Giáo trình Toán cho tin học - Ngành: Tin học ứng dụng

nh. Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 49 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình. Giải: Xét 3x – 2y = 6 Suy ra y = 𝟑𝒙−𝟔 𝟐 Cho x một giá trị t tùy ý ta tính được giá trị tương ứng của y. Ta được công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:  b) Ta có y = 3x−6 2 = 2x+x−6 2 = x + x−6 2 Đặt 𝑥−6 2 = 𝑡 (𝑡 ∈ 𝑍) 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑥 = 2𝑡 + 6 Khi đó nghiệm nguyên của phương trình là: { 𝑥 = 2𝑡 + 6 𝑦 = 2𝑡 + 6 + 𝑡 hay { 𝑥 = 2𝑡 + 6 𝑦 = 3𝑡 + 6 (𝑡 ∈ 𝑍) Cho t một giá trị nguyên nào đó ta được một nghiệm nguyên của phương trình. Chẳng hạn, với t = 1 thì { 𝑥 = 8 𝑦 = 9 với t = 2 thì { 𝑥 = 10 𝑦 = 12 Ví dụ. Tìm nghiệm nguyên (x;y) của phương trình (x – 3)y2 = x2 Giải: Với x = 3 thì phương trình trở thành 0.y2 = 9, vô nghiệm. Với x  3 thì: y2 = 𝒙𝟐 𝒙−𝟑 = 𝒙𝟐−𝟗+𝟗 𝒙−𝟑 = x + 3 + 𝟗 𝒙−𝟑 Do x, y  Z nên 𝟗 𝒙−𝟑  Z Do đó x – 3  Ư(9) = { 1;  3;  9 } Ta có: x - 3 1 -1 3 -3 9 -9 x 4 2 6 0 12 -6 y2 16 -4 12 0 16 -4 y  4 0  4 Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 50 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là: (0 ; 0) ; (4 ; 4) ; (4 ; -4) ; (12 ; 4) ; (12 ; -4) Nhận xét: Phương pháp giải trong ví dụ trên gọi là phương pháp tách ra các giá trị nguyên. 𝐱𝟐 𝐱−𝟑 được tách thành x + 3 + 𝟗 𝐱−𝟑 Vì x + 3 có giá trị nguyên nên 𝟗 𝐱−𝟑 phải có giá trị nguyên, từ đó tìm được x và suy ra giá trị của y. Ví dụ. Giải hệ phương trình. { 𝑥 − 5𝑦 = 19 (1) 3𝑥 + 2𝑦 = 6 (2) Giải. Cách thứ 1: (Giải bằng phương pháp thế) - Rút x từ phương trình (1): x = 19 + 5y (3) - Thế x vào phương trình (2) 3(19 + 5y) + 2y = 6  57 + 15y + 2y = 6  17y = -51  y = -3 Thay y = -3 vào phương trình (3) được x = 19 – 15  x = 4 Vậy { 𝑥 = 4 𝑦 = −3 Cách thứ 2: Giải bằng phương pháp cộng. { x − 5y = 19 (1) 3x + 2y = 6 (2) | 3 1 | (cột bên phải là thừa số phụ) − { 3x − 15y = 57 (1) 3x + 2y = 6 (2) -17 y = 51 (trừ từng vế của hai phương trình) Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 51  y = -3 Thay y = -3 vào (1) được x -5.(-3) = 19  x = 4 Vậy { x = 4 y = −3 Ví dụ. Giải hệ phương trình. { 3 𝑥 + 𝑦 + 10 𝑥 − 𝑦 = 1 5 𝑥 + 𝑦 + 6 𝑥 − 𝑦 = −1 Giải. Điều kiện: x   y Ta đặt (I) { 1 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 (1) 1 𝑥 − 𝑦 = 𝑏 (2) Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành { 3a + 10b = 1 (1) 5a + 6b = −1 (2) | 5 3 | − { 15a + 50b = 5 (1) 15a + 18b = −3 (2)  𝑏 = 1 4 Thay b = 𝟏 𝟒 vào phương trình (1) ta được 3a + 𝟓 𝟐 = 1, 3a = −𝟑 𝟐 , a = − 𝟏 𝟐 Vậy { a = − 1 2 b = 1 4 Thay kết quả này vào hệ (I) ta được { 1 x + y = − 1 2 1 x − y = 1 4  { x + y = −2 x − y = 4  { x = 1 y = −3 (thỏa điều kiện) Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 52 Ví dụ: Giải hệ phương trình ba ẩn số { 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 11 (1) 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7 (2) 𝑥 + 𝑦 = 6 (3) Giải: Rút x từ phương trình (3): x = 6 – y (4) Thế biểu thức của x vào phương trình (1) và (2) được { 6 − 𝑦 + 2𝑦 − 3𝑧 = 11 2(6 − 𝑦) − 𝑦 − 𝑧 = 7  { 𝑦 − 3𝑧 = 5 3𝑦 + 𝑧 = 5 { 𝑦 − 3𝑧 = 5 (1′) 9𝑦 + 3𝑧 = 15 (2′)  { 10𝑦 = 20 𝑦 − 3𝑧 = 5  { 𝑦 = 2 𝑧 = −1 Thay y vào phương trình (4) được x = 6 – 2  x = 4 Do đó { 𝑥 = 4 𝑦 = 2 𝑧 = −1 hay (x;y;z) = (4;2;-1) Nhận xét: Nói chung, để giải hệ phương trình nhiều ẩn ta có thể dùng phương pháp thế. Tùy theo đặc điểm của từng hệ phương trình ta cũng có thể dùng phương pháp cộng. Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 53 BÀI TẬP 1. Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x = –5 có là nghiệm của phương trình không? a) x + 20 = –2x + 5 c) x – 11 = 𝑥 5 – 15 b) 3x = x + 10 d) x2 = x – 20. 2. Hãy cho biết tập nghiệm của các phương trình: a) 5x – 4 = –4 + 5x b) 2x – 3 = 4 + 2x. 3. Hãy thử lại và cho biết các kết luận sau có đúng không? a) x + 9 = 2x – 5  x = 4 b) 𝑥 − √2 = √2  x = √2 c) x2 – 5 = x + 3  x = –3. 4. Hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao? x2 – 4 = 0 và x – 2 = 0. 5. Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau: a) –x + 6 = 0 b) –x2 + 4 = 0 c) √2 x – 7 = 0 d) x(x + 5) = 0 e) 𝑥 4 = −7 f) 4 𝑥 = −7 6. Giải các phương trình sau: a) 7x – 35 = 0 b) 4x – x – 18 = 0 c) x – 6 = 8 – x d) 48 – 5x = 39 – 2x. 7. Tìm giá trị của m sao cho phương trình 2x – 3m = x + 9 nhận x = –5 làm nghiệm. 8. Tìm giá trị của m, biết rằng phương trình: 5x + 2m = 23 nhận x = 2 làm nghiệm. 9. Chọn câu trả lời đúng: Tập nghiệm của phương trình 5 − 2 7 𝑥 = 0 là: A. S = − 35 2 B. S = 35 2 C. S = 10 7 D. S = − 10 7 . 10. Chọn câu trả lời đúng: Xét các khẳng định sau: (I) x + 8 = 0  8 + x = 0 (II) x(x – 9) = 0  x2 – 81 = 0 A. Chỉ có (I) đúng B. Chỉ có (II) đúng Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 54 C. Cả (I) và (II) đều đúng D. Cả (I) và (II) đều sai. 11. Xác định giá trị của m để phương trình sau nhận x = 5 là nghiệm: 4x + m2 = 22. 12. Xác định giá trị của m để phương trình sau nhận x = –3 là nghiệm: (m + 2)x + 6 = m2. 13. Xác định giá trị của m để phương trình (m + 7)x = 2m – 1 vô nghiệm. 14. Giải phương trình (với m là tham số): (m – 2)x = m – 2. 15. Giải phương trình (với a là tham số): (a – 3)x = a(a – 3). 16. Giải các phương trình sau: a) 5x – 8 = 4x – 5 b) 4 – (x – 5) = 5(x – 3x) c) 32 – 4(0,5y – 5) = 3y + 2 d) 2,5(y – 1) = 2,5y. 17. Giải các phương trình sau: a) b) . 18. Giải phương trình sau: = 0. 19. Giải các phương trình sau: a) b) + 2. 20. Giải các phương trình sau: a) 6(x – 7) = 5(x + 2) + x b) 5x – 8 = 2(x – 4) + 3x. 21. Giải phương trình sau: = 1. 22. Tìm giá trị của m sao cho phương trình: (m – 5)x – m = 7 có nghiệm x = 3. 23. Gọi số học sinh lớp 8A của trường M là x học sinh. Viết phương trình biểu thị điều có được sau:2 lần số học sinh lớp 8A cộng thêm 30 học sinh thì bằng 5 lần số học sinh lớp 8A bớt đi 90 học sinh. 24. Chọn câu trả lời đúng: Tập nghiệm của phương trình 4x – 9 = x + 15 là: A. S = B. S = {–8} C. S = {2} D. S = {8} 25. Giải các phương trình sau: Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 55 a) + 3 = 0 b) = 5 26. Giải các phương trình sau: a) = b) = 27. Giải các phương trình sau: a) = b) + ... + = + ... + 28. Giải các phương trình sau với a, b, c là tham số: a) = –3 b) = 3 c) . 29. Giải các phương trình sau: a) = b) = c) + 2. d) = 10. 30. Giải các phương trình sau: (với a, b, c là các tham số) a) + = 1 b) = . 31. Giải các phương trình sau: a) (5x – 3)(4x + 7) = 0 b) x(2x + 1)(5x – 6) = 0 32. Giải các phương trình sau: Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 56 a) 3x(x – 7) + 5(x – 7) = 0 b) (2x – 7)2 – (x + 4)2 = 0. 33. Giải các phương trình sau: a) 5x(x – 9) = 2(x – 9) b) 4x – 28 = 5x(x – 7) 34. Giải các phương trình sau: a) (x2 – 6x + 9) – 25 = 0 b) 16x2 – 8x + 1 = x2 35. Giải các phương trình sau: a) (4x – 3)(x2 – 2x + 4) = (4x – 3)(6x – 12) b) x2 – 25 + 5x(x – 5) = 7(x – 5). 36. Xác định m để phương trình sau có nghiệm bằng 5: (m – 2)x – 3m2 + 10 = 0. 37. Chọn câu trả lời đúng: Tập nghiệm của phương trình 3x(x – 7) = 0 là: A. S = {0} B. S = {3; 0; 7} C. S = {3; 7} D. S = {0; 7}. 38. Chọn câu trả lời đúng: Tính tổng các luỹ thừa bậc 4 các nghiệm của phương trình: 2(x – 1)(x + 3) = 0 A. 80 B. 82 C. 98 D. Một kết quả khác. 39. Giải các phương trình sau: a) x3 + x2 – 6x = 0 b) 6x3 – 3x = –7x2 c) 2x3 + x2 – x + 3 = 0. 40. Giải các phương trình sau: a) (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 b) (x – 5)(x – 6)(x + 2)(x + 3) = 180 c) (x – 7)(x – 6)(x – 5)(x – 4) = 1680. 41. Giải các phương trình sau: a) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) = 18 b) (3x + 2)(2x + 1)(12x + 7)2 = 3 c) (x + 1)(2x + 1)(4x + 3)2 = 810. 