Giải toán tích phân bằng nhiều cách

4   4 4  cos 2          4 2    sin x    1 cos x 4  2       sin x     sinx cos x cos  x    4   4      dcos x    dsin x 4     sin x I 2  2 2 ln sin x  2 ln cos x   2 ln  C sinx    4     cosx  cos  x   4   4  Cách 2: Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có : dx dx d(cot x  1) I2  2  2   2 ln cot x  1  C sinx (cos x sin x ) sin2 x (cot x  1)  cot x  1  3 dx Tương tự : (ĐHMĐC – 2000) Tính tích phân: I      sinx .sin  x   6 6  HD:       2sin x   x  dx cosx   dx6  cos x 6    2      dx      sin x     sinx .sin  x sin x .sin  x   sin  x    6   6   6     Bài 8: Tìm nguyên hàm: Itan x tan  x   dx  4  Giải: Cách 1: Ta có:            sinx sin x  cos x cos  x    sin x sin  x  cos x     4   4   4   4  tanx tan x      1  1 4          cosx cos x cos x cos  x  cos x cos  x   4   4   4  2 1  1 2   cosx cos x   4  46 dx Khi đó xét: J    cosx cos( x  ) 4  sin 4            Sử dụng đồng nhất thức: 1  2 sinx    x  2 sin  x   cos x  cos  x   sin x  4   4 4  sin          4 1    2 tanx    2 tan x   4  cosx cos x   4       J2 tan x   dx  2 tan xdx   2 ln cos  x    2 ln cos x  C 4    4  cos x I 2 ln  x  C   cosx   4  Cách 2: dx dx dx J  2  2   cosx (cos x sin x )  cos2 x (1 tan x ) cosx cos x   4  d(1 tan x )  2   2 ln 1  tanx  C  I   2 ln 1  tan x  x  C  1 tan x  4 1 2sin 2 x Bài 9: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau: I  dx 0 1 sin 2x Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số   41 2sin2 x 4 cos 2 x Ta có I dx   dx 01 sin 2x 0 1  sin 2 x dt Đặt 1 sin 2x  t  cos 2 xdx  hoặc sin 2x t 2   x  t  2 Đổi cận 4   t  1 x  0 12 dt 12 1 Khi đó I ln t  ln 2 21 t 21 2 Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 47    '  4cos 2x 1 41 sin 2x 1 4 d (1 sin 2 x ) 1 1 I dx  dx  ln 1  sin2 x 4  ln 2 1 sin 2x 2  1  sin 2 x 2  1  sin 2 x 2 2 0 0  0 0 Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân Biến đối 1 – 2sin2 x cos x  sin x  cos x – sin x và 1 sin 2x  cos x  sin x2    41 2sin2 x 4 cos x  sin x 1 I dx  dx ln cos x  sin x 4  ln 2 1 sin 2x  cos x  sin x 2 0 0 0 Hoặc đặt tsin x  cos x  2 sin 2x sin x Bài 10: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau: I  dx 0 1 3cos x Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Ta có: sin 2x sin x  sin x 2cos x  1 . 3sinx sin x 2 dt Đặt t1  3cos x ta được dt dx  dx   ; 2 1 3cosx 1  3cos x 3 t21 2 t 2  1 cosx  2cos x  1  3 3 x  0  t  2 Đổi cận    x  t  1  2 2 2 4t 2   43 2  2 34 Khi đó I    dt  t  t   1 9 9   27 9  1 27 Cách 2: Phương pháp biến đổi số Đặt t1  3cos x …bạn đọc tự giải Cách 3: Phương pháp tích phân từng phần u2cos x  1 du 2sin x   Đặt sin x d1 3cos x   2 dv dx   v 1  3cos x  1 3cosx 3 1  3cos x  3 Khi đó    2 42 2 4 2 I 2cos x  1 1  3cos x2  sin x 1  3cos xdx  1  3cosxd 1  3cos x 3 3 3 9  0 0 0  2 83 34  1  3cos x 2  3 27 27 0 Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 48 Phân tích 2 1 1 3cos x  sin 2x sin x 1 2cos x  1 1   dx . d 1  3cos x   .3 3 d 1  3cos x  1 3cosx3 1  3cos x 3 1  3cos x 2 1  1  3cosxd 1  3cos x  d 1 3cos x 9 9 1 3cos x  a.sin 2x  bsin x  a.sin 2 x bcosx Tổng quát:  dx hoặc  dx ta đặt c dcos x  t .  