Giáo trình Hàm biến phức - Hồ Công Xuân Vũ Ý (Phần 1)

tham số w(t) với a ≤ t ≤ b và a < c < b. Khi đó, thu hẹp của w trên [a, c] và [c, b] là biểu diễn tham số lần lượt hai đường cong C1 và C2 sao cho C = C1 ∪C2. Giả sử C là đường cong có biểu diễn tham số w(t) với a ≤ t ≤ b sao cho có các điểm a = a0 < a1 < a2 < . . . < an = b thỏa w(t) = αj +βjt với mọi t ∈ [aj , aj+1] và j = 0, 1, . . . , n − 1 trong đó αj và βj là các số phức cho trước. Khi đó, ta nói w tuyến tính từng mảnh và C là một đường gấp khúc. c© Hồ Công Xuân Vũ Ý 132 V Lý thuyết tích phân 1.14 Định lý. Cho C là đường cong có biểu diễn tham số w(t) = u(t) + iv(t) với a ≤ t ≤ b. Với mọi r > 0 tồn tại các điểm z0, z1, . . . , zn ∈ C sao cho C ⊂ n⋃ j=0 B(zj , r) với zj+1 ∈ B(zj , r) (j = 0, 1, . . . , n− 1). Chứng minh. Vì các hàm u(t) và v(t) liên tục trên [a, b] nên cũng liên tục đều. Do đó, tồn tại n đủ lớn sao cho |u(t)−u(s)| < r√ 2 và |v(t)−v(s)| < r√ 2 với mọi t, s ∈ [a, b] thỏa |t − s| ≤ b−an . Đặt tj = a+ j(b−a)n và zj = w(tj) với j = 0, 1, . . . , n. Ta chứng minh các zj này thỏa điều kiện của định lý. Với j = 0, 1, . . . , n− 1 ta có |tj+1 − tj | = b−an nên |zj+1 − zj| = √ (u(tj+1)− u(tj))2 + (v(tj+1)− v(tj))2 < r suy ra zj+1 ∈ B(zj , r). Lấy z ∈ C tùy ý tồn tại s ∈ [a, b] sao cho w(s) = z và tồn tại tj0 ∈ [a, b] sao cho |tj0 − s| ≤ b−an . Ta có |z − zj0 | = |w(s)− w(tj0 )| < r. Vậy z ∈ B(zj0 , r). Do đó, C ⊂ n⋃ j=0 B(zj , r).  1.15 Định lý. Giả sử C là đường cong như đã nói ở trên và nằm trong miền D. Khi đó, tồn tại r > 0 và z0, z1, . . . , zn ∈ C sao cho zj+1 ∈ B(zj , r) với j = 0, 1, . . . , n− 1 và C ⊂ n⋃ j=0 B(zj , r) ⊂ n⋃ j=0 B¯(zj , r) ⊂ D. Chứng minh. Ta nhận thấy C là tập compact và ∂D là tập đóng nên theo Định lý 1.15 trang 42 ta có d(C, ∂D) > 0. Lấy 0 < r < d(C, ∂D). Khi đó, với z ∈ C tùy ý ta có B¯(z, r) ⊂ D. Với r > 0 đã chọn theo Định lý 1.14 tồn tại các điểm z0, z1, . . . , zn ∈ C sao cho zj+1 ∈ B(zj , r) và C ⊂ n⋃ j=0 B(zj , r). Từ đó ta được điều phải chứng minh C ⊂ n⋃ j=0 B(zj , r) ⊂ n⋃ j=0 B¯(zj , r) ⊂ D.  1.16 Định lý. Tập mở D là liên thông nếu và chỉ nếu với hai điểm bất kỳ z1, z2 ∈ D tồn tại đường cong C nối z1 và z2 nằm hoàn toàn trong D. c© Hồ Công Xuân Vũ Ý § 1 Đường cong 133 Chứng minh. Giả sử D là tập mở liên thông. Trên D xét quan hệ ∼ như sau: x ∼ w khi và chỉ khi tồn tại một số hữu hạn hình cầu mở B1, B2, . . . , Bn chứa trong D thỏa x ∈ B1, w ∈ Bn và Bi ∩ Bi+1 6= ∅ với i = 1, 2, . . . , n − 1. Ta dễ dàng kiểm tra được ∼ là một quan hệ tương đương. Với z ∈ D, đặt Cz = {w ∈ D : z ∼ w} là lớp tương đương của z. Khi đó, theo tính chất của quan hệ tương đương ta có z ∈ Cz với mọi z ∈ D, với z, w ∈ D thì Cz = Cw hoặc Cz ∩ Cw = ∅ và D = ⋃ z∈D Cz . Với mọi z ∈ D, ta có Cz là tập mở. Thật vậy, với w ∈ Cz thì z ∼ w nên tồn tại một số hữu hạn hình cầu mở B1, B2, . . . , Bk chứa trong D sao cho z ∈ B1, w ∈ Bk và Bi ∩Bi+1 6= ∅ với i = 1, 2, . . . , k − 1. Với mọi z′ ∈ Bk thì z′ ∼ w nên z ∼ z′ hay z′ ∈ Cz. Suy ra w ∈ Bk ⊆ Cz . Vậy Cz là tập mở. Tiếp