42. Giải các phương trình sau: a) (x – 3)(x – 5)(x – 6)(x – 10) = 24x2 b) (x – 4)(x – 5)(x – 8)(x – 10) = 72x2 c) (x + 10)(x + 12)(x + 15)(x + 18) = 2x2. 43. Giải các phương trình sau: a) (x – 6)4 + (x – 8)4 = 272 b) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 57 c) (x – 3)4 + (x + 1)4 = 82. 44. Giải các phương trình sau: a) x4 – 3x3 + 2x2 – 9x + 9 = 0 b) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 c) x4 + x3 + 4x2 + 5x + 25 = 0. 45. Giải các phương trình sau: a) x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0. b) + + (9 – x)3 = 0. c) x3 + x2 – 12x = 0. 46. Giải các phương trình sau: a) + 5 = b) – 2x = 0. 47. Giải các phương trình sau: a) – 4 = b) – 48. Giải các phương trình sau: a) – 2 = b) 49. Giải các phương trình sau: a) b) – 1 = 50. Giải các phương trình sau: a) + x = –6 b) 51. Với giá trị nào của a thì biểu thức sau có giá trị bằng 1: 2a – 52. Chọn câu trả lời đúng: Điều kiện xác định của phương trình: là: A. x ≠ 3 và x ≠ 2 B. x ≠ –3 và x ≠ 2 C. x ≠ –3 và x ≠ –2 D. x ≠ 3 và x ≠ –2 Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 58 53. Chọn câu trả lời đúng: Tập nghiệm của phương trình + là: A. S = {–2} B. S = {2} C. S = {–2; –7} D. S = {–2; } 54. Giải các phương trình sau: a) b) c) . 55. Giải các phương trình sau: a) x2 – x – 18 + = 0 b) x2 + x – 5 – = 0 c) x2 – 4x – 4 – = 0. 56. Giải các phương trình sau: a) b) c) + . 57. Giải các phương trình sau: a) = b) c) 58. Giải các phương trình sau: a) x2 + = 12 b) x2 + = 40 Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 59 c) x2 + = 40. 59. Giải phương trình sau (với m là tham số): 60. Giải các phương trình sau: a) b) = 2. c) x2 + = . d) . 61. Giải các phương trình bậc 2 sau: 1. 2x2 + 6x + 5 = 0 2. x2 − 4x + 4 = 0 3. 2x2 + 7x – 3 = 0 62. Cho phương trình 2x – 5y = 3 a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 63. Tìm x và y biết: |2x + 7y - 17| + (5x – 3y +19)2 = 0 64. Cho phương trình x2 + (2a – 5)x – 3b = 0 Hãy xác định các hệ số a và b sao cho phương trình có hai nghiệm x1 = 2; x2 = -3. 65. Giải hệ phương trình: { 27 𝑥+𝑦 + 21 𝑥−𝑦 = 2 81 𝑥+𝑦 − 105 𝑥−𝑦 = −2 66. Giải hệ phương trình: { 3𝑥 − |𝑦 − 2| = 3 6𝑥 + 5𝑦 = 7 67. Giải hệ phương trình: { 3𝑥 +𝑚𝑦 = 10 𝑥 − 𝑦 = 5 (m là tham số) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) trong đó x = 4; b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 5x + 2y = 32 Bài 3: Một số phương trình cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 60 68. Giải hệ phương trình: { x+y xy = 5 6 y+z yz = 4 3 z+x zx = 3 2 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 61 BÀI 4. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH TOÁN HÌNH HỌC CƠ BẢN Giới thiệu: Bài này cung cấp các khái niệm về hình học như: hình tròn, tam giác, tứ giác, ... Trình bày cách tích chu vi, diện tích, ... của các hình này. Mục tiêu: Nhắc lại các khái niệm về hình học cơ bản. Trình bày các dạng hình học thường gặp. Lập công thức tính được chu vi, diện tích, ... của các hình này. Nội dung chính: 1. Hình tròn Khái Niệm Hình Tròn. Trong hình học phẳng, một hình tròn là một vùng trên mặt phẳng nằm “bên trong” đường tròn. Tâm, bán kính và chu vi của hình tròn chính là tâm và bán kính của đường tròn bao quanh nó. Một hình tròn được gọi là đóng hay mở tùy theo việc nó chứa hay không chứa đường tròn biên. Công Thức Hình Tròn. Trong hệ tọa độ Descartes, hình tròn mở có tâm tại (a, b) và bán kính r là tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn: (X – A)2 + (Y – B)2 < R2 Hình tròn đóng có tâm tại (a, b) và bán kính r là tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn: (X – A)2 + (Y – B)2 ≤ R2 Hình tròn đơn vị Khi bán kính của hình tròn là 1, hình tròn được gọi là hình tròn đơn vị hay đĩa đơn vị (hoặc dĩa đơn vị). Chu vi hình tròn Chu vi hình