Giáo trình Máy điện - Chương 3: Mô hình hoá máy điện không đồng bộ

CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH HOÁ MÁY ĐIỆN KHÔNG ĐỒNG BỘ §1. MÔ HÌNH MẠCH CỦA M.Đ.K.Đ.B 1. Phương trình điện áp: Ta xét một mô hình động cơ không đồng bộ như hình vẽ bên. Phương trình điện áp của stato là: as as as s bs bs bs s cs cs as s du i r dt du i r dt du i r dt λ = + λ = + λ = + (1) Phương trình điện áp của roto là: ar ar ar s br br br r cr cr ar r du i r dt du i r dt du i r dt λ = + λ = + λ = + (2) 2. Phương trình từ thông: Dựa trên khái niệm ma trận, từ thông móc vòng của dây quấn stato và roto theo hệ số tự cảm của dây quấn và dòng điện có thể viết dưới dạng ngắn gọn là: abc abc abc abc s ss sr s abc abcabc abc rs rrr r L L i L L i     λ =     λ          (3) Trong đó: as ar as ar abc abc abc abc s bs r br s bs r br cs cr cs cr i i [ ] [ ] [i ] i [i ] i i i        λ λ       λ = λ λ = λ = =              λ λ        (4) Các ma trận con của hệ số tự cảm có dạng: s ss sm sm abc ss sm s ss sm sm sm s ss L L L L [L ] = L L L L L L L L σ σ σ +  +  +  (5) r rr rm rm abc rr rm s rr rm rm rm s rr L L L L [L ] L L L L L L L L σ σ σ +   = +  +  (6) r r r Tabc abc sr rs sr r r r r r r 2 2cos cos cos 3 3 2 2L L L cos cos cos 3 3 2 2cos cos cos 3 3 pi pi    θ θ + θ −         pi pi       = = θ − θ θ +             pi pi    θ + θ − θ         (7) 27 Trục pha a as -as bs -bs cs -cs ar -arbr -br cr -cr θ r ω r Trong đó sLσ là hệ số tự cảm ứng với từ trường tản của một pha của dây quấn stato, rLσ là hệ số tự cảm ứng với từ trường tản của một pha của dây quấn roto, ssL là hệ số tự cảm của một pha của dây quấn stato, rrL là hệ số tự cảm của một pha của dây quấn roto, smL là hệ số hỗ cảm giữa các pha của dây quấn stato, rmL là hệ số hỗ cảm giữa các pha của dây quấn roto và srL là giá trị biên độ của hệ số hỗ cảm giữa dây quấn stato và dây quấn roto. Ta có thể biểu diễn các điện kháng theo số vòng dây stato sW , số vòng dây roto rW và độ từ thẩm của khe hở không khí δρ : 2 ss sL W δ= ρ 2rr rL W δ= ρ 2 sm s 2L W cos 3δ pi = ρ 2rm r 2L W cos 3δ pi = ρ (8) sr s rL W W δ= ρ Máy điện lí tưởng được mô tả bằng hệ 6 phương trình vi phân cấp 1, mỗi phương trình cho một dây quấn. Các phương trình này liên kết với nhau qua hệ số hỗ cảm giữa các dây quấn. Đặc biệt các số hạng liên kết dây quấn stato và roto là hàm của vị trí roto. Như vậy khi roto quay, các số hạng này biến thiên theo thời gian. Các biến đổi toán học giống như dq hay αβ có thể làm cho việc tính toán nghiệm quá độ của mô hình đ.c.k.đ.b nêu trên trở nên dễ dàng bằng cách biến đổi các phương trình vi phân có hệ số tự cảm và hỗ cảm biến đổi theo t thành các phương trình vi phân có hệ số tự cảm và hỗ cảm hằng. §2. MÔ HÌNH M.Đ.K.Đ.B TRONG HỆ qd0 TUỲ Ý 1. Khái niệm chung: M.