a b c p a p b p c a b c p a p b p c ab bc ca a b c a b c b c a c a b a b c a b c a b c abc a b c abc b c c a c a a b b c c a a b c abc a b c p p a + + ³ + + - - - + + ³ - - - + + ³ + + + - + - + - + - - + - + + £ + + + < + + + + + + + + + < + + = < - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 [12] 2 2 2 0 [13] 0 [14] 0 [15] 1 [16] p b p c p ab a b c bc b c a ca c a b a b c b c a c a b a b a b b c b c c a c a a b c a c b b c a c b a a b b c c a a b b c c + - + - £ + - + + - + + - ³ - + - + - ³ - + - + - ³ + + - - - < - - - + + + + + 1 8a < Các bất đẳng thức trên đây, phần lớn đều có thể giải được bằng cách sử dụng điều kiện tương đương trên, các bạn có thể tự làm, chỉ trừ bất đẳng thức [9] [12] [15] [16], trong các bất đẳng ở trên tôi chỉ giải một vài bất đẳng thức mà tôi thấy khó hơn cả [10] ( )2 2 2 14 1 2 a b c abc a b c+ + + < + + = Bất đẳng thức trên tương đương (sử dụng điều kiện tương đương) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 14 2 x y y z z x x y y z z x+ + + + + + + + + < với 1 2 x y z+ + = Để cho hai vế của bất đẳng thức trên cùng bậc (*) ta nhân thêm các lượng như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 12 4 8 2 0 3 x y z x y y z z x x y y z z x x y z x y z x y z xy yz zx x y x z y x y z z x z y x y z xyz é ù+ + + + + + + + + + + < + +ë û Û + + + + + + + + + + + + + < + + Û < [9] ( ) ( ) ( ) 3 2 a b c abc b c c a c a a b b c c a + + + < + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 0 a a b a c b b c b a c c a c b abc a b b c c a b c a c a b a b c Û + + + + + + + + + < + + + Û + - + - + - > [15] 1 a b c a c b b c a c b a + + - - - < và 1 8 a b b c c a a b b c c a - - - + + < + + + Chú ý rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b b c c aa b c a c b b c a c b a abc a b b c c aa b b c c a a b b c c a a b b c c a - - - + + - - - = - - -- - - + + = + + + + + + ta có đpcm · Các bất đẳng thức có liên quan đến các yếu tố khác ( ), , , , , ...m l h R r S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 1 1 1 1 1 1 3 2 4 2 3 2 3 , , 0 5 9 a b c a b c a b c a b c a r r r h h h r l l l h h h R r a b c am p q ra b c S p q r q r r p p q R a b c + + ³ + + ³ + + > + + ³ + + ³ + + ³ > + + + ³ + + Độ mạnh của bất đẳng thức Tại sao chúng ta phải nhắc đến điều này, thực ra có quá nhiều bất đẳng thức mà tôi không thể liệt kê ra hết được nhưng chúng ta không cần biết hết mà chỉ cần nhớ những bất đẳng thức mạnh mà thôi, vậy thì một bất đẳng thức A gọi là mạnh hơn bất đẳng thức B khi nào, khi từ A có thể suy ra B. Chẳng hạn như trong một dãy những bất đẳng thức liên quan đến ba cạnh , ,a b c và diện tích S thì bất đẳng thức 2 2 2 29R a b c³ + + là rất mạnh, thật vậy, ta có ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 39 9 16 4 abc abcR a b c a b c S S a b c ³ + + Û ³ + + Û ³ + + (*) Ta hãy so sánh (*) với các bất đẳng thức sau ( ) ( ) 2 2 2 2 3 12 4 3 3 a b c S a b c S + + ³ + + ³ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 