Giáo trình Cơ sở hóa tinh thể - Chương 1: Chất kết tinh với bản chất dị hướng, mặt tinh thể

Cơ sở hóa học tinh thể NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 8 – 21. Từ khoá: Kết tinh, dị hướng, bản chất dị hướng, mặt tinh thể. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 1 CHẤT KẾT TINH VỚI BẢN CHẤT DỊ HƯỚNG, MẶT TINH THỂ............2 1.1 DỊ HƯỚNG ............................................................................................................2 1.1.1. Các trạng thái hình học của vật rắn ..................................................................2 1.1.2. Định nghĩa.......................................................................................................2 1.1.3. Trạng thái kết tinh ...........................................................................................4 1.1.4. Tính dị hướng của trạng thái kết tinh ...............................................................5 1.1.5. Khái niệm mạng không gian và dị hướng.........................................................6 1.2 MẶT TINH THỂ ....................................................................................................7 1.2.1 Nguyên lí Bravais về mặt tinh thể ....................................................................7 1.2.2 Kí hiệu mặt (mặt mạng) của tinh thể ................................................................9 1.2.3 Định luật Haỹy ..............................................................................................10 1.2.4 Chỉ số thứ tư trong hệ sáu phương .................................................................11 1.2.5 Định luật các đới (định luật Veis). Phương pháp phát triển đới ......................12 1.2.6 Xác định kí hiệu mặt nhờ biểu đồ chuẩn ........................................................14 Chương 1. Chất kết tinh với bản chất dị hướng, mặt tinh thể Trịnh Hân Ngụy Tuyết Nhung 2 Chương 1 CHẤT KẾT TINH VỚI BẢN CHẤT DỊ HƯỚNG, MẶT TINH THỂ Khác với chất khí và chất lỏng, chất rắn đa dạng hơn. Những phân tử cùng thành phần và hình dạng có thể sắp đặt trong tinh thể bằng những cách khác nhau. Đặc điểm hoá lí của vật chất thay đổi tuỳ thuộc cách thức sắp đặt này. Như vậy, những chất cùng thành phần hoá học có thể có những lí tính khác nhau. Sự đa dạng ấy không đặc trưng cho thể lỏng và không thể có trong thể khí. Trạng thái rắn đa dạng, còn riêng từng chất kết tinh có thể có những cá thể không giống nhau; nhưng một chất lỏng không thể cho những giọt khác nhau. Lấy muối ăn làm thí dụ: mỗi tinh thể NaCl có một diện mạo riêng, chúng có thể lớn hoặc bé, dạng lập phương hay khối chữ nhật v.v. Dưới kính hiển vi, một lát mỏng kim loại có thể cho thấy từng tinh thể với những nét hình thái phân biệt. Nếu cần có thể tách riêng một cá thể dạng đa diện, được gọi là tinh thể đơn. Dưới danh từ “tinh thể” nhiều khi có thể hiểu như một tinh thể đơn, hoặc khái quát hơn, như một vật kết tinh. Trong rất nhiều trường hợp, vật rắn bộc lộ dưới dạng tập hợp tinh thể. Chẳng hạn, đá hay kim loại