Hàm phức và phép biến đổi laplace đại học

z zf z →∞ = . Khi đó ( ) lim ( ) 0 R C R f z dz →∞ =∫ , với ( )C R là nửa trên của đường tròn | |z R= .
Chương 4. Chuỗi và Thặng dư • Ta vẽ nửa trên của đường tròn ( ) : | |C R z R= với R đủ lớn sao cho các điểm 1 2 , ,..., n a a a thuộc miền D giới hạn bởi ( )C R với đoạn [ ; ]R R− . O RR− D y x1 .a 2 .a . n a • Áp dụng thặng dư, ta có: 1( ) ( ) ( ) 2 [ ( ), ] R n k kR C R f x dx f z dz i Res f z aπ =− + = ∑∫ ∫ . Cho R→ +∞ và áp dụng bổ đề 1, ta được: 1 ( ) 2 [ ( ), ]. n k k f x dx i Res f z aπ +∞ =−∞ = ∑∫ ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 20
Chương 4. Chuỗi và Thặng dư Nhận xét Nếu ( )( ) ( ) P x f x Q x = , với bậc ( )P x ≤ (bậc ( ) 2Q x + ) thì tích phân ( )f x dx +∞ −∞ ∫ được tính theo phương pháp trên. VD 7. Tính tích phân 4 1 dx I x +∞ −∞ = +∫ . VD 8. Tính tích phân 2 2( 1) dx I x +∞ −∞ = +∫ .
Chương 4. Chuỗi và Thặng dư a) Bổ đề Jordan 2 Giả sử hàm ( )f z liên tục trong lân cận của điểm ∞ và thỏa mãn lim ( ) 0 z f z →∞ = . Khi đó với mọi 0α > , ta có: ( ) lim ( ) 0i z R C R f z e dzα →∞ =∫ . Với ( )C R là nửa trên của đường tròn | |z R= . 3.3.2. Dạng suy rộng: 1 2 ( )cos , ( )sin .I f x x dx I f x x dxα α +∞ +∞ −∞ −∞ = =∫ ∫
Chương 4. Chuỗi và Thặng dư b) Ứng dụng Trong đó, k a là các điểm bất thường nằm trong nửa mặt phẳng trên. • Cân bằng phần thực và phần ảo, ta có 1 I và 2 I . • Giả sử 0α > và hàm ( )f z thỏa bổ đề 2, ta có: 1 2 1 ( ) 2 [ ( ) , ] n i x i z k k I iI f x e dx i Res f z e aα απ +∞ =−∞ + = = ∑∫ . VD 9. Tính các tích phân sau: 1 22 2 cos sin , 2 10 2 10 x x x x I dx I dx x x x x +∞ +∞ −∞ −∞ = = − + − +∫ ∫ . ……………………………………………………
Chương 5. Phép biến đổi Laplace §1. Định nghĩa phép biến đổi Laplace. §2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace. §3. Phép biến đổi Laplace ngược. §4. Các ứng dụng của phép biến đổi Laplace. ……………………………………………… §1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.1. Định nghĩa hàm gốc • Hàm gốc là hàm phức đơn trị ( )f t với biến số thực t , thỏa mãn 3 điều kiện: 1) ( )f t và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục từng khúc (nghĩa là hàm liên tục trừ một số điểm gián đoạn hữu hạn mà tại đó hàm có giới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn).
