Hệ phương trình mũ và lôgarit

www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 1 HÖ ph−¬ng tr×nh mò vµ l«garit A. Ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng. Ph−¬ng ph¸p: B−íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa. B−íc 2: Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®Ó nhËn ®−îc mét ph−¬ng tr×nh mét Èn. B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn nhËn ®−îc tõ hÖ. B−íc 4: KÕt luËn. Bµi tËp: Gi¶i c¸c hÖ sau: 1. Bµi 1. )1( 1)1( 2 22    =+ =+ ++xxy yx Gi¶i. §iÒu kiÖn y > −1.    = = ⇔    = =+ ⇔                 =++ >+ =+ =+ ⇔ 0 2 0 2 02 01 11 2 )1( 2 y x y yx xx y y yx 2. Bµi 2.     = = ⇔>     = = − −−+−+ −− )2( )0,:( 1 2 )1()(2 2 22 xy xxyx yx yx xxxxyxyx K§    −= = ⇔     =+ = ⇔     −−=+ = ⇔ −− )(1 1 033 1 )(2 1 )1( 322 lo¹ix x x x xxxx x Thay x = 1 vµo (2) ta cã cÆp nghiÖm (1,1). 3. Bµi 3.     −= =+− ⇔     −= =+ ⇔     =+ =+ − xyxyyx xxxxyx 1 022.32 1 322 1 322 21 www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 2       −=     = = ⇔ xy x x 1 22 12           = =    = = ⇔ 0 1 1 0 y x y x 4. Bµi 4.     =+ =+ −− 1 1)44(2 22 yx yx 5. Bµi 5. )1( 12 99     = = −+ yx yx yxyx §iÒu kiÖn: x, y > 0.     = = ⇔     = = ⇔ − −−+ − −+ −− )3( )2()1( 2 )9(29 2 99 22 xy xx xy yx xxxxyxyx    = = ⇔     −−=+ = ⇔ −− 3/1 1 )9(29 1 )2( 22 x x xxxx x . Thay vµo (3) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1,1); (1/3,9). 6. Bµi 6.    +=+ +=+ ⇔     = = ⇔     = = 3log213log. 3log23log 18log)2.3(log 12log)3.2(log 182.3 123.2 22 22 22 22 yx yx yx yx yx yx Gi¶i hÖ trªn b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc ta cã cÆp nghiªm: (2,1). 7. Bµi 7 (HVNH 99).     +−= += ⇔     −= =− ⇔     =− = ⇔     =− =+ + 312 312 222 2)22(2 222 22 222 1 y x xy xx yx yx yx yx     +−= += ⇔ )31(log )31(log 2 2 y x www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 3 8. Bµi 8 (§HSP II 98).     +=++ =+ +−+ )2(113 )1(2.322 2 3213 xxyx xyyx         −= −≥ = ⇔    =−+ −≥ ⇔     +=++ ≥+ ⇔ xy x x yxx x xxyx x 31 1 0 0)13( 1 113 01 )2( 2 Víi x = 0 thay vµo (1) ta cã cÆp nghiÖm: ) 11 8log,0( 2 Víi    −= −≥ xy x 31 1 , thay vµo (1) ta cã: 31)31(3113 2.322 +−−−+ =+ xxx Gi¶i ra ta ®−îc cÆp nghiÖm: ))83(log2,1)83([log 3 1( 22 +−−+ 9. Bµi 9 (§HKTQD 99).      = = − − + )2( )1( 13 ) 3 (54 yx yx xy xy §iÒu kiÖn: x, y > 0. Tõ (2) ta cã: y = x− 3, thÕ vµo (1) ta ®−îc:    = = ⇔     −−=+ = ⇔= −− −− + − − 2 1 ) 3 (154 1 33 ) 3 (154 3 3 x x x xxx x xx x x xx Thay vµo (2) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1, 1) vµ (2, 1/8). 