1 4 3 abc S ab bc ca a b c S a p b p c b p c p a c p a p b p R ³ + + - - - ³ - - + - - + - - £ Đối với ba bất đẳng thức đầu, dễ thấy vế trái của chúng lớn hơn vế trái của (*) nên (*) mạnh hơn ba bất đẳng thức đó. Ta cũng có thể dùng (*) để chứng minh bất đẳng thức cuối. Việc xét xem giữa (*) và (1) bất đẳng thức nào mạnh hơn là một điều khó khăn nhưng ta có thể chứng minh (1) khá ngắn gọn bằng cách sử dụng điều kiện tương đương. Khi đó ( ) ( )1 4 4 3xy yz zx SÛ + + ³ ( ) ( )2 3xy yz zx xyz x y zÛ + + ³ + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 0 x y y z z x xyz x y z x y z y z x z x y Û + + ³ + + Û - + - + - ³ Bất đẳng thức (2) quá quen thuộc, ta sẽ không chứng minh, còn với (3) và (4) thì chỉ cần áp dụng công thức tính ,a am l ta sẽ thu được kết quả. Bất đẳng thức 2R r³ là một bất đẳng thức quan trọng và chắc các bạn cũng biết đến lời giải hình học của nó, nhưng tôi sẽ đưa ra một chứng minh khác chỉ bằng các hệ thức lượng và các bất đẳng thức đã nêu ( ) 242 4 16 a b c abcabc SR r S S a b c + + ³ Û ³ Û ³ + + Chứng minh vế trái của bất đẳng thức trên lớn hơn bình phương vế trái của (*) là đơn giản, từ đó ta chứng minh được 2R r³ Xét bất đẳng thức (5) Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacopxki ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 2 2 a b c q r r p p q a b c q r r p p q a b c p q r a b c q r r p p q p q ra b c a b c a b c q r r p p q æ ö + + + + + + + ³ + +ç ÷+ + +è ø æ ö Þ + + + + ³ + +ç ÷+ + +è ø é ù+ + ³ + + - + +ë û+ + + Ta cần chứng minh tiếp vế phải lớn hơn 2 3S , chính là bất đẳng thức (1) · Các bất đẳng thức hình học thuần túy Trong phần này tôi sẽ trình bày những bất đẳng thức hình học “thuần túy” theo nghĩa là khi chứng minh chúng ta hầu như chỉ cần những kiến thức đơn giản nhất về hình học mà không phải dùng đến những thứ “cao siêu” như phương tích, hệ thức lượng… [1] Cho đường tròn bán kính 1 và n điểm 1 2, ,..., nA A A không cùng nằm trên một đường thẳng. Khi đó trên đường tròn có thể chọn được điểm M để 1 2 ... nMA MA MA n+ + + ³ [2] Nếu một đa giác lồi nằm bên trong một đa giác lồi khác thì chu vi đa giác lồi bên ngoài không nhỏ hơn chu vi của đa giác trong. [3] Trong một tam giác không cân, đường phân giác al luôn nằm giữa đường cao ah và đường trung tuyến am [4] Nếu qua trọng tâm G của tam giác ABC vẽ đường thẳng cắt các cạnh của tam giác tại ,M N thì ta có bất đẳng thức 2OM ON³ [5] Cho tam giác ABC có cạnh a b c> > và một điểm O nằm trong tam giác. , ,P Q R lần lượt là giao điểm các đường thẳng , ,AO BO CO với ba cạnh tam giác. Ta có OP OQ OR a+ + < [6] Nếu M là điểm nằm trên đường phân giác ngoài của góc C trong tam giác ( ) ABC M Cº thì MA MB CA CB+ > + [7] Nếu một tam giác nhọn đặt được vào trong một đường tròn thì bán kính đường tròn đó không nhỏ hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác [8] Nếu các đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên các cạnh