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2) ( ) 0f t = khi 0t < . 3) 0 0, 0M α∃ > ∃ ≥ sao cho 0 .0 : | ( ) | tt f t Meα∀ ≥ ≤ . Khi đó, 0 α được gọi là số mũ tăng của ( )f t . • Nhận xét  Điều kiện 2) được đặt ra vì trong ứng dụng, biến số t thường là thời gian, hàm ( )f t biểu diễn một quá trình nào đó mà ta chỉ cần khảo sát lúc 0t > .  Hàm gốc ( )f t khi t →+∞ hoặc là hữu hạn hoặc tăng ra ∞, nhưng không nhanh hơn hàm mũ 0.teα .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 1. Hàm bậc thang đơn vị (hàm Heaviside) ( )u t là hàm số được định nghĩa bởi: 0, 0 ( ) 1, 0 t u t t  <=  ≥ . Hàm Heaviside ( )u t (còn được gọi là hàm nấc đơn vị hay hàm bước nhảy đơn vị) là hàm gốc. VD 2. Hàm trễ T đơn vị thời gian: 0, ( ) 1, t T u t T t T  <− = ⋅ ≥ Hàm ( )u t T− là hàm gốc. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 21
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 3. Hàm lọc đơn vị là hàm có dạng: 1 2 ( ) ( ) ( )h t u t t u t t= − − − 1 1 2 2 0, 1, . 0, t t t t t t t  <= ≤ < ≥ Hàm lọc đơn vị là hàm gốc. VD 4. Hàm xung là hàm gốc có dạng: 1 1 2 2 0, ( ) ( ), 0, t t f t t t t t t t ϕ  <= ≤ < ≥ .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace Trong đó, ( )tϕ là hàm số sơ cấp. Hàm xung có thể biểu diễn qua hàm lọc đơn vị: 1 2 ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ).f t u t t u t t t h t tϕ ϕ= − − − = VD 5. Hàm ( ) ( 1,1) ( 3,2)V t u t u t= − − − là mô hình toán học của bài toán khảo sát mạch điện khi đóng mạch tại thời điểm 1,1t = giây (s) và ngắt mạch tại thời điểm 3,2t s= . Khi đó mạch điện sẽ có hiệu điện thế 1 volt trong khoảng: 3,2 1,1 2,1s s s− = .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 6. Một nguồn điện 12 volt được đóng mạch tại thời điểm 4t s= . Biểu diễn hàm ( )V t theo hàm Heaviside ? VD 7. Biểu diễn hàm xung sau theo hàm lọc đơn vị: 0, 0 2, 0 1 ( ) 3, 1 2 0, 2 t t t f t t t  < + ≤ <=  ≤ < ≥ . • Quy ước  Để đơn giản, thay vì viết ( ). ( )u t f t , ta viết ( )f t .  Giới hạn phải của ( )f t khi 0t +→ được viết là (0)f .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace a) Định nghĩa • Hàm ảnh của hàm gốc ( )f t là hàm phức ( )F s biến số phức s iα β= + xác định bởi tích phân Laplace: 0 ( ) ( ) .stF s e f t dt +∞ −= ∫ • Phép biến đổi từ hàm gốc ( )f t sang hàm ảnh ( )F s xác định bởi công thức trên được gọi là phép biến đổi Laplace. Ký hiệu là ( ) { ( )}.F s L f t=
Chương 5. Phép biến đổi Laplace b*) Định lý tồn tại ảnh • Định lý 1 Nếu ( )f t là hàm gốc với số mũ tăng 0 α thì hàm ảnh ( )F s hội tụ trong nửa mặt phẳng 0 Re( )s α> và là hàm giải tích trong miền đó. • Định lý 2 Nếu hàm ( )F s là hàm ảnh của hàm gốc ( )f t với số mũ tăng 0 α thì Re( ) lim ( ) 0 s F s →∞ = .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 1.3. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng a) Hàm bậc thang đơn vị u(t) Ta có: 0 0 ( ) ( ) lim b st st b F s e u t dt e dt +∞ − − →+∞ = =∫ ∫ 1 1 1 lim sb b e s s s − →+∞  = − =    , với Re( ) 0s > . Vậy: 1 { ( )} (1) , Re( ) 0.L u t L s s = = > ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 22