tròn hay đường tròn là đường biên giới hạn của hình tròn. Công thức của chu vi hình tròn là lấy đường kính nhân với pi hay 2 lần bán kính nhân pi. Công thức của chu vi hình tròn là: Hoặc có thể là: Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 62 Trong đó: - C là chu vi của hình tròn; - d là đường kính hình tròn; - r là bán kính hình tròn. Quan hệ với Pi Số Pi (pi) Chu vi của hình tròn liên quan với Pi. Giá trị của Pi là 3,141592653589793, được quy ước với giá trị gần đúng là 3,14. Các hằng số π được sử dụng phổ biến trong toán học, kỹ thuật và khoa học. Trong khi nó được đặt tên trong toán học thì kỹ thuật và khoa học nó không được đặt tên. Nó được sử dụng bởi radio, lập trình máy tính và hằng số vật lý. Diện tích hình tròn Diện tích hình tròn là diện tích của một hình tròn. Công thức của diện tích hình tròn là S=*r2 với r là bán kính. Diện tích của hình tròn đã được nghiên cứu bởi người Hy Lạp cổ đại. Eudoxus của Cnidus trong thế kỷ thứ 5 TCN đã tìm thấy rằng diện tích hình tròn là tỷ lệ thuận với bình phương bán kính của nó. Archimedes sử dụng các công cụ của hình học Euclide thấy rằng diện tích một hình tròn là tương đương với một tam giác vuông với chiều dài bằng chu vi hình tròn và chiều cao bằng bán kính của hình tròn.  Sử dụng trong đa giác Diện tích của một đa giác đều bằng một nửa chu vi của nó nhân với chiều dài đường trung đoạn của đa giác đều. Khi số lượng các cạnh của đa giác tăng lên, đa giác có xu hướng trở thành một hình tròn và các đường trung đoạn có xu hướng trở thành bán kính của hình tròn đó. Mở rộng Hình tròn được mở rộng ra cho không gian ba chiều thành hình cầu, thể tích nằm trong mặt cầu. Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 63 Không gian Euclid n chiều, một hình tròn n chiều (hay đĩa n chiều) bán kính r là tất cả các điểm có khoảng cách tới một tâm cố định nhỏ hơn (với hình tròn mở) hay nhỏ hơn hoặc bằng (với hình tròn đóng) bán kính r. Một hình tròn n-1 chiều cũng là hình chiếu của hình cầu n chiều xuống một mặt phẳng n-1 chiều. Các hình tròn đơn vị n chiều, ký hiệu, Dn (hay Bn) có tâm tại tâm hệ tọa độ và bán kính bằng 1. 2. Tam giác Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA khi A, B, C không thẳng hàng. Tam giác ABC gồm: - Ba cạnh: AB, BC, CA; - Ba góc: 𝐴,̂ 𝐵,̂ 𝐶 ̂;  Chu vi tam giác Công thức tính chu vi tam giác thường áp dụng cho tất cả các dạng tam giác thường phổ biến với các cạnh thay đổi. P = a + b + c Trong đó: a, b, c lần lượt là ba cạnh của tam giác.  Diện tích tam giác - Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó - Công thức Heron Gọi S là diện tích và độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a, b, và c. 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) với p là nửa chu vi của tam giác: 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 64 * Đặc biệt: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông. 𝑆 = 1 2 𝑎. 𝑏 3. Tứ giác - Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB,BC,CD,DA trong đó bất kì đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. - Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. - Tổng các góc của một tứ giác bằng 360o. 3.1. Hình thang Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Tính chất: - Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. - Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.  Hình thang vuông Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 65 Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.  