HÀM SỐ-GIỚI HẠN - LIÊN TỤC

1 v1.0 BÀI 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 LÍ THUYẾT 1. Hàm số một biến số: Định nghĩa, đồ thị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ,…, hàm số hợp và hàm ngược. 2. Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn. 3. Giới hạn: Khái niệm, các tính chất của giới hạn hàm số, VCB, VCL, các phương pháp tính giới hạn. 4. Sự liên tục của hàm số: Hàm số liên tục và các tính chất. 3 v1.0 VÍ DỤ 1 Cho các hàm số và Xác định hàm số hợp của g và f , hàm hợp của f và g. Hướng dẫn: • Một hàm số được xác định khi biết tập xác định và công thức của hàm số đó. • Khái niệm hàm số hợp: “ Cho thỏa mãn • Hàm hợp của và :   f : , f(x) 2x    g : ,g(x) 1 x : X , x u (x)     f : U ,u y f(u)   : , ( ) ( ( ))h X x h x f x    f (x) U, x X    4 v1.0 VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Lời giải: Hàm số hợp của g và f là: và hàm số hợp của f và g là: Nhận xét: • • Sai lầm thường gặp: nhầm lẫn giữa “hàm hợp của f và g” với “hàm hợp của g và f”. h : , x h(x)   h(x) g(f(x)) g(2x) 2x 1    k : , x k(x)   k(x) f(g(x)) f(1 x) 2(1 x) 2x 2       f(g(x)) g(f(x)) 5 v1.0 Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây? VÍ DỤ 2 a. h(x) = cos(2x) b. h(x) = 2cosx c. h(x) = cosx d. h(x) = 2cos(2x) 6 v1.0 Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây?  f(u(x)) f(2x) cos(2x)  VÍ DỤ 2 (tiếp theo) a. h(x) = cos(2x) b. h(x) = 2cosx c. h(x) = cosx d. h(x) = 2cos(2x)  x x x 7 v1.0 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy bị chặn trên. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn. VÍ DỤ 3 Cho dãy số:    n 1;2;3,4;...;n;... 8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại khái niệm về dãy đơn điệu và bị chặn Dãy gọi là: • Dãy tăng nếu xn < xn+1 • Dãy giảm nếu xn > xn+1 • Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm • Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x • Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn • Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Như vậy, dãy là bị chặn nếu có các số m và M sao cho  xn m x M, nn   n  n  M, n   m, n   9 v1.0 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: VÍ DỤ 3 (tiếp theo) a. Dãy bị chặn trên. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn.  x x x n nx n   1 2(x 1 x 2)   (1 2 3 4 ...)    Cho dãy số:    n 1;2;3,4;...;n;... Nhận xét: Sai lầm thường gặp: • Cho rằng “dãy đơn điệu là dãy vừa đơn điệu tăng, vừa đơn điệu giảm”; • Cho rằng “dãy bị chặn là dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới”. 10 v1.0 Cho dãy số: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy đơn điệu. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn.      n n1 1;1; 1;1;..., 1 ,...     VÍ DỤ 4 11 v1.0 Cho dãy số: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy đơn điệu. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn.      n n1 1;1; 1;1;..., 1 ,...     