Chương 5. Phép biến đổi Laplace b) Hàm f(t) = eat, f(t) = e – at (a là hằng số phức) Ta có: ( ) 0 0 ( ) lim b st at s a t b F s e e dt e dt +∞ − − − →+∞ = =∫ ∫ 1 s a = − , với Re( ) Re( )s a> . Vậy: 1 ( ) , Re( ) Re( ).atL e s a s a = > − Thay a bởi a− , ta được: 1 ( ) , Re( ) Re( ).atL e s a s a − = > − +
Chương 5. Phép biến đổi Laplace c) Hàm f(t) = t Ta có: 0 0 ( ) lim b st st b F s e tdt e tdt +∞ − − →+∞ = =∫ ∫ 2 2 1 lim . sb sb b be e ss s − − →+∞   = − +    Vậy: 2 1 ( ) , Re( ) 0.L t s s = > Tổng quát: 1 ! ( ) , , Re( ) 0.n n n L t n s s + + = ∈ >ℤ
Chương 5. Phép biến đổi Laplace d) Hàm lượng giác f(t) = cosat, f(t) = sinat Ta có: 0 0 1 ( ) cos ( ) 2 st st iat iatF s e at dt e e e dt +∞ +∞ − − −= = +∫ ∫ 1 1 1 2 s ia s ia  = +   − +  , với Re( ) 0s > . …………………………………………… Vậy: 2 2 (cos ) , Re( ) 0. s L at s s a = > + Tương tự: 2 2 (sin ) , Re( ) 0. a L at s s a = > +
Chương 5. Phép biến đổi Laplace §2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1. Tính chất tuyến tính VD 1. 4 4(3 2 ) (3 ) ( 2 )L t t L t L t− = + − 43. ( ) 2. ( )L t L t= − 3 5 2 5 4! 2 72 2 3. s s s s − = − = .  Định lý 1 Nếu { ( )} ( )L f t F s= và { ( )} ( )L g t G s= thì: { . ( ) . ( )} ( ) ( ).L a f t b g t aF s bG s+ = + Trong đó, a và b là các hằng số phức.
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2.2. Tính chất dời (dịch chuyển ảnh) (biến đổi của hàm ( )ate f t− ) VD 2. Do 1 ! ( ) ( )n n n L t F s s + = = nên: 1 ! ( ) ( ) ( ) n at n n L t e F s a s a − + = + = + .  Định lý 2 Nếu { ( )} ( )L f t F s= , với a là hằng số phức, thì: { ( )} ( ).atL e f t F s a− = + VD 3. Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a) 2( ) cos 3tg t e t−= ; b) 3( ) sin2tg t e t= .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2.3. Tính chất trễ (dời theo t) (biến đổi của hàm ( ). ( )u t T f t T− − )  Định lý 3 Nếu { ( )} ( )L f t F s= thì với mọi 0T > , ta có: { ( ). ( )} ( ).sTL u t T f t T e F s−− − = Trong đó 0, ( ) 1, t T u t T t T  <− =  ≥ .  Nhận xét 1) Nếu hàm gốc ( )f t có đồ thị là ( )C thì đồ thị của hàm ( ). ( )u t T f t T− − là ( )C ′ được suy ra từ ( )C bằng cách tịnh tiến theo trục hoành sang phải một đoạn bằng T (trễ một khoảng thời gian T ). ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 23
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2) Công thức tịnh tiến gốc thường dùng để tìm ảnh khi hàm gốc cho bởi nhiều công thức trên những khoảng khác nhau.  Chú ý 1) { ( )} sT st T e L u t T e dt s +∞ − −− = =∫ . 2) Cần tránh nhầm lẫn giữa hàm ( ). ( )u t T f t T− − và ( )f t T− (hàm ( )f t T− thực chất là ( ). ( )u t f t T− ).