khác nhau của hình vuông cạnh 1 thì chu vi của nó không nhỏ hơn 2 2 · Cực trị hình học [1] Trong tất cả các tam giác có cạnh a và đường cao ah cho trước, tìm tam giác có góc A nhỏ nhất [2] Trong tất cả các tam giác có các cạnh ,AB AC có độ dài cho trước, tìm tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất [3] Tìm bên trong ABC một điểm O sao cho tổng bình phương khoảng cách từ điểm đó đến các cạnh của tam giác là nhỏ nhất [4] Cho góc XAY và một điểm O nằm trong góc đó. Hãy kẻ qua một đường thẳng cắt ra từ góc đó một tam giác có diện tích lớn nhất [5] Bên trong góc nhọn BAC cho một điểm M . Tìm trên các cạnh ,AB AC các điểm ,X Y sao cho chu vi tam giác XYM là nhỏ nhất [6] Từ điểm M trong tam giác ABC cho trước hạ các đường vuông góc 1 1 1, ,MA MB MC xuống các đường thẳng , ,BC CA AB . Với vị trí nào của M trong ABC đại lượng 1 1 1 a b c MA MB MC + + có giá trị nhỏ nhất [7] Cho tam giác đều ABC cạnh 10 và M là điểm thỏa mãn 9MB MC+ = . Tìm max MA II. Các bài toán “kinh điển” và bài tập Bài toán con bướm Qua trung điểm M của dây PQ của một đường tròn , vẽ hai dây cung AB và CD. Dây AB và CD cắt PQ tại X và Y. Khi đó M là trung điểm của XY Chứng minh Cách 1. Từ O , vẽ ,OU OV vuông góc AD và BC . Ta có ,OXUM OMYV nội tiếp. Ta cần có MX MY MOX MOY= Û = Do ,OXUM OMYV nội tiếp nên , MOX AUM MOY MVC= = Vậy ta cần chứng minh AUM CVM= . Ta có ~ ~ ADM CBM AUM CVMÞ AUM CVMÞ = Þ đpcm Cách 2. Hạ các đoạn vuông góc từ ,X Y xuống các đoạn như trên hình. Ta cần chứng minh x y= . Đặt MP MQ a= = . Từ các cặp tam giác đồng dạng 1Mx và 1My , 2Mx và 2My , 1Ax và 2Cy , 2Dx và 1By ta có 1 2 1 2 1 2 2 1 , , , x x x xx x AX XD y y y y y CY y YB = = = = ( )( ) ( )( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 . . 1 . . a x a xx xx AX XD PX XQ a x x y y y y CY YB PY YQ a y a y a y - + - Þ = = = = = = Þ = + - - (đpcm) O Y A P X Q D C B M V U O Y A P X Q D C B M x 2x y 1x 1y 2y Mở rộng - M không chỉ là trung điểm của XY mà còn là trung điểm của RS với ,R S là giao điểm của ,AC BD với PQ . Chứng minh Ta vẽ hai đường vuông góc xuống hai cạnh ,AC BD và giải hoàn toàn tương tự như cách 1. - Với M là giao điểm của AB và CD . , X CD Y ABÎ Î là hai điểm thỏa OX OY= . { }, ,XY AD BC P QÇ = . Khi đó ,XY PQ có cùng trung điểm. Khi cho { }, ,AC BD PQ R SÇ = , ta cũng có trung điểm XY là trung điểm RS Lưu ý. Khi cho X Y Mº º ta có bài toán con bướm ban đầu Chứng minh Cách chứng minh khá giống cách 2 tuy nhiên vẫn khá phức tạp, xin dành cho bạn đọc suy nghĩ Điểm Torricelli Cho tam giác ABC có các góc không lớn hơn 0120 . Tìm điểm M trong tam giác sao cho S MA MB MC= + + đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải Dựng hai tam đều ,AME ACD như hình. Khi đó ta có ~ AMC AED MA MB MCÞ + + MB ME ED= + + MA MB MC BDÞ + + ³ Đẳng thức xảy ra 0120AMB BMC CMAÛ = = = Điểm M thoả hệ thức trên được gọi là điểm Torricelli Lưu ý Khi tam giác ABC có một góc chẳng hạn 0120A > , ta có S sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M Aº . Thật vậy do 0120A > nên A nằm trong BMED MA MB MC BM ME ED BA AD BA ACÞ + + = + + > + = + Đẳng thức xảy ra M AÛ º O Y A P X Q D C B M S F E R O Y A P C Q D . B M X A B C M E D A B D E C M Đường thẳng Euler Cho tam giác ABC với trực tâm H , trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O . Khi đó ta có , ,H G O thẳng hàng và 2HG GO= và G nằm giữa ,H O Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác và ', ', 'A B C lần lượt là trung điểm , ,BC CA AB . Ta có ' ' ' ~A B C ABC với tỉ số ½. H là trực tâm ABC , O là trực tâm ' ' 'A B C . Do tỉ số đồng dạng là ½ nên 2 'AH OA= . Do , ' // ' 'AH OA BC AH OA HAG OA G^ Þ Þ = . Từ đó ta suy ra ~ ' ' , ,HAG OA G HGA OGA H G OÞ = Þ thẳng hàng và G nằm giữa H và O , 2HG GO= . Bài tập [1] Tương tự như cách giải trên, hãy vẽ hình và giải bài toán trong trường hợp tam giác ABC là tam giác tù [2] Chứng minh rằng 2 2 ' 2 b c DA a - = Đường tròn chín điểm Euler Với ABC . Khi đó ba chân đường cao, các trung điểm ba đoạn nối trực tâm và ba đỉnh, trung điểm ba cạnh nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn Euler, bán kính ½ R Lời giải Gọi ,O H là tâm ngoại tiếp, trực tâm; , ,K L M lần lượt là trung điểm , ,HA HB HC ; ', ', 'A B C lần lượt là trung điểm , ,BC CA AB Dễ thấy 0' ' ' ' ' ' 90KC A KLA KB A KMA= = = = Suy ra ', ', ', , ,A B C K L M cùng thuộc đường tròn đường kính 'KA là ( )C . { }'KA OH NÇ = . Dễ thấy N là trung điểm 'KA . Tương tự ta cũng có N là trung điểm ( )', 'LB MC CÞ là đường tròn đường kính ', ', 'KA LB MC Ta có , ,D E F lần lượt nằm trên đường tròn đường kính ', ', 'KA LB MC . Þ ', ', ', , , , , ,A B C K L M D E F đồng viên Bài tập [1] Trong đường tròn Euler, các điểm , ,K L M chia đôi các cung , ,EF FD DE [2] Đường tròn ngoại tiếp ABC là đường tròn Euler của a b cI I I [3] Đường tròn Euler cắt các cạnh của tam giác bằng các góc , ,B C C A A B- - - A C D H . 'C E G O B 'A 'B . . A C D H 'C E O B 'A 'B N L M K F . . . Hệ thức Euler Cho tam giác ABC . ,O I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Khi đó ta có hệ thức 2 2 2OI R Rr= - Lời giải Phân giác trong góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tại L , là trung điểm BC không chứa A . LM là đường kính vuông góc với BC . Để ý rằng , BML BAL LBC LACa b= = = = Do là góc ngoài ABI tại I nên BIL LBIa b= + = LBI cân: LI LB= . Vì vậy 2 2 2 2 /. . . / sin . 2 2 sin LB LMR OI LI IA LB IA LM IY IY IA LM IY LM IY Rr OI R Rra a - = = = = = = Þ = - Từ hệ thức trên ta rút ra 2R r³ Đường thẳng Simson (tìm ra năm 1797 bởi William Wallace) Ba chân đường cao từ một điểm đến các cạnh tam giác nằm thẳng hàng khi và chỉ khi điểm đó nằm trên đường tròn ngoại tiếp Lời giải Từ P bất kì, vẽ ba đường cao xuống ba cạnh tam giác là 1 1 1, ,A B C . Khi đó ta có 1 1 1 1,PC AB PB A C nội tiếp. Suy ra 0 0 1 1 1 1 1 1 190 , 90AB C APC C AP CB A CPA PCB= = - = = - i) ( )P OÎ Þ 1C AP PCB= Þ 1 1 1 1AB C CB A= 1 1 1, ,A B CÞ thẳng hàng ii) 1 1 1, ,A B C thẳng hàng 1 1 1 1 1AB C CB A C AP PCB ABCPÞ = Þ = Þ nội tiếp ( )P OÞ Î Mở rộng [1] Phép vị tự tâm P tỉ số 2 biến đường thẳng Simson thành một đường thẳng mới đi qua trực tâm tam giác. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng Steiner Chứng minh Ta cần chứng minh 0180MHN = Thật vậy, từ APCB nội tiếp và ,P M đối xứng nhau qua đường thẳng AB ACB APB AMBÞ = = . Do H là trực tâm nên 0 0180 180AHB ACB AHB AMB+ = Þ + = MAHBÞ nội tiếp MHA ABM ABPÞ = = Tương tự BHCN nội tiếp NHC MBC PBCÞ = = Vậy ta có 0180MHA NHC ABP CBP ABC AHC+ = + = = - 0180MHA NHC AHCÞ + + = Þ đpcm A B I C L M Y O a a a a b b A B C P 1A 1B 1C A B C P M N H [2] 1PA cắt đường tròn lần nữa tại U . Khi đó ta có 1 1 1//AU A B C [3] Góc giữa đường thẳng Simson của , 'P P bằng một nửa số đo cung 'PP [4] Đường thẳng Simson của một điểm (nằm trên đường tròn) chia đôi đoạn nối điểm đó và trực tâm tam giác [5] Hai đường thẳng Simson của hai điểm đối tâm cùng thuộc ( )ABC vuông góc với nhau và giao điểm của chúng nằm trên đường tròn Euler Định lý Ptolemy Cho tứ giác lồi ABCD . Khi đó ta có bất đẳng thức . . .AB CD AD BC AC BD+ ³ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCD nội tiếp Chứng minh Dựng trên AD tam giác ADM đồng dạng với ACB . .AD BC AC DMÞ = (1) Từ ~ AD AMADM ACB AC AB Þ = Kết hợp với ADC MAB= ta có ~DAC MAB . .AB CD AC BMÞ = (2) Từ (1) và (2) ta có ( ). . .AB CD AD BC AC DM BM AC BD+ = + ³ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M BD ABCDÎ Û nội tiếp Bài tập [1] Cho P là điểm nằm trên cung CD của đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD ta có ( ) ( )PA PA PC PB PB PD+ = + [2] Nếu một đường tròn cắt hai cạnh và một đường chéo của một hình bình hành ABCD tại các điểm , ,P Q R như trên hình. Khi đó . . .AP AB AR AD AQ AC+ = Định lý Ceva (năm 1678) Nếu ba cát tuyến , ,AX BY CZ với , , , ,X Y Z BC CA ABÎ . Ta có , ,AX BY CZ đồng qui 1XB YC ZA XC YA ZB Û = Định lý Menelaus (khoảng năm 100 sau công nguyên) Nếu ba điểm , ,X Y Z trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC . Ta có , ,X Y Z thẳng hàng 1XB YC ZA XC YA ZB Û = A B C P 1A 1B 1C U A B C U 'U P 'P O A C B D M A B C D P Q R Định lý Stewart (đề xuất năm 1746, nhưng thực chất đã được tìm ra năm 300 trước công nguyên bởi Archimedes) Cho tam giác ABC và một cát tuyến như hình Nếu độ dài cát tuyến là d , ta có hệ thức ( )2 2 2a p mn b m c n+ = + Gợi ý Sử dụng định lý hàm cos cho hai tam giác XAB và XAC tại góc X Bài toán Fagnano (đề xuất năm 1775) Cho tam giác ABC nhọn và tam giác XYZ nội tiếp ABC ( ), , , ,X Y Z BC CA ABÎ . Khi đó chu vi tam giác XYZ đạt giá trị nhỏ nhất khi , ,X Y Z là chân ba đường cao Chứng minh Bài toán này có nhiều cách chứng minh nhưng tôi nghĩ hay nhất vẫn là cách chứng minh của nhà toán học H. A. Schwarz. Sau đây, tôi sẽ trình bày với các bạn chứng minh đó Dựng các tam giác bằng nhau và kề nhau như hình. Tam giác có ba cạnh là , ,a b c là tam giác có đỉnh là chân các đuờng cao. Dễ dàng nhận thấy các cạnh của chúng qua các phép đối xứng sẽ tạo thành đoạn 'PP . Còn các cạnh của tam giác nội tiếp bất kì , ,u v w sẽ tạo thành đường gấp khúc ... 