c  d cos x  c ds inx  2 8  Bài 11: (ĐH – A 2009) Tính tích phân sau: I cos3 x  1 cos 2 xdx   0 15 4 HD:   2 2 Cách 1: Icos5 xdx   cos 2 xdx 0  0 I1 I 2 Đặt tsin x  dt  cos xdx   x  t  1 Đổi cận 0   t  0 x  0 Khi đó   2 2 1 1 2 2 2 4  1 8 Icos5 xdx  1  sin 2 x cos xdx  1  t 2 dt  1  2 t 2  t 4 dt  t  t3  t 5  1           0 0 0 0 3 5  0 15      2 21 cos 2x 1 2 1 2 1 1   Icos2 xdx  dx  dx  cos 2 xdx x  sin 2 x 2  2  2 2  2  2 2  4 0 0 0 0   0 8  Vậy I I  I   1 2 15 4 Chú ý: Có thể tính I1 như sau    2 2 2 2 2 Icos5 xdx  1  sin 2x cos xdx  1  sin 2 x d sin x  1         0 0 0 1  2 42 3 4 5  8 1  2sinx  sin x d sin x  sin x  sin x  sin x  2   3 5 15 0   0 49  2 cos3x 3cos x  1  cos 2 x  Cách 2: I  1   dx … 0 4  2   2 sin 2x 2 Bài 12: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I dx   2 2 0 cosx 4sin x 3 HD: Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số   2sin 2x 2 sin 2 x I dx  dx 2 2  2 01 sinx  4sin x 0 1  3sin x dt Đặt t1  3sin2 x   sin 2 xdx 3   x  t  4 Đổi cận 2   t  1 x  0 4 4 1 1dt 1 24 2 Khi đó I   t2 dt  t  31t 3 1 31 3 Hoặc đặt t1  3sin 2 x Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân    2 2 2 1 sin 2x sin 2 x 1  I dx  dx 1  3sin2 x2 d 1 3sin 2 x 2 2  2      01 sinx  4sin x 0 1  3sin x 3 0  2 2 1  3sin 2 x 2  3 3 0 Cách 3: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số   2sin 2x 2 sin 2 x I dx  dx 1 cos 2x 1  cos 2 x  5  3cos 2 x 0 4 0 2 2 2 5 3cos 2x 5 3cos 2x Và đặt t  hoặc t  hoặc đưa vào vi phân 2 2  2 sinx cos xdx Tổng quát: Để tính I = với a, b  0  2 2 2 2 0 acos x b sin x Ta đặt: u = a2cos 2 x b 2 sin 2 x 50  2 4sin3 x Bài 13: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau: I  dx 0 1 cos x Giải: Cách 1: Phân tích 4sin3 x 4sin3x 1 cos x 4sin 3 x 1  cos x   4sinx  4sin x cos x 4sin x  2sin 2 x 1 cosx 1  cos x 1  cos x sin2 x Khi đó  4sin3 x  I2 dx  2 4sin x  2sin 2 x dx  cos 2 x  4cos x 2  2 01 cos x  0 0 Cách 2:   4sin3 x  2 2 I2 dx  2 4sin x  4sin x cos x dx  4 sin xdx  4 cos xd cos x 0  0   1 cos x 0 0    4cosx2  2cos2 x 2  2 0 0 Cách 3:   2 24sin3 x 2 4 1 cosx sin x I dx   dx 01 cosx 0 1  cos x dt  sin xdx Đặt t1  cos x   cosx t  1   x  t  1 Đổi cận 2   t  2 x  0 2 14 1t  1  2   2 2 Khi đó I  dt    4 t  8 dt   2 t  8 t  2 2t 1 1 Chú ý: Có thể đặt t cos x Cách 4: x x 32sin3 cos 3 4sin3 x x x 2 2  16sin3 cos …Quá