theo, ta chứng tỏ Cz = D với z ∈ D tùy ý. Cố định z. Giả sử D \ Cz 6= ∅. Đặt U = Cz và V = ⋃ w∈D\Cz Cw. Như đã chứng minh ở trên Cw là tập mở và Cz ∩ Cw 6= ∅ với mọi w ∈ D \ Cz nên V là tập mở và U ∩ V = ∅. Rõ ràng ta có D = U ∪ V . Vậy D là không liên thông, đây là điều mâu thuẫn. Như vậy, Cz = D. Do đó, với mọi z, w ∈ D tồn tại các hình cầu mở B1, B2, . . . , Bk chứa trong D sao cho z ∈ B1, w ∈ Bk và Bi ∩Bi+1 6= ∅ với i = 1, 2, . . . , k − 1. Lấy zi ∈ Bi ∩ Bi+1 với mỗi i = 1, 2, . . . , k − 1. Khi đó, đoạn thẳng nối zi và zi+1 nằm trong Bi+1 nên cũng nằm trong D. Vậy C là đường gấp khúc lần lượt nối các điểm z, z1, z2, . . . , zk−1, w sẽ nằm trong D. Vậy C là đường cong cần chỉ ra. Ngược lại, lấy z ∈ D và gọi Cw là đường cong trong D nối z với w. Khi đó, ta có D = ⋃ w∈D Cw. Giả sử tồn tại tập con thực sự khác rỗng vừa đóng vừa mở của D. Khi đó, D \U cũng là tập con thực sự khác rỗng vừa đóng vừa mở của D. Vì thể ta có thể giả sử z ∈ U (bởi vì ta có thể thay thể U bởi D \U). Vì D \U 6= ∅ nên tồn tại w0 ∈ D sao cho (D \U)∩Cw0 6= ∅. Mặt khác, z ∈ U ∩Cw0 , và U , D \U là các tập vừa đóng vừa mở trong D. Do đó, U ∩ Cw0 là tập con thực sự khác rỗng vừa đóng vừa mở của Cw0 . Điều này mâu thuẫn với tính liên thông của Cw0 trong D. Vậy D là tập liên thông.  1.17 Định nghĩa. Một miền D được gọi là miền đơn liên nếu biên của nó là một tập liên thông. Một miền không là đơn liên được gọi là miền đa liên. Đặc biệt, nếu biên của miền đa liên là hợp của n thành phần liên thông được gọi là miền n-liên. c© Hồ Công Xuân Vũ Ý 134 V Lý thuyết tích phân 1.18 Thí dụ. Tập D1 = {z ∈ C : 1 < |z| < 2} là một miền nhị liên. Tập D2 = {z ∈ C : |z − 1| > 1, |z − 2| < 2} là một miền đơn liên.  Cho đường cong C có biểu diễn tham số w(t) = u(t)+ iv(t) với a ≤ t ≤ b. Ta nói C là đường cong kín nếu w(a) = w(b). Đường cong C được gọi là đường cong Jordan (hay đường cong đơn) nếu nó không tự cắt nhau hay w(t) là đơn ánh trên (a, b), nghĩa là w(t1) 6= w(t2) khi a < t1 6= t2 < b. 1.19 Thí dụ. wα = z0 + reiαt với 0 ≤ t ≤ 2π là đường cong nằm trên đường tròn tâm z0 bán kính r. Nếu α = n là một số nguyên khác không thì đường cong đang xét là đường cong kín có điểm gốc và mút là z0 + r, theo hướng dương hay âm tùy thuộc và dấu của n với số vòng quay |n|. Đường cong ấy là đương cong Jordan khi và chỉ khi n = ±1.  Ta nói đường cong C có biểu diễn tham số w(t) = u(t) + iv(t) với a ≤ t ≤ b là đường cong khả vi nếu w′(t) = u′(t) + iv′(t) tồn tại và liên tục trên [a, b]. Khi đó, độ dài của đường cong C được xác định bởi công thức L = ∫ b a √ u′(t)2 + v′(t)2dt = ∫ b a |w′(t)|dt.