'Q Q . Dễ thấy ' 'PQQ P là hình bình hành nên ... ' 'Q Q PP³ suy ra chu vi một tam giác bất kì nội tiếp ABC đạt giá trị nhỏ nhất khi ba đỉnh của tam giác đó là chân ba đường cao của ABC . Định lý Morley Đây là một trong những định lý về hình học sơ cấp đẹp nhất được tìm ra năm 1904 bới Frank Morley. Ông giới thiệu nó cho những người bạn của mình ở Cambridge, Anh và công bố nó 20 năm sau tại Nhật Bản. Chứng minh của định lý này tương đối khó đối với các bạn học sinh cấp 2, vì vậy tôi chỉ nêu ra định lý để các bạn cảm nhận được phần nào vẻ đẹp của nó Cho tam giác ABC . Các đường chia ba góc của các góc , ,A B C cắt nhau và các giao điểm tạo thành một tam giác đều m p n c b B X C A . . . X Y Z P 'Q Q 'P a A A B B B C C b c c b a c b u v w A w v u w v Các bài toán cực trị về diện tích và chu vi đa giác nội tiếp đường tròn [1] Cho tam giác ABC thay đổi nội tiếp ( )O cố định. Khi đó tam giác đều là tam giác có diện tích và chu vi lớn nhất Chứng minh Xét cạnh BC chia ( )O thành hai phần, một phần chứa và một phần không chứa O . Nếu A nằm ở phần chứa O thì tam giác ABC đạt diện tích và chu vi lớn nhất khi A Mº , nếu A thuộc phần còn lại thì 'A Mº . Lại có tam giác MAB có diện tích và chu vi không nhỏ hơn tam giác 'M AB . Vậy để tìm tam giác có chu vi hay diện tích lớn nhất ta chỉ xét các tam giác cân tại A chứa O trong nó. Gọi khoảng cách từ O đến BC là x . Ta có 2 2 22 , 2 2BC R x BM R Rx= - = + . Từ đó ( )2 2 2 2 2, 2 2 2 2S R x R x P R Rx R x= - + = + + - i) Theo bất đẳng thức Cauchy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )346 3 4 3R R x R x R x R x R x R x= - + + + + + + ³ - + ( )( ) ( )22 2 2 2 2 243 2 3 9 4 3 4 3R R x R x R R x R x SÞ ³ - + Þ ³ - + = 23 4 S RÞ £ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 Rx ABC= Û đều ii) ( ) ( ) 22 2 2 4 2 2 P P R RR x R R x R x R x æ ö = + + - Þ = + + + -ç ÷ç ÷ è ø Áp dụng bất đẳng thức ( ) ( )2 2 2 23 , , 0a b c a b c a b c+ + £ + + " > ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 23 273 2 2 3 6 4 2 2 P R x R x R x R x R P R£ + - £ + + - = Þ £ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 Rx ABC= Û đều Kết luận. Trong các tam giác nội tiếp đường tròn cho trước thì tam giác có chu vi và có diện tích lớn nhất là tam giác đều [2] Cho tứ giác ABCD thay đổi nội tiếp ( )O cố định. Khi đó, hình vuông là hình có chu vi và có diện tích lớn nhất Chứng minh i) Xét tứ giác lồi ABCD bất kì và hình vuông MNPQ cũng nội tiếp ( )O sao cho ,MP AC P M^ Þ là trung điểm AC . Dễ thấy ( ) ( ) AB BC PA PC p ABCD p APCM DA DC MA MC + £ + ü Þ £ý+ £ + þ ( ) ( ) CP CM NP NM p APCM p MNPQ AP AM QP QM + £ + ü Þ £ý+ £ + þ ( ) ( )p ABCD p MNPQÞ £ O M R B C x 'M A B D C M N P Q ii) Xét tứ giác lồi bất kì. Đường