Hàm số liên tục trong R^n

1 1 Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm trong, điểm biên, điểm tụ, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 7 Hàm số liên tục trong n\ ..................................................................... 4 7.1 Tập hợp trong n\ ........................................................................................ 4 7.1.1 Khoảng cách trong n\ ............................................................................. 4 7.1.2 Lân cận của một điểm ................................................................................ 5 7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp .............................................. 6 7.1.4 Tập mở, tập đóng........................................................................................ 8 7.1.5 Tập liên thông............................................................................................. 8 7.2 Sự hội tụ trong n\ , các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số .......... 9 Chương 7. Hàm số liên tục trong n\ Lê Văn Trực 2 7.2.1 Sự hội tụ trong n\ ..................................................................................... 9 7.2.2 Dãy cơ bản................................................................................................ 10 7.2.3 Nguyên lí Canto ....................................................................................... 11 7.2.4 Chú ý ........................................................................................................ 11 7.2.5 Tập hợp compact ...................................................................................... 12 7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số.................................................................. 12 7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số ........................................................ 12 7.2.8 Đường mức và mặt mức........................................................................... 13 7.3 Giới hạn của hàm số trong n\ ..................................................................... 14 7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm............................................................ 14 7.3.2 Giới hạn lặp .............................................................................................. 15 7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp ............ 16 7.3.1 Chú ý ........................................................................................................ 17 7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục ...................................................................... 19 7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm ................................................................... 19 7.4.2 Hàm số liên tục đều.................................................................................. 20 7.4.3 Liên tục theo từng biến............................................................................. 21 7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số ................................................ 