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 4. Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a) sin( 2), 2( ) 0, 2 t t f t t  − ≥=  < . b) 2( ) ( 3). tg t u t e= − . VD 5. Tìm biến đổi Laplace của hàm: 0, 1 ( ) 1, 1 3 0, 3 t f t t t  <= ≤ < ≥ .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 6. Tìm biến đổi Laplace của hàm: 0, 0 ( ) 1, 0 1 3, 1 t f t t t t  <= + ≤ < ≥ . VD 7. Tìm biến đổi Laplace của hàm: 0, 0 , 0 1 ( ) 2 , 1 2 0, 2 t t t f t t t t  < ≤ <=  − ≤ < ≥ .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2.4. Tính chất đồng dạng (đổi thang đo) VD 8. Cho biết 11 { ( )} ( )sL f t e F s s − = = , ta có: 3 1 1 3 { (3 )} 3 3 3 ss e L f t F s − = =    . Vậy 3 11 1 { (3 )} 3 3 1 s t s eL e f t F s − + −  + = =   +  .  Định lý 4 Nếu { ( )} ( )L f t F s= thì: 1 { ( )} . , Re( ) 0. s L f at F a a a  = >   
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2.5. Biến đổi Laplace của đạo hàm f(n)(t)  Định lý 5 Nếu { ( )} ( )L f t F s= và hàm gốc ( )f t có đạo hàm đến cấp n và các đạo hàm cũng là hàm gốc thì: ( ) 1 2 ( 2) ( 1) { ( )} ( ) (0) (0) ... (0) (0). n n n n n n L f t s F s s f s f sf f − − − − ′= − − − − − Trong đó, ( ) ( ) 0 (0) lim ( ), 0, 1,..., 1k k t f f t k n +→ = = − . Các trường hợp riêng: 2 3 2 { ( )} ( ) (0), { ( )} ( ) (0) (0), { ( )} ( ) (0) (0) (0). L f t sF s f L f t s F s sf f L f t s F s s f sf f ′ = − ′′ ′= − − ′′′ ′ ′′= − − −
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2.6. Biến đổi Laplace của hàm tnf(t)  Định lý 6 Nếu { ( )} ( )L f t F s= thì: ( ){ ( )} ( 1) ( ).n n nL t f t F s= − VD 9. Tìm biến đổi Laplace của hàm: ( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) 2g t y t y t y t′′ ′= − + − , với điều kiện đầu (0) 1, (0) 2y y ′= − = . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 24
Chương 5. Phép biến đổi Laplace b) Biết 1( )atL e s a = − , ta suy ra: 1 1 ! ( ) ( 1) ( ) n n at n n n d n L t e s ads s a +  = − =  − −  . VD 11. Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a) ( ) sin 3g t t t= ; b) 2( ) cos 4g t t t= . VD 10. a) Biết 1(1)L s = , ta suy ra: ( ) 1 1 ! ( ) ( 1) n n n n n L t s s +  = − =    .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 12. Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a) 0 ( ) sin2 t g t x x dx= ∫ ; b) 2 0 ( ) cos 2 t g t x dx= ∫ . 2.7. Biến đổi Laplace của tích phân 0 ( ) t f x dx∫  Định lý 7 Nếu { ( )} ( )L f t F s= thì: 0 ( ) ( ) . t F s L f x dx s    =    ∫
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2.8. Biến đổi Laplace của hàm ( )f t t  Định lý 8 Nếu { ( )} ( )L f t F s= và 0 ( ) lim t f t t+→ ∃ thì: ( ) ( ) . s f t L F u du t +∞  =    ∫  Hệ quả Cho 0s → , ta được: 0 0 ( ) ( ) . f t F u du dt t +∞ +∞ =∫ ∫
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 13. Tìm biến đổi Laplace của: a) hàm gốc 2 ( ) t te e g t t − = . b) hàm tích phân sin: 0 sin Si( ) t x t dx x = ∫ . VD 14. Tính tích phân suy rộng 0 sinx I dx x +∞ = ∫ .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2.9. Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn VD 15. Tìm biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn với chu kỳ 4T = như sau: 2, 0 3 ( ) 0, 3 4 t f t t  < <=  < < .  Định lý 9 Nếu ( )f t là hàm tuần hoàn với chu kỳ 0T > thì: 0 1 { ( )} ( ) . 1 T st sT L f t e f t dt e − − = − ∫