VÍ DỤ 4 (tiếp theo)  x x x 1 2x 1 x 1    2 3x 1 x 1    n n1 x ( 1) 1, n      12 v1.0 Mệnh đề nào sai? a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ. d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ. VÍ DỤ 5 13 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Hướng dẫn: Bài 1, mục 1.2.2: Dãy {xn} được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để . Trong trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Như vậy, một dãy số chỉ có thể là hội tụ hoặc phân kỳ. nx limx a  14 v1.0 Mệnh đề nào sai? a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ. d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ. VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Hiểu sai khái niệm • Dãy hội tụ; • Dãy phân kì; => Đọc kĩ các khái niệm.  x x x 15 v1.0 Mệnh đề nào đúng? a. Dãy bị chặn thì hội tụ. b. Dãy hội tụ thì bị chặn. c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn. d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn. VÍ DỤ 6 16 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại mục 1.2.3 (tr.13) 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn Định lý: Nếu một dẫy có giới hạn (hữu hạn) thì: • Dãy đó là dãy bị chặn; • Giới hạn là duy nhất. 17 v1.0 Mệnh đề nào đúng? a. Dãy bị chặn thì hội tụ. b. Dãy hội tụ thì bị chặn. c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn. d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn. VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Chú ý: vừa là dãy bị chặn, vừa là dãy phân kì nhưng không hội tụ. n( 1)  x x x 18 v1.0 Hàm số f(x) gọi là một VCB khi x  a nếu: x 0 x a x a x a a. lim f(x) a b. lim f(x) c. lim f(x) d. lim f(x) 0           VÍ DỤ 7 19 v1.0 VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm VCB, VCL (tr.16) 1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé 1.3.3.1. Khái niệm • Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi nếu Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f(x) A khi x a thì f(x) A (x)     x 2 lim f(x) 0  x a Trong đó là một VCB khi • Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi nếu x a(x) x a x 2 lim F(x)   20 v1.0 Nhận xét: Sai lầm thường gặp: • Hiểu VCB là rất nhỏ nên cho rằng f(x) là VCB khi nếu cũng như VCL là số rất lớn. nên cho rằng f(x) là VCL khi nếu • Không để ý đến quá trình . Chú ý cùng là một hàm số f(x), có lúc là VCB, có lúc là VCL tùy thuộc vào quá trình x tiến đến đâu. Ví dụ: f(x) = x là VCB khi và là VCL khi x a x a lim f(x)   x  x a x a lim f(x)   x a x 0 x a x 0 x a x a a. lim f(x) a b. lim f(x) c d. lim f(x) 0 . lim f(x)            x x x VÍ DỤ 7 (tiếp theo) 21 v1.0 Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu: x 0 x a x a x a a. lim f(x) b. lim f(x) c. limf(x) d. limf(x) 0            VÍ DỤ 8 22 v1.0 Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu: VÍ DỤ 8 (tiếp theo) x x a x a x a 0 b. lim f a. lim f(x) c. limf(x) d. limf( ) (x) x 0             x x x 23 v1.0 2f(x) xVCB nào sau đây là tương đương với VCB khi x0 ?     