22 7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một........................................................... 22 7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao..................................................................... 28 7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn................................................................................ 31 7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số ....................................................... 31 7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số ....................................................... 33 7.7 Đạo hàm theo hướng .................................................................................... 35 7.7.1 Đạo hàm theo hướng ................................................................................ 35 7.7.2 Gradien ..................................................................................................... 36 7.8 Công thức Taylor. Cực trị của hàm số nhiều biến số ................................... 37 7.8.1 Công thức Taylor ..................................................................................... 37 7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số .................................................................. 39 7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac ............ 42 7.9 Cực trị có điều kiện ...................................................................................... 43 7.9.1 Định nghĩa:............................................................................................... 43 3 3 7.9.2 Phương pháp tìm cực trị ........................................................................... 43 7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học .......................................... 48 7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong...................................................................... 48 7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong ............................................................ 49 7.10.3 Độ cong.................................................................................................... 51 7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong ............................................................. 53 7.11 Bài tập chương 7 .......................................................................................... 56 7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số ................................................................. 60 4 Chương 7 Hàm số liên tục trong n\ 7.1 Tập hợp trong n\ 7.1.1 Khoảng cách trong n\ a) Khoảng cách giữa hai điểm trong n\ Cho không gian n\ và điểm M∈ n\ . Nếu 1 2 n, ,...,x x x là các toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ Descartes vuông góc, ta thường viết 1 2 n( , ,..., )M x x x Cho n\ và một hàm số n n:ρ × →\ \ \ . Ta nói rằng ρ là khoảng cách trong n\ nếu thoả mãn các tính chất sau: i) ( ) 0ρ ≥M,N n∀ ∈\M,N ii) ( )= ( )ρ ρM,N N,M n∀ ∈\M,N iii) ( ) ( )+ ( )ρ ρ ρ≤M,P M,N N,P ∀M,N,P ∈ n\ Giả sử 1 2 n( , ,..., )M x x x và 1 2 n( , ,..., )N y y y là hai điểm trong n\ . Khoảng cách giữa hai điểm M,N được cho bởi công thức: 1 n 2 2 i=1 ( )= ( )ρ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∑ i iM,N x y (7.1.1) Có thể chứng minh được rằng khoảng cách cho bởi công thức (7.1.1) thoả mãn 3 tính chất nói trên. Thật vậy tính chất i) và ii) hiển nhiên được thoả mãn. Ta chứng minh tính chất iii). Giả sử n1 2 n( , ,..., )∈\P z z z , ta có theo công thức (7.1.1): n n 2 22 i=1 i=1 ( )= ( ) ( )ρ − = − + −∑ ∑i i i i i iM,P x z x y y z n 2 i=1 ( )i i i ix y y z≤ − + −∑ n n n 2 2 i=1 i=1 i=1 2i i i i i i i ix y x y y z y z= − + − − + −∑ ∑ ∑ 5 5 1 1 n n n n2 22 2 2 2 i=1 i=1 i=1 i=1 2i i i i i i i ix y x y z y y z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ − + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ theo công thức (7.1.1) [ ] 2 2 2 ( )+2 ( ). ( )+ ( ) = ( )+ ( ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ = M,N M,N N,P N,P M,N N,P suy ra: ( ) ( )+ ( )ρ ρ ρ≤M,P M,N N,P . Ví dụ như khoảng cách ρ giữa những điểm M(1,0,1) và N(2,1,0) trong không gian 3\ là: 2 2 2(1 2) (0 1) (1 0) 3ρ = − + − + − = . b) Khoảng cách giữa hai tập hợp Cho n , ,⊂ ≠∅ ≠∅\A,B A B . Ta gọi số: { }( )=inf ( , ); ,ρ ρ ∈ ∈A,B x y x A y B (7.1.2) là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. Từ định nghĩa ta thấy ( ) 0ρ ≥A,B , ( )= ( ).ρ ρA,B B,A Hiển nhiên nếu ∩ ≠ ∅A B thì ρ (A,B)=0. Tuy nhiên có những trường hợp ∩ ≠ ∅A B , nhưng ρ (A,B)=0. Ví dụ như =( ,0), =(0,+ )−∞ ∞A B , ta thấy =∩ ∅A B và ρ (A,B)=0. Thật vậy: { }0 ( )=inf ( , );ρ ρ≤ ∈ ∈A,B x y x A, y B * * 1 1 1 1inf ( , ); , , 2inf , 0 ρ⎧ ⎫≤ − − ∈ ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬⎩ ⎭ ` ` A B n n n n n n n c) Đường kính của tập hợp Cho n ,⊂ ≠∅\A A . Đường kính của tập hợp A là số: { }( )=sup ( , ); ,δ ρ ∈ ∈A x y x A y A . (7.1.3) Nếu A là tập hợp một điểm thì ( )=0δ A . Ví dụ như đường kính của khoảng (−1,1) là 2. Giả sử n , ⊂ ≠∅\A A . Ta nói rằng A là tập hợp bị chặn nếu ( )δ ∈\A , nói cách khác tập A được gọi là bị chặn nếu như A được chứa trong một hình cầu nào đó. 7.1.2 Lân cận của một điểm a) ε - lân cận Cho n0 ∈\M . Người ta gọi ε -lân cận của điểm 0M , kí hiệu là 0O ( )ε M , là tập hợp tất cả những điểm n∈\M sao cho khoảng cách từ M tới 0M bé hơn ε , tức là: 6 { }n0 0O ( ) ; ( , )ε ρ ε= ∈ <\M M M M . Ví dụ 1 a) Với n=1. Cho 10 ∈\x . Các điểm x sao cho 0 0 0 0( , )x x x x x x xρ ε ε ε= − < ↔ − < < + . Vậy 0O ( )xε là khoảng ( )0 0,x xε ε− + b) Với n=2. Cho 20 0 0( , )∈\M x y , xét các điểm M(x,y) sao cho ( )2 20 0 0( , )= ( )ρ ε− + − <M M x x y y ( )2 2 20 0( )x x y y ε↔ − + − < . Vậy 0O ( )ε M là hình tròn tâm M0(x0,y0) bán kính ε . c) Với n=3. Cho 30 0 0 0( , , )∈\M x y z , xét các điểm M(x.y.z) sao cho ( )2 2 20 0 0 0( , )= ( ) ( )ρ ε− + − + − <M M x x y y z z ( )2 2 2 20 0 0( ) ( )x x y y z z ε− + − + − < . Vậy 0O ( )ε M là hình