đ.k.đ.b 3 pha lí tưởng có khe hở không khí đối xứng. Các hệ qd0 thường được chọn trên cơ sở tương thích với các thành phần khác của mạng. Hai hệ thường được chọn khi phân tích máy điện là hệ cố định và hệ quay đồng bộ. Mỗi hệ có những ưu điểm riêng và thích hợp với những mục đích riêng. Trong hệ cố định, các biến dq của máy điện có cùng một thứ nguyên như các biến thường được dùng trong hệ thống cung cấp điện. Đây là lựa chọn thích hợp khi hệ thống cung cấp điện lớn hay phức tạp. Trong hệ toạ độ quay đồng bộ, các biến dq là các biến xác lập trong chế độ xác lập, một đòi hỏi tiên quyết khi rút ra mô hình tín hiệu nhỏ quanh điểm làm việc đã chọn. Trước hết ta xây dựng các phương trình của m.đ.k.đ.b trong hệ toạ độ tuỳ ý quay với tốc độ ω cùng chiều với roto. Khi đó để có phương trình của máy điện trong hệ toạ độ cố định ta chỉ cần cho ω = 0 và nếu cho ω = ωe thì ta có hệ phương trình trong hệ toạ độ quay đồng bộ với roto. Trước hết ta viết phương trình điện áp và mômen theo các đại lượng pha. Quan hệ giữa các đại lượng abc và qd0 tuỳ ý như hình vẽ bên. Áp dụng phép biến đổi hệ toạ độ qd0 tuỳ ý vào các phương trình này ta sẽ có các phương trình qd0 tương ứng. 28 Trục q Trục d θ θ r ω ω r as bs cs ar br cr Phương trình biến đổi từ hệ abc sang hệ qd0 là: q a d qd0 b 0 c f f f T (θ) f f f        =            (9) Trong đó f có thể là điện áp các pha, dòng điện hay từ thông của máy. Góc chuyển toạ độ θ(t) giữa trục q của hệ toạ độ quay ở tốc độ ω và trục a của hệ toạ độ cố định có thể biểu diễn bằng biểu thức: t 0 θ(t) ω(t)dt θ(0)= +∫ độ điện (10) Tương tự, góc θr(t) giữa trục của stato và roto của pha a khi roto quay với tốc độ ωr(t) có thể biểu diễn bởi: t r r r 0 θ (t) ω (t)dt θ (0)= +∫ độ điện (11) Các góc θ(0) và θr(0) là các giá trị đầu của các góc này tại thời điểm t = 0. Từ (14) của chương trước ta có: ( )qd0 2 2cosθ cos θ cos θ 3 3 2 2 2T sinθ sin θ sin θ 3 3 3 1 1 1 2 2 2 pi pi     − +         pi pi     θ = − +              (12) và nghịch đảo của nó: ( ) 1qd0 cosθ sinθ 1 12 2 2Tθ cos θ sin θ 3 3 3 12 2cosθ sin θ 3 3 −   pi pi      = − −          pi pi    + +         (13) 2. Phương trình điện áp qd0: Ta có thể biểu diễn điện áp của các dây quấn abc dưới dạng ma trận: abc abc abc abc s s s s[u ] p[ ] [r ][i ]= λ + (14) Trong đó p là toán tử đạo hàm. Áp dụng các phép biến đổi, )](T[ 0qd θ vào điện áp, từ thông móc vòng và dòng điện, phương trình (14) có dạng: 1 1qd0 qd0 qd0abc s qd0 qd0 s qd0 s qd0 su T (θ) p T (θ) T (θ) r T (θ) i − −           = λ +            (15) Số hạng đạo hàm theo t được viết là: { } { }qd0 qd0 qd0qd0 s qd0 s qd0 sd dp T (θ) T (θ) T (θ)dt dt          λ = λ + λ =           29 1qd0 qd0 s qd0 s sinθ cosθ 0 2π 2π dθsinθ cos θ 0 T (θ) p 3 3 dt 2π 2πsinθ cos θ 0 3 3 − −            − − − λ + λ                  − + +         (16) Thay lại vào (15) ta có: qd0 qd0 qd0 qd0 qd0 s s s s s 0 1 0 u 1 0 0 p r i 0 0 0            = ω − λ + λ +             (17) Trong đó: dθ dt ω = qd0s s 1 0 0 r [r ] 1 1 0 0 0 1     =      (18) Tương tự, các đại lượng roto cũng phải được chuyển sang hệ toạ độ qd. Từ hình vẽ trên ta có thể thấy rằng góc chuyển đổi đối với các đại lượng roto là (θ - θr). Áp dụng phép biến đổi, [Tqd0(θ - θr)] vào các phương trình điện áp roto theo cùng một các như đối với các phương trình điện áp stato ta có: ( )qd0 qd0 qd0 qd0 qd0r r r r r r 0 1 0 [u ]ω ω 1 0 0 [λ ] p[λ ] [r ][i ] 0 0 0    = − − + +    (19) 3. Quan hệ từ thông móc vòng qd0: Các từ thông móc vòng qd0 nhận được bằng cách áp dụng [Tqd0(θ)] vào các từ thông móc vòng stato abc trong (3): [ ] ( )qd0 abc abc abc abcs qd0 ss s sr r[ ] T (θ) [L ][i ] [L ][i ]λ = + (20) Sử dụng biến đổi ngược thích hợp để thay thế các dòng điện stato và roto bằng các thành phần dòng điện tương ứng qd0, phương trình (20) trở thành: 1 1qd0qd0 qd0abc abc s qd0 ss qd0 s qd0 sr qd0 r r σs ss sr qd0 qd0 s r σs ss sr σs λ T (θ) L T (θ) i T (θ) L T (θ θ ) i 3 3L L 0 0 L 0 0 2 2 3 3i i0 L L 0 0 L 0 2 2 0 0 L 0 0 0 − −             = + −                   +         = +      +          (21) Tương tự từ thông móc vòng của roto cho bởi: 1 1qd0 qd0 qd0abc abc r qd0 r rs qd0 s qd0 r rr qd0 r r srσr rr qd0 qd0 s r srσr rr σr [λ ] T (θ θ ) [L ] T (θ) [i ] T (θ- θ ) [L ] T (θ θ ) [i ] 3 3L 0 0 L L 0 0 2 2 3 3i i0 L 0 0 L L 0 2 2 0 0 0 0 0 L − −       = − + −           +       = +   +          (22) Quan hệ từ thông stato và roto trong (21) và (22) có thể viết gọn lại dưới dạng: 30 qsσs m m qs dsσs m m ds 0sσs 0s qr mσr m qr dr mσr m dr 0rσr 0r λ L L 0 0 L 0 0 i λ 0 L L 0 0 L 0 i λ 0 0 L 0 0 0 i λ L 0 0 L L 0 0 i λ 0 L 0 0 L L 0 i λ 0 0 0 0 0 L i +          +           =      ′ ′ ′+          ′ ′ ′+      ′ ′ ′      (23) Trong đó các đại lượng roto ban đầu được quy đổi về các đại lượng stato theo quan hệ sau: s s qr qr dr dr r r W Wλ λ λ λ W W ′ ′= = (24) dr r s drqr r s qr iW Wii W Wi =′=′ (25) r 2 r s r LW WL σσ     =′ (26) Trong đó Lm là hệ số hỗ cảm từ hoá phía stato và bằng: rr r s sr r s ssm LW W 2 3L W W 2 3L 2 3L === (27) Thay (23) vào (17) và (19) rồi nhóm các số hạng q, d, 0 và θ trong các phương trình điện áp ta có mạch thay thế tương đương của m.đ.k.