Giáo trình Kinh tế lượng nâng cao Bài 3 mô hình nhiều phương trình

thiếu biến hay định dạng hàm sai). Đặc biệt phương pháp hệ thống rất nhạy cảm với trường hợp định dạng hàm sai bất kỳ phương trình nào trong hệ thống. Do tiện lợi hơn, đơn giản hơn, đặc biệt ít bị tác động hơn với trường hợp định dạng sai của từng phương trình, phương pháp ước lượng riêng từng phương trình được sử dụng rộng rãi hơn trong thực tiễn. Sau đây ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp theo cách tiếp cận thứ nhất. Kinh tế lượng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. 1. Mô hình đệ quy và phương pháp OLS. Mô hình đệ quy là mô hình trong đó ta có thể sắp xếp các phương trình theo một trình tự đặc biệt. Biến nội sinh trong phương trình thứ nhất chỉ xác định theo các biến ngoại sinh. Biến nội sinh trong phương trình thứ hai thì xác định theo các biến nội sinh của phương trình thứ nhất và các biến ngoại sinh - nhưng không xác định theo biến nội sinh nào khác. Biến nội sinh trong phương trình thứ ba được xác định theo biến nội sinh của phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai và các biến ngoại sinh, chứ không theo bất cứ một biến nội sinh nào khác đưa vào phương trình như một biến hồi quy. Hệ ba phương trình sau đây là hệ đệ quy: Y1t = 1 + 2 X1t + 3 X2t + u1t Y2t = 1 + 2 Y1t + 3 X2t + u2t Y3t = 1 + 2 Y1t + 3 Y2t + 4 X3t + u3t Mô hình đệ quy như trên có hai đặc trưng quan trọng là: Thứ nhất, không có tác động ngược trở lại của biến nội sinh ở phương trình sau đối với biến nội sinh ở phương trình trước theo quan hệ dây chuyền. Thứ hai, sai số ngẫu nhiên (nhiễu) được giả thiết là độc lập, theo nghĩa sau đây: Bài 3: mô hình nhiều phương trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. cov (u1t , u2t) = cov (u2t , u3t) = cov (u1t , u3t) = 0 Đối với hệ phương trình đệ quy có mối quan hệ nhân quả đa chiều, phương pháp OLS áp dụng đối với phương trình cấu trúc sẽ cho các kết quả ước lượng vững, tiệm cận hiệu quả. Tuy nhiên, trong một vài trường hợp tác động qua lại của các biến nội sinh có tính trễ và chính điều đó cho phép áp dụng phương pháp OLS ước lượng một hệ đệ quy hoàn toàn có tính kỹ thuật thuần tuý. Hãy xét mô hình tiền công sau đây ( thuộc nhóm mô hình Phillip): Phương trình giá: pt = b01 + b11wt-1 + b12rt + b13mt + b14lt + u1t Phương trình tiền công: wt = b20 + b21unt + b22pt + u2t Trong đó: p : tỷ lệ thay đổi giá sản phẩm, w : tỷ lệ thay đổi tiền công, r : tỷ lệ thay đổi giá vốn, m : tỷ lệ thay đổi giá nhập khẩu, l : tỷ lệ thay đổi của năng suất lao động un : tỷ lệ thất nghiệp. Mô hình trên về mặt hình thức không phải là một mô hình đệ quy, tuy vậy có thể sử dụng OLS để ước lượng từng phương trình với một vài giả thiết khá rộng rãi đối với biến tiền công (w). Quan hệ tác động qua lại của hai biến nội sinh p và w hoàn toàn có thể biến đổi một cách hình thức bằng cách coi wt-1 là một biến khác wt , cách quan niệm như vậy không làm mất các tính chất cần thiết của các ước lượng khi bản thân quá trình w nội sinh theo thời gian - có thể thấy Kinh tế