hay phải không, bạn tự giải tiếp nhé 1 cosx 2 x 2 2 2cos 2 Cách 5: 51  2dt dx   1 t 2  x 2 t Đặt ttan  sin x  2 … Chắc chắn sẽ ra cứ yên tâm làm tiếp đi 2  1 t  1 t 2 cos x   1 t 2 Chú ý: 4sin3 x 4sin x (1 cos x )(1  cos x )  4sinx  2sin 2 x ... Phân tích đến đây rùi thì có những cách nào, bạn đọc 1 cosx 1  cos x tự khám phá nhé!  2 4cos3 x Tương tự I dx  2 0 1 sin x  2 sin3 x sin x Bài 14: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau: I cot xdx  3  sin x 3 Giải: Cách 1: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân   23sin3x sin x 2 3 sin 3 x  sin x cot x Icot xdx  dx 3  2 sin x  sin x sin x 3 3     2 2 2 5 8 13 2 32 1 3 1  .cotxd cot x   cotx .cot xd cot x  cot3 xd cot x  cot 3 x   2        3 sin x   8  8 3 3 3 3 3 Cách 2: Phương pháp biến đổi số   23 sin3 x sin x 2 1 cot x Icot xdx 3 1  . dx 3  2 2 sinx  sin x sin x 3 3 1 Đặt tcot x  dt   dx sin2 x   x  t  0 2  Đổi cận   1  t  x   3  3  Khi đó 52 0 0 0 53 8 1 I 3  t2 . tdt  t3 dt  t 3 1     3 1 1 8 8 3 3 3 3 Cách 3: Phương pháp biến đổi số   23sin3x sin x 2 cos x 3 sin 3 x  sin x Ta có Icot xdx  dx 3  4 sinx  sin x 3 3 Nhận xét: Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cos Đặt tsin x  dt  cos xdx   x  t  1 2  Đổi cận    3 x  t   3  2 1 3 1 1 1 3 t3  t t 2 Khi đó I dt  dt 4  3 3t 3 t 2 2 1 1 3 dt Đặt u3 1   u3  1   u 2 du  t2 t 22 t 3 t  1 u  0   Đổi cận   1 3 u   t   3  2  3 0 30 3u 4 1 Khi đó I u3 du 1    3 21 2 4  8 3  3 3 3 3 3 8 dx Bài 15: ( Đề 104. IVa) Tính tích phân sau: I   2 2  sinx cos x 8 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhờ đồng nhất thức sin2x cos 2 x  1 Khi đó 3 3  3  3 8dx 8sin2 x cos 2 x 8  1 1  8 I  dx   dx tan x  cot x  4 2 2  2 2   2 2    sinx cos x  sin x cos x   cos x sin x   8 8 8 8 Cách 2: Sử dụng công thức nhân đôi 53 3 3  3  3 8 8 8 dx dx d2 x 2 8 I 4  2   2cot 2 x  4 2 2  2  2 sinx cos x  sin 2 x  sin 2 x  8 8 8 8 Cách 3: Phương pháp biến đổi số dx 1 1 tan2x 1  t 2 Đặt ttan x  dt  và   …. cos2 x sin2x tan 2 x t 2  3 cos2 xdx Bài 16: Tính tích phân sau: I   0 sinx 3 cos x Giải: Cách 1: Đồng nhất thức Ta phân tích: cos2x A sin x  B cos x (sin x  cos x )  C sin 2 x  cos 2 x  1 A    4  3B C  1   2 2   3  ( 3B  C )cos x  ( B  3 A )sin x cos x  A  C sin x B 3 A  0   B  4 A C  0    1 C   4 cos2 x 1 3 1   sinx  cos x  sinx 3 cos x4 4 4(sin x  3 cos x )   1 3  1 3 dx Khi đó Icos x  sin x  3  4 4  4    0 0 sinx 3 cos x I1  3 dx Tính: J   0 sinx 3 cos x   13 dx 1  x   I1  ln tan    3 2   2 2 6  0 sin x   0 3   1 3 1x    3ln 3 2 Icos x  sin x  ln tan   3  4 4 8 2 6   8    0 Cách 2: Tích phân liên kết 54  3 cos2 xdx Sử dụng tích phân liên kết J   0 sinx 3 cos x I3 J   1  3ln 3 2 Giải hệ  ln 3 I  I J  8  2  cos2 xdx  sin 2 xdx Tổng quát: I   tích phân liên kết thường là J    Asin x B cos x  Asin x B cos x  2 cos6 x Bài 17: Tính tích phân sau: I dx  4  sin x 4 Giải: Cách 1: Đưa vào vi phân 6 2 4 cosx cos x .cos x 1  4 4 2 Phân tích 4 4 1  2  tanx tan x  tan x sinx sin x tan x  Khi đó     2cos6 x 2 2 2 I dx tan4 x  tan 2 x dx  tan 4 xdx  tan 2 xdx 4     sin x    4 4 4 4 I1 I 2 Tính      2 2 2 2 2 Itan4 xdx  tan 4 x  tan 2 x  tan 2 x  1  1  dx  tan 2 tan 2  1dx  tan 2 x  1  dx 1                 4 4 4 4 4    2 2 2 2  tanxd tan x  tan x  x     4 4 4     2 2 2 2 2 2 Tính Itan x  1  1  dx  tan x  1 dx  dx  tan x  x … tự giải nhé 2             4 4 4 4 Cách 2: 2 2 cos6xcosx 1 sin x  cos 2 x 2cos 2 x sin 2 x  cos 2 x sin 4 x 1 Phân tích    cot2x .  2cot 2 x  cos 2 x sin4xsin 4 xsin 4 xsin2 x Khi đó 55    21 2 2 Icot2 x . dx  2 cot 2 xdx  cos 2 xdx 2   sin x   4 4 4    2 21  1 2  cot2 xd cot x  2  1 dx  1  cos 2x dx   2      sin x  2  4 4 4  cot3 x1 sin 2 x   2 5 23   2  cotx  1  x      3 2 2    8 12 4 Cách 3: Nhận xét: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sin va cos nên ta có thể đặt t tan x nhưng cách đó khá dài và phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé!  2 Bài 18: Tính tích phân sau: I 6 1  cos3 x .sin x .cos 5 xdx 0 Giải:  2 I 6 1  cos3 x .cos 3 x .sin x .cos 2 xdx 0 cos3x 1  t 6 Đặt 6 1 cos3x  t  1  cos 3 x  t 6  .  2 5 sinx .cos xdx 2 t dt   x  t  1 Đổi cận 2   t  0 x  0 1 1 7 13 6 5 6 12 t t  1 12 Khi đó I2 t 1  t t dt    t  t dt  2    0 0 7 13  0 91 Hoặc : Đặt 1 cos3 x  t Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân   2 2 I61  cos3 x .cos 3 x .sin x .cos 2 xdx   6 1  cos 3x .cos 3 xd 1 cos 3 x  0 0  2 6 3 3  3   1  cosx 1  cos x  1  d 1  cos x 0   2 2  61  cos3x 1  cos 3 x d 1  cos 3 x   6 1  cos 3 xd 1  cos3 x 0 0 56  2 sin 2x .cos x Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I  dx 0 1 cos x Giải: Cách 1: Đổi biến số Phân tích   2sin 2x .cos x 2 sin x .cos2 x I dx  2  dx 01 cosx 0 1  cos x dt sin xdx Đặt t1  cos x   cosx t  1   x  t  1 Đổi cận 2   t  2 x  0 2 1t 1 2 1  t 2  2 Khi đó I 2 dt  2   t  2   dt  2  2 t  ln t   2ln 2  1 2t 1  t  2  1 Cách 2:    2 2sin 2x .cos x 2 sin x .cos2 x 2 1 cosx  1  I dx 2  dx  2    d cos x 01 cosx 0 1  cos x 0 1  cos x   2 1   cos2 x  2 1  cosx   d cos x  sin x   ln 1  cosx  2  2ln 2  1  1 cosx 2 0     0 Chú ý: dcos x  d 1  cos x và ta có thể đặt t cos x  asin 2 x .cos x Tổng quát: I  dx ta đặt t b  c.cos x hoặc t cos x  b c.cos x Bài tập tự giải có hướng dẫn:  6 tan4 x 1 10 Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau: I dx ln 2  3  0 cos 2x 2 9 3 HD: Cách 1: Biến đổi cos 2x cos2 x  sin 2 x  1  tan 2 x cos 2 x Đặt t tan x 1 tan 2 x Hoặc sử dụng công thức cos 2x  1 tan2 x Tổng quát: 57  atan 4 x 1. I  dx với a, b    bcos 2 x Biến đối bcos 2 x b cos2 x  sin 2 x  b 1  tan 2 x cos 2 x đặt t tan x 2. Mở rộng hơn  atan 4 x I dx với a, b , c , d    2 2  bsin x c sin x cos x  d cos x Biến đổi bsin2 x c sin x cos x  d cos 2 x  b tan 2 x  c tan x  d cos 2 x đặt t tan x  4 dx Bài 2: (ĐH AN– 1998): Tính tích phân sau: I   4 0 cos x Cách 1:     4dx 41 dx 4 4 I .  