bao gồm các hạt không có hình dạng nhất định, trong điều kiện chất nóng chảy nguội nhanh, sự kết tinh bắt đầu cùng lúc trên mọi điểm của nó. Nhiều tinh thể cùng phát triển trong một không gian hạn hẹp riêng, chúng cản trở nhau, không hạt nào đủ chỗ để tự thể hiện, để tạo thành đa diện riêng. Chương này dành cho dị hướng, một thuộc tính của vật rắn. 1.1 DỊ HƯỚNG Khi nói về dị hướng hoặc đẳng hướng của một tinh thể hãy gắn với tính chất cụ thể của nó. Đẳng hướng đối với tính chất này, nó có thể dị hướng trong tính chất khác. Trước hết, hãy làm rõ bản chất của tinh thể với tư cách là một trong ba dạng tồn tại của vật rắn. 1.1.1. Các trạng thái hình học của vật rắn Về mặt hình học, vật rắn có thể tồn tại ở một trong ba trạng thái sau: vô định hình, tinh thể lỏng và kết tinh. Đối tượng nghiên cứu của tinh thể học hay hoá học tinh thể nói riêng chính là chất kết tinh. Trước hết hãy làm rõ một số khái niệm. 1.1.2. Định nghĩa Ngoài các tính chất gọi là vô hướng mà sự biểu hiện không phụ thuộc vào hướng khảo sát (ví dụ: tỉ trọng), vật rắn có nhiều tính chất gọi là có hướng. Khi khảo sát tính chất loại này, thường phải chỉ định hướng khảo sát: ứng với mỗi hướng, tính chất bộc lộ một cách riêng, có một số đo riêng, khi đổi hướng khảo sát thì tính chất thay đổi theo. Từ một điểm tưởng tượng trong lòng vật rắn, hãy đo độ lớn của một tính chất theo đủ mọi hướng. Chẳng hạn, sự biến thiên của tốc độ truyền nhiệt biểu thị bằng tập hợp vô số vectơ với gốc chung đặt tại điểm đã cho. Ngọn của các vectơ tạo nên bề mặt liên tục dưới dạng một elipsoit (hình 1.1). Bề mặt liên 3 tục đều đặn ấy có thể hình thành do ngọn của một vectơ, khi nó xoay liên tục xung quanh điểm gốc theo hết thảy mọi chiều: vừa xoay vừa thay đổi độ lớn (số đo của tính chất). Dựa vào hình dạng của bề mặt chỉ thị này, có thể phân biệt hai trường hợp sau: đẳng hướng và dị hướng. - Đẳng hướng: vectơ chỉ thị tính chất xoay quanh gốc mà không thay đổi độ lớn dù theo hướng nào. Bề mặt chỉ thị sẽ là một hình cầu (hình 1.1,a). Trong trường hợp này, vật rắn đã cho là đẳng hướng đối với tính chất đang khảo sát. Ví dụ: thuỷ tinh là vật đẳng hướng đối với tính chất truyền nhiệt của nó. - Dị hướng: khi vectơ chỉ thị tính chất thay đổi hướng và độ lớn biến thiên theo, thì bề mặt chỉ thị sẽ không còn là hình cầu nữa (hình 1.1,b). Trong trường hợp này, vật rắn gọi là dị hướng đối với tính chất đang khảo sát. Như vậy, vật rắn vốn dị hướng đối với một tính chất này, có thể trở nên đẳng hướng đối với tính chất khác. Có 2 trường hợp dị hướng: - Dị hướng liên tục. Bề mặt chỉ thị sẽ có dạng một elipsoit ba bán trục, hình dạng của nó xác định bằng 3 giá trị bán kính khác nhau dọc 3 hướng trực giao. Elipsoit với bề mặt liên tục và đều đặn ấy là biểu hiện của dị hướng liên tục. Mỗi tính chất đặc trưng bằng một elipsoit riêng. - Dị hướng gián đoạn. Tính chất của vật biểu thị bằng một số có hạn các vectơ chung gốc thay cho một bề mặt liên tục. Dọc theo các hướng khác ngoài hướng của các vectơ ấy, tính chất không bộc lộ (vectơ có độ lớn bằng không). Mỗi tập hợp vectơ này đặc trưng cho một tính chất nhất định của tinh thể đã cho. Đối xứng của đa diện tinh thể cũng là của tập hợp vectơ thể hiện tính chất của vật rắn kết tinh (xem dưới). Vật thể vô định hình không có bản chất dị hướng gián đoạn và luôn đẳng hướng đối với phần lớn tính chất của chúng. Hầu hết các vật thể vô định hình là chất lỏng và chất khí. Một số vật rắn cũng có thể tồn tại ở thể vô định hình. Đường cong ngưng kết (thể lỏng chuyển sang thể rắn) của vật thể vô định hình biến thiên theo thời gian là một đồ thị liên tục (hình 1.2,a). Theo thời gian nhiệt độ giảm, độ nhớt của chất lỏng tăng (độ linh động giảm) tuần tự tới mức không thể ghi nhận thời điểm chất lỏng chuyển sang thể rắn trong quá trình chuyển pha. Tinh thể lỏng là trạng thái đặc thù của một số hợp chất hữu cơ với phân tử phức tạp. Trong quá trình ngưng kết, vật chất loại này trải qua trạng thái trung gian. Trong giai đoạn này, vật chất có đặc tính vừa của thể lỏng, vừa của chất kết tinh như dị hướng quang học. Vật thể tồn tại ở trạng thái trung gian này mang tên tinh thể lỏng (Lemann O., 1889). Chúng có hai loại tuỳ độ trật tự tăng dần như sau: Hình 1.1Bề mặt chỉ thị của vật thể đẳng hướng (a) và dị hướng (b) 4 - Khi phân tử đều sắp xếp song song với một hướng chính, với độ trật tự theo một chiều không gian, ở mức sơ khai. Thể nematit này thường dị hướng (không phải dị hướng gián đoạn) và hầu hết là chất lỏng. - Khi phân tử vừa xếp song song vừa phân bố thành từng lớp, tức là với một độ trật tự cao hơn (theo hai chiều không gian). Chất smectit này có bản chất dị hướng gián đoạn và thường có dạng nhão và cũng có thể ở thể rắn. Chúng gần với chất kết tinh hơn. 1.1.3. Trạng thái kết tinh Tuỳ điều kiện ngưng kết, chẳng hạn nhiệt độ của chất nóng chảy hạ nhanh hay chậm, vật chất có thể ngưng kết ở thể vô định hình hay ở thể kết tinh. Tại điều kiện khí quyển, đại bộ phận vật rắn tồn tại ở trạng thái kết tinh. Tinh thể học là khoa học về chất rắn. Trạng thái kết tinh có nhiều thuộc tính, nhưng nét đặc trưng cơ bản nhất của chúng là bản chất dị hướng gián đoạn. Hình 1.2 Đường cong ngưng tụ từ trạng thái lỏng sang rắn vô định hình (a) và rắn kết tinh (b) Đường cong ngưng kết trên đồ thị hình 1.2,b cho thấy sau giai đoạn đầu hạ giảm tuần tự, nhiệt độ trở nên không đổi (T1 = const) ngay khi pha rắn xuất hiện dưới dạng những tinh thể “mầm” đầu tiên. Trong giai đoạn từ thời điểm t1 đến t2 cả pha rắn và pha lỏng cùng có mặt. Các vi tinh tự phát triển thành đa diện ngày càng lớn. Nhiệt độ lại tiếp tục giảm khi trong hệ chỉ còn pha rắn. Tinh thể cũng có thể hình thành trong dung dịch bão hoà bằng cách cho dung môi bay hơi hoặc bằng cách cho hơi thăng hoa và ngưng tụ trong ngăn lạnh. Tính đồng nhất của trạng thái kết tinh. Một vật gọi là đồng nhất nếu nó có những tính chất giống nhau tại mỗi điểm trong toàn thể tích của nó. Bản chất đồng nhất chỉ được xác minh, nếu tính chất được khảo sát theo những phương song song. Chẳng hạn, nếu hai chiếc đũa cùng kích thước, cắt gọt từ một tinh thể theo cùng một phương, thì chúng phải bộc lộ độ bền cơ học giống nhau; chẳng hạn, chúng đều bị gãy dưới tác dụng của cùng một vật nặng. Khi tinh thể có mặt cát khai theo một phương xác định, nó luôn bị tách vỡ dễ dàng dọc phương của mặt ấy dưới tác dụng của một lực cơ học; dù cho lực ấy đặt vào điểm nào của tinh thể. Rõ ràng, vật kết tinh có cấu trúc như nhau tại mọi điểm của nó thì nó phải đồng nhất. Đương nhiên, ở đây chưa tính đến những khuyết tật, sai hỏng sẵn có trong cấu trúc tinh thể thực (sẽ nói ở chương V). Tuy nhiên, đồng nhất là khái niệm mang tính tương đối: nó tuỳ thuộc thang độ khảo sát. Dưới kính hiển vi, tinh thể kim cương chẳng hạn là một vật thể đồng nhất. Thực ra, nó là một 5 hệ gián đoạn với hơn 177.109 hạt/micromet khối; giữa các hạt carbon là khoảng không phi vật chất. Như vậy, ở thang độ nguyên tử khái niệm tính đồng nhất không tồn tại. 1.1.4. Tính dị hướng của trạng thái kết tinh Chất dị hướng (đối với tính chất nào đó của nó) là chất đồng nhất, mà nếu theo những phương song song tính chất ấy thể hiện như nhau, thì nói chung, theo những phương không song song tính chất ấy thể hiện khác nhau. Chất kết tinh thường dị hướng. Nếu từ vật kết tinh nào đó cắt gọt hai thỏi kích thước như nhau nhưng theo những phương khác nhau thì chúng sẽ có những tính chất khác nhau. Chẳng hạn, các thỏi này sẽ có sức bền cơ học không như nhau. Tính dị hướng của một tinh thể nhất định liên quan tới cấu trúc của nó, bởi vì theo những phương song song thì nguyên tử (hay ion, phân tử) giống nhau được sắp đặt giống hệt nhau, cách nhau cùng một khoảng. Theo những phương không song song, các hạt nói chung không sắp xếp đều đặn như nhau, do đó các tính chất dọc các phương này phải khác nhau. Một tinh thể dị hướng (hay đẳng hướng) theo một tính chất, có thể đẳng hướng (dị hướng) theo tính chất khác. Ví dụ: tinh thể thuộc hệ lập phương luôn đẳng hướng đối với tính chất quang học và dị hướng đối với các tính chất khác. Những thực nghiệm sau đây cho thấy tính dị hướng của vật kết tinh. Hãy chạm đầu kim nung đỏ lên bề mặt tấm thạch cao đã phủ sẵn lớp sáp ong mỏng (hình 1.3). Lớp sáp bị chảy ra từ điểm chạm của đầu kim, trong phạm vi một hình elip đều đặn; điều này chứng tỏ sự dị hướng của thạch cao đối với tính dẫn nhiệt. Nếu chạm đầu kim nóng đỏ lên các điểm khác trên cùng mặt tinh thể này, sẽ nhận được những hình elip đồng dạng và cùng một định hướng (tính đồng nhất). Nhỏ lên mặt tinh thể fluorit CaF2 vài giọt acid sulfuric. Dưới tác dụng của nó các mặt tinh thể bị ăn mòn thành những hố lõm, hình dạng khác nhau trên những mặt khác nhau. Hình ăn mòn trên mặt bát diện có dạng tháp với đáy tam giác đều, trên mặt lập phương tháp có đáy vuông. Những hình ăn mòn có chung một định hướng. Cũng như tính đồng nhất, dị hướng không phải chỉ có riêng ở chất kết tinh; tinh thể lỏng và đôi khi chất vô định hình cũng là những vật dị hướng. Chỉ dị hướng gián đoạn là đặc hữu của chất kết tinh. Sau đây là một số ví dụ. Tính nhiễu xạ của tia X trong tinh thể. Một tinh thể