đ.b trong hệ qd tuỳ ý như sau: 3. Phương trình mô men: Tổng công suất vào tức thời của 6 dây quấn stato và roto cho bởi: 31 Trục 0 rxσ′ rr′ r0i′ dru′ i 0s rs s xσ u 0s x m qrE′ i qs r s ds b ωΨ ω sxσ rxσ′ r dr b ω − ω ′Ψ ω rr′ qri′ qru′Trục q Eqsuqs u ds i ds r s s xσ rxσ′ rr′ dri′ x m dru′Trục d E ds drE′ crcrbrbrararcscsbsbsasasin iuiuiuiuiuiup ′′+′′+′′+++= (28) Theo các đại lượng qd0, công suất tức thời là: in qs qs ds dbs 0s 0s qr qar br br 0r 0r 3p (u i u i 2u i u i u i 2u i ) 2 ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + + + (29) Thay các phương trình (17) và (19) vào (29) ta có các số hạng i2r là tổn hao đồng, ipλ biểu thị tỉ lệ biến đổi năng lượng từ trường giữa các dây quấn và số hạng ωλi biểu thị tỉ lệ năng lượng biến đổi thành công cơ học. Mô men điện cơ tạo bởi máy điện bằng tổng của các số hạng ωλi chia cho tốc độ quay của roto: em ds qs qs ds r dr qr qr dr r p3M ( i i ) ( )( i i ) 2 2  ′ ′ ′ ′= ω λ − λ + ω − ω λ − λ ω (30) Sử dụng quan hệ giữa các từ thông trong (23) ta có: ds qs qs ds dr qr qr dr m dr qs qr dsi i ( i i ) L (i i i i )′ ′ ′ ′λ − λ = − λ − λ = − (31) Như vậy (3) có thể viết lại như sau: em qr dr dr qr ds qs qs ds dr qs qr ds p3M ( i i ) 2 2 p3 ( i i ) 2 2 p3 (i i i i ) 2 2 ′ ′ ′ ′= λ − λ = λ − λ ′ ′= − (32) Với mục đích mô phỏng, việc chọn phương trình nào trong số phương trình trên tuỳ thuộc vào việc sử dụng biến khi mô phỏng. Một cách khác để rút ra phương trình mô men là dựa vào mạch tương đương. Trong các mạch theo trục q, d và 0 các phần tử điện trở biểu thị tổn hao đồng, các điện kháng biểu thị năng lượng từ trường và các s.đ.đ biểu thị công cơ học. Các s.đ.đ này là: qs ds ds qs qr r dr dr r qr E E E ( ) E ( ) = ω λ = − ω λ ′ ′ ′ ′= ω − ω λ = − ω − ω λ (33) Công suất tác dụng liên quan đến các s.đ.đ này là công suất điện cơ của máy: em qs ds qs ds qr dr qr dr 3P Re (E jE )(i ji ) (E jE )(i ji ) 2 ∗ ∗ ′ ′ ′ ′= − − + − −  (34) Khi lấy phần thực của (34) chia cho tốc độ quay của roto ta được biểu thức của mô men điện cơ (32). Ta có bảng các phương trình cơ bản của m.đ.k.đ.b như sau: Các phương trình của m.đ.k.đ.b trong hệ toạ độ tuỳ ý Phương trình điện áp qd0 của stato: qs qs ds s qs ds ds qs s ds 0s 0s s 0s u p r i u p r i u p r i = λ + ω λ + = λ − ω λ + = λ + (35) Phương trình điện áp qd0 của roto: qr qr r dr r qr dr dr r qr r dr 0s 0s r 0r u p ( ) r i u p ( ) r i u p r i ′ ′ ′ ′ ′= λ + ω − ω λ + ′ ′ ′ ′ ′= λ − ω − ω λ + ′ ′ ′ ′= λ + (36) Trong đó: 32 qs s m m qs ds s m m ds 0s s 0s qr m r m qr dr m r m dr 0r r 0r L L 0 0 L 0 0 i 0 L L 0 0 L 0 i 0 0 L 0 0 0 i L 0 0 L L 0 0 i 0 L 0 0 L L 0 i 0 0 0 0 0 L i σ σ σ σ σ σ λ +          λ +      λ      =      ′ ′ ′λ +          ′ ′ ′λ +      ′ ′ ′λ      (37) Phương trình mô men: em ds qs qs ds r dr qr qr dr r qr dr dr qr ds qs qs ds dr qs qr ds p3M ( i i ) ( )( i i ) 2 2 p3 ( i i ) 2 2 p3 ( i i ) 2 2 p3 (i i i i ) 2 2  ′ ′ ′ ′= ω λ − λ + ω − ω λ − λ ω ′ ′ ′ ′= λ − λ = λ − λ ′ ′= − (38) Thường các phương trình của máy điện biểu diễn theo từ thông móc vòng theo t. Có một mối quan hệ đơn giản với giá trị cơ sở hay giá trị định mức của tần số góc ωb là: Ψ = ωbλ V hay đơn vị tương đối (39) x = ωbL H hay đơn vị tương đối (40) Trong đó ωb = 2pif rad/s Với dạng sóng phức tạp các phương trình trên có thể hiệu chỉnh để dùng giá trị biên độ làm giá trị cơ sở thay cho giá trị hiệu dụng. Các đại lượng cơ sở dựa trên giá trị biên độ của m.