10. Bµi 10 (§HQG 95).     =+ +−=− )2(2 )1()2)((22 22 yx xyyxyx Th¸y (2) vµo (1) ta ®−îc: 333322 2222))((22 yxyxxyyxyx yxyxyx −=−⇔−=−⇔++−=− Nh©n xÐt: x = y tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh trªn. NÕu x > y cã: 33 22 yx yx +>+ www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 4 NÕu x < y cã: 33 22 yx yx +<+ Nh− vËy, tõ ph−¬ng tr×nh trªn ta cã x = y. Thay vµo (2) ta cã    −== == 1 1 yx yx 11. Bµi 11.     = =+ ⇔     = =+ ⇔     =+ =+ 4 17 2).(log 17 2loglog 17 22 2 22 22 22 xy yx yx yx yx yx Gi¶i ra ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm (1, 4); (4, 1). 12. Bµi 12. )1( loglog2 42      = = x y x yx y §iÒu kiÖn: x > 0, 0 < y ≠ 1.      =− = ⇔      =− = ⇔ y y yy yx y x yx yx 2 2 22 22 2 2 22 4 2 2 2 log log2loglog2 log2log log logloglog loglog )1(           = =    = = ⇔         = = = ⇔     =− = ⇔ 4 16 1 1 4 1 log2log 0log2log log2log 22 2 2 2 22 y x y x y y yx yy yx 13. Bµi 13. )1( 1)2(log)2(log 24 22 22     =−−+ =− yxyx yx §iÒu kiÖn: 2x+y > 0, 2x − y > 0.    =−−+ =−++ ⇔ 1)2(log)2(log 1)2(log)2(log)1( 22 22 yxyx yxyx    = = ⇔    =− =+ ⇔    =− =+ ⇔ 2/1 4/3 12 22 0)2(log.2 2)2(log.2 2 2 y x yx yx yx yx www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 5 14. Bµi 14 (§HM§C 99). )1( 1log)4224(log)1(log )3(log1)2(log)(log 4 2 44 44 22 4      −=+−+−+ +=+−+ y x xyyxy yxxyx §iÒu kiÖn: (*) 0 04224 01 03 0 2          > >+−+ >+ >+ > y xyy xy yx x        = +−+ + += + ⇔        = +−+ + += + ⇔ y x xyy xy yx x yx y x xyy xy yx x yx 44224 1 3 2 )(4 4 log 4224 1log )3(log 2 )(4log )1( 2 22 424 4 22 4         = = = ⇔         = = = ⇔    =−− =−− ⇔     =−+− =+− ⇔ 1 2 2 2 0)2)(( 0)2)(( 0442 023 2 22 y x yx x yx yx xyx yxyx xyxyx yxyx KiÓm tra l¹i ®iÒu kiÖn (*) ta cã nghiÖm:         = = ∈= 1 2 y x Ryx 15. Bµi 15 (§HQG Khèi −D 95). )1( )(log1)(log 324 33      +−=− = + yxyx x y y x §iÒu kiÖn:      ≠ >+ >− 0 0 0 xy yx yx www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 6     =− =−− ⇔      =− =+ ⇔      =− =+ ⇔ 3 0)2)(2( 3 5)(2 1)(log 5)(2 )1( 22 2222 3 yx xyyx yx x y y x yx x y y x (*))( 1 2 33 2 33 2 2 2 do y x y xy y yx    = = ⇔            =− =     = = ⇔ nghiÖm)(V« 16. Bµi 16 (§HBK 94). )1( 813).122( 3log 2 3     =+− =+ yyy yx x §iÒu kiÖn: y > 0.     =−+ +−= ⇔     =+− +−= ⇔ − 012 3log 81.27).122( 3log )1( 2 3 12 3 yy yx yyyy yx    = = ⇔         <−= = +−= ⇔ 3 2 )(04 3 3log3 y x y y yx lo¹i 17. Bµi 17 (§HTL 2000). )1( 3 2loglog2log. 2 3loglog3log. 333 222       +=+ +=+ y yxx xyyx §iÒu kiÖn: x, y > 0.     = = ⇔     = = ⇔       = = ⇔ −− xyyx yx xy yx yx yx xy xy xy y x xy 23 2.33.2 2.33.2 2.33.2 3. 3 22. 2. 2 33. )1( www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 7    = = ⇔      = =      ⇔     = = ⇔ − 1 1 2 3 2 3 16 2.33.2 y x yx xy x yx yx 18. Bµi 18 (§HTCKT 2000). )1( 1loglog 4 44 loglog 88     =− =+ yx yx xy §iÒu kiÖn: x, y > 0.     = =+ ⇔      = =+ ⇔ yx yx y x yx xy xy 4 4 1log 4 )1( 88 88 loglog 4 loglog     = = ⇔     = = ⇔     = = ⇔ −23 3 2 log 2 2 4 2loglog 3 1 4 28 y x yx x yx x x x ( do x = 1 kh«ng lµ nghiÖm) 19. Bµi 19.       − − = − − = ⇔        −= = − ⇔       −= = ⇔        −= + = − 5 )1(2 1 3 1 52 3 1 52 3 33 42 3 9 3 9 2112 x x x x x xy y x x y y x x x y x x y y x x yx y x x y x x 20. Bµi 20 (§HXD 94). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:    =+ −= ⇔    =+ −= ⇔    =+ −= ⇔    =+ =+ −− )2(1222 )1(2 122 2 122 2 142 2 2 xaxxaxyxyx xayxayxayayx §Æt xt 2= , t > 0 thay vµo (2) ta cã: 022 =+− att (3) a2.41∆ −= . NÕu 202.410∆ −>⇔<−⇔< aa : Ph−¬ng tr×nh(3) v« nghiªm ⇔ hÖ v« nghiÖm. www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 8 NÕu 202.410∆ −=⇔=−⇔= aa : Ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm t = 1/2, suy ra x = −1, y= −1/2. NÕu 202.410∆ −>⇔>−⇔> aa : Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm:        −+ = −− = ⇔        −+ = −− = ⇒        −+ = −− = 2 2.411log 2 2.411log 2 2.4112 2 2.4112 2 2.411 2 2.411 2 2 a a a x a x a a x x t t Thay vµo (1) ta tÝnh ®−îc y. 21. Bµi 21 (§HM§C 2000). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:     = −−= ⇔     = =++ −−−−−−+−+ 22 1))1(1(2 22 1 24.2 1 axaxxaxxyyxa xayayx     −=−−−−−+ −−= ⇔ )2(21))1(1(2 )1(1 axaxxax xay 22. Bµi 22 (§Ò 135). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: )1( 0 0loglog 2 1 23 3 2 3      =−+ =− myyx yx a) Gi¶i hÖ víi m = 2. b) T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm. §iÒu kiÖn: (*) 0 0    > ≠ y x     =−+= = ⇔     =−+ = ⇔ )3((*))(0)( )2( 0 loglog )1( 223 33 domyyyf yx myyx yx a) Víi m = 2, gi¶i ra ta cã c¸c cÆp nghiÖm (1, 1); (−1, 1). b) (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm y > 0. Do (3) cã −b/a= −1 nªn (3) cã nghiÖm d−¬ng khi vµ chØ khi f(0) 0. www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 9 23. Bµi 23. )1( 2)3(log 2)3(log    =+ =+ kxy kyx y x §iÒu kiÖn:0 0, 3y + kx > 0 (*).     =−−−− =+ ⇔     =+ =+ ⇔ 0)3)(( )1( yxkyx 2 2 2 x ky 3x y kx 3y x ky 3x            −−= =+     = =+ ⇔         −−= = =+ ⇔ )3( 3 )2( 3 xky yx xky yx 2 2 2 x ky 3x x ky 3x x ky 3x a) Víi k = 2.    = = ⇔     = =− ⇔ 5 505)2( 2 y x yx xx      −=    = −= ⇔     −= =−− ⇔ xy x x yy xx 1 2 1 1 02)3( 2 (lo¹i) b) BiÖn luËn:      =    += = ⇔    = =−− ⇔ yx kx x yx kxx 3 )(0 0)3()2( lo¹i    = += ⇔ yx kx 3 lµ nghiÖm cña hÖ khi vµ chØ khi tho¶ m·n (*), hay 0 < 3+k ≠ 1⇔ −3 < k ≠ −2.     −−= =−+−+ ⇔ )5(3 )4(0)3()3()3( 2 xky kkxkx XÐt ph−¬ng tr×nh (4) 0)3()3()( 2 =−+−+= kkxkxxf cã:
’ = −3(k − 3)(k + 1). + NÕu
’ 3 ho¨c k < −1: (4) v« nghiÖm ⇔ (3) v« nghiÖm. + NÕu
’= 0 ⇔ k = 3 ho¨c k = −1: + k = 3: (4) cã nghiÖm x = 0 kh«ng tho¶ m·n (*) ⇔ (3) v« nghiÖm. + k = −1: (4) cã nghiÖm x = 2, thay vµo (5) cã y = 2 ⇔ (2,2) lµ nghiÖm cña (3). www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 10 + NÕu
’> 0 ⇔ −1 < k < 3 (**): (4) cã 2:       +−−−− == +−−+− == 2 )1)(3(33 2 )1)(3(33 2 1 kkk xx kkk xx Víi x = x1, thay vµo (5) ta cã y1 = x2. Víi x = x2, thay vµo (5) ta cã y1 = x1. Do ®ã, (3) cã nghiÖm tho¶ m·n 0 < x, y ≠ 1 khi vµ chØ khi:    −≠ < ⇔      ≠−++− >− >− ⇔      ≠ >+ > 31 0 0)3(31 03 0)3( 0)1( 0 0 21 21 k k kkk k kk f xx xx KÕt hîp (**) ta cã    −≠ <<− 31 01 k k KÕt luËn: + Víi k ≤ −3 hoÆc k = −2 hÖ v« nghiÖm. + Víi }2{\),0[}31{]1,3( −+∞∪−∪−−∈k hÖ cã nghiÖm x=y=3+k. + Víi }31{\)0,1( −−∈k hÖ cã 3 nghiÖm:    = =    = =    += += 1 2 2 1; 3 3 xy xx xy xx ky kx vµ www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 11 B. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô I. Ph−¬ng ph¸p: B−íc 1: §Æt ®iÖu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa. B−íc 2: Lùa chän Èn phô ®Ó biÕn ®æi hÖ ban ®Çu vÒ hÖ ®¹i sè ®· biÕt (hÖ ®èi xøng, hÖ ®¼ng cÊp, ...). B−íc 3: Gi¶i hÖ. B−íc 4: KÕt luËn. II. Bµi tËp. Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau: 24. Bµi 24. )1( 82.33.2 1723 1 2222     =+ =+ + ++ yx yx §Æt: )2(0,, 2 3 >     = = vu v u y x ,thay vµo (1) ta cã:    =+ =+ 836 1749 22 vu vu , gi¶i ra ta ®−îc:    = −= ⇒    = = 1 1 2 3/1 y x v u 25. Bµi 25.     −=− −=− + 2232 22.32 22 212 x xx yy y §Æt 1,2 ≥= uu x , thay vµo hÖ ta cã:     −=− −=− 232 232 22 22 uyy yuu , gi¶i ra ta ®−îc y = u = 2, suy ra hÖ cã c¸c cÆp nghiÖm: (0, 1); (1, 2); (−1, 2). 26. Bµi 26. )1( 42.4.32 122.4.44 162.32 1424 12 21)1(2 222 222 2 22 2 22     =− =+− ⇔     =− =+− − −− ++ +− yxy yyxx yxy yyxx www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 12 §Æt: (*)0,, 2 4 1 2 >     = = − vu v u y x , thay vµo (1) ta cã:      − = =−+−−− ⇔     =− =+− v v u vvvvv uvv vuvu 3 4 099)4(12)4( 43 14 2 242222 2 22    = = ⇔      − = = ⇔      − = =−− ⇔ 1 4 3 4 16 3 4 016312 2 2 2 24 u v v v u v v v u vv Thay vµo (*) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1, 2); (−1, 2). 