1 2 3 2 4 2x a. f (x) arcsin x b. f (x) e 1 c. f (x) 1 cos x d. f (x) arc tg x       VÍ DỤ 9 24 v1.0 VÍ DỤ 9 (Tiếp theo) Hướng dẫn: Xem phần “So sánh các vô cùng bé” (tr. 17) và “các vô cùng bé tương đương thường gặp”(tr.18). Chẳng hạn, là VCB bậc cao hơn nếu m>n và cùng bậc nếu m= n khimx nx Bậc của các VCB Định nghĩa: Giả sử là hai VCB khi . • Nếu ; ta nói rằng là VCB bậc cao hơn. • Nếu ; ta nói rằng là VCB bậc thấp hơn. • Nếu ; ta nói rằng và là hai VCB cùng bậc. • Nếu không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB và (x), (x)  x a x a (x)lim 0 (x)   x a (x)lim (x)    x a (x)lim A ( 0, ) (x)      x a (x)lim (x)   (x) (x) x 0 25 v1.0 VÍ DỤ 9 (tiếp theo) usinu tgu arcsinu arct gu ln(u 1) (e 1) u       Khi u = u(x)  0 , ta có: • Nhận xét: 2 VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc. x a x a (x) lim 1 (x)   VCB tương đương • Định nghĩa: Hai VCB và khác 0 khi gọi là tương đương với nhau nếu (x) (x) • Ký hiệu: (x) (x)  Một số các VCB tương đương thường gặp (nên ghi nhớ) là: 26 v1.0 VÍ DỤ 9 (tiếp theo)   1 3 2 4 2 2x a. f (x) arcsin x c. f (x) 1 cos x d. f (x) arc tg b. f (x) 1 x e          x x x (arcsin x x) 22xe 1 x     2 2 2x x x1 cosx 2sin 2 2 2 2                2 2arc tg x x x 27 v1.0 VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB khi x  0 ?     1 5 x 2 3 3 24 2a. f ( x ) s in x b . f ( x ) e 1 c . f ( x ) ln ( c o s x ) d. f ( x ) tg x      2f(x) x VÍ DỤ 10 28 v1.0 VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB khi x  0 ?2f(x) x VÍ DỤ 10 (tiếp theo)    3 24 1 5 x 2 3 2a. f ( x ) s in x b . f ( x ) e 1 c . d f . ( x ) l f ( x ) tg x n ( c o s x )         2 2 22sin x sin x x x     2xln(cosx) ln[1 (1 cosx)] 1 cosx ... 2        3 32 2tgx x     55 5x 2e 1 x x    x x x 29 v1.0 Giới hạn bằng: a. 0 b. 1 3c. 2 2d. 3 2xx 0 sin3xlim e 1  VÍ DỤ 11 30 v1.0 Giới hạn bằng:2xx 0 sin3xlim e 1  Hướng dẫn: Phương pháp thay tương đương Định lý: Nếu và là hai VCB khi 1 1x a, (x) (x), (x) (x)     (x) (x) 1 x a x a 1 (x)(x)lim lim (x) (x)    khi x a thì: VÍ DỤ 11 (tiếp theo) 2x 2xx 0 x 0 sin3x 3x 3Khi x 0 : sin3x 3x; e 1 2x lim lim 2x 2e 1        a. 0 b. 3c. 2 1 2d. 3     31 v1.0 VÍ DỤ 12 Giới hạn bằng: a. 0 b. 1 3c. 2 2d. 3   x 0 arctg 2x lim 3x 32 v1.0 VÍ DỤ 12 (tiếp theo) Giới hạn bằng:  x 0 arctg 2x lim 3x       x 0 x 0 arctg 2x 2x 2Khi x 0: arctg(2x) 2x lim lim 3x 3x 3      a. 0 b. 1 3c. 2d 2 . 3 33 v1.0 Giới hạn bằng: 2a. 3 1b . 5 3c. 2 d. 2 2n 2n n 1lim 3n 5    Không tồn tại VÍ DỤ 13 34 v1.0 Giới hạn bằng: 2a. 3 1b . 5 3c. 2 d. 2 2n 2n n 1lim 3n 5    Không tồn tại VÍ DỤ 13 (tiếp theo)     2 2 2n n 2 1 122n n 1 2n nlim lim 53n 5 33 n         Nhận xét: Phương pháp giải dạng bài này là chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu rồi dùng giới hạn kn n 1lim 0 n  35 v1.0 2a. 3 1b. 2 1c. 2 2d. 3   2 2n n 3n 4lim 2n 3    Giới hạn bằng: VÍ DỤ 14 36 v1.0 2 2n n 3n 4lim 2n 3    Giới hạn bằng: VÍ DỤ 14 (tiếp theo)   2a. 3 1c. 1b. 2 2d 2 . 3     37 v1.0 Khẳng định nào sau đây đủ để kết luận f(x) liên tục tại thuộc MXĐ? 0x x x0x x0 lim f(x), lim f(x)    a. c. b. x x0x x0 lim f (x ) lim f (x )    x 0 lim f(x) d. 0x x0lim f (x) f (x )  VÍ DỤ 15 38 v1.0 Khẳng định nào sau đây đủ để kết luận f(x) liên tục tại thuộc MXĐ? 0x VÍ DỤ 15 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm hàm số liên tục (tr.18) 1.3.4. Hàm số liên tục 1.3.4.1. Định nghĩa • f là một hàm số xác định trong khoản (a, b), x0 là một điểm thuộc (a, b). Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x0 nếu: • Nếu hàm số f không liên tục tại x0, ta nói rằng nó gián đoạn tại x0. 