Hình thang cân Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Tính chất: - Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. - Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. Dấu hiệu nhận biết: - Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân 3.2. Hình bình hành Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song Tính chất - Các cạnh đối bằng nhau - Các góc đối bằng nhau - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Dấu hiệu nhận biết: Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 66 - Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. - Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. - Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. - Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. - Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. 3.3. Hình chữ nhật Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Tính chất: - Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bìnhhành, của hình thang cân.- Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắtnhau tại trung điểm của mỗi đường Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. - Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. - Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật 3.4. Hình thoi Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau Tính chất: – Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 67 – Hai đường chéo vuông góc với nhau – Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. Dấu hiệu nhận biết: – Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi – Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi – Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi – Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi 3.5. Hình vuông Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi Dấu hiệu nhận biết: – Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông – Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông – Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông – Hình thoi có một góc vuông là hình vuông – Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Nhận biết: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông * Diện tích tứ giác Tứ giác Công thức Hình vẽ 1. Hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó. S  a b a: là độ dài chiều rộng b: là độ dài chiều dài Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 68 2. Hình vuông: Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S  a2 a: độ dài 1 cạnh hình vuông 3. Hình thang: Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao 𝑆 = 1 2 (𝑎 + 𝑏)ℎ a: Độ dài đáy lớn b: Độ dài đáy nhỏ h: Độ dài đường cao 4. Hình bình hành: Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tương ứng của nó. S  h: Độ dài chiều cao a: Độ dài cạnh tương ứng 5. Hình thoi: Diện tích của hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo 𝑆 = 1 2 𝑐. 𝑑 c;d: là độ dài hai đường chéo của hình thoi 6. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích bằng nửa tích hai đường chéo. 𝑆 = 1 2 𝑑1𝑑2 d1, d2: là độ dài hai đường chéo Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 69 4. Hình lăng trụ đứng Trong hình lăng trụ đứng: - A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ là các đỉnh - Các mặt ABB’A’, BCC’B’ là những hình chữ nhật, gọi là các mặt bên. - Các đoạn AA', BB’, CC’, DD’ song song với nhau và bằng nhau, gọi là các cạnh bên. - Hai mặt ABCD, A’B’C’D’ là hai đáy Hình lăng trụ có hai đáy là tứ giác nên gọi là lăng trụ đứng tứ giác. Kí hiệu: ABCD.A’B’C’D’ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng. * Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao. Sxq = 2.p.h (p là nửa chu vi đáy, h là chiều cao) Diện tích toàn phần của lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy. * Thể tích của hình lăng trụ đứng Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng: V = S.h (S là diện tích đáy, h là chiều cao )  Hình hộp chữ nhật. - Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là các hình chữ nhật. - Nếu các kích thước của hình hộp chữ nhật là a, b, c (cùng đơn vị đo) thì thể tích của hình hộp chữ nhật đó là: V = a.b.c  Hình lập phương - Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt là những hình vuông. - Thể tích của hình lập phương cạnh a là: V = a3 5. Hình chóp  Hình chóp - Hình chóp là hình có mặt đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh chung này gọi là đỉnh của hình chóp. Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 70 - Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao của hình chóp. - Hình bên là hình chóp S.ABCD có đỉnh là S, đáy là tứ giác ABCD, ta gọi là hình chóp tứ giác.  Hình chóp đều Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh (S là đỉnh của hình chóp).  Hình chóp cụt đều Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp gọi là hình chóp cụt đều. Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân - Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn Sxq  p.d (p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn của hình chóp đều) - Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy. - Công thức tính thể tích: V= 1 3 S.h (S là diện tích đáy, h là chiều cao). Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 71 BÀI TẬP 1. Cho lần lượt ba cạnh của tam giác ABC là a) a = 7, b = 4, c = 2; b) a = 5, b = 6, c = 9; c) a = 3, b = 4, c = 5; d) a = 6, b = 6, c = 8; Xác định tam giác, loại tam giác. Tính chu vi diện tích. 2. Cho hình tròn tâm O. Tính chu vi, diện tích của hình tròn, biết: a) Bán kính = 5 cm b) Bán kính = 3 cm 3. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật khi biết lần lượt 2 cạnh và chiều cao như sau: a) 5cm, 4cm, 6cm; b) 7cm, 2cm, 3cm; 4. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh và đường cao lần lượt như sau: a) 4cm, 7cm; b) 3cm, 5cm; Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của các hình trên. Bài 5: Ma trận KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 72 Bài 5. MA TRẬN Giới thiệu: Bài này cung cấp khái niệm về ma trận; Các dạng ma trận và các phép toán cơ bản trên ma trận. Mục tiêu: + Trình bày khái niệm ma trận + Trình bày các phép toán cơ bản trên ma trận + Trình bày ma trận vuông và các khái niệm liên quan 1. Ma trận  Định nghĩa: Ma trận A cấp m n trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được biểu diễn như sau: ( 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 ) = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛, ∀𝑖 = 1,𝑚 ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑗 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅ Trong đó: - Aij R: là phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận A - m: số dòng của ma trận A, - n: số cột của ma trận A. - (ai1 ai2 . . . ain): dòng thứ I của ma trận A. - ( 𝑎1𝑗 𝑎2𝑗 . . . 𝑎𝑚𝑗) : 𝑐ộ𝑡 𝑡ℎứ 𝑗 𝑐ủ𝑎 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐴. Ký hiệu Mmn(R) là tập hợp các ma trận cấp mn trên R. 2. Các dạng đặc biệt của ma trận. 2.1. Ma trận dòng Ma trận dòng là ma trận có một dòng và n cột, ký hiệu là A = (a1 a2 ... an) Ví dụ: (2 −8 3) 2.2. Ma trận cột Bài 5: Ma trận KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 73 Ma trận cột là ma trận có m dòng và một cột, ký hiệu là: 𝐴 = ( 𝑎1 𝑎2 ⋮ 𝑎𝑚 ) 𝑉í 𝑑ụ: 𝐴 = ( 1 3 −4 0 ) 2.3. Ma trận không (0) Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu 0 = 0mn Ví dụ: 0 = 032 = ( 0 0 0 0 0 0 ); 0 = ( 0 0 0 0 ) 2.4. Ma trận vuông cấp n Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng n, ký hiệu là ( 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 ) = (𝑎𝑖𝑗)𝑛 Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu: AMn (R). Đường thẳng đi qua các phần tử a11, a22 , a33 ,..., ann được gọi là đường chéo chính của ma trận A. Đường thẳng đi qua các phần tử a1n, a2(n-1) , a3(n-2), ..., an1 được gọi là đường chéo phụ của ma trận A. Ví dụ ( 1 1 −4 1 2 0 −4 0 −3 ) là một ma trận vuông. Đường thẳng đi qua các phần tử 1,2,- 3 là đườn