cầu tâm 0M bán kính ε . b) Lân cận của một điểm Ta gọi lân cận của một điểm 0M là mọi tập hợp chứa một ε - lân cận nào đó của 0M , tức là tập con nU ⊂ \ là lân cận của điểm 0M nếu: 0 ε∃ > sao cho 0O (M )ε ⊂U. Ta thấy theo định nghĩa: α ) nếu U là lân cận của điểm 0M , thì mọi tập hợp n1 1U ,U U⊂ ⊃\ cũng là lân cận của điểm 0M . β ) Nếu 1 2U ,U là lân cận của 0M thì 1 2 1 2U U ,U U∩ ∪ cũng là lân cận của điểm 0M 7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp a) Điểm trong Cho A là một tập hợp trong n\ . Điểm ∈M A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một ε -lân cận nào đó O ( )ε M nằm hoàn toàn trong A (Hình 7.1.1). 7 7 Hình.7.1.1 b) Điểm biên Điểm n∈\N được gọi là điểm biên của tập hợp A mọi ε -lân cận của N đều chứa những điểm thuộc A vừa chứa những điểm không thuộc A. Điểm biên của tập hợp A có thể thuộc A cũng có thể không thuộc A. Tập hợp những điểm biên của A được gọi là biên của tập hợp A. Tập hợp các điểm biên của tập hợp A kí hiệu là ∂A . Ví dụ 2: Cho ( ){ }2 1 2 1 2, ; ,= ∈ < < ≤ ≤\A x y a x a b y b (xem hình 7.1.2) Các điểm 1 1( , )N x b với 1 2< <a x a nằm trên đường thẳng y = 1b và các điểm 2 2( , )N x b với 1 2< <a x a nằm trên đường y = 2b là các điểm biên của tập A. Các điểm biên này thuộc tập hợp A. Các điểm 3 1( , )N a y với 1 2≤ ≤b y b và các điểm 4 2( , )N a y với 1 2≤ ≤b y b y cũng là các điểm biên của tập hợp A. Các điểm biên này không thuộc tập hợp A. c) Điểm tụ Cho n⊂ \A và n∈\M . Điểm M gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận của A đều chứa ít nhất một điểm của A. Tập hợp các điểm tụ của A kí hiệu là A’ và gọi là tập dẫn xuất của A. 8 b2 y o a1 a2 b1 Hình.7.1.2 Ví dụ 3 Cho n1 1 1 1 1 1(1,1),( , ), ( , ),..., ( , ),...;n 2 2 3 3 n n ⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭\A Dễ thấy O(0,0) là điểm tụ của A. Ví dụ 4 Giả sử tập hợp ( ){ }2= ; 1, 1∈ < ≤\A x, y x y . Ta thấy tất cả các điểm của tập hợp ( ){ }21 ; 1, 1= ∈ < <\A x, y x y ⊂ A đều là điểm trong của tập A. 7.1.4 Tập mở, tập đóng Cho n⊂ \A , tập A được gọi là mở nếu mọi điểm M của A đều là điểm trong của A. Tập n⊂ \A được gọi là đóng nếu A chứa mọi điểm biên của A. Hiển nhiên n⊂ \A là đóng trong n\ , thì n\ \A là tập mở trong n\ . Ví dụ 5: Cho 20 0 0( , )∈\M x y . Tập hợp: ( ) ( ){ }22 2 20 0 0( , )= , ; ( )∈ − + − <\B M r M x y x x y y r là tập mở. Tập hợp: ( ) ( ){ }22 2 20 0 0( , )= , ; ( )∈ − + − ≤\K M r M x y x x y y r là tập đóng. 7.1.5 Tập liên thông Tập A gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì 1 2M ,M của A bởi một đường cong liên tục hoàn toàn nằm trong A( xem hình 7.1.3). 9 9 Tập hợp đơn liên Tập hợp không liên thông Tập hợp đa liên (2 liên) Hình 7.1.3 Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một mặt kín, là đa liên nếu nó được giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau. Ví dụ 6: Tập hợp nào trong các tập sau là tập liên thông a) ( ){ }21 ; 1= ∈ + ≤\E x, y x y b) ( ){ }2 2 22 ;| | | | 1= ∈ + ≠\E x, y x y Giải: a) Do 1E là phần bên trong (kể cả biên) của hình vuông giới hạn bởi các đường ± y=± x+1, nên 1E là liên thông. b) 2E là tâp hợp các điểm của 2\ , trừ ra các điểm nằm trên đường tròn 2 2 1+ =x y . 