nằm trên đường đi của chùm tia X sẽ gây nhiễu xạ đối với bức xạ này. Mỗi mặt tinh thể cho ít nhất một tia nhiễu xạ với một hướng xác định và một cường độ xác định. Nếu năng lực nhiễu xạ của mỗi mặt tinh thể biểu Hình 1.3 Thực nghiệm về tốc độ truyền nhiệt trên mặt tinh thể thạch cao phủ sáp ong Hình 1.4Sơ đồ phát triển của tinh thể Mỗi mặt a, b, c có tốc độ tịnh tiến riêng 6 thị bằng một vectơ hướng theo tia pháp của mặt, độ lớn của nó chỉ cường độ (sức công phá) của tia, thì năng lực nhiễu xạ của tinh thể đối với tia X biểu thị bằng tập hợp một số vectơ chung gốc (đặt trùng trọng tâm của tinh thể). Tốc độ mọc của mặt tinh thể. Sự phát triển của tinh thể trong dung dịch bão hoà xảy ra trong cơ chế xác định; đó là sự tịnh tiến của mỗi mặt tinh thể, theo hướng tia pháp (hình 1.4). Vectơ va, vb, vc dọc tia pháp của mặt tinh thể cho thấy ứng với mỗi mặt là một giá trị tốc độ tịnh tiến của nó trong quá trình tinh thể phát triển. Tính tự tạo mặt, bản năng của chất kết tinh phát triển dưới dạng một đa diện, có thể biểu diễn bằng tập hợp vectơ chung gốc, mỗi vectơ thể hiện tốc độ mọc của một mặt tinh thể. Một loạt tính chất khác của khoáng vật cũng cho thấy dị hướng gián đoạn của tinh thể. Ví dụ: tính cát khai của một tinh thể không giống nhau theo những phương khác nhau. Nếu vectơ chỉ tính cát khai đặt vuông góc với mặt cát khai (theo đó tinh thể bị tách giãn), còn độ lớn của vectơ chỉ chất lượng của mặt cát khai (độ phản quang, chẳng hạn), thì tinh thể có bao nhiêu phương cát khai sẽ có bấy nhiêu vectơ đặt chung gốc tại trọng tâm tinh thể. Khả năng liên kết của tinh thể cùng chất (song tinh) hay khác chất (epitaxy) theo một mặt phẳng cũng có thể biểu thị bằng vectơ dọc tia pháp. 1.1.5. Khái niệm mạng không gian và dị hướng Sự sắp xếp trật tự của hạt vật chất khiến trạng thái kết tinh khác hẳn với trạng thái không kết tinh. Nếu trong mọi cấu trúc tinh thể, có thể tách riêng từng loại nguyên tử, thì cách phân bố của nguyên tử thuộc mỗi nguyên tố đều giống của nút thuộc một loại mạng không gian. Để khái quát hình ảnh của một mạng không gian có thể cho ba véc tơ tịnh tiến Ga , G b và Gc không đồng phẳng tác dụng lên một điểm (nút gốc của mạng). Kết quả thu được là một hệ thống nút xếp tuần hoàn theo ba chiều không gian, các nút này nằm trên đỉnh của các khối bình hành bằng nhau, xếp song song và kề nhau; với ba cạnh là a, b, c (hình 1.5). Mọi nút của mạng không gian đều suy được từ nút gốc bằng phép tịnh tiến T JG ; 1 1 1T n a n b n c= + + JG GG G Ở đây n1, n2, n3 là những số nguyên bất kì. Nói cách khác, hai nút bất kì của mạng có thể di chuyển tới chỗ của nhau bằng phép tịnh tiến T JG . Khi đó, các nút còn lại của mạng không gian cũng thế chỗ cho nhau. Vì các nút hết thảy đều tương đương và vì mạng không gian là vô hạn, nên vị trí của mạng sau bước tịnh tiến hoàn toàn giống với vị trí của nó trước khi tịnh tiến. T JG là bước tịnh tiến bảo toàn mạng. Mạng không gian là vô hạn và có tính tuần hoàn theo ba chiều. Độ lớn của vectơ tịnh tiến chỉ giá trị của chu kì