27. Bµi 27.     =+++ =− )2(1)1()1( )1()(239 22 3log)(log 22 yx xyxy §iÒu kiªn: xy > 0. §Æt: txytxy 2)(log 2 =⇒= , thay vµo (1) ta cã: 2133033.23)2.(239 23log 2 =⇒=⇔=⇔=−−⇔=− xytttttt (3) 03)(2)(012)(2)()2( 22 =−+++⇔=+−+++⇔ yxyxxyyxyx    −=+ =+ ⇔ 3 1 yx yx (4) KÕt hîp (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm: 1, 2); (2, 1). 28. Bµi 28.     =−−+ += )2(233 )1()(24 22 2log)(log 33 yxyx xyxy §iÒu kiªn: xy > 0. §Æt: txytxy 3)(log 3 =⇒= , thay vµo (1) ta cã: )3(31220222)3(24 22log 3 =⇒=⇔=⇔=−−⇔+= xytttttt 018)(3)(0122)(3)()2( 22 =−+−+⇔=−−+−+⇔ yxyxxyyxyx )4( 3 6    −=+ =+ ⇔ yx yx Tõ (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm )63,63( −+ , )63,63( +− . www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 13 29. Bµi 29.      =− =− 723 723 22 2 2 yx yx 30. Bµi 30. )1( 299 39.9 2819 39 cot2sin sincot2 cotsin sincot2     =− = ⇔     =− = + gxy ygx gxy ygx §Æt: 0,, 9 9 sin cot2 >     = = vu v u y gx , thay vµo (1) ta cã:    = = ⇒    = = ⇔    += =+ ⇔    =− = 2/1sin 0cot 3 1 2 3)2( 2 3. y gx v u uv uu uv vu 31. Bµi 21 (§HDL TL 98). )1( 1lg6 3lg2 1lg3 3lg2 2    =− =+ ⇔     =− =+ yx yx yx yx ®iÒu kiÖn:x ≥ 0, y > 0. §Æt Èn phô, gi¶i ra ta ®−îc cÆp nghiÖm: )10,4( . 32. Bµi 32 (§HNN I 98). )1( )3()4( 43 lg4lg lglg     = = y yx yx §iÒu kiÖn: x, y > 0. )2( 4lg3lg3lg.lg4lg.lg 04lg.lg3lg.lg )3lg()4lg( )4lg()3lg()1( 223lg4lg lglg    −=− =− ⇔     = = ⇔ yx yx yx yx §Æt:    = = yv xu lg lg , thay vµo (2) ta cã:    −=− =− 4lg3lg3lg.4lg. 04lg.3lg. 22 vu vu . Gi¶i ra b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc ta ®−îc:    = = ⇒    −= −= 3/1 4/1 3lg 4lg y x v u www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 14 33. Bµi 33 (§HQG TPHCM 97).     =+++ =++++− −+ −+ )2(2)21(log)21(log )1(4)21(log)21(log 11 2 1 2 1 xy xxyy yx yx §iÒu kiÖn:x > −1/2, x ≠ 0, −1/2 < y < 1, y ≠ 0. 2)1(log 1)1(log2)1(log)1(log)1( 1 111 = − +−⇔=++−⇔ + +−+ y yxy x xyx yxyxyx −=⇔−=+⇔=−⇔ + 111)1(log 1 . Thay vµo (2) ta cã: 5 2 5 2)1(412)41(log 2221 =⇒ − =⇔+=−⇔=−+ yxxxxx 34. Bµi 34 (§HTCKT 2000). )1( 1loglog 4 44 loglog 88    =− =+ yx yx xy §iÒu kiÖn:x, y > 0. )2( 2 1loglog 4)1( 22 log 3 1log 3 1 22       =− =+ ⇔ yx yx xy §Æt:     = = ⇒    = = v u y x yv xu 2 2 log log 2 2 , thay vµo (2) ta cã:     =− = ⇔       =− = ⇔       =− =+ 2 1 3 2 1 22 2 1 4)2()2( 33 1 3 1 vu uv vuvu uv u v v u                   = =       = = ⇒              − = −=     −= − = ⇔ 8 1 2 1 2 1 8 1 2 3 2 2 2 3 y x y x v u v u www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 15 35. Bµi 35 (§Ò 56). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: )1( 4)(log).(log 4)(log)(log    =++ =+++ bxaybyax bxaybyax yx yx a) Gi¶i hÖ khi a = 3, b = 5. b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ khi a, b > 0. §iÒu kiÖn: 0 0, ay + bx > 0. §Æt:    += += )(log )(log bxayv byaxu y x , thay vµo (1) ta cã: )2( 2)(log 2)(log 2 2 4. 4    =+ =+ ⇒    = = ⇔    = =+ bxay byax v u vu vu y x a) Víi a = 3, b = 5: §iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1. Tõ (2) ta cã:    =++− =+ ⇔     =+ =+ ⇔    =+ =+ 0)2)(( 53 53 53 2)53(log 2)53(log 2 2 2 yxyx xyx yxy xyx xy yx y x    = = ⇔           =++ −−=    =− = ⇔ 8 8 )( 0108 2 08 2 2 y x VN xx xy xx yx b) Víi a, b > 0: §iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1 (*). Tõ (2) ta cã:    =+−+− =+ ⇔     =+ =+ ⇔    =+ =+ 0))((2)(log 2)(log 2 2 2 bayxyx xbyax ybxay xbyax bxay byax y x           =+−+ =+    = =+ ⇔         =+−+ = =+ )4( 0 )3( 0 2 2 2 bayx xbyax yx xbyax bayx yx xbyax www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 16    += += ⇔         = += = ⇔    =+− = ⇔ bay bax x bax yx xbax yx )(00)( )3( 2 lo¹i NghiÖm cña (3) lµ nghiÖm cña (1) khi vµ chØ khi tho¶ m·n (*), hay a + b ≠1    =+−−+ −−= ⇔ )5(0)( )4( 22 babxabx xbay Do 0 x > 0. Khi ®ã nÕu (5) cã: 0))(3()(4)(∆ 22 >−+=−+−= babababab , 02 <+− bab , nªn (5) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: 0 )¹(0 2 ))(3( 0 2 ))(3( 21 2 1 <=⇒       < −+−− = > −++− = xy ilo bababa x bababa x . VËy hÖ (4) kh«ng cã nghiÖm tho¶ m·n (*). KÕt luËn: + Víi a + b = 1 hÖ v« nghiÖm. + Víi a + b ≠1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x = y = a + b. 36. Bµi 36. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh: )1( 1232. 33.2     +=+ =+ mm mm yx yx §Æt: (*)0,, 3 2 >     = = vu v u y x .Thay vµo (1) ta cã: )2( 12 3    +=+ =+ mvmu mmvu 123,22,1 222 ++−=+−=−= mmmmm vu DDD + NÕu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 vµ m ≠ −1: HÖ (2) cã nghiÖm duy nhÊt:       + + = + = ⇔        − ++− = − +− = m m v m m u m mm v m mm u 1 13 1 2 1 123 1 22 2 2 2 2 V× ®iÒu kiÖn (*) nªn ®Ó u, v lµ nghiÖm cña (2) ta ph¶i cã: www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 17    > −< ⇔           −> −<    > −< ⇔       > + + > + 0 1 3/1 1 0 1 0 1 13 0 1 2 m m m m m m m m m m . Khi ®ã (1) cã nghiÖm:       + + = + = m my m m x 1 13log 1 2log 2 2 + NÕu    −= = ⇔=−⇔= 1 1 010 2 m m mD + Víi m = 1: Dx ≠ 0 nªn hÖ (2) v« nghiÖm. + Víi m = −1: D = Du = Dv = 0: Mäi cÆp (u, v) tho¶ m·n u + v = 3 lµ nghiÖm cña (2), suy ra mäi cÆp (x, y) tho¶ m·n x + y = 3 lµ nghiÖm cña (1). KÕt luËn: ∗ Víi    > −< 0 1 m m , hÖ cã nghiªm duy nhÊt:       + + = + = m my m m x 1 13log 1 2log 2 2 ∗ Víi m = −1: mäi cÆp (x, y) tho¶ m·n x + y = 3 lµ nghiÖm cña (1). ∗ Víi −1 < m < 0: hÖ (1) v« nghiÖm. 