2E không phải là tập hợp liên thông. 7.2 Sự hội tụ trong n\ , các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số 7.2.1 Sự hội tụ trong n\ Trong không gian n\ cho dãy ( ){ }k k k k1 2 n, ,...,M x x x , k=1,2,...,n Dãy { }kM được gọi là hội tụ tới 0 10 20 n0( , ,..., )M x x x nếu: 0, k( ) 0ε ε∀ > ∃ > sao cho k 0O ( )ε∈M M , ( )ε∀ ≥k k (7.2.1). hay tương đương với k 0( , )ρ ε<M M , ( )ε∀ ≥k k (7.2.1)’, tức là: ( ) 1 22k i i0 1 ε = ⎡ ⎤− <⎢ ⎥⎣ ⎦∑ n i x x , ( )ε∀ ≥k k (7.2.1)”. Khi đó ta viết: k 0lim→+∞ =k M M hay k 0→M M khi k→+∞ 10 Định lí 7.2.1 Dãy ( ){ }k k k k1 2 n, ,...,M x x x hội tụ tới 0 10 20 n0( , ,..., )M x x x khi và chỉ khi dãy các thành phần { }k1 ,x { } { }k k2 n,...,x x hội tụ tới 10 20 n0, ,...,x x x tương ứng. Chứng minh; Do { }k 0→M M nên: 0, ( )ε ε∀ > ∃k sao cho k 2 k 2 k 2 1 10 2 20 n n0( ) ( ) ... ( ) ε− + − + + − <x x x x x x , ( )ε∀ ≥k k (7.2.2) Cho nên: k 1 10 k 2 20 k n n0 ..................... ε ε ε ⎧ − <⎪⎪ − <⎪⎨⎪⎪ − <⎪⎩ x x x x x x ( )ε∀ ≥k k . Từ đấy suy ra { } { } { }k k k1 10 2 20 n n0, ,...,→ → →x x x x x x khi k→+∞ . Bạn đọc tự chứng minh phần ngược lại. 7.2.2 Dãy cơ bản Dãy { }k n⊂ \M được gọi là dãy cơ bản (hay Cauchy) nếu: k p k,p lim ( , ) 0ρ→+∞ =M M (7.2.3) tức là 0, ( )ε ε∀ > ∃k sao cho k p( , ) , ( )ρ ε ε< ∀ ≥M M k, p k (7.2.4) Định lí 7.2.2 Để dãy { }kM hội tụ, điều kiện cần và đủ là nó là dãy cơ bản. Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử dãy { }kM hội tụ tới 0M , ta hãy chứng minh nó là dãy cơ bản. Thật vậy, theo giả thiết: 0, ( )ε ε∀ > ∃k >0 sao cho k 0( , ) 2 ερ <M M , ( )ε∀ ≥k k , Từ đây suy ra: k p k p 0 0( , ) ( , ) ( , ) ,2 2 ε ερ ρ ρ ε≤ + < + =M M M M M M ( )ε∀ ≥k, p k . Vậy dãy { }kM là dãy cơ bản. b) Điều kiện đủ: 11 11 Giả sử dãy { }kM là dãy cơ bản, ta phải chứng minh nó hội tụ. Thật vậy, do { }kM là dãy cơ bản, nên: 0, ( )ε ε∀ > ∃k >0 sao cho k p( , ) , ( )ρ ε ε< ∀ ≥M M k, p k hay: k p 2 k p 2 k p 2 1 1 2 2 n n( ) ( ) ... ( ) ε− + − + + − <x x x x x x , ( )ε∀ ≥k, p k . Từ đây suy ra: k p 1 1 k p 2 2 k p n n ..................... x x x x x x ε ε ε ⎧ − <⎪⎪ − <⎪⎨⎪⎪ − <⎪⎩ , ( )ε∀ ≥k, p k , tức là các dãy { } { } { }k k k1 2 n, ,...,x x x là các dãy cơ bản. Theo định lí Cauchy các dãy trên hội tụ, nên tồn tại: k k k 10 1 20 2 n0 nk k k lim , lim ,..., limx x x x x x→∞ →∞ →∞= = = và do đó: ( )k k k k1 2 n 0 10 20 n0M , ,..., M ( , ,..., )x x x x x x→ . Ví dụ 7 Xét dãy các điểm: 2 k 2 1 kM , 1+k 1+k ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ , k=1,2,...,n Ta thấy dãy k 0M M (0,1)→ , bởi vì: k 0 2 2 2 1 1( , ) 0 (1+ ) (1+ ) ρ = + →M M k k khi →+∞k . 7.2.3 Nguyên lí Canto Dãy hình cầu đóng { } nO ⊂ \k gọi là thắt dần nếu: +1O O , 1⊂ ∀ ≥k k k (7.2.5) và các bán kính 0→kr khi →+∞k . Tương tự như trong 1\ , ta có các định lí sau: Định lí 7.2.3 (Nguyên lí Canto): Mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. Định lí 7.2.4 (Bolzano-Weierstrass) Mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ. 