chéo AC chia tứ giác ABCD thành hai tam giác nhỏ hơn ABCD ABC ACD APC ACM APCM PCM PMA PNM PMQ MNPQS S S S S S S S S S S= + £ + = = + £ + = (đpcm) Mở rộng. Ta có bài toán tổng quát, với n giác thay đổi nội tiếp ( )O cố định. Khi đó, n giác đều là đa giác có diện tích và có chu vi lớn nhất. Tuy nhiên, cách giải vượt quá chương trình cấp 2 nên tôi không đề cập ở đây III. Quĩ tích Tập hợp các điểm (còn được gọi là quĩ tích) có tính chất cho trước là một hình gồm tất cả những điểm thoả mãn tính chất đó. Lời giải một bài toán tìm tập hợp điểm gồm có hai phần - Chứng minh rằng những điểm có tính chất đã cho thuộc hình H (hình này là kết quả của bài toán) - Chứng minh rằng tất cả những điểm của hình H đều có tính chất đã cho Tập hợp những điểm thoả mãn hai tính chất là giao điểm của hai hình, tập hợp các điểm có tính chất thứ nhất và tập hợp các điểm có tính chất thứ hai Đối với một bài toán dựng hình thì sự tỉ mỉ, cẩn thận là rất cần thiết, vì vậy, điều đầu tiên bạn làm khi gặp một bài toán dựng hình là phải xét hết tất cả các trường hợp có thể xảy ra, khi tìm ra hình chứa các điểm cần tìm phải xét đến giới hạn của chúng Các quĩ tích mà trong chương trình cấp 2 các bạn được học chủ yếu là đường thẳng hay đoạn thẳng, tia, đường tròn hay cung tròn. Vì vậy, ta có một cách đoán trước quĩ tích khá hữu hiệu như sau, hãy vẽ ra ba điểm thoả mãn tính chất bài toán yêu cầu riêng biệt với nhau và thật chính xác. Nếu ba điểm đó thẳng hàng thì dứt khoát quĩ tích phải là đường thẳng, đoạn thẳng hoặc tia. Nếu chúng không thẳng hàng thì quĩ tích phải là đường tròn hoặc cung tròn. Từ đó, bạn đã có được một định hướng tương đối tốt cho lời giải của bài toán Sau đây là những bài tập cho các bạn, tất cả đều là những bài mà tôi cho là cơ bản, hoặc hay và lạ nên bài nào bạn cũng nên suy nghĩ thử ít nhất là một lần, không nhất thiết là bạn phải làm cho ra, chỉ cần là bạn đã bỏ thời gian để suy nghĩ về nó [1] Quĩ tích những điểm có tỉ số khoảng cách đến hai đường thẳng cho trước là 0k > [2] *Trên mặt phẳng cho hai điểm ,A B cố định. Quĩ tích những điểm M thỏa mãn hệ thức : 0MA MB k= > Với 1k ¹ , quĩ tích là một đường tròn và được gọi là đường tròn Apolonius Với 1k = , quĩ tích là một đường thẳng [3] Quĩ tích những điểm X thỏa mãn bất đẳng thức XA XB XC£ £ [4] *Cho điểm O cố định và hình H , điểm M di động trên hình H , tìm quĩ tích những điểm N nằm giữa ,O M và chia đoạn OM theo tỉ số ( ): , 0a b a b > [5] Cho A Bº cố định. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn 2 2 0MA MB k+ = > Gợi ý: Sử dụng công thức đường phân giác [6] Cho A Bº cố định. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn 2 2MA MB k- = [7] *Cho hai đường tròn ( ) ( ), 'O O phân biệt. Quĩ tích những điểm có phương tích (*) đến hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng và được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn Định nghĩa phương tích Phương tích của một điểm đến một đường tròn