tuần hoàn của mạng. Giá trị ấy nói chung không bằng nhau theo những hướng khác nhau: chính mạng không gian đã bộc lộ tính dị hướng về mặt hình học của tinh thể. Hình 1.5 Hệ thống các nút điểm của mạng không gian 7 1.2 MẶT TINH THỂ Theo L. Náray-Szabó (1969), việc tìm ra mạng tinh thể là minh chứng đầu tiên về sự tồn tại của các hạt (nguyên tử). Chỉ khi những “nguồn nhiễu xạ rời” này được tổ chức lại theo trật tự của mạng không gian, chúng mới có năng lực giao thoa tia nhiễu xạ để rồi “phản xạ” từ mặt tinh thể (xem 3.4.1), nếu tinh thể nằm trên đường đi của chùm tia X. Trên đây, các thực nghiệm về dị hướng gián đoạn đặc trưng của tinh thể đều liên quan tới mặt tinh thể. Khái niệm đơn thuần hình thái học này gắn liền mạng tinh thể ra sao, dưới đây sẽ đề cập kĩ hơn. 1.2.1 Nguyên lí Bravais về mặt tinh thể Mạng không gian (hình 1.5) cho phép cắt nghĩa một trong những khuynh hướng của chất kết tinh là tự giới hạn bằng những mặt phẳng. Đó là mặt tinh thể, một khái niệm cơ sở của tinh thể học hình thái, sẽ được đề cập ở đây. Nếu gán cho mỗi nút mạng một ion hay nguyên tử, phân tử, hay một mẫu hình (motif) nguyên tử (một tập hợp nguyên tử xếp theo một trật tự riêng), thì mạng không gian chứa một nội dung vật chất sẽ cho một cấu trúc tinh thể. Nói cách khác: Mạng không gian + mẫu hình nguyên tử → cấu trúc tinh thể. Hình 1.6 giới thiệu mẫu hình nguyên tử, ô mạng lập phương của cấu trúc tinh thể cuprit Cu2O (a) và pyrit FeS2(b) cùng mạng không gian của chúng (c). Trong thực tế, khối lập phương là dạng thường gặp của tinh thể pyrit; điều này gợi ý mối tương quan về hình dạng giữa đa diện tinh thể và ô mạng của cấu trúc tinh thể. Mặt ô lập phương của cấu trúc chứa hạt tích điện dương Fe2+ và hạt mạng điện âm S22− với số lượng ngang nhau. Với điện tích trung hoà, mặt này bộc lộ một liên kết yếu giữa các lớp nguyên tử, một mặt cát khai. Đa diện tinh thể giới hạn bằng một số hữu hạn các mặt của nó. Song song với mỗi mặt tinh thể là một họ mặt mạng trong cấu trúc. Mạng không gian của cấu trúc tinh thể có số họ mặt mạng nhiều vô hạn; bởi vì ba nút không thẳng hàng xác định một mặt mạng (hkl) và song song với nó là một số vô hạn những mặt mạng (giống nhau và cách đều nhau) cùng họ. Tương ứng với mỗi họ mặt mạng có thể là một mặt của đa diện tinh thể. Họ mặt mạng phân biệt bằng mật độ hạt, tức là số nút trên một đơn vị diện tích và khoảng cách (giữa các) mặt mạng. Hình 1.7 là hình chiếu của mạng không gian (hình 1.6,c) trên mặt ab; mỗi điểm tương ứng với một chuỗi dọc trục c, mỗi đường thẳng – một mặt mạng, tức là một họ mặt mạng kí hiệu (hk0). Mỗi họ mặt mạng có hai đại lượng được xem xét: Dhk0 là khoảng giữa hai nút kề nhau trên hình, tỉ lệ nghịch với mật độ hạt của mặt mạng; dhk0 là khoảng cách mặt mạng. 8 Hình 1.7 Mạng không gian của pyrit chiếu trên mặt (001) với một số họ mặt mạng (hk0) Trong trường hợp pyrit FeS2 (hay halit NaCl), mặt mạng (100) ứng với mặt của khối lập phương có mật độ hạt lớn nhất và khoảng cách mặt mạng tương ứng có giá trị lớn nhất (hãy so sánh