7.2.4 Chú ý 12 Trong lí thuyết tô pô trên n\ ta có các khẳng định sau (Xem [2]): Mệnh đề 1 Điểm M là điểm tụ của tập hợp n⊂ \A khi và chỉ khi trong A có một dãy điểm phân biệt kM hội tụ tới M khi →+∞k . Mệnh đề 2 Tập n⊂ \A là tập đóng khi và chỉ khi mọi dãy { } , ⊂ →k kM A M M khi →+∞k thì ∈M A . 7.2.5 Tập hợp compact Tập n⊂ \A được gọi là tập compact nếu mọi dãy { }kM trong A đều chứa một dãy con { }kM hội tụ tới một điểm thuộc A. Tương tự như trong 1\ , ta cũng có định lí sau: Định lí 7.2.5 Tập n⊂ \A là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn. 7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số Cho không gian Euclide n chiều n\ và tập hợp nD ⊂ \ . Gọi ánh xạ: f:D→\ xác định bởi: ( ), ,...,1 2 nx= x x x D∈ → , ,..., )1 2 nu=f(x)=f(x x x ∈\ là hàm số của n biến số xác định trên D. Tập hợp D được gọi là tập xác định (hay là miền xác định) của hàm số f và , ,...,1 2 nx x x được gọi là các biến số độc lập. Nếu xem , ,...,1 2 nx x x là các toạ độ của một điểm nào đó n∈\M trong hệ toạ độ Descarter vuông góc thì ta có thể viết u=f(M). Trong trường hợp n=2 hay n=3 ta có hàm hai hay ba biến số và thường được kí hiệu là z = f(x,y) hay u = f(x,y,z). 7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số Nếu hàm u được cho bởi biểu thức u=f(M) (mà không có chú ý gì thêm về tập xác định của nó) thì tập xác định của hàm u được hiểu là tập hợp những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa. Ví dụ 8: Hàm số 1- - 42 2u= x y xác định khi 4 12 2x + y ≤ hay 11 4 2 2 y x + ≤ . Miền xác định của hàm số là miền được giới hạn bởi elip với các bán trục a=1, b= 1 2 (kể cả biên, xem hình 7.2.1). 13 13 Hình 7.2.1 Hình 7.2.2 Ví dụ 9: Hàm số 1 9 4 2 2x yu= - + xác định khi 1 0 9 4 2 2x y- + ≥ 1 9 4 2 2x y⇒ − ≤ . Miền xác định của hàm số là miền giữa hai nhánh của hypebon với các bán trục a=3, b=2 (Xem hình 7.2.2). Ví dụ 10: Hàm số 12 2u= x y+ xác định khi 0 2 2x y+ ≠ . Miền xác định là toàn bộ mặt phẳng trừ gốc toạ độ. Ví dụ 11: Hàm số u=ln(x+y) xác định khi x+y > 0. Vậy miền xác định của hàm số là miền nằm phía trên đường thẳng y=−x (xem hình 7.2.3) Hình 7.2.3 Hình 7.2.4 Ví dụ 12: Hàm số arcsin yu= x xác định khi 1,y x 0 x ≤ ≠ . Vậy miền xác định của hàm số là một phần mặt phẳng nằm giữa các đường thẳng y=± x trừ ra gốc toạ độ (xem hình 7.2.4). 7.2.8 Đường mức và mặt mức Cho hàm u = f(x,y). Ta gọi tập hợp những điểm của miền xác định của hàm số sao cho tại đó hàm số có giá trị không đổi c là đường mức của hàm số. Phương trình của đường mức ứng với giá trị u = c là: f(x,y) = c (7.2.5). Tương tự như vậy, đối với hàm ba biến số độc lập ta có khái niệm mặt mức. 14 Mặt mức của hàm số u = f(x,y,z) là một mặt trong không gian Oxyz, mà trên đó hàm số có giá trị không đổi c. Phương trình của mặt mức ứng với giá trị u = c là: f(x,y,z) = c. (7.2.6). Ví dụ 13: Tìm đường mức của các hàm số sau: a) 2 2 2 2 y=1− −xu a b . Phương trình đường mức u = c⇔ 1 2 2 2 2 x y c a b + = − . Đường mức là đường elip khi c <1, là gốc toạ độ khi c = 1. b) 2 yu= x Phương trình đường mức u=c⇔ 2yx =c hay y=c 2x . Đường mức là một parabol với mọi giá trị c. c) u = y−2 2x . Phương trình đường mức u = c ⇔ y = c+2 2x . Vậy với mọi c đường mức là các parabol có đường trục đối xứng là trục Oy và có đỉnh tại điểm (O,c). 