Giáo trình Phương pháp toạ độ trong không gian

. Tìm sao cho MA + MB nhỏ nhất với: a) A(1; 1; 2), B(2; 1; -3) và mp: 2x + y - 3z - 5 = 0. b) A(-7; 4; 4), B(-6; 2; 3) và mp: 3x - y - 2z + 19 = 0. c) A(1; 0; 2), B(2; -1; 3) và mp: x - 2y + z - 4 = 0. d) A(1; 1; 0), B(0; -1; 1) và mp: x - 2y + z - 4 = 0. e) A(0; 1; 2), B(1; 2; -1) và mp: x - 2y + z - 4 = 0. f) A(0; -1; -1), B(1; -1; 0) và mp: x - 2y + z - 4 = 0. Phần 4: Phương trình đường thẳng I. Phương trình đường thẳng A. Lý thuyết cần nhớ 1. Phương trình tổng quát: là giao tuyến của hai mp(P) và (Q) có vectơ chỉ phương: . 2. Phương trình tham số: là đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương 3. Phương trình chính tắc: là đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương B. Bài tập 1. Cho A(1; 4; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 4). Viết phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của các đường thẳng AB, BC, CA. 2. Cho mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8) và điểm D(-3; 1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (P). a) Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng AC. b) Viết phương trình qua D và vuông góc với mặt phẳng (P). 3. Cho điểm A(-2; 4; 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0. a) Viết phương trình của mp(Q) chứa điểm A và song song với mp(P). Tính b) Tìm chân đường vuông góc H hạ từ A xuống mp(P) bằng cách viết phương trình đường thẳng. 4. Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau: a) Qua (2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương b) Qua (-2; 0; 5) và có vectơ chỉ phương c) Qua hai điểm A(2; 3; -1) và B(1; 2; 4). d) Qua hai điểm A(3; 1; -5) và B(2; 1; -1). e) Qua hai điểm A(1; 2; -7) và B(1; 2; 4). f) Qua (3; 4; 1) và song song với đường thẳng (d): x = 1 + 25t, y = -4t, z = 5 + 3t. g) Qua (2; 0; -5) và song song với đường thẳng (d): h) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Ox. i) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oy. j) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oz. k) Qua hai điểm A(1; -1; 0) và B(0; 1; 2). l) Qua A(1; 3; -1) và có vectơ chỉ phương m) Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2). n) Qua A(2; 3; 5) và vuông góc với mỗi mặt phẳng toạ độ. o) Qua hai điểm A(-2; 1; 3) và B(4; 2; -2). p) Qua A(1; 4; -2) và song song với đường thẳng . q) Nằm trong mp x + 3y - z + 4 =0 và vuông góc với đt tại giao tuyến của mp và đt. r) Qua điểm (3; 2; 1) và vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng đó. s) Qua điểm (-4; -5; 3) và cắt cả hai đường thẳng: ; t) Qua (2; 1; -1) và tựa trên hai đường thẳng: ; u) Qua (0; 1; 1), vuông góc với đt: và cắt đt: v) Qua (3; -1; -4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng 2x + y = 0. w) Qua (1; 1; 1) cắt trục Oz và cắt đường thẳng . x) Qua (1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng x = 1 + 2t, y = t, z = 3 - t; . y) Nằm trong mp y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng: x = 1-t, y = t, z = 4t; x = 2- t, y = 4 + 2t, z = 1. z) Song song với đt x = 3t, y = 1 - t, z = 5+ t và cắt 2 đt ; . 5. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của: a) Các cạnh của tứ diện ABCD. b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD). c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD. 6. Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Hãy viết pt tham số, chính tắc, tổng quát của: a) Đường thẳng AG với G là trọng tâm của tam giác ACD. b) Đường cao AH của tứ diện. 7. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến: ; a) Viết phương trình tham số và chính tắc các cạnh của tam giác. b) Viết phương trình chính tắc của đường phân giác góc A. 8. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng: a) b) c) d) e) f) 9. Cho hai mặt phẳng (P): 2x - y + z + 2 = 0, (Q): x + y + 2z - 1 = 0. a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên cắt nhau. b) Viết phương trình tham số của giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q). c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). II. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng A. Lý thuyết cần nhớ Cho mpcó vectơ pháp tuyến đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương 1. và 2. và 3. . Cách khác: Giải hệ phương trình của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). 