với các họ mặt mạng khác trên hình 1.7). Trong vô số mặt mạng (họ mặt mạng) của mạng không gian thuộc pyrit chỉ một số nhỏ có đủ tiêu chí của mặt tinh thể, đó là những họ mặt mạng với mật độ hạt lớn nhất và với khoảng cách mặt mạng lớn nhất. Đó là tinh thần của nguyên lí Bravais A. (1866) về mặt tinh thể. Cũng có thể nói như vậy về cạnh tinh thể, nơi mặt tinh thể cắt nhau, một trong những yếu tố hình học của đa diện tinh thể. Trong vô số chuỗi mạng của mạng không gian thuộc pyrit, chính những chuỗi với thông số chuỗi nhỏ nhất (số hạt tính trên một đơn vị chiều dài đạt giá trị lớn nhất) sẽ song song với cạnh tinh thể. a. (100); b. (110); c. (210); và d. (310) (hk0): (100) (110) (210) (310) Dhkl a a 2 a 5 a 10 dhkl a / 2a 2 / 5a 5 / 10a 10 9 1.2.2 Kí hiệu mặt (mặt mạng) của tinh thể Vị trí của mỗi mặt (mặt mạng) tinh thể hoàn toàn có thể xác định bằng các đoạn (thông số) do mặt mạng cắt trên ba (chuỗi mạng) trục toạ độ OX, OY, OZ. Chuỗi ứng với trục toạ độ, nếu có thể, phải trùng với các phương đặc biệt, tức là trục đối xứng hay pháp tuyến của mặt đối xứng gương. Các đoạn thông số này của mặt tinh thể đo bằng a, b, c; tức là các đơn vị trên ba trục toạ độ. Đó cũng là chu kì tuần hoàn ngắn, mặc dầu không nhất thiết ngắn nhất, nếu chúng thuộc phương đặc biệt (xem thêm phép định trục tinh thể học). Trên hình 1.8 vị trí của mặt mạng 1, song song với Z, xác định bằng thông số 3a theo trục X và 2b theo trục Y. Mặt mạng 2 bằng thông số 1a, 1b. Quy luật mạng đòi hỏi các mặt mạng của cùng một họ phải bao quát (đi qua) tất cả các nút của mạng không gian. Từ hình 1.8 có thể thấy tất cả những mặt mạng cùng họ này đều cắt các trục toạ độ ở cùng một tỉ lệ. Quả vậy, các mặt mạng 1, 1', 1'', 1''' có các thông số sau: Mặt mạng OX OY OZ 1 3 đơn vị 2 đơn vị ∞ 1’ 1 2 2 đơn vị 2 1 3 đơn vị ∞ 1’’ 2 đơn vị 1 1 3 đơn vị ∞ 1’’’ 1 đơn vị 2 3 đơn vị ∞ Vị trí của cả họ mặt mạng, do đó của mặt tinh thể quy định bởi họ ấy, biểu thị bằng tỉ lệ các thông số của chúng đo bằng các chu kì tuần hoàn tương ứng: 5 5 4 2 3 : 2 : : : 2 : : 1 : : p : q : r 2 3 3 3 ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = Hình 1.8 Xác định kí hiệu mặt mạng tinh thể 1, 2, 3, 4 là giao tuyến của chúng với mặt hình 10 Ở đây p, q, r là những số nguyên đơn giản (thông số Veis). Để tiện sử dụng (số không thay cho vô cực), hãy dùng giá trị nghịch đảo của thông số Veis, tức là các chỉ số Miller h, k, l để kí hiệu cho mặt tinh thể: ba chỉ số viết liền trong ngoặc đơn (hkl). Như vậy, kí hiệu của họ mặt mạng 1 là (230) vì 1 1 1: : 2 : 3 : 0 2 3 =∞ . Mặt 2 có kí hiệu (110) mặt 3 (210)và mặt 4 (140) . Hình 1.8 cũng cho thấy các mặt mạng thuộc họ (hkl) chia các đoạn a, b, c lần lượt thành h, k, l phần bằng nhau. Kí hiệu chuỗi mạng (cạnh) của tinh thể Trong tinh thể, chuỗi mạng đi qua gốc toạ độ đặc trưng cho cả họ chuỗi đã cho. Do đó, để xác định vị trí một chuỗi mạng (hay một cạnh tinh thể) chỉ cần đo toạ độ x, y và z của một nút trên chuỗi (đi qua gốc) bằng các đơn vị a, b, c theo các trục tương ứng c z b y a x ,, và giản ước. Các tỉ số này sau khi quy về tỉ số của các số nguyên đơn giản r, s, t được viết trong một ngoặc vuông, gọi là kí hiệu của cạnh [rst] (hình 1.9). 