(1.20) Ta nói đường cong C có biểu diễn tham số w(t) = u(t) + iv(t) với a ≤ t ≤ b là trơn nếu u(t) và v(t) là các hàm có đạo hàm liên tục và w′(t) 6= 0 với mọi t ∈ [a, b]. Như vậy, mỗi điểm trên đường cong trơn C đều tồn tại tiếp tuyến mà phương của nó xác định bởi w′(t). Một đường cong được gọi là trơn từng khúc nếu ta có thể chia đường cong đó thành hữu hạn phần đường cong mà mỗi phần đường cong là một đường cong trơn. 1.21 Định lý. (Jordan) Một đường cong Jordan kín trơn từng khúc C là biên của hai miền rời nhau trong C. Một miền được gọi là bên trong C thì bị chặn (thường được ký hiệu bởi D C ), và một miền khác ngoài C không bị chặn. 1.22 Nhận xét. Miền D là miền đơn liên nếu mọi đường cong Jordan kín C nằm trong D ta điều có D C . D là miền đa liên nếu tồn tại các đường cong Jordan kín Γ1, Γ2, . . . sao cho các miền DΓ1 , DΓ2 , . . . không bao hàm trong D. Để cho đơn giản và ngắn gọn ta quy ước từ đây về sau khi nói đến đường cong ta hiểu đó là đường cong trơn từng khúc (trong nhiều trường c© Hồ Công Xuân Vũ Ý § 1 Đường cong 135 hợp ta chỉ đòi hỏi đường cong đang xét là khả vi từng khúc), và khi nào ta nói rõ các loại đường cong là để nhấn mạnh chúng. Bài tập 1 ) Dùng đẳng thức ez0t = ex0t cos y0t+ iex0t sin y0t trong đó z0 = x0+ iy0 là hằng số phức. Chứng minh rằng d dt ez0t = z0e z0t. 2 ) Giả sử hàm z = z(t) khả vi tại t0 và hàm f(z) giải tích tại z0 = z(t0). Chứng minh rằng nếu w(t) = f(z(t)) thì w(t) khả vi tại t0 và w′(t0) = f ′(z(t0))z′(t0). 3 ) Chứng minh Định lý 1.8. 4 ) Xác định đường cong có biểu diễn tham số w(t) = t + i 1 t với −∞ < t < 0. 5 ) Tìm điều kiện để w(t) = a + bt và γ(t) = a′ + b′t với −∞ < t < ∞ cùng biểu diễn một đường thẳng có hướng. 6 ) Khi nào phương trình az + bz¯ + c = 0 biểu diễn một đường thẳng? 7 ) Cho w(t) là một hàm phức biến thực khả vi. Chứng minh rằng nếu w(t1) = w(t2) = 0 với t1 6= t2 thì tồn tại t0 giữa t1 và t2 sao cho w′(t0) = 0. 8 ) Với mọi α ∈ R, chứng minh rằng (i) |eiα − 1| ≤ |α|. (ii) |eiα − 1− iα| ≤ α 2 2 . (iii) |eiα − 1− iα| ≤ min { 2|α|, α 2 2 } . (iv) ∣∣∣eiα − 1− iα+ α2 2 ∣∣∣ ≤ |α|3 6 . (v) ∣∣∣eiα − 1− iα+ α2 2 ∣∣∣ ≤ min{α2, |α|3 6 } . c© Hồ Công Xuân Vũ Ý 136 V Lý thuyết tích phân 9 ) Chứng minh rằng x∫ 0 eis(x− s)nds = x n+1 n+ 1 + i n+ 1 x∫ 0 (x− s)n+1eisds. 10 ) Với mọi x ∈ R, chứng minh rằng∣∣∣∣eix − n∑ k=0 (ix)k k! ∣∣∣∣ ≤ |x|n+1(n+ 1)! . 11 ) Chứng minh rằng lim N→∞ ∫ λ −λ e− (N+it)2 2 dt = 0 với mọi λ > 0. 12 ) Chứng minh rằng đường cong (cung) là một tập liên thông trong C. § 2 Tích phân đường Khái niệm tích phân hàm phức Cho đường cong trơn C và hàm f(z) xác định trên C. Giả sử C có hai biểu diễn tham số w(t) với a ≤ t ≤ b và γ(t) với c ≤ t ≤ d. Nếu f(w(t)) và w′(t) liên tục từng khúc trên [a, b] và f(γ(t)) và γ′(t) liên tục từng khúc trên [c, d], người ta chứng minh được∫ b a f(w(t))w′(t)dt = ∫ d c f(γ(t))γ′(t)dt. Thật vậy, khi đó tồn tại hàm ϕ : [c, d]→ [a, b] song ánh đơn điệu tăng khả vi từng khúc sao cho γ(t) = w(ϕ(t)), cho nên∫ d c f(γ(t))γ′(t)dt = ∫ d c f(w(ϕ(t)))w′(ϕ(t))ϕ′(t)dt = ∫ b a f(w(s))w′(s)ds. Giá trị chung đó được gọi là tích phân của hàm f(z) trên đường cong C và kí hiệu ∫ C f(z)dz. Vậy ∫ C f(z)dz = ∫ b a f(w(t))w′(t)dt.(2.1) c© Hồ Công Xuân Vũ Ý § 2 Tích phân đường 137 Nhờ có tính chất ở Định lý 1.9 mà ta cũng có định nghĩa tích phân của hàm phức f trên đường cong trơn từng khúc C một cách tự nhiên và tương tự. 2.2 Thí dụ. Tính tích phân sau ∫ C z¯dz, trong đó C là đoạn thẳng từ điểm z = 0 đến z = 2 + i. C • • Hình V.1: Giải. Ta có biểu diễn tham số của C là w(t) = 2t+ it với 0 ≤ t ≤ 1. Vậy∫ C z¯dz = ∫ 1 0 2t+ it(2 + i)dt = (2 + i) ∫ 1 0 (2t− it)dt = (2 + i)(1− i2 ) = 5 2 .  2.3 Thí dụ. Tính tích phân ∫ C dz z − z0 trong đóC là đường tròn có phương trình |z − z0| = R được định hướng dương. • z0 C Hình V.2: Giải. Ta có biểu diễn tham số của C là w(t) = z0 +Re it với 0 ≤ t ≤ 2π, cho nên∫ C dz z − z0 = ∫ 2pi 0 Rieit Reit dt = 2πi.  Trở lại định nghĩa tích phân của hàm f(z) trên đường cong C. Giả sử ta có biểu diễn đại số của hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) và biểu diễn tham số của đường cong C là w(t) = x(t) + iy(t) với a ≤ t ≤ b. Khi đó, ta có f(w(t))w′(t) = (u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t)))(x′(t) + iy′(t)) = (u(x(t), y(t))x′(t)− v(x(t), y(t))y′(t)) + i(v(x(t), y(t))x′(t) + u(x(t), y(t))y′(t)). Vậy ∫ C f(z)dz = ∫ b a (u(x(t), y(t))x′(t)− v(x(t), y(t))y′(t))dt + i ∫ b a (v(x(t), y(t))x′(t) + u(x(t), y(t))y′(t))dt c© Hồ Công Xuân Vũ Ý 138 V Lý thuyết tích phân = ∫ C u(x, y)dx− v(x, y)dy + i ∫ C v(x, y)dx + u(x, y)dy. Như vậy, tích phân của hàm f(z) trên đường cong C được tính theo tích phân đường loại hai trong giải tích thực với phần thực là tích phân đường loại hai của hàm vector (u,−v) và phần ảo là tích phân đường loại hai của hàm vector (v, u), cả hai tích phân đều được tính trên đường cong C. Từ nhận xét này cùng với định nghĩa tích của hai số phức ta có thể dựa vào định nghĩa tích phân đường loại hai trong giải tích thực để đưa ra một định nghĩa tích phân đường của hàm phức tương đương với định nghĩa đã được trình bày ở trên như sau: Cho đường cong Jordan C trơn có điểm đầu là z0 và điểm cuối là z∗. Hàm f xác định trên C. Một phân hoạch P của đường C bởi n+1 điểm chia z0, z1, . . . , zn = z ∗ theo thứ tự đi trên đường cong C từ z0 đến z∗. Trên mỗi cung zk−1zk thuộc đường cong C chọn điểm ξk tùy ý (k = 1, 2, . . . , n). Lập tổng tích phân của hàm f S(P, ξk) = n∑ k=1 f(ξk)(zk − zk−1). Đặt d(P ) = max{sup{|z − z′| : z, z′ ∈ zk−1zk } : k = 1, 2, . . . , n} và gọi là đường kính phân hoạch P . Nếu tồn tại số phức I sao cho với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi phân hoạch P với d(P ) < δ ta luôn có |S(P, ξk)− I| < ε với mọi cách chọn các điểm ξk thì ta nói hàm f khả tích trên C và ∫ C f(z)dz = I. Tính chất tích phân hàm phức Cũng từ mối liên hệ giữa tích phân của hàm phức trên đường cong và tích phân đường loại 2 trong giải tích thực nên các tính chất của tích phân đường loại hai vẫn đúng cho tích phân của hàm phức theo đường cong. Sau đây ta liệt kê các tính chất của tích phân đường 2.4 Định lý. Nếu hàm f có tích phân trên đường cong C, thì hàm z0f với z0 là một hằng số phức cũng có tích phân trên đường cong C và∫ C z0f(z)dz = z0 ∫ C f(z)dz. c© Hồ Công Xuân Vũ Ý § 2 Tích phân đường 139 2.5 Định lý. Nếu hai hàm f và g có tích phân trên đường cong C, thì hàm tổng f + g cũng có tích phân trên đường cong C và∫ C [f(z) + g(z)]dz = ∫ C f(z)dz + ∫ C