1  tan2 x d tan x  tan x  tan 3 x 4  cos4x  cos 2 x cos 2 x  3 0 0 0 0 Cách 2: Biến đổi số    4dx 41 dx 4 dx I .  1  tan2 x 4  2 2    2 0cosx 0 cos x cos x 0 cos x Đặt t tan x Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần  1 u   cos2 x  dx dv   cos2 x  2 dx Bài 3: (Đề 84.IVa) Tính tích phân sau: I   4  sin x 4     2dx 2dcot x 2 cot3 x 4 I    1  cot2 x  d cot x   (cot x  ) 2  4  2      sinx  sin x  3 3 4 4 4 4  2  Bài 4: Tính tích phân sau: I cos2 x .cos 2 2 xdx  0 4 HD: C1: Hạ bậc biến đổi tích thành tổng C2: Tích phân liên kết 58  4 1 2sin 2 x Bài 5: Tính tích phân sau: I dx  4 0 sinx cos x 2 4 2 4   HD: 1 2sinx  cos 2 x  cos x  sin x cos x sin x và sinx cos x  1  sin 2 x  4cos  x   4  Từ đây ta có các cách sau Cách 1:   41 2sin2 x 4 cos 2 x Biến đổi I dx  dx 4  2 0sinx cos x 0  1  sin 2 x đặt t1  sin 2 x hoặc t sin 2 x hoặc biến đổi vi phân trực tiếp    41 2sin2 x 4 cos 2 x 4 d1 sin 2 x I dx  dx  hoặc đặt t tan x 4  2  2 0sinx cos x 0 1  sin 2 x 0  1  sin 2x Cách 2:    41 2sin 2 x 4cosx sin x cos x  sin x 4  cosx  sin x Biến đổi I dx  dx  dx 4  4  4 0sinx cos x 0 sin x  cos x 0 sinx  cos x Đặt tsin x  cos x hoặc biến đổi vi phan trực tiếp Cách 3:   41 2sin2 x 4 cos 2 x Biến đổi I dx  dx 4   0sinx cos x 0 4   4cos x   4   Đặt t x  4  3 sin2 x Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân: I dx  6  cos x 6 HD: sin2 x 1 1 Ta có dxtan2 x . . dx  tan 2 x 1  tan 2 x d tan x cos6x cos 2 x cos 2 x 42 3 8 Đs: 15  2 sinx cos x Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân: I  dx  sinx cos x 4 HD: 59        dcos x   22 sin x   2    4  4      2 1 I dx    dx  ln cosx     ln 2       4    2 2 cosx cos  x   44  4  4  4  4 Bài 8: Tính tích phân sau: I  tan 6 xdx 0 HD: Đặt ttan x  dt  (tan2 x  1) dx x0  t  0  Đổi cận:   x  t  1  4   1 416 1 4 5 3 6t dt 4 2 1   t t  13  Vậy Itan xdx 2  t  t  1  2  dt    t   du    t1  t  1 5 3  15 4 0 0 0     0 0  2 8 Bài 9: Tính tích phân sau: I cos5 xdx  0 15  2 sinx cos3 x Bài 10: Tính tích phân sau: I dx  2 0 1 cos x HD:  2 2 2 1 cos x 1t  1 12 1  ln 2 I  d1  cos2 x dt  t ln t   2      1 2 0 1 cos x 21 t 2 2 Bài 11: Tính tích phân sau: I  tan 4 xdx HD: 4 2 2 2 2 2 1  Itan xdx  tan x sin xd tan x  tan x 1  cos x d tan x  tan x 1   d tan x     1 tg2 x   tan2 x  1  1 1 tan2xd tan x  d tan x  tan 3 x  tan x  x  C   1 tan 2 x 3  2 3sinx 4cos x Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân sau: I dx  2 2 0 3sinx 4cos x  3 Đs: I   ln 3 6 60 V. BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ Bài tập giải mẫu:  4 Bài 1: (ĐH TL2001) Tính tích phân sau: I ln 1  tan x dx 0 Giải: Cách 1: dx  dt   Đặt x  t     1 tant 2 4 1 tanx  1  tan  t   1    4  1 tant 1  tan t   x0  t   4 Đổi cận   x  t  0  4    42  4 4   Khi đó Iln  dt   ln 2 dt   ln 1  tan t dt  (ln 2).  I  I  ln 2 01 tant  0 0 4 8 Cách 2: Ta có     4 4sinx cos x  4 4 Iln 1  tan x dx   ln   dx  ln sin x  cos x dx   ln cos x dx  0 0cos x  0 0   4  4 ln 2 cos x  dx  ln cos x dx 4  0  0 J     4 1 4 4    1 4     Tính Jln 2 cos  x dx  ln 2 dx  ln cos  x dx  ln 2 x 4  ln cos x dx ln 2  K 4  2    4  2  4  8 0  0 0   0  0   K  Đặt t  x   dt  dx 4   4 4 Khi đó Kln cos t dt   ln cos x dx 0 0  Khi đó I  ln 2 8 Cách 3: Tích phân từng phần 61 uln 1  tan x Đặt  …Bạn đọc tự giải dv dx 1 ln 1 x Bài 2: Tính tích phân: I dx .  2 0 1 x HD:  4 Đặt x tan t ta được I ln 1  tan t dt ; 0    42 4 đặt t  x ta được Iln du  ln 2  du  I 4 01 tan u 0 5 ln(x  1  1) Bài 3: Tính tích phân sau: I  dx 2 x1  x  1 Giải: Cách 1:  1 dt dx 2 t  1 dt  dx Đặt t x 1  1   2x  1  2 x t 1  1 x5  t  3 Đổi cận   x2  t  2 Khi đó 3(t 1)ln t 3 ln t 3 3 I2 dt  2 dt  2 ln td ln t  ln2 t  ln 2 3  ln 2 2 2     2(t 1)  t  1 2t 2 2 Cách 2: Đặt t x 1... bạn đọc tự giải  2 xdx Bài 4: Tính tích phân sau: I   0 1 sin 2x Giải:  Cách 1: Đặt t  x 2  2    Cách 2: Biến đổi 1 sin 2x  1  cos 2 x    2cos  x   , tích phân từng phần 2   4     1 1   I x.sin x .cos2 xdx   xdcos 3 x  xcos 3 x cos3 xdx    0   03 0 3  0  62   3 12  1 sin x    1  sinx d sin x   sin x    3 3 3 3 3 3 0   0 Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau:    21 sin x ex 2ex 2 e x sin x  I dx   dx   dx e 2 1 cosx2 x 1  cos x 0o 2cos 0 2 Giải: Cách 1:      21 sinx 2 ex dx 2 sin x 1 2e x dx 2 sin x Ta có: I. ex dx     . e x dx    . e x dx 1 cosx 1  cos x 1  cos x 22 x 1  cos x 0 0 0 0cos  0 2 I2 I1  1 2 ex dx Tính: I  1  2 2 x 0 cos 2 x u e x  du e dx dx  Đặt: dv    x 2 x v  tan cos  2  2 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần    1 2ex dx x 2 x 2 x I  extan  tan . e x dx  e2  tan . e x dx 1 2   22 x 2 2 2 0cos 0 0 0 2  x x  2sin cos 2sin x 2 2 x Tính: I. ex dx 2 2 . e x dx  tan . e x dx 2    1 cosx 2 x 2 0 02cos 0 2  Vậy I e 2 Cách 2:     2ex 2ex sin x 2 x 2 x Ta có: I. dx   . dx   ex d (tan )   e x tan . dx 2 x 1 cosx 2 2 02cos 0 0 0 2     2 2  x2 x x x 2 extan  e x tan . dx   e x tan . dx  e x tan  e 2 200 2 0 2 2 0 63 Sử dụng định nghĩa: x x x x xe .2sin cos x ' ' 1 sin x e e2 2 e xx x  x x x'  x x  Ta có    tane  tan  e  tan e   e tan  1 cosx 2x 2 x 2 x 2 2 2 2 2cos 2cos 2cos     2 2 2 Hoặc ta biến đổi: x x  sin cos  1 sin x 