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 17. Tìm biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn chu kỳ 2 0T a= > được mô tả bằng đồ thị sau: VD 16. Tìm biến đổi Laplace của đường sin chỉnh lưu bán sóng chu kỳ 2T π= sau: sin , 0 ( ) 0, 2 t t f t t π π π  < <=  < < . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 25
Chương 5. Phép biến đổi Laplace §3. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC VD 1. Ta có: 3 1 3 4 4 3! 6 ( )L t L t s s −  = ⇒ =    . Chú ý • Phép biến đổi Laplace ngược có các tính chất tương tự phép biến đổi Laplace. 3.1. Định nghĩa • Phép biến đổi Laplace ngược của hàm ( )F s là hàm ( )f t liên tục trên [0; )+∞ và thỏa { ( )} ( )L f t F s= . Ký hiệu là: 1( ) { ( )}.f t L F s−=
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 3.2. Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược 3.2.1. Sử dụng các tính chất VD 2. Cho 2 3 6 ( ) 2 9 s F s s s = − + + . Ta có: 1 1 1 2 1 { ( )} 3 6 2 9 s L F s L L s s − − −      = −     + +    . Vậy 1 2( ) { ( )} 3 6cos 3tf t L F s e t− −= = − . a) Tính chất tuyến tính 1 1 1 1 2 1 2 { ( ) ( )} { ( )} { ( )}.L aF s bF s aL F s bL F s− − −+ = +
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 3. Tìm biến đổi 1 4 2 ( 1) L s −      −   . b) Tính chất dời theo s 1 1{ ( )} { ( )}.atL F s a e L F s− − −+ = VD 4. Tìm biến đổi 1 2 3 6 4 13 s L s s −  +    + +  . c) Tính chất dời theo t 1{ ( )} ( ). ( ).sTL e F s u t T f t T− − = − − VD 5. Tìm biến đổi 1 2 4 se L s π− −      +  .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 6. Tìm biến đổi 1 2 1 3 2 1 sL e s s − −      −     − +    . VD 7. Tìm biến đổi 1 2 2( 4) s L s −      +   . VD 8. Tìm biến đổi 1 1ln 1 s L s −  +    −  . d) Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm 1 ( ) 1 1 ( ) 1 { ( )} ( 1) { ( )}, { ( )} { ( )} . ( 1) n n n n n n L F s t L F s L F s L F s t − − − − = − = −
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 9. Tìm biến đổi 1 2 2 1 ( 2 2) s L s s −   +   + +   . 3.2.2. Phân tích ảnh thành tổng các phân thức tối giản  Phân thức tối giản loại I có dạng: 1 , ( )ns a+ với a là số thực. e) Biến đổi Laplace ngược của tích phân 1 1{ ( )} . ( ) . s L F s t L F x dx +∞ − −    =      ∫
Chương 5. Phép biến đổi Laplace  Phân thức tối giản loại II có dạng: 2 2[( ) ]n Ms N s a k + + + với , , ,M N a k là các số thực. VD 10. Tìm biến đổi 1 2 2 5 2 s L s s −  +    − −  . VD 11. Tìm biến đổi 1 2 2 1 6 13 s L s s −  −    − +  . VD 12. Tìm biến đổi 1 2 2 1 ( 9) L s s −      +   . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 26