đ.k.đ.b 3 pha có p đôi cực, điện áp dây định mức Udm, dung lượng định mức Sdm như sau: - Điện áp cơ sở: dmb U32U = - Dung lượng cơ sở: Sb = Sdm - Dòng điện biên độ cơ sở: Ib = 2Sb / 3Ub - Tổng trở cơ sở: Zb = Ub / Ib - Mô men cơ sở: Mb = Sb/ ωbm Trong đó ωbm = 2ωb/p Các phương trình của m.đ.k.đ.b đối xứng trong hệ toạ độ tuỳ ý viết theo từ thông móc vòng trên sec và điện kháng ở tần số cơ bản được tóm tắt như sau: Các phương trình trong hệ toạ độ tuỳ ý theo từ thông và điện kháng theo t Các phương trình điện áp stato và roto: qs qs ds s qs b b pu r iω= Ψ + Ψ + ω ω ds ds qs s ds b b pu r iω= Ψ − Ψ + ω ω 0s 0s s 0s b pu r i= Ψ + ω 33 r qr qr dr r qr b b pu r i  ω − ω ′ ′ ′ ′ ′= Ψ + Ψ +  ω ω  (41) r dr dr qr r dr b b pu r i  ω − ω ′ ′ ′ ′ ′= Ψ − Ψ +  ω ω  0r 0r r 0r b pu r i′ ′ ′ ′= Ψ + ω Trong đó: qs s m m qs ds s m m ds 0s s 0s qr m r m qr dr m r m dr 0r r 0r x x 0 0 x 0 0 i 0 x x 0 0 x 0 i 0 0 x 0 0 0 i x 0 0 x x 0 0 i 0 x 0 0 x x 0 i 0 0 0 0 0 x i σ σ σ σ σ σ Ψ +          Ψ +      Ψ      =      ′ ′ ′Ψ +          ′ ′ ′Ψ +      ′ ′ ′Ψ      (42) Phương trình mô men: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r em ds qs qs ds dr qr qr dr r b b qr dr dr qr b ds qs qs ds dr qs qr ds p3M i i i i 2 2 p3 i i 2 2 p3 i i 2 2 p3 i i i i 2 2   ω ω − ω ′ ′ ′ ′= Ψ − Ψ + Ψ − Ψ   ω ω ω   ′ ′ ′ ′= Ψ − Ψ ω = Ψ − Ψ ′ ′= − (43) §3. HỆ TOẠ ĐỘ qd0 ĐỨNG YÊN VÀ HỆ TOẠ ĐỘ qd0 QUAY ĐỒNG BỘ Như đã nói trước đây, hiếm khi ta cần mô phỏng m.đ.k.đ.b trong hệ tọa độ quay tuỳ ý. Khi khảo sát hệ thống điện, tải là m.đ.k.đ.b sẽ được mô phỏng cùng các thiết bị khác trong hệ thống nhờ hệ toạ độ quay đồng bộ. Khi khảo sát chế độ quá độ của các hệ thống truyền động có điều chỉnh tốc độ, thông thường các m.đ.k.đ.b và các bộ biến đổi được mô phỏng nhờ hệ toạ độ cố định. Còn khi khảo sát sự ổn định động với tín hiệu sai lệch nhỏ quanh một số chế độ làm việc, ta thường dùng hệ toạ độ quay đồng bộ để tạo ra các giá trị xác lập của điện áp và dòng điện xác lập trong điều kiện không đối xứng. Do ta đã đưa ra các phương trình của m.đ.k.đ.b trong trường hợp tổng quát, nghĩa là các phương trình trong hệ toạ độ quay với tốc độ tuỳ ý, nên các phương trình của m.đ.k.đ.b trong hệ toạ độ quay với tốc độ đồng bộ và hệ toạ độ đứng yên dễ dàng suy ra từ các phương trình tổng quát bằng cách đặt ω = 0 hay ω = ωe. Để phân biệt các hệ toạ độ này với nhau, ta thêm chỉ số s vào các biến viết trong hệ toạ độ đứng yên và chỉ số e vào các biến viết trong hệ toạ độ quay đồng bộ. Các phương trình của m.