12 2  1 x2 x   1  2 tan  tan  1 cosx 2 x 2 2 2 cos   2   2 2 12 x  1 x x Vậy I1  tan  dx  tan e dx 2 2 2  2 0   0 I1  2 x Tính I tan ex dx 1  0 2 2 e 1 1  Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I  dx  2  e ln x ln x  Cách 1: 1 1 Đặt f x   ln 2 x ln x ' ' 1 1 1 ln xx ln x   x ln x  x Ta có f x      F x  ln2xlnx ln 2 x l n 2 x ln x Khi đó 2 e 1 1  xe2 e2 I  dx   e   2  e ln x lnx  ln x e 2 Cách 2: 2 2 2 2 2 e1 1  e  1  e dx xe2 e dxe dx I  dx  xd      2        eln x lnx  e  ln x  e ln x ln xe e ln x e ln x  Bài 7: Tính tích phân sau I  x.sin x cos2 xdx 0 Giải: 1 1  I x.sin 2 x cos xdx   x . sin 3 x  sin x dx 20 4 0 du dx u x  Đặt:   1 . dvsin 3 x  sin x dx v cos3 x  cos x   3 64 1 1    1   Khi đó I xcos3 x  cos x    cos3 x  cos x dx  4 3 0 0  3 3   x 1  1  1 1 5 cos3x  cos x 2   sin 3 x  sin x  2   . 2 3 2 18 2 9  0   0 Cách 2: Đặt x  t … bạn đọc tự giải Chú ý: Qua mấy bài toán trên ta có nhận xét Dựa vào đạo hàm ta có thể tính Nguyên hàm của một các dạng đặc biệt Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích thương Dạng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm Tổng f x  u'  v '  u  v' F x  u  v Hiệu f x  u'  v '  u  v' F x  u  v Tích f x  u' v  v ' u   uv' F x  uv Thương ' ' ' u u v v u u  F x  f x 2    v v  v Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa ex Đặc trưng Nguyên hàm Hàm số (đạo hàm) x x ' ' x e F x  u x e F x  u x  u x  e  f x x  x ' '  x e F x  u x e F x  u x  u x  e  f x ax b ax b ' ' ax  b e F x  u x e F x  u x  au x  e  f x v v v v ' ' ' v x e F x  u x e F x  u x  v x u x  e  f x 1 x2 ex Ví dụ: Tính tích phân sau: I dx  2 0  x  2 Giải: Cách 1: Tích phân từng phần 2 x u x e du xex  x  2 dx   Đặt dx  du   1 2 v     x  2  x  2 65 x2 ex 1 1 Khi đó I   xex dx x  2 0  0 I1 1 u x  du  dx Tính I xex dx . Đặt  1  x  x 0 dv e dx  v  e 11 1 Khi đó I xex  e x dx  xe x  e x 1    00 0 x2 ex 1 1 Vậy I   xex  e x   1 x  2 0 0 Cách 2: Phân tích x2 x 2 4 x  4  4 x  2  4  x  22  4 x  2  4 2 1x2 1 x2  4 x  2  4 1 1 ex 1 1 Khi đó I ex dx e x dx  e x dx 4 dx  4 dx 2  2  x  2  2 0 x2 0 x  2 0 0 0  x  2 J Tính J làm xuất hiện tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân Bài tập tự giải có hướng dẫn: 1 x2 e 2x Bài 1: Tính tích phân sau: I dx  2 0  x 1 HD: Sứ dụng tích phân từng phần 1x2 e 2x 1 1  I dx   x2 e 2x d 2    0 x 1 0 x 1  2 2x 1 1 2 1 2 12 1 x e1 e e e 1   d x2 e 2x   2 xe 2 x dx    xd e 2 x    xe 2 x  e2 x dx x1 x  1 2 2 2 0  0 0 0 0 0 1 e2 e 2x e 2 e 2 1  1        2 20 2 2 2  2  2 2 x2 2 x     Bài 2: Tính tích phân sau: I 4 x tan  x  1  tan    tan 0 2 2   8 8 1  x2 1 ex Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I dx  1  2 0  x 1  2  Bài 4: Tính tích phân sau: I esin x 1  x cos x dx  e 0 2 66