g(z)dz. 2.6 Định lý. Cho hàm f có tích phân trên đường cong C. Gọi C − là đường cong C nhưng được định hướng có chiều ngược lại. Khi đó, hàm f cũng có tích phân trên C − và∫ C − f(z)dz = − ∫ C f(z)dz. 2.7 Định lý. Giả sử C1 và C2 là hai đường cong sao cho điểm cuối của C1 là điểm đầu của C2. Nếu hàm f có tích phân trên hai đường cong C1 và C2, thì f có tích phân trên đường cong C1 ∪C2 và∫ C1∪C2 f(z)dz = ∫ C1 f(z)dz + ∫ C2 f(z)dz Chú ý, công thức trên vẫn được dùng để ký hiệu cho trường hợp điểm cuối của C1 không trùng với điểm đầu của C2; khi đó, C1 ∪ C2 không là đường cong mà chỉ là ký hiệu hợp hai đường cong ấy theo nghĩa tập hợp. 2.8 Định lý. Nếu z = ϕ(η) là khả vi liên tục và là ánh xạ 1-1 trên đường cong Γ và f khả tích trên đường cong C = ϕ(Γ) thì∫ Γ f(ϕ(η))ϕ′(η)dη = ∫ C f(z)dz. Chứng minh. Gọi w(t) với a ≤ t ≤ b là một biểu diễn tham số của đường cong Γ. Khi đó, ϕ(w(t)) với a ≤ t ≤ b là một biểu diễn tham số của đường cong C. Do đó, theo định nghĩa tích phân hàm phức ta có∫ C f(z)dz = ∫ b a f(ϕ(w(t)))[ϕ(w(t))]′dt = ∫ b a f(ϕ(w(t)))ϕ′(w(t))w′(t)dt = ∫ Γ f(ϕ(η))ϕ′(η)dη.  c© Hồ Công Xuân Vũ Ý 140 V Lý thuyết tích phân 2.9 Định lý. Cho hàm f có tích phân trên đường cong C. Khi đó, ta có∣∣∣ ∫ C f(z)dz ∣∣∣ ≤ML trong đó |f(z)| ≤M với mọi z ∈ C và L là độ dài đường cong C. Chứng minh. Ta chứng minh trong trường hợp C là đường cong trơn. Giả sử C có biểu diễn tham số w(t) với a ≤ t ≤ b. Khi đó, ta có ∣∣∣ ∫ C f(z)d ∣∣∣ = ∣∣∣ ∫ b a f(w(t))w′(t)dt ∣∣∣ ≤ ∫ b a |f(w(t))| · |w′(t)|dt ≤ ∫ b a M |w′(t)|dt =ML.  2.10 Thí dụ. Chứng minh rằng ∣∣∣ ∫ C dz z2 + 1 ∣∣∣ ≤ 4π 3 với C là đường tròn có phương trình |z| = 2 được định hướng dương. Với mọi z ∈ C, ta có |z2 + 1| ≥ |z|2 − 1 = 3, suy ra ∣∣∣ 1 z2 + 1 ∣∣∣ ≤ 1 3 . Do đó, ∣∣∣ ∫ C dz z2 + 1 ∣∣∣ ≤ 1 3 4π = 4π 3 do độ dài của C là 4π.  2.11 Thí dụ. ChoCR là nửa đường tròn có biểu diễn tham số w(t) = Reit với 0 ≤ t ≤ π. Không cần tính giá trị của tích phân chúng ta chứng minh được lim R→∞ ∫ CR dz z2 + 2 = 0. Với mọi z ∈ CR, ta có |z2 + 2| ≥ |z|2 − 2 = R2 − 2. Độ dài của CR là πR. Do đó, nếu R > √ 2 ta có∣∣∣ ∫ CR dz z2 + 2 ∣∣∣ ≤ 1 R2 − 2πR. Do lim R→∞ πR R2 − 2 = 0, nên limR→∞ ∣∣∣ ∫ CR dz z2 + 2 ∣∣∣ = 0, suy ra điều phải chứng minh.  c© Hồ Công Xuân Vũ Ý § 2 Tích phân đường 141 Định lý sau về sự khả tích của hàm tổng của chuỗi hàm hội tụ đều tương tự như trong giải tích thực. 2.12 Định lý. Giả sử các hàm fn liên tục trên miền D và chuỗi hàm∞∑ n=1 fn hội tụ đều trên D tới hàm f . Khi đó, với mọi đường cong trơn (hay trơn từng khúc) C ⊂ D ta có∫ C f(z)dz = ∞∑ n=1 ∫ C fn(z)dz. Chứng minh. Đặt Sn = n∑ k=1 fk. Theo giả thiết dãy các hàm Sn liên tục và hội tụ đều về hàm f trên D. Khi đó, với ε > 0 bất kỳ cho trước, tồn tại N > 0 sao cho với mọi n > N ta có |f(z)− Sn(z)| < εl với mọi z ∈ D trong đó l là độ dài đường cong C. Vậy với mọi n > N ta có ∣∣∣ n∑ k=1 ∫ C fk(z)dz − ∫ C f(z)dz ∣∣∣ = ∣∣∣ ∫ C [Sn(z)− f(z)]dz ∣∣∣ < ε l l = ε. Vì vậy ta được ∞∑ n=1 ∫ C fn(z)dz = lim n→∞ n∑ k=1 ∫ C fk(z)dz = ∫ C f(z)dz.  