đ.k.đ.b đối xứng viết theo từ thông và điện kháng biến đổi theo t trong hệ toạ độ đứng yên và hệ toạ độ quay đồng bộ được đưa ra trong bảng dưới. Các mạch điện tương đương cho trong hình vẽ. 34 Các phương trình điện áp stato và roto trong hệ toạ độ cố định Các phương trình điện áp: qs ds s s s qs qs s b s s s ds ds s b 0s 0s s 0s b s s s sr qr qr dr r qr b b s s s sr dr dr qr r dr b b 0r 0r r 0r b pu r i pu r i pu r i pu r i pu r i pu r i = Ψ + ω = Ψ + ω = Ψ + ω ω ′ ′ ′ ′ ′= Ψ − Ψ + ω ω ω ′ ′ ′ ′ ′= Ψ + Ψ + ω ω ′ ′ ′ ′= Ψ + ω (44) Phương trình từ thông móc vòng: qs qs ds ds qr qr dr dr s s s m m s s s m m 0s s 0s s s m r m s s m r m r0r 0r ix x 0 0 x 0 0 0 x x 0 0 x 0 i 0 0 x 0 0 0 i x 0 0 x x 0 0 i 0 x 0 0 x x 0 i 0 0 0 0 0 x i σ σ σ σ σ σ     Ψ +     +    Ψ     Ψ      =      ′ ′ ′Ψ +        ′ +′ ′Ψ      ′′ ′Ψ        (45) 35 Trục 0 rxσ′ rr′ r0i′ dru′ i 0s rs s xσ u 0s s dsu s dsi rs sxσ rxσ′ b rs qr ω ω−Ψ ′ rr′ sdri′ x m s dru′Trục d s drE′ r s sxσ rxσ′ b rs dr ω ω−Ψ ′ rr′ s qri′ Trục q x m s qrE′ Phương trình mô men: qr dr dr qr ds qs qs ds s s s s em b s s s s b p3M ( i i ) 2 2 p3 ( i i ) 2 2 ′ ′ ′ ′= Ψ − Ψ ω = Ψ − Ψ ω (46) s s s sm dr qs qr ds p3 x (i i i i ) 2 2 ′ ′ ′ ′= − Các phương trình của m.đ.k.đ.b trong hệ toạ độ quay đồng bộ Các phương trình điện áp stato và roto: qs e e e ee qs qs ds s b b pu r iω= Ψ + Ψ + ω ω ds e e e ee ds ds qs s b b pu r iω= Ψ − Ψ + ω ω 0s 0s s 0s b pu r i= Ψ + ω e s e ee r qr qr dr r qr b b pu r i  ω − ω ′ ′ ′ ′ ′= Ψ + Ψ +  ω ω  (47) e e e ee r dr dr qr r dr b b pu r i  ω − ω ′ ′ ′ ′ ′= Ψ − Ψ +  ω ω  0r 0r r 0r b pu r i′ ′ ′ ′= Ψ + ω Phương trình từ thông móc vòng: qs qs ds ds qr qr dr dr e e s m m e e s m m s0s 0s e er mm e e m r m 0r 0rr x x 0 0 x 0 0 i 0 x x 0 0 x 0 i 0 0 x 0 0 0 i x 0 0 x x 0 0 i 0 x 0 0 x x 0 i i0 0 0 0 0 x σ σ σ σ σ σ     +Ψ     +   Ψ    Ψ     =     ′ +′ ′Ψ         ′ +′ ′Ψ     ′ ′′Ψ        (48) Phương trình mô men: qr dr dr qr ds qs qs ds e e e e em b e e e e b e e e e m dr qs qr ds p3M ( i i ) 2 2 p3 ( i i ) 2 2 p3 x (i i i i ) 2 2 ′ ′ ′ ′= Ψ − Ψ ω = Ψ − Ψ ω ′ ′ ′ ′= − (49) 36 §4. MÔ HÌNH M.Đ.K.Đ.B TRONG CHẾ ĐỘ XÁC LẬP Từ trạng thái làm việc xác lập của m.đ.k.đ.b khi điện áp cung cấp là 3 pha đối xứng ta có thể biểu diễn điện áp và dòng điện như sau: as ms eu U cos t= ω as ms e si I cos( t )= ω − ϕ bs ms e 2u U cos t 3 pi  = ω −   bs ms e s 2i I cos t 3 pi  = ω − − ϕ   (50) cs ms e 4u U cos t 3 pi  = ω −   cs ms e s 4i I cos t 3 pi  = ω − − ϕ   Tương tự điện áp và dòng điện roto ở hệ số trượt s được viết là: ar mr e ru U cos[s t (0) ]= ω − θ − δ ar mr e r ri I cos[s t (0) ]= ω − θ − δ − ϕ br mr e r 2u U cos s t (0) 3 pi  = ω − − θ − δ   br mr e r r 2i I cos s t (0) 3 pi  = ω − − θ − δ − ϕ   (51) cr mr e r 4u U cos s t (0) 3 pi  = ω − − θ − δ   br mr e r r 4i I cos s t (0) 3 pi  = ω − − θ − δ − ϕ   Biến đổi các phương trình trên viết theo các biến abc thành các phương trình viết theo các biến qd0 có trục q trùng với trục pha a của stato ta có: ej ts s s qs ds msu u ju U e ω = − = r s ej j ts s s qs ds msi i ji I e e − ϕ ω = − = r r e r rj ( t) j( t (0) j ( t)r r r qr dr mru (u ju )e U e e θ ω − θ − δ θ = − =   r (52) r e r r rj ( t) j(s t (0) j (t)r r r qr dr mri ( j ji )e I e e θ ω − θ − δ − ϕ θ = − =   r 37 e dsu e dsi rs b ee qs ω ωΨ sxσ rxσ′ b ree qr ω ω−ωΨ ′ e dri′ x m e dru′Trục d E ds e drE′ Trục 0 rxσ′ rr′ r0i′ dru′ i 0s rs s xσ u 0s x m e qsi rs b ee ds ω ωΨ sxσ rxσ′ b ree dr ω ω−ωΨ ′ rr′ e qri′ e qru′Trục q e qsEeqsu e qrE Trong đó các chỉ số trên s và r được dùng để chỉ các thành phần qd0 trong hệ toạ độ đứng yên và trong hệ toạ độ roto. Trong trạng thái xác lập, tốc độ quay của roto bằng hằng số ωe(1 - s): θr(t) = ωe(1 - s)t + θr(0) (53) Thay (53) vào biểu thức vec tơ không gian dòng điện và điện áp roto ta có: e r e j j ts s r qr dr mr j( ) j ts s r qr dr mr u u ju U e e i j ji I e e − δ ω − δ + φ ω = − = = − = r r (54) Phân tích trạng thái xác lập có kích thích hình sin thường được thực hiện bằng cách dùng các đại lượng hiệu dụng và các đại lượng pha - thời gian. s j0ms as jms as UU e 2 II e 2 − φ = = & & (55) r jmr ar j( )ms as UU e 2 II e 2 − δ − δ + ϕ = = & & (56) và: e s s qs ds j ts s qs ds as u ju U jU U e 2 ω− − = = r r & e s s qs ds j ts s qs ds as i ji I jI I e 2 ω− − = = r r & (57) e e s s qr dr j ts s qr dr ar s s qr dr j ts s qr dr ar u ju U jU U e 2 i ji I jI I e 2 ω ω − − = = − − = = r r & r r & (58) Khi điện áp và dòng điện roto được quy đổi về phía stato ta có: e e e e j t j ts s s qr dr ar ar r j t j ts s s qr dr ar ar r WU jU U e U e W WI jI I e I e W ω ω ω ω   ′ ′ ′ − = =     ′ ′ ′ − = =   r r & & r r % & (59) Phương trình điện áp và từ thông trong hệ toạ độ qd cố định trong (54) và (55), biểu diễn theo các giá trị hiệu dụng dòng điện và điện áp ở trên có thể nhóm lại thành các phương trình vec tơ không gian điện áp hiệu dụng phức: [ ] [ ] s s s s s s qs ds s e s m qs ds e m qr dr s s s s s s qr dr e r m qs ds r e r r m qr dr U jU r j (L L ) (I jI ) j L (I jI ) U jU j( )L (I jI ) r j( )(L L ) (I jI ) σ σ ′ ′ − = + ω + − + ω − ′ ′ ′ ′ ′ ′ − = ω − ω − + + ω − ω + − r r r r r r r r r r r r (60) Sử dụng các quan hệ giữa các vec tơ không gian hiệu dụng và pha - thời gian hiệu dụng cho trong (57)÷(59), thay ωe - ωr = sωe phương trình (6) trở thành: as s e s as e m as ar ar r e s ar e m as ar U (r j L )I j L (I I ) U (r js L )I js L (I I ) σ σ ′= + ω + ω + ′ ′ ′ ′ ′= + ω + ω + & & & & % & & & (61) Chia phương trình thứ hai cho s ta có: 38