37. Bµi 37. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: )1( 12.3 223. 1 1     +=+ =+ + + mm mm yx yx a) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. (−2≤ m < −1) b) T×m m nguyªn ®Ó nghiÖm duy nhÊt cña hÖ lµ nghiÖm nguyªn. (m = −2) 38. Bµi 38. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh: )1( 22.2 2.2.22 22. 2.2.2 2 2 12 12     +=+ +=+ ⇔     +=+ +=+ + + xx xxx xx xxx myyy ymy myyy ymy §Æt: 0,2 >= tt x (*). Thay vµo (1) ta cã: www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 18    =+−+− +=+ ⇔     +=+ +=+ 0)1)(( 2 2 2 2 2 2 mytyt ymtytt tmyyty ymtytt           −+−= +=+    = +=+ ⇔         −+−= = +=+ ⇔ )3( 1 2 )2(2 1 2 2 2 2 mty ymtytt yt ymtytt mty yt ymtytt           + = = = ⇔    =+− = ⇔ 3 1 )(0 0)1(3 )2( 2 m t t yt tmt yt lo¹i Do t > 0 nªn: 10 3 1 −>⇔> + m m , khi ®ã 3 1log 2 + = m x    =−+−− −+−= ⇔ )4(01)1( 1 )3( 2 mtmt mty Gi¶i ph−¬ng tr×nh (4): )5)(1(56)1(4)1(∆ 22 −−=+−=−−−= mmmmmm + NÕu    < > ⇔>−−⇔> 1 5 0)5)(1(0∆ m m mm , ph−¬ng tr×nh (4) cã 2 nghiªm ph©n biÖt:    = = ⇒        +−−− = +−+− = 12 21 2 2 2 1 2 561 2 561 ty ty mmm t mmm t Víi m 0, t2 < 0. Do ®ã hÖ (3) cã nghiÖm duy nhÊt:        +−−− = +−+− = ⇒        +−−− = +−+− = 2 561 2 561log 2 561 2 561 2 2 2 2 2 mmmy mmm x mmmy mmm t Víi m > 5, ph−¬ng tr×nh (4) cã hai nghiÖm t1, t2 tho¶ m·n: www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 19    > > ⇒    >−= >−=+ 0 0 01. 01 2 1 21 21 t t mtt mtt , nªn hÖ (3) cã c¸c cÆp nghiÖm:    = =    = = 1 2 2 1 ty tt ty tt vµ + NÕu    = = ⇔=−−⇔= 1 5 0)5)(1(0∆ m m mm Víi m = 5, ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm duy nhÊt t = 4 ⇒ y = 4 ⇒ hÖ (3) cã nghiªm duy nhÊt 4,24log 2 === yx . Víi m = 1, ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm duy nhÊt t = 0 (kh«ng tho¶ m·n (*)) ⇒ hÖ (3) v« nghiÖm. + NÕu 510)5)(1(0∆ <<⇔<−−⇔< mmm , ph−¬ng tr×nh (4) v« nghiÖm ⇒ hÖ (3) v« nghiÖm. KÕt luËn: NÕu m ≤ −1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:        +−−− = +−+− = 2 561 2 561log 2 2 2 mmmy mmm x NÕu −1 < m < 1 hÖ cã 2 nghiÖm:       + = + = 3 1 3 1log 2 my m x vµ        +−−− = +−+− = 2 561 2 561log 2 2 2 mmmy mmm x NÕu 1 < m < 5, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:       + = + = 3 1 3 1log 2 my m x NÕu m = 5, hÖ cã hai nghiÖm:    = =    = = 4 2 2 1 y x y x vµ www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 20 NÕu m > 5, hÖ ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm:       + = + = 3 1 3 1log 2 my m x        +−+− = +−−− =        +−−− = +−+− = 2 561 2 561log 2 561 2 561log 2 2 2 2 2 2 mmmy mmm x mmmy mmm x vµ 39. Bµi 39. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh: )1( 263 242       −=− −=− ++ −− nnnn mmmm yxyx yxyx XÐt víi m, n > 0. §Æt:       = = + − 6 4 yx yx nv mu (*). Thay vµo (1) ta cã: )2( 22 22     −=− −=− nnvv mmuu XÐt hµm sè: xxxf −= 2)( lµ hµm ®ång biÕn trªn (0, +∞), nªn víi x≠y th× )()( yfxf ≠ . Do ®ã    = = ⇔ nv mu)2( . Thay vµo (*) ta cã:      ∈ = =     ≠= = −     =≠ = −          ≠≠ = + = − ⇔       = = − − Ryx n m nm yx nm yx nm yx yx nn mm yx yx , 1 1 1,1 1 6 1,1 1 4 1,1 1 6 1 4 6 4 hoÆchoÆchoÆc www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 21      ∈ = =    ≠= =−    =≠ =−      ≠≠ = = ⇔ ryx n m nm yx nm yx nm y x , 1 1 1,1 6 1,1 4 1,1 1 5 hoÆchoÆchoÆc KÕt luËn: XÐt víi m, n > 0 + Víi m = n = 1: Mäi x, y ∈ R lµ nghiÖm cña hÖ. + Víi m = 1, n ≠ 1: Mäi (x, y) tho¶ m·n x − y = 6 lµ nghiÖm cña hÖ. + Víi m ≠ 1, n = 1: Mäi (x, y) tho¶ m·n x − y = 4 lµ nghiÖm cña hÖ. + Víi 0 < m, n ≠ 1: HÖ cã nghiªm duy nhÊt (5,1). 40. Bµi 40. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: )1( 221 112 122 1     +−=− ++−−= ++ + my myy xx x a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 0. b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiªm. c) T×m m ®Ó hÖ coa nghiªm duy nhÊt. Gi¶i. §Æt: 0,2, 1 2 1 ≥≥     −= = + vu yv u x (*), thay vµo (1) ta cã:    −++−−=− +−= ⇔     +−= +−= )())(( 2 2 2 vuvuvuvu mvvu muuv mvvu           −= +−=    = +−= ⇔    =+− +−= ⇔ (*))( )2( 0))(( 2 2 2 t/mnghiÖmcãkh«ng vu mvvu vu mvvu vuvu mvvu a) Víi m = 0, (2) trë thµnh:    == == ⇔    =− = ⇔    −= = 2 )(0 0)2(2 vu vu uu vu vvu vu lo¹i Thay u = v = 2 vµo (*) ta cã: www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 22    = = ⇔      = = ≥≥ ⇔      =− = ≥≥ ⇔     =− = + 5 1 5 1 1,0 41 1 1,0 21 22 1 y x y x yx y x yx y x b)    =+−= = ⇔    =+− = ⇔ )3(02)( )2( 22 mvvvf vu vmvv vu HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm v ≥ 2 0)( 21 2 0)2( 0'∆ 0)2( ≤⇔                 >= − > ≥ ≤ m VN a b f f VËy víi m ≤ 0 th× hÖ cã nghiÖm. c)    =+−= = ⇔    =+− = ⇔ )4(02)( )2( 22 mvvvf vu vmvv vu HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi (3) chØ cã 1 nghiÖm v