Ta cũng có định lý tương tự như định lý trên cho dãy hàm như sau. 2.13 Định lý. Giả sử {fn} là dãy các hàm liên tục trên miền D và hội tụ đều về hàm f . Khi đó, với mọi đường cong trơn (hay trơn từng khúc) C ⊂ D ta có ∫ C f(z)dz = lim n→∞ ∫ C fn(z)dz. Chứng minh. Dành cho bạn đọc xem như bài tập.  Bài tập 1 ) Tính các tích phân ∫ Γ Re(z)dz và ∫ Γ Im(z)dz với (a) Γ là bán kính vector của điểm z = 2 + i. c© Hồ Công Xuân Vũ Ý 142 V Lý thuyết tích phân (b) Γ là nửa đường tròn có phương trình |z| = 1 với 0 ≤ arg z ≤ π (điểm đầu là z = 1) (c) Γ là đường tròn có phương trình |z − a| = R. 2 ) Tính tích phân ∫ Γ |z|dz với (a) Γ là nửa đường tròn có phương trình |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π. (b) Γ là nửa đường tròn có phương trình |z| = 1, −pi2 ≤ Arg z ≤ pi2 . (c) Γ là đường tròn có phương trình |z| = R. 3 ) Tính tích phân ∫ Γ |z|z¯dz ở đây Γ là đường cong kín định hướng dương gồm nửa trên đường tròn có phương trình |z| = 1 và đoạn xác định bởi −1 ≤ x ≤ 1 và y = 0. 4 ) Tính tích phân ∫ Γ f(z)dz, trong đó f(z) = y− x− i3x2 với z = x+ iy và Γ là đoạn thẳng từ điểm z = 0 đến z = 1 + i. 5 ) Tính tích phân ∫ Γ z + 2 z dz trong đó Γ là nửa đường tròn có phương trình z = 2eiθ với 0 ≤ θ ≤ π. 6 ) Tính tích phân ∫ Γ dz√ z (a) trong đó Γ là nửa đường tròn định hướng dương xác định bởi |z| = 1 và Im z ≥ 0 và hàm √z xác định bởi √1 = 1. (b) trong đó Γ là nửa đường tròn định hướng dương xác định bởi |z| = 1 và Im z ≥ 0 và hàm √z xác định bởi √1 = −1. (c) trong đó Γ là nửa đường tròn định hướng dương xác định bởi |z| = 1 và Im z ≤ 0 và hàm √z xác định bởi √1 = 1. (d) trong đó Γ là đường tròn định hướng dương xác định bởi |z| = 1 và hàm √ z xác định bởi √ 1 = −1. c© Hồ Công Xuân Vũ Ý § 2 Tích phân đường 143 7 ) Cho C và Γ lần lượt là các đường tròn có biểu diễn tham số z = Reit và z = z0 +Reit với 0 ≤ t ≤ 2π. Nếu f liên tục từng đoạn trên C, thì∫ Γ f(z − z0)dz = ∫ C f(z)dz. 8 ) Giả sử Γ là đường cong kín Jordan giới hạn một miền có diện tích là S. Chứng minh rằng (a) ∫ Γ Re(z)dz = iS (b) ∫ Γ Im(z)dz = −S (c) ∫ Γ zdz = 2iS 9 ) Chứng minh rằng ∣∣∣ ∫ Γ z3 + √ 3 + i 2z2 − 4i dz ∣∣∣ ≤ 132π 7 , trong đó Γ là đường tròn có phương trình |z| = 4 được định hướng dương. 10 ) Không tính tích phân, chứng minh rằng ∣∣∣∫ Γ dz z2 − 1 ∣∣∣ ≤ πR 2(R2 − 1) trong đó Γ là một phần tư đường tròn z = Reit từ z = R đến Ri với R > 1. 11 ) Chứng minh rằng ∣∣∣ ∫ Γ dz z4 + 1 ∣∣∣ ≤ πR R4 − 1 , trong đó Γ có phương trình tham số w(t) = Reit với 0 ≤ t ≤ π và R > 1. 12 ) Chứng minh rằng ∣∣∣∣ ∫ CR z2 + 2 z4 + 1 dz ∣∣∣∣ ≤ R(R2 + 2)πR4 − 1 trong đó CR có biểu diễn tham số w(t) = Reit với 0 ≤ t ≤ π và R > 1. 