0x x0 lim f(x) f(x )      x x0x x0 lim f(x), lim f(x)    a. c. b. x x0x x0 lim f (x ) lim f (x )    x 0 lim f(x) d. 0x x0lim f (x) f (x )  39 v1.0 Với số a bằng bao nhiêu thì hàm số sau liên tục trên , xe khi x 0 f(x) a x khi x 0     a. 0 b. 1 c. Không tồn tại d. Với mọi a VÍ DỤ 16 40 v1.0 Với số a bằng bao nhiêu thì hàm số sau liên tục trên , xe khi x 0 f(x) a x khi x 0     a. 0 b. 1 c. Không tồn tại d. Với mọi a Hướng dẫn: f(x) liên tục trên f(x) liên tục tại x = 0  x 0 x 0 lim f(x) lim f(x) f(0)      x 0 lim f(x) f(0)  VÍ DỤ 16 (tiếp theo) x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0x 0 lim f(x) lim(a x) a; lim f(x) lim e 1, f(0) a Do lim f(x) lim f(x) f(0) a 1                   đó    41 v1.0 Câu 1. Có phải nếu ta có quan hệ giữa các VCB khi x  a m nf(x) x ,g(x) x  và m > n thì f(x) là VCB có bậc lớn hơn g(x) không? Điều này có áp dụng được cho các VCL hay không? Trả lời: Đúng và có thể áp dụng cho các VCL. Câu 2. Cách làm sau đúng hay sai? Khi x0 thì 3 3x 0 x 0 tgx sin x x xtgx sin x x lim lim 0 x x       Trả lời: Sai, vì định lí thay tương đương chỉ áp dụng cho các thừa số chứ không áp dụng cho các số hạng. MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP 1 v1.0 BÀI 2 ĐẠO HÀM - VI PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Đạo hàm, đạo hàm cấp cao, bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản, các phép toán về đạo hàm, đạo hàm hàm hợp; 2. Vi phân, vi phân cấp cao, các phép toán về vi phân, vi phân hàm hợp; 3. Công thức Taylo, quy tắc L’Hospitan (Lôpitan); 4. Ứng dụng tính giới hạn và khảo sát hàm số: Sự biến thiên, cực trị,… LÍ THUYẾT 3 v1.0 Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0. VÍ DỤ 1 4 v1.0 Khẳng định nào đúng: Hướng dẫn: Xem khái niệm đạo hàm, có nhận xét sau: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0. VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. 5 v1.0 Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0.  Chú ý: f(x) = |x| xác định tại x = 0, liên tục tại x = 0, có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0. (=> b, c, d sai). VÍ DỤ 1 (tiếp theo)    6 v1.0 Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0. b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0. c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0. d. f(x) có đạo hàm tại x = 0. VÍ DỤ 2 7 v1.0 Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0. b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0. c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0.     VÍ DỤ 2 (tiếp theo) d. f(x) có đạo hàm tại x = 0. 8 v1.0 VÍ DỤ 3 Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng: a. 5x b. 5x4 c. d. 0 6x 6 9 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: • Xem bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản (tr.25); • Đây là hàm có dạng x. 10 v1.0 BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 11 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng: a. 5x b. c. 5x4 d. 0 Nhận xét: Sai lầm chủ yếu do không nắm được công thức đạo hàm của các hàm số.     