7.3 Giới hạn của hàm số trong n\ Để dễ hình dung ta hãy xét giới hạn của hàm hai biến số. Mọi kết quả được mở rộng cho hàm có số biến nhiều hơn. 7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1: Giả sử 2D ⊂ \ và f:D→\ , , )0 0 0M (x y là điểm tụ của tập D. Ta nói rằng hàm f(x,y) có giới hạn l tại 0M và viết: ( , ) , ) lim 0 0x y (x y f(x,y)=l → hay lim 0M M f(M)=l → nếu 0, 0ε δ∀ > ∃ > sao cho ( ) D∀ ∈M x,y thoả mãn ( )0M,Mρ δ< thì ( ) - ε<f M l (7.3.1) Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau. Định nghĩa 2: Hàm z = f(M) có giới hạn l khi 0M M→ nếu với mọi dãy điểm ( )n n nM x ,y (khác 0M ) thuộc lân cận V của điểm 0M dần đến 0M ta đều có: lim ( n nn f x ,y )=l→∞ . (7.3.2) Khi đó ta viết ( , ) , ) lim ( 0 0x y (x y f x,y)=l→ hay lim (0 0 x x y y f x,y)=l→ → . 15 15 Ta còn gọi giới hạn trên là giới hạn kép hay là giới hạn theo tập hợp các biến. Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm một biến số. Chẳng hạn: ( 2 2 1f x,y)= x y →+∞+ khi ( ) (0,0)x,y → . Ví dụ 1: Tìm lim ( (x,y) (0,0) f x,y)→ với ( 2 2 xyf x,y)= x y+ . Giải: Hàm số được xác định trên { }2 \ (0,0)\ . Vì: ( ( ) (0,0) 2 2 x y f x,y) y x,y x y = ≤ ∀ ≠+ , nên: 0 0 0 0 0 lim ( lim 0 x x y y f x,y) y→ →→ → ≤ ≤ = , do đó: 0 0 lim ( 0→→xy f x,y)= . Ví dụ 2: Tìm 0 0 lim ( ) = 0→→xy f x,y với ( ) 2 2 xyf x,y = x y+ . Nếu cho (x,y)→ (0,0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có: ( ) 1 2 kf x,kx = +k khi x≠ 0. Do đó 0 lim ( ) 1 2x kf x,kx = +k→ . Khi k khác nhau, (x,y)→(0,0) theo phương khác nhau, f(x,y) dần tới những giới hạn khác nhau. Do đó giới hạn trên không tồn tại. 7.3.2 Giới hạn lặp Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập 2D ⊂ \ . Với y cố định, gọi: { }1D ;( ) Dx x, y= ∈ ∈\ . Giả sử 0x là điểm tụ của tập 1D và xét giới hạn lim ( ) 0x x f x,y→ . Rõ ràng giới hạn này phụ thuộc vào y, kí hiệu: ( ) lim ( ) 0x x g y = f x,y→ . 16 Gọi 2D ={y R∈ |giới hạn lim ( ) 0x x f x,y→ tồn tại}. Giả sử 0y là điểm tụ của 2D . Ta xét tiếp giới hạn: lim ( ) lim lim ( ) 0 0 0y y y y x x g y = f x,y→ → → ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ (7.3.3) Hoàn toàn tương tự, ta có thể xét giới hạn: lim lim ( ) 0 0x x y y f x,y→ → ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ . (7.3.4) Ta gọi các giới hạn (7.3.3) và (7.3.4) nếu chúng tồn tại là giới hạn lặp của hàm f tại ( )0 0x , y . Ví dụ 3: Xét hàm số 2 2 sin (cos 1)( ) 1 x y+z=f x,y = x y+ + . Tìm 0 0 lim lim ( ) y x f x,y→ → và 0 0lim lim ( )x y f x,y→ → . ∀ y≠ 0 ta có 0 lim ( ) = 0 x f x,y→ , suy ra 0 0lim lim ( )y x f x,y→ → =0. Mặt khác ∀ x≠ 0, 2 2 20 0 sinx(cosy+1) 2sinxlim f(x,y)= lim 1 x y 1+xy y→ → =+ + suy ra: 0 0 lim lim ( ) x y f x,y→ → = 0 2sinlim 0 1 2x x +x→ = . Ta thấy trong trường hợp này hai giới hạn lặp tồn tại và