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 13*. Tìm biến đổi 1 2 1 ( 4) s L s s −   −   +   . Giải. Ta có: 2 2 1 ( 4) 4 s A Bs C ss s s − + = + + + 2 2 ( ) 4 ( 4) A B s Cs A s s + + + = + . Đồng nhất các hệ số, ta được: 0 1 1 1 , , 1 4 4 4 1 A B C A B C A  + = − =− ⇔ = = =− = .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 14*. Tìm biến đổi 1 2 1 ( 1) L s s −      −   . Giải. Ta có: 2 2 1 1( 1) A B C s ss s s = + + −− 2 2 1 1 1 1 2 . . . 4 4 24 4 s s s s = − − + + . Vậy 1 2 1 1 1 1 cos2 sin2 4 4 2( 4) s L t t s s −   −  = − −  +   . Suy ra: 2 2 1 1 1 4 . 4 4( 4) 4 s s ss s s − + = − + +
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 15*. Tìm biến đổi 2 1 3 3 7 6 s L s s −  −     − +  . Đồng nhất các hệ số, ta được: 1, 1, 1A B C=− =− = . Suy ra: 2 2 1 1 1 1 1( 1) s ss s s =− − + −− . Vậy 1 2 1 1 ( 1) tL t e s s −     = − − +  −   . 2 2 ( ) ( ) ( 1) B C s A B s A s s + + − − = − .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace Giải. Ta có: 2 2 3 3 3 ( 1)( 2)( 3)7 6 s s s s ss s − − = − − +− + 1 2 3 A B C s s s = + + − − + . Quy đồng và đồng nhất các hệ số, ta được: 1 1 3 , , 2 5 10 A B C= = = 2 3 3 1 1 1 1 3 1 . . . 2 1 5 2 10 37 6 s s s ss s − ⇒ = + + − − +− + . Vậy 2 1 2 3 3 3 1 1 3 2 5 107 6 t t tsL e e e s s − −  −   = + +   − +  .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 3.2.3. Sử dụng thặng dư VD 16. Tìm biến đổi 1 2 1 2 s L s s −  −    +  . VD 17. Tìm biến đổi 1 2( 3) ( 5) s L s s −      − +   . VD 18. Tìm biến đổi 1 3 1 ( 2) L s −      +   . Cho ( )F s là phân thức thực sự và k s ( 1,2,..., )k n= là các điểm bất thường cô lập của ( )F s . Khi đó: 1 1 { ( )} Res[ ( ), ]. n st k k L F s e F s s− = =∑
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 0 0 ( )( ) 1 t t t x t x tf g t xe dx e xe dx e t− −∗ = = = − −∫ ∫ . VD 19. Cho hai hàm gốc ( )f t t= và ( ) tg t e= . Ta có: a) Định nghĩa tích chập Tích chập của hai hàm gốc ( ), ( )f t g t được định nghĩa và ký hiệu là: 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) . t f t g t f g t f x g t x dx∗ = ∗ = −∫ VD 20. Xác định tích chập att e∗ ? 3.2.4. Sử dụng tích chập f(t)∗g(t) ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 27
Chương 5. Phép biến đổi Laplace b) Tính chất của tích chập 1) Tính giao hoán: f g g f∗ = ∗ . 2) Tính kết hợp: ( ) ( )f g h f g h∗ ∗ = ∗ ∗ . 3) Tính phân phối: ( )f g h f g f h∗ + = ∗ + ∗ . c) Ứng dụng của tích chập  Định lý Borel Nếu { ( )} ( )L f t F s= và { ( )} ( )L g t G s= thì: { ( ) ( )} ( ). ( ).L f t g t F s G s∗ = Nhận xét 1 1 1{ ( ). ( )} { ( )} { ( )}.L F s G s L F s L G s− − −= ∗
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 21. Tìm biến đổi 1 2 1 ( 1) L s s −      −   . VD 22. Tìm biến đổi 1 2 2 1 ( 1) L s −      +   . VD 23. Tìm biến đổi 1 3 1 ( 2) L s s −      +   .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 24. Tìm biến đổi 1 2( 1)( 1) s L s s −      + −   .  Công thức Duamel Nếu { ( )} ( )L f t F s= , { ( )} ( )L g t G s= và ( )f t′ , ( )g t′ cũng là hàm gốc thì: 1 1 { ( ) ( )} ( ) ( ) (0) ( ), { ( ) ( )} ( ) ( ) (0) ( ). L sF s G s f t g t f g t L sF s G s g t f t g f t − − ′= ∗ + ′= ∗ +