lượng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. rằng, giả thiết này hầu như đạt được với biến w là tỷ lệ thay đổi tiền công theo thời gian. 2. Phương trình định dạng đúng và phương pháp bình phương nhỏ nhất gián tiếp (ILs) Xét mô hình hai phương trình biểu diễn tiêu dùng trong một nền kinh tế đóng: Ct = 1 + 2 Yt + ut 0 < 2 < 1 Yt = Ct + It Thay Yt hoặc Ct có phương trình rút gọn dạng Yt = BETA1/(1-BETA2) +1/(1-BETA2)*It +Ut Pi1 Pi2 Trong mô hình này hàm tiêu dùng là hàm định dạng đúng . Điều đó có nghĩa là với giá trị các tham số ước lượng trong hàm rút gọn chỉ có một cách duy nhất để xác định các tham số cấu trúc ban đầu. Phương pháp ILS gồm có ba bước : 1. Biến đổi thành những phương trình rút gọn; 2. Ước lượng từng phương trình rút gọn bằng OLS; 3. Xác định các ước lượng vững cho các tham số cấu trúc từ các tham số của các phương trình rút gọn. Trên thực tế, phương pháp ước lượng ILS có hai hạn chế cơ bản. Bài 3: mô hình nhiều phương trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. * Nhiều phương trình thay vì định dạng đúng thì l lại vô định .  Ước lượng sai số chuẩn của các hệ số của phương trình cấu trúc không hoàn toàn đơn giản phản ánh sai lệch của thống kê ước lượng các hệ số đó. Do đó, ILS không hay được sử dụng. 4. Phương trình vô định và phương pháp 2SLS Phương pháp 2SLS có thể áp dụng để thu được các ước lượng vững và tiệm cận hiệu quả. Đối với các phương trình định dạng đúng, phương pháp cho kết quả giống như ILS. Tuy nhiên nó còn có thể áp dụng được với cả các mô hình định dạng đúng và vô định. Với các mô hình nhiều phương trình có các phương trình vô định, phương pháp 2SLS cho phép ước lượng các tham số hiệu quả hơn vì chính các bước ước lượng của phương pháp này sẽ làm cho các phương trình chỉ còn là các phương trình địng dạng đúng. Để làm rõ nội dung của phương pháp, ta xét mô hình sau: Hàm thu nhập: Y1t = 10 + 11 Y2t + 11X1t + 12X2t + u1t Hàm cung tiền: Y2t = 20 + 21 Y1t + u2t Trong đó: Yt - thu nhập; Y2t - dự trữ tiền; X1 - đầu tư; X2 - chi tiêu của chính phủ về hàng hóa và dịch vụ. X1 và X2 là các biến ngoại sinh. Theo điều kiện cần và điều kiện đủ của định dạng, phương trình thu nhập không định dạng được, phương trình cung là vô định . Do đó, không thể áp dụng ILS. Nếu như áp dụng OLS cho hàm cung tiền thì các ước lượng sẽ không có tính vững. Để giải quyết vấn đề này, Kinh tế lượng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. ngưới ta dùng phương pháp biến công cụ. Giả thiết rằng ta tìm được một biến xấp xỉ biến giải thích Y1 ở hàm cung tiền song lại không tương quan với u2 . Một biến như vậy được gọi là biến công cụ. Dùng biến này để ước lượng hàm cung tiền. Các ước lượng nhận được có tính chất vững. Để tìm biến công cụ gười ta dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất hai giai đoạn (2SLS). Giai đoạn 1: Để loại bỏ tính tự tương quan giữa Y1 và u2 , trước hết hồi quy Y1 phụ thuộc vào tất cả các biến ngoại sinh trong hệ phương trình. Trong ví dụ này: 1 2 1 3 2ˆ ˆ ˆt tX X    Từ đó, ta có: Y1t = tY1ˆ + et Giai đoạn 2: Phương trình cung tiền bây giờ có thể viết lại như sau: Y2t = 20 + 21 Y1t + u2t = 20 + 21 ( tY1ˆ + et ) + u2t = 20 + 21 tY1ˆ + 21 et + u2t = 20 + 21 tY1ˆ + u*t Phương trình trên giống hàm cung tiền xuất phát trong đó Y1 đã được thay bằng 1ˆY . Như vậy, dù Y1 tương quan với u2 nhưng 1 ˆY không tương quan với u2 nên ước lượng của 20 và 21 là các ước lượng vững. Thực chất của 2SLS là lọc khỏi Y1 ảnh hưởng của yếu tố ngẫu nhiên u2 . Việc này được thực hiện khi hồi quy phương trình rút gọn. Các ước lượng tìm được là các ước lượng vững, chúng hội tụ về giá trị Bài 3: mô hình nhiều phương trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. thực khi kích thước của mẫu tăng vô hạn. Bây giờ ta sửa đổi hàm thu nhập và hàm dự trữ tiền như sau: Y1t = 10 + 12 Y2t + 11X1t + 12X2t + u1t Y2t = 20 + 21 Y1t + 23 X3t + 24 X24 + u2t Trong đó X3 - thu nhập, X4 - mức cung tiền. Hai biến này là các biến ngoại sinh. Ta có thể thấy rằng, cả hai phương trình đều là vô định. Thủ tục 2SLS như sau: Giai đoạn 1: Ước lượng các hàm rút gọn: Y1t =  10 +  11 X1t +  12 X2t +  13 X3t +  14 X4t + v1t Y2t =  20 +  21 X1t +  22 X2t +  23 X3t +  24 X4t + v2t Giai đoạn 2: Ước lượng mô hình xuất phát bằng cách thay Y1 và Y2 ở vế phải của các phương trình bằng 1Yˆ và 2Yˆ nhận được ở giai đoạn 1. Các ưu điểm của 2SLS:  Có thể áp dụng cho từng phương trình riêng rẽ, không cần chú ý đến các phương trình khác. Điều này là thuận lợi khi ước lượng một hệ gồm nhiều phương trình.  ILS đưa ra các ước lượng của các hệ số của phương trình thu gọn, để tìm được ước lượng của các hệ số ban đầu, ta phải thực hiện một vài tính toán, 2SLS cho ngay ước lượng của từng hệ số.  Dễ áp dụng vì chỉ cần biết tổng số các biến ngoại sinh.  Khi áp dụng cho các phương trình định dạng đúng thì kết quả không khác so với kết quả của ILS. Kinh tế lượng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.  Nếu R2 ở giai đoạn 1 khá cao thì có nghĩa là chúng ta đã tìm được một xấp xỉ khá tốt của Y1 và Y2 .  2SLS cho Se của các ước lượng, trong khi đó ILS không cho.  Hạn chế : 2SLS chỉ dùng trong trường hợp mẫu lớn. 5. Phương pháp bình phương nhỏ nhất ba giai đoạn- 3SLS. Là sự mở rộng của 2SLS và dùng để ứơc lượng các phương trình của một hệ phương trình. Phương pháp này gồm ba giai đoạn sau: Giai đoạn 1. ứơc lượng các phương trình rút gọn. Giai đoạn 2. ước lượng các phương trình cấu trúc bằng cách thay các biến nội sinh ở vế phải của các phương trình bằng các ước lượng thu được ở giai đoạn 1. Giai đoạn 3. Gồm các công việc sau: + Tính các phần dư e1t, e2t, . . . emt thu được ở giai đoạn 2 tương ứng với các phương trình cấu trúc. + Tính ma trận hiệp phương sai của các sai số ngẫu nhiên đối với từng phương trình của hệ. + Biến đổi các biến số theo phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát. Các ước lượng nhận được theo phương pháp 3SLS là các ước lượng chệch nhưng vững. Phương pháp 3SLS hiệu quả hơn so với 2SLS. Ví dụ 1: Sử dụng tệp số liệu ch10bt14 hãy ước lượng mô hình sau: LM: Rt = 1 + 2Mt + 3Yt + 4Mt-1 + u1t IS: Yt = 1 + 2Rt + 3It + u2t Kết quả hồi