Giáo trình môn học Toán học

song song của M trên   theo phương  .   :mặt phẳng chiếu  : phương chiếu  M' M Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mp   được gọi là phép chiếu song song lên   theo phương  . H’={ M’/ M’ là hình chiếu của M,MH được gọi là hình chiếu của H qua phép chiếu song song. Chú ý. Ta chỉ xét các hình chiếu của những đường thẳng có phương không trùng với phương chiếu. 2. Các tính chất của phép chiếu song song Định lý 1. Ảnh của 3 điểm thẳng hàng là 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa 3 điểm đó.   C'B'A' A B C Định lí 2. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tia thành tia. Định lí 3. Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau. a' b' a b   b a a'  b'   3. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng 59 Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó. Chọn phương chiếu và biểu diễn hình của hộp phấn lên mặt phẳng bảng. Bài tập Bài 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau. b) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau. c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau. d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau, trùng nhau, song song với nhau. Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau. b) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau. c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau. d) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu song song với nó. e) Một đườngthẳng luôn cắt hình chiếu song song của nó. f) Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu song song của nó. Bài 3. Tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm tam giác A’B’C’ Bài 4. Vẽ hình biễu diễn của một tam giác nội tiếp trong một đường tròn Bài 5. Vẽ hình biễu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn. Chương III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN MỤC TIÊU 60 - Trình bày được khái niệm về vectơ trong không gian và các phép toán cộng vectơ, nhân vectơ với một số, sự đồng phẳng của ba vectơ; - Trình bày được định nghĩa vuông góc của đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt phẳng và sử dụng điều kiện vuông góc của đưởng thẳng và mặt phẳng vào việc giải toán; - Trình bày được khái niệm về cách tính góc, khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian. - Chứng minh được hai đường thẳng vuông góc với nhau, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc với nhau; - Tính được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng với nhau; - Tính được khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian. NỘI DUNG CHÍNH Bài 1. VECTƠ KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa hoàn toàn giống như chương I. Đó là những khái niệm : vectơ, các vectơ cùng phương, các vectơ cùng hướng, độ dài vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng phép trừ vectơ và các tính chất, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng. Dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian. 1. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Chứng minh rằng AA' 'AB AD AC   . Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Ta có AA' 'AB AD AC   . Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Gọi G là trung điểm MN. Chứng minh 61 a. 0GA GB GC GD    b. 1 ( ) 2 MN AD BC  Giải a.  2 2 2 0GA GB GC GD GM GN GM GN        b.       2 2 1 2 AD AM MN ND BC BM MN NC AD BC AM BM MN ND NC MN MN AD BC                  2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ Định nghĩa. Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng. Ở hình trên các đường thẳng chứa 3 vectơ , ,a b c đều song song với mặt phẳng   nên ba vectơ này đồng phẳng. Từ định nghĩa đó ta suy ra: nếu ta vẽ , ,OA a OB b OC c   thì ba vectơ , ,a b c đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O, A, B, C nằm trên cùng một phẳng. Định lí 1. Cho 3 vectơ , ,a b c trong đó ,a b không đồng thời đồng phương. Khi đó ba vectơ , ,a b c đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số k, l sao cho c ka lb  . 62 Định lí 2. Nếu , ,a b c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mọi vectơ x ta đều có: x ka lb mc   trong đó bộ ba số k, l, m là duy nhất. 2. Cho hinh hộp ABCDA’B’C’D’. Đặt , ,AA 'AB a AD b c   . Biểu thị các vectơ ', ', 'DC AC BD theo , ,a b c . Bài tập Bài 1. Trong không gian cho 4 điểm tùy ý A, B, C, D. Chứng minh rằng: . . . 0AB DC BC DA CA DB   Bài 2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc. Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là bốn điểm lấy trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song thì bốn điểm P, Q, M, N đồng phẳng Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cóAB = 3, AD = 4, AA’= 5, đặt , ' ,BA a BB b BC c   . Hãy phân tích 'BD theo các véctơ , ,a b c Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng Định nghĩa 1. Trong không gian cho ,a b . Lấy điểm O tùy ý, dựng ,OA a OB b  . Khi đó góc AOB là góc giữa hai vectơ ,a b . Kí hiệu  ,a b . 1. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Xác định   , ' ' , ' 'AC A B BD C D 2. Hai đường thẳng vuông góc Định nghĩa 2. Vectơ 0u  có giá song song hoặc trùng với đường thẳng a gọi là vectơ chỉ phương của a. 63 Định nghĩa 3. Trong không gian cho đường thẳng a, b. Lấy điểm I tùy ý, qua I vẽ đường thẳng a’, b’ lần lượt song song với a, b. Khi đó góc giữa đường thẳng a, b là góc giữa đường thẳng a’, b’. Khí hiệu    ; '; 'a b a b   Nhận xét. Gọi ,u v lần lượt là vectơ chỉ phương của a, b. Khi đó             0 0 0 ; ; : ; 90 ; 180 ; : ; 90 a b u v u v a b u v u v        . Định nghĩa 4. Hai đường thẳng a, b vuông góc khi góc giữa hai đường thẳng a, b bằng 090 . Kí hiệu a b . 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ kể tên các cặp đường thẳng vuông góc? Bài tập Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:       . ; . ; . ; a AB EG b AF EG c AB DH Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng a. . . . 0AB CD AC DB AD BC   b. Từ đẳng thức trên chứng minh rằng nếu ,AB CD AC DB  thì AD BC Bài 3. a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không? 64 b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không? Bài 4. Cho hai tam giác đều ABC và ABC' trong không gian nói chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC' và C'A. Chứng minh rằng: a) 'AB CC b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Bài 5. Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'D'có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O'. Chứng minh rằng 'AB OO và CDD'C' là hình chữ nhật. Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đó. ( ) ( ) a d d a         a d  1. Nêu các hình ảnh thực tế về đường thẳng vuông góc mặt phẳng. 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định lí 1. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng ( ) . Tóm tắt điṇh lí: ( ) , ( ) d a d b d a b a b I              65 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, đường thẳng d vuông góc với AB, AC. Chứng minh d vuông góc với BC. Giải Ta có ( ) , ( ) d AB d AC d ABC d BC AB AC ABC AB AC A              Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại 3. Tính chất Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường cho trước. d α O Mặt phẳng trung trực: Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó. Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước 4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Tính chất 1. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. ( ) ( ) / / a b a b a b          Tính chất 2. Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. / / ( ) ( ) a b b a        66 Tính chất 3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. ( ) ( ) ( ) / /( ) ( ) ( ) a a              Tính chất 4. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại. ( ) / /( ) ( ) ( ) a a          Tính chất 5. / /( ) ( ) a a b b        Tính chất 6 ( ) / /( ) ( ) a b a a b           2. Phát biểu bằng lời tính chất 5 và 6. 5. Phép chiếu vuông góc. Định lí ba đường vuông góc Phép chiếu vuông góc Trong không gian cho mặt phẳng ( ) , với điểm M bất kỳ ta dựng đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( ) cắt ( ) tại điểm M’. Khi đó M’ gọi là hình chiếu vuông góc của M (hay hình chiếu) của M lên ( ) . Ví dụ 1. Xác định hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( ) . Ta tìm hình chiếu của A, B lên mặt phẳng ( ) ta được điểm H, K. HÌnh chiếu của đường thẳng AB là đường thẳng HK. Định lí ba đường vuông góc Đường thẳng a chứa trong mặt phẳng   , gọi b’ là hình chiếu của b lên mặt phẳng   . Khi đó đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b khi và chỉ khi a vuông góc với đường thẳng b’. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 67 Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của đường thẳng đó lên mặt phẳng. 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mặt đáy, SA=a. a. Chứng minh ( )CD SAD b. Chứng minh tam giac SBC vuông c. Tinh góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Bài tập Bài 1. Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng a, b. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? a) Nếu a  (α), b  (α) thì a  b. b) Nếu a // (α), b // a thì b  (α). c) Nếu a  (α), b // (α) thì b  a. d) Nếu a // (α), b  a thì b //(α). Bài 2. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI) b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD). Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SB = SC = SD. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). 68 Bài 4. Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) SO  (α) b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SD sao. Chứng minh: a) BD  SC b) IK  mp(SAC) Bài 7. Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu trên (α) là điểm H. Với điểm M bất kì trên (α) và không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng: a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau; b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Bài 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1. Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa 1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng ( ), ( )  là góc giữa hai đường thẳng a và b. 69 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau + Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. + Trên giao tuyến lấy điểm I, qua I dựng hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến và nằm trong hai mặt phẳng. + Góc giữa hai đường thẳng đó chính là góc giữa hai mặt phẳng. 1. Nhìn vào hình vẽ, xác định góc giữa hai mặt phẳng. 2. Hai mặt phẳng vuông góc Định nghĩa 2. Hai mặt phẳng ( ), ( )  gọi là vuông góc với nhau khi góc giữa hai mặt phẳng bằng 090 . Kí hiệu ( ) ( )  Định lí 1. Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d vuông góc với mp ( ) thì ( ) và ( ) vuông góc. 2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Chỉ ra các cặp mặt phẳng vuông góc. Hệ quả 1. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng chứa trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. Hệ quả 2. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, một đường thẳng đi qua một điểm của mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì đường thẳng đó chứa trong mặt phẳng Định lí 2: Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của nó cũng vuông góc với mặt phẳng đó. 70 3. Dựa vào hình vẽ nêu cách chứng minh của định lí. 3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương Định nghĩa 3 Hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc mặt đáy gọi là hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chũ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và cạnh bên bằng cạnh đáy là hình lập phương. 4. Vẽ hình lăng trụ đứng tam giác, hình hộp chữ nhật. 4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều Định nghĩa 4. Hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy trùng với tam của đa giác đáy gọi là hình chóp đều. Ví dụ 1. Hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông ABCD Hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy là tâm O của hình vuông ABCD. Định nghĩa 5. Hình chóp cụt đều là hình chóp đều bị cắt đi phần trên bởi một mặt phẳng song song với đáy. Ví dụ 2. Hình chóp cụt ngũ giác đều 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5' ' ' ' 'A A A A A A A A A A . 71 Bài tập Bài 1. Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ), những mệnh đề nào sau đây đúng? a) Nếu (α) (β) và (α) // (γ) thì (β)  (γ). b) Nếu (α)  (β) và (α)  (γ) thì (β) // (γ). Bài 2. Cho hai mặt phẳng (α), (β) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến Δ của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8cm. Gọi C là một điểm trên (α) và D là một điểm trên (β) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến Δ và AC = 6cm, BD = 24cm. Tính độ dài đoạn CD. Bài 3. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A. Chứng minh rằng: a) (ABD) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) b) HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mp(P) đi qua A và vuông góc với DB. Bài 4. Cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau và một điểm M không thuộc (α) và (β). Chứng minh rằng qua điểm M có một và chỉ một mặt phẳng (P) vuông góc với (α) và (β). Nếu (α) // (β) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào? Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: a) Mặt phẳng (AB'C'D) vuông góc với (BCD'A') b) Đường thẳng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD) Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng: a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). 72 b) Tam giác SBD là tam giác vuông. Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có AB = a, BC= b, CC'= c. a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC'B') vuông góc với mặt phẳng (ABB'A'). b) Tính độ dài đường chéo AC' theo a, b và c. Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. a) Tính độ dài đoạn SO. b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) vuông góc với nhau. c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD). Bài 5. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng 1. Nêu cách xác định khoảng cách từ một điểm đến môt đường thẳng Định nghĩa 1. Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn thẳng nối điểm đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song 73 2. Cho / /( )a  , lấy ,A B a . Chứng minh khoảng cách từ A, B đến ( ) bằng nhau. Định nghĩa 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng. 3 . Cho ( ) / /( )  , lấy , ( )A B  . Chứng minh khoảng cách từ A, B đến ( ) bằng nhau. Định nghĩa 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Định nghĩa 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Đường thẳng c cắt và vuông góc với cả a và b gọi là đường vuông góc chung của a và b. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của c với a, b. Khi đó đoạn IJ gọi là đoạn vuông góc chung. 74 Định nghĩa 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách ngắn nhất nối hai điêm thuộc hai đường thẳng đó. Định lí. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung. Bài tập Bài 1. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng? a) Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ a và Δ  b. b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với (P). c) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ). d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b. e) Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia. Bài 2. Cho tứ diện S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy. b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC). c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA. 75 Bài 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A', B' và D' đến đường chéo AC' đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó. Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC'A'). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và AC'. Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' a) Chứng minh rằng B'D vuông góc với mặt phẳng (BA'C') b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA'C') và (ACD) c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD' Bài 6. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC. Bài 7. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC). Bài 8. Cho tứ diện ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó. Chương IV: MẶT TRỤ, MẶT NÓN, MẶT CẦU MỤC TIÊU - Trình bày được khái niệm về mặt tròn xoay, sự tạo thành mặt tròn xoay và các yếu tố của mặt tròn xoay như đường sinh, trục của mặt tròn xoay; - Nhận biết được hình dạng của một số đồ vật là những mặt tròn xoay; - Phân biệt được ba khái niệm: mặt tròn xoay, hình tròn xoay, khối tròn xoay; - Trình bày được định nghĩa mặt cầu và các khái niệm liên quan như tâm, bán kính, đường kính, dây cung, điểm trong và điểm ngoài mặt cầu, cách biểu diễn mặt cầu. NỘI DUNG CHÍNH Bài 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY 76 1. Sự tạo thành mặt tròn xoay Trong KG, cho mp (P) chứa đường thẳng  và một đường (C). Khi quay (P) quanh  một góc 3600 thì mỗi điểm M trên (C) vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc  và nằm trên mp vuông góc với . Khi đó (C) sẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay. (C) được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó.  được gọi là trục của mặt tròn xoay. 1. Hãy vẽ mặt tròn xoay khi quay đường cong (C) quanh trục . 2. Mặt nón tròn xoay Trong mp (P) có hai đường thẳng d và  cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc nhọn . Khi quay (P) xung quanh  thì d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn 77 xoay đỉnh O.  gọi là trục, d gọi là đường sinh, góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó. 2. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OIM vuông tại I. Vẽ mặt tròn xoay khi quay đường gấp khúc OMI quanh trục OI. Hình nón tròn xoay Cho OIM vuông tại I. Khi quay nó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình đgl hình nón tròn xoay. – Hình tròn (I, IM): mặt đáy – O: đỉnh – OI: đường cao – OM: đường sinh – Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi OM: mặt xung quanh. Đặt OM = l, OI = h, IM = r Diện tích xung quanh của hình nón: xqS rl Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.   tpS rl r 2 Thể tích của hình nón: V r h2 1 3  . 3. Mặt trụ tròn xoay Trong mp (P) cho hai đường thẳng  và l song song nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay (P) xung quanh  thì l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay.  gọi là trục, l gọi là đường sinh, r là bán kính của mặt trụ đó. 78 Hình trụ tròn xoay Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành 1 hình được gọi là hình trụ tròn xoay. AB gọi là trục, CD là đường sinh, AD là bán kính đáy. Đặt AB = h, CD = l, DA = r Diện tích xung quanh của hình trụ là xqS rl2 Thể tích hình trụ là 2V r h Bài tập Bài 1. Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M nằm trên đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó. Bài 2. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi: a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư, b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó. c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông. 79 d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. Bài 3. Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a)Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. b)Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó. c)Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó Bài 4. Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định mặt nón đó (trục và góc ở đỉnh). Bài 5. Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a)Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên. b)Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên. Bài 6. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó. Bài 7. Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r √3 a)Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b)Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho. c)Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30o.Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. Bài 9. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có