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 3.2.5*. Tìm gốc bằng khai triển chuỗi  Định lý Nếu hàm ảnh ( )F s có khai triển thành chuỗi 1 0 ( ) n n n c F s s ∞ + = =∑ , với | | 0s R> > thì hàm gốc của ( )F s có dạng 0 ( ) ! n n n t f t c n ∞ = =∑ và hội tụ với mọi 0t > . VD 25. Tìm hàm gốc của 1 ( ) 1sF s e= − .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 1 1 1 ( ) . , 0 ! ( 1)! n n t f t t n n −∞ =    ⇒ = ∀ > −  ∑ . VD 26. Tìm hàm gốc của 2 1 ( ) 1 F s s = + . Giải. Ta có: 1 2 22 1 1 1 ( ) 1 1 F s s ss − = = +    + Giải. Ta có: 0 1 1 1 1 ( ) 1 ! ! n n n n F s n s n s ∞ ∞ = =  = − =    ∑ ∑
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 2 1 1 1 ( 1) (2 1)!! 1 . 2 ! n n n n n s n s ∞ + =  − − = +     ∑ . Vậy 2 1 ( 1) (2 1)!! ( ) 1 . (2 )!2 ! n n n n n t f t nn ∞ =  − − = +     ∑ 2 2 2 0 ( 1) 2 ( !) n n n n t n ∞ = − =∑ . …………………………… 3 2 5 3 7 1 1 1.3 1.3.5 ... 2 2 .2! 2 .3!s s s s = − + − + ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, October 23, 2010 Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 28
Chương 5. Phép biến đổi Laplace §4. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 4.1. Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng  Phương pháp giải Xét phương trình vi phân với nghiệm cần tìm là ( )y t . • Bước 1. Biến đổi Laplace hai vế của phương trình vi phân ta thu được một phương trình bậc nhất với hàm cần tìm là ( ) { ( )}Y s L y t= . • Bước 2. Thay điều kiện đầu (nếu có), tìm ( )Y s theo s . • Bước 3. Nghiệm cần tìm là 1( ) { ( )}y t L Y s−= . Chú ý Để đơn giản, ta viết Y thay cho ( )Y s ; y thay cho ( )y t .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 1. Giải phương trình vi phân: 2 3 ; (0) 1ty y e y′ − = = − . VD 2. Giải phương trình vi phân: 33 ; (0) 2ty y e y−′ + = = . VD 3. Giải phương trình vi phân: ; (0) 1, (0) 2y y t y y′′ ′+ = = = − . VD 4. Giải phương trình vi phân: 23 2 4 ; (0) 3, (0) 5ty y y e y y′′ ′ ′− + = = − = . VD 5. Giải phương trình vi phân: 1; (0) (0) (0) 0y y y y y′′′ ′ ′ ′′+ = = = = .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 6*. Giải phương trình vi phân: 4 2 sin2 ; (0) 0, (0) 1y y t y y′′ ′+ = = = − . Giải. Ta có: 2 2 4 . (0) (0) 4 4 s Y s y y Y s ′− − + = + 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 1 . ( 4) 4 4 4 4 Y s s s s s ⇒ = − = − + + + + + . Vậy 1 1 2 2 2 2 2 1 . 4 4 4 y L L s s s − −          = −      + + +      
Chương 5. Phép biến đổi Laplace 4.2. Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng VD 7. Giải hệ phương trình vi phân: 3 0 ; (0) 1, (0) 1 0 x x y x y y x y  ′ + + = = = ′ − + = . sin2 * sin2 cos2y t t t= − 0 cos2 sin2 sin2( ) cos2 t t x t x dx t=− + − −∫ 1 1 cos2 sin2 cos2 4 2 t t t t=− + − .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace Giải. Đặt ( ), ( )X L x Y L y= = . Lấy biến đổi Laplace cả hai phương trình, ta được: (0) 3 0 (0) 0 sX x X Y sY y X Y  − + + = − − + = ( 3) 1 ( 1) 1 s X Y X s Y  + + =⇒ − + + = . Giải hệ bằng công thức Cramer, ta được: 2 2 2 2 1 2 2( 2) ( 2) 4 1 2 2( 2) ( 2) s X ss s s Y ss s  = = − ++ + + = = + ++ + .
Chương 5. Phép biến đổi Laplace VD 8. Giải hệ phương trình vi phân: 2 1 ; (0) 0, (0) 0 2 x y x y y x t  ′ − = = = ′ + = . …………………………Hết………………………… Vậy nghiệm của hệ là 2 2 2 2 2 , 2 . t t t t x e te y e te − − − −  = − = +