quy bằng 2SLS như sau: Đặt trên cửa sổ lệnh SYStem Quy Bài 3: mô hình nhiều phương trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. inst c i m m(-1) r=c(1)+c(2)*m+c(3)*y+c(4)*m(-1) y=c(5)+c(6)*r+c(7)*i Estimate ---- Two least square System: MYSYS Estimation Method: Two-Stage Least Squares Date: 11/23/08 Time: 21:36 Sample: 1960 1990 Included observations: 31 Total system (balanced) observations 62 Instruments: C M M(-1) I Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C(1) 10.11926 0.970995 10.42154 0.0000 C(2) -0.045620 0.018716 -2.437471 0.0181 C(3) 0.012456 0.001912 6.513333 0.0000 C(4) -0.037661 0.016342 -2.304583 0.0250 C(5) 671.9805 212.1567 3.167379 0.0025 C(6) -143.2998 40.59820 -3.529709 0.0008 C(7) 7.039408 0.366547 19.20465 0.0000 Determinant residual covariance 122035.4 Equation: R=C(1)+C(2)*M+C(3)*Y+C(4)*M(-1) Observations: 31 R-squared 0.771641 Mean dependent var 7.385484 Adjusted R-squared 0.746268 S.D. dependent var 2.821872 S.E. of regression 1.421429 Sum squared resid 54.55240 Durbin-Watson stat 0.730862 Equation: Y=C(5)+C(6)*R+C(7)*I Observations: 31 R-squared 0.966006 Mean dependent var 2185.546 Adjusted R-squared 0.963578 S.D. dependent var 1578.488 S.E. of regression 301.2472 Sum squared resid 2540996. Durbin-Watson stat 0.706409 Kinh tế lượng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. Kết quả hồi quy bằng 3SLS như sau: System: MYSYS Estimation Method: Iterative Three-Stage Least Squares Date: 11/23/08 Time: 21:40 Sample: 1960 1990 Included observations: 31 Total system (balanced) observations 62 Instruments: C M M(-1) I Simultaneous weighting matrix & coefficient iteration Convergence achieved after: 3 weight matrices, 4 total coef iterations Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C(1) 10.07889 0.903808 11.15158 0.0000 C(2) -0.041006 0.016238 -2.525321 0.0145 C(3) 0.012356 0.001778 6.949073 0.0000 C(4) -0.041822 0.014104 -2.965193 0.0045 C(5) 671.9805 201.6299 3.332743 0.0015 C(6) -143.2998 38.58379 -3.713990 0.0005 C(7) 7.039408 0.348360 20.20730 0.0000 Determinant residual covariance 120405.1 Equation: R=C(1)+C(2)*M+C(3)*Y+C(4)*M(-1) Observations: 31 R-squared 0.771966 Mean dependent var 7.385484 Adjusted R-squared 0.746628 S.D. dependent var 2.821872 S.E. of regression 1.420418 Sum squared resid 54.47488 Durbin-Watson stat 0.764417 Equation: Y=C(5)+C(6)*R+C(7)*I Observations: 31 R-squared 0.966006 Mean dependent var 2185.546 Adjusted R-squared 0.963578 S.D. dependent var 1578.488 S.E. of regression 301.2472 Sum squared resid 2540996. Durbin-Watson stat 0.706409 Bài 3: mô hình nhiều phương trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. Ví dụ 2: Xét mô hình kinh tế vĩ mô gồm hai phương trình: Y1t = 1 + 2 Y2t + 3 X1t + 4 X2t + u1t và Y2t = 1 + 2 Y1t + u2t Trong mô hình này, Y1t là tổng thu nhập thực của nền kinh tế, Y2t là tổng khối lượng tiền mặt và cả hai đều là biến nội sinh. Các biến ngoại sinh là đầu tư X1t và chi tiêu của chính phủ X2t . Với các số liệu của Mỹ( tr.691 Gujarati) hãy ứơc lượng mô hình trên.