VÍ DỤ 3 (tiếp theo) 6x 6 (x5)’ = 5x5 – 1 = 5x4 12 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 4 2 1 1 x 2 1 1 x   2 1 1 x 2 1 1 x   13 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 4 (tiếp theo) 2 1 1 x 2 1 1 x   2 1 1 x    211 x  f(x) = arccosx 14 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 5 2 1 xcos (ln x) 2 1 cos (ln x) 2 1 ln x cos x 2 ln x cos x 15 v1.0 Hướng dẫn: Xem các phép toán về đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp (mục 1.2.1, tr.24). VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x, hàm số y = f(x) có đạo hàm theo u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 2 u (x) (tgu(x)) cos u(x)   1(ln x) (x 0) x    16 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 5 (tiếp theo) 2 1 xcos (ln x) 2 1 cos (ln x) 2 1 ln x cos x 2 ln x cos x     2 2 1 1 1(tg(ln x)) tg (ln x).(ln x) .(ln x) . cos (ln x) cos (ln x) x       17 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng:         2 2 2 a. cos cos 2x b. cos 2cos2x c. cos sin 2x d. 2cos cos 2x sin4x– VÍ DỤ 6 18 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng:         2 2 2 a. cos cos 2x . b. cos 2cos2x . c. cos sin 2x . d. 2cos cos 2x sin4x.– Chú ý: 2sin .cos sin2    VÍ DỤ 6 (tiếp theo)             2 2 2 2 2 2 2 sin(cos 2x) cos(cos 2x). cos 2x cos(cos 2x).2cos2x cos2x cos(cos 2x).2cos2x.( sin(2x)). 2x 2.cos(cos 2x).2cos2x.sin2x 2.cos(cos 2x).sin4x          19 v1.0 VÍ DỤ 7 Đạo hàm cấp hai của hàm số bằng:2f(x) ln 1 x        2 22 2 22 22 1 xa. 1 x 1b. 1 x xc. 1 x 2xd. 1 x      20 v1.0 VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm Đạo hàm cấp cao: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp một của f(x). Đạo hàm, nếu có của đạo hàm cấp một gọi là đạo hàm cấp hai. Kí hiệu là: y” = f”(x). Vậy: y” = f”(x) = (f’(x))’. Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của f(x) gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu là f(n)x: Vậy y(n) = f(n)(x) = (f(n – 1)(x))’. 21 v1.0 Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng: VÍ DỤ 8 n (n) n 1 n 1 (n) n n 1 (n) n n ( 1) n!a. f (x) x ( 1) n!b. f (x) x ( 1) .(n 1)!c. f (x) x (n 1)!d. x          22 v1.0 Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng: Hướng dẫn: • Xem lại khái niệm đạo hàm cấp cao (tr.30). • Tính thử các đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3, của f(x), rồi kiểm tra các phương án với n = 1, 2, 3. Từ đó chọn ra phương án thỏa mãn. VÍ DỤ 8 (tiếp theo) n (n) n 1 n 1 (n) n n 1 (n) n n ( 1) n!a. f (x) x ( 1) n!b. f (x) x ( 1) .(n 1)!c. f (x) x (n 1)!d. x              2 3 1 1f (x) ; f (x) ; x x 2f (x) x       Kiểm tra n = 1, 2, 3. 23 v1.0 Vi phân của hàm số là: 2f(x) ln(x x 4)   VÍ DỤ 9 2 2 2 2 1a. x 4 dxb. x 4 1c. x 4 dxd. x 4       24 v1.0 Hướng dẫn: Công thức df(x) = f’(x).dx VÍ DỤ 9 (tiếp theo) 2 2 2 2 1a. x 4 dxb. x 4 1c. x 4 dxd. x 4               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 2 1f (x) . x x 4 x x 4 x 41 1 2x1 1 x x 4 2 x 4 x x 4 2 x 4 1 x 4 x 1. x x 4 x 4 x 4 1 dxdf(x) f (x)dx dx x 4 x 4                                           Nhận xét: • Việc tính vi phân của f(x) thực ra là việc tính đạo hàm của f(x), sau đó thay vào công