1.2.3 Định luật Haỹy Mọi điều lí giải trên là bản chất của định luật hữu tỉ của các thông số, do yuHa  phát biểu năm 1783 dựa trên những khảo sát hình thái tinh thể; tỉ số kép giữa các thông số của hai mặt bất kì thuộc một tinh thể bằng tỉ số giữa các số nguyên đơn giản. Chẳng hạn, một tinh thể chứa hai mặt: A1B1C1 với các thông số OA1, OB1, OC1 và A2B2C2 với OA2, OB2, OC2 thì pnm OC OC OB OB OA OA ::: 2 1 2 1 2 1 == với m, n, p là những số nguyên và đối với tinh thể thực đó là những số nguyên tương đối nhỏ. Một trong những mặt cắt cả ba trục toạ độ (ví dụ A0 Hình 1.9 Xác định kí hiệu chuỗi mạng tinh thể Hình 1.10 Kí hiệu mặt tinh thể xác định theo định luật Hauy 11 B0 C0) có thể coi như mặt đơn vị và các thông số của nó là đơn vị đo lường, dùng cho các mặt và cạnh khác của tinh thể đã cho. Để tìm kí hiệu của một mặt nào đó, hãy dùng những đơn vị đo lường trên để đo các đoạn thông số của mặt, lấy tỉ số của các giá trị nghịch đảo, loại bỏ mẫu số sau khi quy đồng, sẽ thu được ba chỉ số của kí hiệu mặt. Chẳng hạn, kí hiệu của mặt A1B1C1 (hình 1.10) được xác định như sau: rqp OC OC OB OB OA OA OOO :::: 111 = lkh rqp ::1:1:1 = Tóm lại: )(:: 111 hkllkh OC OC OB OB OA OA OOO ⎯→⎯=== Như vậy, kí hiệu của mặt đơn vị là (111). Để xác định kí hiệu của một cạnh nào đó phải lấy toạ độ của một điểm bất kì của nó, dùng thông số mặt đơn vị đo các toạ độ ấy rồi lấy tỉ số kép giữa các đại lượng thu được: 0OA x : 0OB y : 0 z OC = r : s : t → [rst] Kết hợp với nguyên lí Bravais, định luật Haỹy cho phép khẳng định: mặt tinh thể hay mặt cát khai song song với họ mặt mạng với mật độ hạt lớn nhất, khoảng cách mặt mạng lớn nhất và kí hiệu (với chỉ số Miller) đơn giản nhất. Đây là những mặt tinh thể, hay hình đơn, với tần suất gặp lớn nhất (xem 3.3.5). Chúng tạo nên dạng quen của tinh thể; những mặt khác chỉ gặp trong những điều kiện tự nhiên nhất định và gọi là mặt giả định. 1.2.4 Chỉ số thứ tư trong hệ sáu phương Trong hệ sáu phương có ba phương tương đồng nằm ngang và mặc dầu chỉ ba trục OX, OY và OZ cũng đủ để xác định vị trí của mặt và cạnh tinh thể, đôi khi một trục thứ tư (nằm ngang) U vẫn được dùng đến, sinh ra phép kí hiệu mặt bằng bốn chỉ số (Bravais – Miller). Bộ ba trục ngang (OX, OY và OU) giúp thực hiện dễ dàng các thao tác đối xứng bậc ba, bậc sáu đối với mặt và cạnh, cho phép nhấn mạnh sự thống nhất của các yếu tố hình thái liên quan nhau bằng trục chính. Tuy vậy, chỉ số thứ tư trong kí hiệu lại bất tiện trong tính toán và nó cũng thường bị loại bỏ bằng những quy tắc phân biệt cho mặt và cạnh. Hình 1.11 Chỉ số i của mặt tinh thể hệ sáu phương. 12 (a) AB là giao tuyến của mặt với mặt XYU, xoay quanh trục đối xứng bậc ba, (b) mặt Theo cách dựng, BL//OU, tam giác ABL đồng dạng với tam giác ANO, từ đó p q q p q q 1 1 1 ; ; p n pq nq q p n + += = + = hay là: 1 1 1 1 1 1 ; p q n p q n + + + = −G G G G G G Như vậy,