13 ) Chứng minh rằng ∣∣∣∣ ∫ CR log z z2 dz ∣∣∣∣ < 2ππ + lnRR trong đó CR có biểu diễn tham số w(t) = Reit với −π ≤ t ≤ π, R > 1 và log z = ln |z|+ iArg z với −π < Arg z < π. 14 ) Gọi Cρ là đường tròn |z| = ρ với 0 < ρ < 1 được định hướng dương và giả sử rằng f(z) là giải tích trong hình tròn đóng |z| ≤ 1. Chứng minh rằng nếu z− 1 2 là một nhánh của lũy thừa của z thì tồn tại một hằng số dương M , không phụ thuộc ρ, sao cho∣∣∣∣ ∫ Cρ z− 1 2 f(z)dz ∣∣∣∣ ≤ 2πM√ρ. Từ đó chứng minh rằng giá trị tích phân dần về 0 khi ρ→ 0. c© Hồ Công Xuân Vũ Ý 144 V Lý thuyết tích phân 15 ) Hàm f(z) liên tục trên miền {z : |z − z0| > r0}. Ta ký hiệu Mr = max |z−z0|=r |f(z)| với r > r0 và giả sử rằng rMr → 0 khi r →∞. Chứng minh rằng lim r→∞ ∫ Γr f(z)dz = 0 trong đó Γr là đường tròn |z− z0| = r được định hướng dương. 16 ) Chứng minh Định lý 2.13. 17 ) Chứng minh các Định lý 2.4 - 2.7. 18 ) Chứng minh rằng lim N→∞ ∫ Γ zα−1e−zdz = 0 trong đó α > 0 và Γ là đoạn thẳng từ điểm λN đến λ−it N hay từ điểm λN đến (λ− it)N với λ > 0. 19 ) Gọi CN là biên định hướng dương của hình vuông xác định bởi các đường x = ±(N+ 12 )π và y = ±(N+ 12 )π ở đây N là một số nguyên dương. Chứng minh rằng lim N→∞ ∫ CN dz z2 sin z = 0. § 3 Nguyên hàm 3.1 Định nghĩa. Hàm F (z) được gọi là nguyên hàm của hàm f(z) trên D nếu nó khả vi trên D và F ′(z) = f(z) trên D. 3.2 Định lý. Nếu F và G là hai nguyên hàm của hàm f trên miền D, thì chúng sai khác nhau một hằng số. Chứng minh. Theo giả thiết ta có F và G khả vi trên miền D nên chúng giải tích trên miền D. Suy ra hàm F −G giải tích trên miền D và F ′(z)− G′(z) = f(z)− f(z) = 0 với mọi z ∈ D. Do đó, F −G là hàm hằng trên D.  Nói chung tích phân của hàm f trên đường cong nối hai điểm cố định z1 và z2 là phụ thuộc vào đường cong ấy. Tuy nhiên, có những hàm số mà tích phân của chúng từ z1 đến z2 không phụ thuộc vào đường cong nối z1 với z2. Định lý dưới đây rất hữu dụng trong việc xác định tích phân có phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm cố định hay không, và khi nào tích phân trên một đường cong kín có giá trị là không. c© Hồ Công Xuân Vũ Ý § 3 Nguyên hàm 145 3.3 Định lý. Giả sử f là một hàm liên tục trên miền D. Khi đó, ba mệnh đề sau là tương đương. (a) Hàm f có nguyên hàm là hàm F trên D. (b) Tích phân của hàm f trên các đường cong trong D từ điểm z1 đến z2 là như nhau. (c) Tích phân của hàm f trên đường cong kín nằm hoàn toàn trong D bằng 0. Chứng minh. Giả sử mệnh đề (a) đúng. Nếu Γ là một đường cong trơn từ z1 đến z2 nằm hoàn toàn trong D và có biểu diễn tham số w(t) với a ≤ t ≤ b. Khi đó, w(a) = z1, w(b) = z2, và w(t) là hàm khả vi liên tục trên [a, b] suy ra hàm F (w(t)) khả vi liên tục trên [a, b] và d dt F (w(t)) = F ′(w(t))w′(t) = f(w(t))w′(t). Do đó, ta tính được∫ Γ f(z)dz = ∫ b a f(w(t))w′(t)dt = F (w(t)) ∣∣b a = F (z2)− F (z1). Rõ ràng tích phân trên không phụ thuộc vào đường cong Γ mà chỉ phụ thuộc vào hai điểm cố định z1 và z2. Kết quả vẫn đúng cho trường hợp Γ là đường cong trơn từng khúc nối z1 đến z2 và nằm trong D. Thật vậy, ta có thể chia Γ thành n đoạn cong nhỏ liên tiếp nhau Γ1, Γ2, . . . , Γn, với Γk là đường cong trơn nối z′k đến z′k+1 (trong D) và z1 = z ′ 1, z2 = z ′ n+1. Theo kết quả trên ta có∫ Γ f(z)dz = n∑ k=1 ∫ Γk fk(z)dz = n∑ k=1 [F (z′k+1)− F (z′k)] = F (z′n+1)− F (z′1) = F (z2)− F (z1). C1 C2 z2 z1 D Hình V.3: Trong trường hợp tích phân không phụ thuộc vào đường cong Γ nối điểm z1 