1. Hệ vô nghiệm 2. Hệ có nghiệm duy nhất 3. Hệ có vô số nghiệm B. Bài tập 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P): a) (d): ; (P): 3x + 5y - z - 2 = 0. b) (d): ; (P): 3x - 3y + 2z - 5 = 0. c) (d): ; (P): x + 2y - 4z + 1 = 0. d) (d): x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + t; (P): x + y + z - 10 = 0. e) (d): ; (P): 3x - y + 2z - 5 = 0. f) (d): ; (P): 5x - z - 4 = 0. g) (d): ; (P): y + 4z + 17 = 0. h) (d): x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + t; (P): x + y + z - 10 = 0. 2. Cho đường thẳng (dm): a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (dm) luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh rằng đường thẳng (dm) luôn nằm trên một mặt phẳng (P) cố định. c) Tính thế tích khối tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (P) và các mặt phẳng toạ độ x = 0; y = 0; z = 0. III. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng. A. Lý thuyết cần nhớ Cho hai đường thẳng: (d) qua điểmvà có vectơ chỉ phương . (d’) qua điểm và có vectơ chỉ phương . 1. Hai đường thẳng không đồng phẳng (chéo nhau) . 2. Hai đường thẳng đồng phẳng . a) Hai đường thẳng cắt nhau hoặc hoặc b) Hai đường thẳng song song và hoặc hoặc () c) Hai đường thẳng trùng nhau và () Cách khác: Xét hệ phương trình hai đường thẳng: 1. và cùng phương. a) b) 2. và cùng phương. a) hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b) (d) chéo () hệ phương trình vô nghiệm. * Hai đường thẳng vuông góc Cách khác: Xét các tích có hướng và tích vô hướng sau: , ; . 1. Hai đường thẳng trùng nhau 2. Hai đường thẳng song song 3. Hai đường thẳng cắt nhau 4. Hai đường thẳng chéo nhau B. Bài tập 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1) và (d2) sau: a) ; x = -2 + 2t, y = -t, z = 2 + t. b) ; x = t - 1, y = -t, z = 3t - 2. c) x = 5 + 2t, y = 1 - t, z = 5 - t; x = 3 + 2t’, y = - 3 - t’, z = 1 - t’. d) ; . e) ; . f) ; . g) ; . h) x = 9t, y = 5t, z = - 3 + t; i) ; j) x = 2 + 2t, y = -1 + t, z = 1; x = 1, y = 1 + t, z = 3 - t. k) ; . l) x = t, y = 1 + 2t, z = 4 + 5t; . IV. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng - đường thẳng và đường thẳng. A. Lý thuyết cần nhớ 1.Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. 2.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng là nghiệm của hệ đường thẳng và đường thẳng. B. Bài tập 1. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: a) x = 2t - 1, y = t + 2, z = t = 3; x - y + z - 4 = 0. b) ; 3x + y - z + 1 =0. c) x = 5 + 3t, y = 2t, z = -25 - 2t; 2x + 3y + z + 5 = 0. d) ; x - 3y + z - 1 = 0. 2. Tìm m để đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau. a) Đường thẳng x = m + t, y = 2 - t, z = 3t cắt mặt phẳng 2x - y + z - 5 = 0 tại điểm có tung độ bằng 3. b) Đưởng thẳng cắt mặt phẳng 2x + y + 2z - 2m = 0 tại điểm có cao độ bằng -1. c) Mặt phẳng x + y + z + m = 0 cắt đường thẳng 3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng: a) x = 3t, y = 1 - 2t, z = 3 + t; x = 1 + t, y = 2t, z = 4 + t. b) ; . c) ; d) ; x = 1 + t, y = -2 + t, z = 3 - t. 4. Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau, tìm toạ độ giao điểm: a) x = 1 + mt, y = t, z = -1 + 2t; x = 1 - t, y = 2 + 2t, z =3 - t. b) ; . c) x = 1 - t, y = 3 + 2t, z = m + t; x = 2 + t’, y = 1 + t’, z = 2 - 3t’. V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng. A. Lý thuyết cần nhớ 1. Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng qua điểm Mo có vectơ chỉ phương . 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: (d) qua điểm M và có vectơ chỉ phương và (d’) qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương là: 4. Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng. B. Bài tập 1. Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d) có phương trình: . a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d). b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d). 2. Tính khoảng cách: a) Từ điểm A(1; 0; 0) đến đường thẳng (d): b) Từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng c) Từ điểm M(1; -1; 1) đến đường thẳng d) Từ điểm M(2; 3; -1) đến đường thẳng . e) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: x = 2 + 2t, y = -1 + t, z = 1; x = 1, y = 1 + t, z = 3 - t. f) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: ; . g) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: x = 1, y = -4 + 2t, z = 3 + t; x = -3u, y = 3 + 2u, z = -2. h) Giữa hai đường thẳng song song: x = 3 + 2t, y = 4 + 3t, z = 2 + t; x = 4 + 4t, y = 5 + 6t, z = 3 + 2t. i) Giữa đường thẳng x = 1 - 2t, y = t, z = 2 + 2t và mặt phẳng x + z + 8 = 0 j) Giữa hai đường thẳng và . 3. Chứng minh hai đường thẳng sau song song và tìm khoảng cách giữa chúng: : ; : . VI. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. A. Lý thuyết cần nhớ 1. Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương và . Đặc biệt: 2. Góc giữa đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương và mp có vectơ pháp Đặc biệt: hoặc B. Bài tập 1. Tính góc hợp bởi các cặp đường thẳng sau: a) x = 9t, y = 5t, z = -3 + t; . b) ; x = 2 + 3t, y = -1, z = 4 - t. c) và các trục toạ độ. d) x = 1 + 2t, y = -1 + t, z = 3 + 4t; x = 2 - t, y = -1 + 3t, z = 4 + 2t. e) ; . f) ; . g) ; . h) x = 3 + t, y = -2 -t, z = 1+ ; . i) ; j) ; . 2. Tính góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng sau: a) ; 2x - y - 2z - 10 = 0. b) x = 2 + t, y = 1 - t; x + y-z - 5 = 0. c) ; 3x + y - z + 1 = 0. d) ; 3x - 4y + 2z - 5 = 0. e) x = 1, y = 2 + t, z = 3 + t; x + z + 4 = 0. 3. Cho mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0 và ba đường thẳng: (d1): (d2): (d3): a) Tìm góc giữa ba cặp đường thẳng. b) Tìm góc giữa ba đường thẳng và mặt phẳng (P). c) Tìm giao điểm của (d3) và (P). 4. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: 5. Tìm m để góc giữa hai đt sau đây bằng 60o: x=-1+ t, y= -t, z = 2 + t; x=2+ t, y=1+t, z=2+ mt. VII. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng, điểm đối xứng qua đường thẳng. A. Lý thuyết cần nhớ 1. Hình chiếu H(x; y; z) của điểm lên đt (d) qua và có vtcp Vậy Giải ra ta được 2. Điểm đối xứng M’(x; y; z) với qua đt (d) qua và có vtcp - Tìm H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d). - Áp dụng công thức trung điểm tìm (x; y; z). Cách khác: Toạ độ trung điểm MM’ là nằm trên đường thẳng (d). Ta có: B. Bài tập 1. Tìm A’ đối xứng với A qua (d) với: a) A(1; 2; -1) và đường thẳng (d): . b) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d): c) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d): x = 2t, y = 1 - t, z = -1 + 2t. d) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d): . e) A(2; -1; 3) và đường thẳng (d): f) A(4; -3; 2) và đường thẳng (d): . g) A(2; -1; 1) và đường thẳng (d): h) A(3; -1; 2) và đường thẳng (d): 2. Cho đường thẳng (d): x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3t và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0. a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến (P) bằng 1. b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d). Hãy xác định toạ độ điểm K. 3. Cho M(1; 2; -1) và đt (d): . N là điểm đối xứng của M qua (d). Tính MN. 4. Cho (d1): và (d2): x = t, y = 1 + 2t, z = 4 + 5t. B và C lần lượt là điểm đối xứng của A(1; 0; 0) qua (d1) và (d2). Tính diện tích tam giác ABC. VIII. Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng A. Kiến thức cần nhớ Hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P): - Tìm mặt phẳng (Q) đi qua (d) và vuông góc với mặt phẳng (P). - Hình chiếu chính là giao điểm của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q). B. Bài tập 1. Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) với: a) (d): ; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0. b) (d): ; (P): 2x - y + z - 1 = 0. c) (d): ; (P): x + 2y -z - 1 = 0. d) (d): ; (P): 2x - y - 3z + 5 = 0. 2. Trong không gian cho đường thẳng (d) có phương trình: . a) Viết phương trình hình chiếu (d’) của (d) lên mp(Oxy). b) Chứng minh khi m thay đổi, (d’) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. IX. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau A. Lý thuyết cần nhớ Viết phương trình đường vuông góc chung (d) của hai đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2): - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua (d2) và song song với (d1). - Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d1) và vuông góc với (P). - Đường vuông góc chung chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). B. Bài tập 1. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau, tìm đường vuông góc chung của chúng. a) x = 1 - 2t, y = 3 + t, z = -2 - 3t; x = 2t, y = 1 + t, z = 3 - 2t. b) ; x = 1 + t, y = -2 + t, z = 3 - t. c) ; d) x = 1 + 2t, y = 2 - 2t, z = -t; x = 2t, y = 5 - 3t, z = 4. e) ; f) ; g) ; » --------------------------------------- « +> Cám ơn bạn đã tải và sử dụng Ebook, Đề thi, Đề Kiểm tra miễn phí từ CtnSharing.Com +> CtnSharing.Com, trang tải Ebook, Đề thi, Đề Kiểm tra Update liên tục trong ngày ... » --------------------------------------- « InFo » --------------------------------------- « Admin Họ và tên: Nguyễn Lê Hoàng Yahoo: CtnSharing@yahoo.com Bir: 24/04/1992 Địa Chỉ: Toán K19 – Chuyên Thái Nguyên Phone: 01694614654 Email: CtnSharing@gmail.com » --------------------------------------- « wWw.CtnSharing.Com » --------------------------------------- «