bằng nhau. Ví dụ 4: Tìm giới hạn lặp của hàm số: cos( ) 2 x+y yf x,y = x+y tại (x,y)=(0,0). ∀ x≠ 0, ta có 0 0 cos 1lim ( ) lim 2 2y y x+y yf x,y = x+y→ → = , suy ra 0 0 lim lim ( ) x y f x,y→ → = 1 2 . Mặt khác, ∀ y≠ 0 ta có 0 lim ( ) cos x f x,y = y→ , suy ra: 0 0 0 lim lim ( ) lim cos 1 y x y f x,y = y→ → → = . Trong trường hợp này, các giới hạn lặp tồn tại nhưng không bằng nhau. 7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 17 17 Định lí 7.3.1 Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập hợp D và ( )0 0x ,y là điểm tụ của D. Giả sử tồn tại giới hạn ( )( )lim ( )0 0x,y x ,yl f x,y→= . Khi đó nếu tồn tại giói hạn lặp nào của hàm số tại ( )0 0,x y thì giới hạn đó cũng bằng l . Chứng minh: Giả sử tồn tại giới hạn 0 0 ' lim lim ( ) x x y y l f x,y→ →= (7.3.5) Ta hãy chứng minh 'l l= . Đặt 0 ( )= lim ( ) y y F x f x, y→ (7.3.6). Khi đó theo giả thiết (7.3.5) ta có: 0 lim F(x)= ' x x l→ (7.3.7) Bởi vì ( )0 0(x,y) x ,ylim f(x,y)=l→ (7.3.8) nên 0, 0ε δ∀ ≥ ∃ > sao cho ( )∀ x,y thoả mãn 2 20 0( ) ( ) δ− + − <x x y y thì ( , ) ε− <f x y l (7.3.9). Trong (7.3.9) cho 0y y→ ta được: lim ( , ) ε→ − ≤0y y f x y l ∀ ∈\x thoả mãn 00< x-x δ< , tức là: ∀ ∈\x sao cho 0< 0x - x δ< thoả mãn ( ) ε− ≤F x l (7.3.10) Trong (7.3.10) cho 0x x→ , ta được ' 0ε ε− ≤ ∀ >l l . Do ε là tuỳ ý nên ' =l l . 7.3.1 Chú ý a) Sự tồn tại các giới hạn lặp kể cả khi chúng bằng nhau không suy ra được sự tồn tại giới hạn của hàm theo tập hợp các biến. Ví dụ 5: Xét hàm số ( ) −= x yf x,y x+y . Ta thấy 0 lim ( ) = 1 x f x,y→ − 0 0lim lim ( ) = 1y x f x,y→ →⇒ − và 0lim ( ) = 1y f x,y→ 0 0lim lim ( ) = 1x y f x,y→ →⇒ . Bây giờ ta xét giới hạn ( )lim ( )(x,y) 0,0 f x,y→ . Trước hết ta thấy ( )n n 1, ( ,0) (0,0)nx y = → khi n +→ ∞ thì 1( ,0) 1 khi f n n → →+∞ . 18 Mặt khác dãy ( )n n 1' , ' (0, )nx y = (0,0)→ khi n +→ ∞ , nhưng 1f (0, ) 1 n →− . Vậy giới hạn theo tập hợp các biến ( )lim ( )(x,y) 0,0 f x,y→ không tồn tại. b) Sự tồn tại giói hạn theo tập hợp các biến không suy ra được sự tồn tại các giới hạn lặp. Ví dụ 6: Cho hàm 1( ) ( )sinf x,y = x+y xy . Do 10, 0 ( )sinx,y x+y xy ∀ ≠ ≤ 0x+y x y≤ ≤ + → khi ( , ) (0,0)x y → . Suy ra ( , ) (0,0) lim ( ) 0 x y f x,y =→ . Tuy nhiên dễ dàng thấy rằng cả hai giới hạn lặp đều không tồn tại. Ví dụ 7: Tìm giới hạn khi ( , ) (0,0)x y → của hàm số: ( ) 2 2 2 2 x yf x,y = x +y − . a) Ta thấy với dãy 1 1( , ) (0,0) khikz = k +k k → → ∞ , dãy tương ứng: 1 1( , ) 0 0 khi kz f kk k = = → →+∞ . Mặt khác với dãy 2 1( ) , ) (0,0) khik kx' ,y' =( k +k k → → ∞ , nhưng dãy tương ứng: 3 2 1 3 3( , ) 5 5 5 2 k 2 kz' f k k k = = = → khi +k → ∞ . Vậy hàm số không có giới hạn khi ( , ) (0,0)x y → . b) Dễ dàng thấy 0 0 0 lim lim ( ) lim( 1) 1 y x y f x,y→ → →= − = − , 0 0 0 lim lim ( ) lim1 1 x y x f x, y→ → →= = . Ví dụ 8: Tìm giới hạn khi (x,y)→ (0,0) của hàm số arctg yz x x = . a) Ta có 0 arctg 0 2 yz x x x π≤ = < → khi ( ) (0,0)x, y → . Vậy (x,y) (0,0) lim =0z→ b) Dễ thấy 0 0 0 lim lim = lim 0 0 y x y z→ → → = và 0 0 0lim lim = lim 0 0x y yz→ → → = . 19 19 Ví dụ 9: Tì