thức. • Sai lầm thường gặp: Thiếu dx trong công thức df(x) = f’(x).dx 25 v1.0 Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là: a. dx b. ln xdx c. 1 d. ln x VÍ DỤ 10 26 v1.0 Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là: a. dx b. ln xdx c. 1 d. ln x VÍ DỤ 10 (tiếp theo)     1f (x) (ln x 1) x. ln x x      27 v1.0 Giới hạn bằng: 2x 1 x xlim x 1   VÍ DỤ 11 1a. 2 1b. 2 1c. 4 1 d. 4   28 v1.0 VÍ DỤ 11 (tiếp theo) Hướng dẫn: Qui tắc L’Hospital (Lôpitan) (tr.33) Định lý: Giả sử các hàm số u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện: Giới hạn có dạng vô định hoặc , tức là hai hàm số u(x) và v(x) cùng có giới hạn hoặc cùng có giới hạn vô hạn. Tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn). Khi đó . x a u(x) lim v(x) 0 0   x a u '(x) lim v '(x) x a x a u(x) u '(x) lim lim v(x) v '(x)   29 v1.0 Giới hạn bằng: 2x 1 x xlim x 1   VÍ DỤ 11 (tiếp theo) 1a. 2 1b. 2 1c. 4 1 d. 4   Chú ý: Trong phát biểu của định lý a có thể hữu hạn hoặc vô cùng.     (L) 2 2x 1 x 1 x 1 x x ( x x)lim lim x 1 (x 1) 1 11 1 12 x 2lim 2x 2 4              30 v1.0 Nhận xét: • Để làm tốt phương pháp này, cần tính thành thạo đạo hàm các hàm số; • Khi tính một giới hạn có thể sử dụng quy tắc Lôpitan nhiều lần; • Sai lầm thường gặp: Tiếp tục dùng qui tắc Lôpitan khi giới hạn đã về dạng xác định. Chẳng hạn: 2 (L ) 3 2 2x 1 x 1 2 (L ) (L ) 3 2 2x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2lim lim = 2 ( úng) x x 3x 2x 3 2 x 1 2x 2 2 1 lim lim lim = (sai) x x 3x 2x 6x 2 6 2 2 ®                 Lưu ý: là dạng xác định. VÍ DỤ 11 (tiếp theo) 2x 1 2xlim 3x 2x  31 v1.0 Giới hạn bằng: 3 2 3 2x 2x 5x 1lim 3x x 6x     VÍ DỤ 12 2a. 3 5b. 6 c. 0 d.  32 v1.0 Giới hạn bằng: 3 2 3 2x 2x 5x 1lim 3x x 6x     VÍ DỤ 12 (tiếp theo) 2a. 3 5b. 6 c. 0 d.      3 2 2 (L ) 3 2 2x x (L ) (L ) x x 2x 5x 1 6x 10xlim lim 3x x 6x 9x 2x 6 12x 10 12 2 lim lim 18x 2 18 3                     33 v1.0 Giới hạn bằng:2 x 0 lim x ln x VÍ DỤ 13 a. 1 b. 0 c. 2 d. – 1 34 v1.0 • Dạng vô định 0. • Dạng vô định  –  1 1 u 0 v lim(uv) lim (d ng ) ho c lim(uv) lim (d ng ) v 0 u ¹ Æ ¹     1 1 0v ulim(u v) lim (d ng ) 1 0 uv ¹    Hướng dẫn: Xem mục 2.6.1.2, tr.33. Tất cả các dạng vô định khác đều có thể biến đổi về dạng hoặc .0 0   VÍ DỤ 13 (tiếp theo) 35 v1.0 Giới hạn bằng:2 x 0 lim x ln x VÍ DỤ 13 (tiếp theo) a. 1 b. 0 c. 2 d. – 1   2 x 0 x 0 2 / 2 (L ) / x 0 x 0 x 0 3 2 ln xlim x ln x lim 1 x 1ln x xxlim lim lim 0 2 21 x x                       36 v1.0 Giới hạn bằng: x 2 1lim tgx cos x     VÍ DỤ 14 a. 0 b. 1 c. + d. – 37 v1.0 Giới hạn bằng: x 2 1lim tgx cos x     VÍ DỤ 14 (tiếp theo) a. 0 b. 1 c. + d. – (L) x x x 2 2 2 1 1 sin x cosxlim tgx lim lim 0 cos x cos x sin x                 38 v1.0 Giới hạn bằng: 2 1 x x 1 lim x  VÍ DỤ 15 a. –1 b. 2 c. e–2 d. e2 39 v1.0 VÍ DỤ 15 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 2.6.1.2, tr.33. Các dạng vô định 1, 00 và 0 xuất hiện khi tính giới hạn của biểu thức uv, trong đó u = u(x) > 0 và v = v(x): • Nếu u  1 và v   thì lim uv có dạng vô định 1; • Nếu u  0 và v  0 thì lim uv có dạng vô định 00; • Nếu u  + và v  0 thì lim uv có dạng vô định 0. • Nếu đặt y = uv thì trong cả ba trường hợp này giới hạn của biểu thức lny = vlnu đều có dạng 0. (dạng này đã được chỉ dẫn cách tính ở trên); • Nếu tính được lim(lny) = k thì ta được: limy = lim elny = ek. 40 v1.0 Giới hạn bằng: 2 1 x x 1 lim x  VÍ DỤ 15 (tiếp theo) a. –1 b. 2 c. e–2 d. e2 Nhận xét: Phương pháp thay tương đương (Bài 1) và pp sử dụng quy tắc Lôpitan là 2 phương pháp tính giới hạn rất hiệu quả.     x 1 2 2 lim ln x 1 x 1 x x 1 (L) x 1 x 1 2 21 x x 1 lim x e 2 2.ln x xlim lim 2 1 x 1 lim x e               41 v1.0 Giới hạn bằng: 2x x 0 lim x VÍ DỤ 16 a. 1 b. 0 c. + d. e 42 v1.0 Giới hạn bằng: 2x x 0 lim x VÍ DỤ 16 (tiếp theo) a. 1 b. 0 c. + d. e     43 v1.0 Câu 1: Qui tắc Lôpitan có thể áp dụng cho những trường hợp nào? Trả lời: Chỉ cho 2 dạng vô định: . Muốn sử dụng quy tắc Lopitan cho các dạng vô định khác phải biến đổi về 2 dạng trên. Câu 2: Trong qui tắc Lôpitan, nếu giới hạn không tồn tại có suy ra được không tồn tại không? Trả lời: Không suy được như vậy. x a u (x) lim v (x)   x a u(x) lim v(x) 0 , 0   MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP 1 v1.0 BÀI 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Nguyên hàm của một hàm số, tích phân bất định, tính chất, các công thức cơ bản, các phương pháp tính tích phân bất định. 2. Tích phân bất định của hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm vô tỉ. 3. Tích phân xác định, tính chất, mối liên hệ với nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định. 4. Tích phân suy rộng. LÝ THUYẾT 3 v1.0 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x     2f(x) 3x 2  VÍ DỤ 1 4 v1.0 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x     2f(x) 3x 2  VÍ DỤ 1 (tiếp theo) . Hướng dẫn: Xem định nghĩa nguyên hàm (mục 3.1.1.1) F '(x) f(x), x D, hay   dF(x) f(x)dx Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu:   3 2 3 2 2 x +2x+1 '=3x +2 (6x) ' 6 (3x +2x)'=9x +2 (3x 2x) ' 6x 2       Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫm giữa nguyên hàm và đạo hàm, cho rằng F(x) là nguyên hàm của f(x) thì f’(x) = F(x). Chẳng hạn trong ví dụ 1, chọn đáp án b. 5 v1.0 Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? a. arccos x b. arccos x c. arcsinx x d. arcsinx C        2 1 f(x) 1 1 x   VÍ DỤ 2 6 v1.0 Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? a. arccos x b. arccos x c. arcsinx x d. arcsinx C        2 1 f(x) 1 1 x   VÍ DỤ 2 (tiếp theo)     7 v1.0 VÍ DỤ 3 Tích phân bằng: 2 dx 3 2x 1 xa. arctg 3 3 1 xb. arctg C 3 3 1 xc. arctg 3 3 1 xd. arctg C 3 3                   8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Xem bảng các công thức tích phân cơ bản 9 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Tích phân bằng: 2 dx 3 2x 1 xa. arctg 3 3 1 xb. arctg C 3 3 1 xc. arctg 3 3 1 xd. arctg C 3 3                       2 2 2 dx dx 1 xarctg C 3 x ( 3) x 3 3          Nhận xét: Sai lầm thường gặp là thiếu hằng số C. 10 v1.0 Tích phân bằng: 2 dx 2 3x 3 3a. arctgx C 2 2 1 3b. arctgx C 26 3 xc. arctg C 2 6 1 xd. arctg C 6 6     VÍ DỤ 4 11 v1.0 Tích phân bằng: 2 dx 2 3x 3 3a. arctgx C 2 2 1 3b. arctgx C 26 3 xc. arctg C 2 6 1 xd. arctg C 6 6     2 2 dx dx