đến z2 ta ký hiệu tích phân trên đường cong bất kỳ nối z1 đến z2 là∫ z2 z1 f(z)dz. Giả sử mệnh đề (b) đúng. Với C là một đường cong kín bất kỳ nằm trong D. Lấy hai điểm z1 và z2 thuộc C. c© Hồ Công Xuân Vũ Ý 146 V Lý thuyết tích phân Khi đó, C được chia thành hai đường cong C1 và C2 với C1 đi từ z1 đến z2 và C2 đi từ z2 đến z1. Kí hiệu C−2 là đường cong ngược hướng với C2, cho nên C−2 là đường cong đi từ z1 đến z2. Do đó, ta có∫ C1 f(z)dz = ∫ C−2 f(z)dz = − ∫ C2 f(z)dz. Suy ra ∫ C f(z)dz = ∫ C1 f(z)dz + ∫ C2 f(z)dz = 0. Giả sử mệnh đề (c) đúng. Cố định z0 ∈ D. Với z ∈ D bất kỳ. Cho C1 và C2 là hai đường cong bất kỳ trong D nối z0 đến z. Khi đó, C1 ∪C−2 là một đường cong kín trong D cho nên 0 = ∫ C1∪C−2 f(z)dz = ∫ C1 f(z)dz − ∫ C2 f(z)dz Suy ra ∫ C1 f(z)dz = ∫ C2 f(z)dz. z z +∆z z0 D Hình V.4: Nghĩa là tích phân của f không phụ thuộc vào đường cong nối z0 đến z. Ta kí hiệu F (z) là giá trị chung đó F (z) = ∫ z z0 f(s)ds. Với z +∆z ∈ D tùy ý, ta có F (z +∆z)− F (z) = ∫ z+∆z z0 f(s)ds− ∫ z z0 f(s)ds = ∫ z+∆z z f(s)ds Mặt khác, ta có∫ z+∆z z ds = s ∣∣z+∆z z suy ra ∫ z+∆z z f(z)ds = ∆zf(z). Vậy F (z +∆z)− F (z) ∆z − f(z) = 1 ∆z ∫ z+∆z z [f(s)− f(z)]ds. Do f liên tục tại z nên với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho |f(s)−f(z)| < ε khi |s − z| < δ và s ∈ D. Với các điểm s thuộc đoạn thẳng nối từ z đến c© Hồ Công Xuân Vũ Ý § 3 Nguyên hàm 147 z +∆z và với |∆z| < δ, ta có |s− z| ≤ |∆z| < δ suy ra |f(s)− f(z)| < ε, cho nên theo Định lý 2.9 ta có∣∣∣ 1 ∆z ∫ z+∆z z [f(s)− f(z)]ds ∣∣∣ < 1|∆z|ε|∆z| = ε. (tích phân được lấy theo đoạn thẳng nối z và z +∆z nên có độ dài |∆z|). Vậy với |∆z| < δ và z +∆z ∈ D ta có∣∣∣F (z +∆z)− F (z) ∆z − f(z) ∣∣∣ < ε, cho nên lim ∆z→0 F (z +∆z)− F (z) ∆z = f(z) hay F ′(z) = f(z). Nghĩa là F là một nguyên hàm của f trên D.  3.4 Thí dụ. Hàm f(z) = z2 có nguyên hàm là F (z) = z3 3 trên C, nên ∫ 1+i 0 z2dz = z3 3 ∣∣∣i+1 0 = 1 3 (1 + i)3 = 2 3 (−1 + i). cho mỗi đường cong từ z = 0 đến z = i+ 1.  3.5 Thí dụ. Hàm 1/z2 liên tục tại mọi điểm trừ gốc tọa độ có nguyên hàm −1/z trong miền xác định |z| > 0. Do đó,∫ z2 z1 dz z2 = −1 z ∣∣∣z2 z1 = 1 z1 − 1 z2 (z1 6= 0, z2 6= 0) với mọi đường cong từ z1 đến z2 không đi qua điểm 0. Đặc biệt,∫ C dz z2 = 0 trong đó C là đường cong kín không đi qua điểm 0.  x y 2i −2i Hình V.5: 3.6 Thí dụ. Cho D là miền xác định bởi |z| > 0 và 0 < arg z < 2π. Khi đó, hàm logarithm ln z được xem là nguyên hàm của hàm 1/z trên D. Do đó, chúng ta có thể viết∫ 2i −2i dz z = ln(2i)− ln(−2i) = ln 2 + i π 2 − ln 2− i3π 2 = −iπ c© Hồ Công Xuân Vũ Ý 148 V Lý thuyết tích phân khi tích phân lấy trên đường cong từ −2i đến 2i không cắt phần không âm của trục Ox.  Bài tập 1 ) Bằng cách tìm nguyên hàm, tính mỗi tích phân sau trên đường cong bất kỳ nối hai điểm tương ứng là cận của tích phân. (a) ∫ i/2 i epizdz, (b) ∫ pi+2i 0 cos (z 2 ) dz, (c) ∫ 3 1 (z − 2)3dz 2 ) Chứng minh rằng∫ C0 (z − z0)n−1dz = 0 (n = ±1,±2, . . .) khi C0 là đường cong kín bất kỳ không đi qua điểm z0. 3 ) Tính tích phân ∫ Γ z − 2i z dz tron