Giải tích hàm một biến - Bài 5: Đạo hàm

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK---------------------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 1GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾNBÀI 5: ĐẠO HÀMTS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2007) NỘI DUNG----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1- ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM4- ĐẠO HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC5- ĐẠO HÀM HÀM THEO THAM SỐ 6 – ĐẠO HÀM CẤP CAO2- DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH ĐẠO HÀM: HÀM KHÔNG SƠ CẤP (HÀM GHÉP) – ĐẠO HÀM 1 PHÍA3- ĐẠO HÀM HÀM ẨN ĐẠO HÀM ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ý nghĩa hình học: Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại tiếp điểm M(x0, f(x0))Hàm có đạo hàm tại x0  Liên tục tại x0. Ngược lại: SAI!HÀM GHÉP, TRỊ TUYỆT: ĐẠO HÀM MỘT PHÍA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đạo hàm phải:Đạo hàm trái:Hàm y = f(x) có đạo hàm hữu hạn tại x0  f’(x0+) = f’(x0)VD:VD: Tính đạo hàm tại x0 = 1KHI NÀO DÙNG ĐẠO HÀM 1 PHÍA? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x0 = 0Chú ý: Nên kiểm tra trước điều kiện liên tụcVD: Tính đạo hàm tại x0 = 0 của hàmĐạo hàm hàm sơ cấp (xác định qua 1 biểu thức): bảng đạo hàm cơ bản + đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương, hợpĐạo hàm hàm không sơ cấp ( 2 biểu thức): định nghĩa & dùng đạo hàm trái, đạo hàm phảiTÍNH ĐẠO HÀM HÀM SƠ CẤP -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản: tự xem lạiÑaïo haømÑaïo haøm haøm hôïp(C)’ = 0(x)’ = x–1 (u)’ = u–1.u’(1/x)’ = –1/x2 (1/u)’ =(sinx)’ = cosx(sinu)’ =(cosx)’ = –sinx(cosu)’ =(tgx)’ = 1/cos2x = 1 + tg2x(tgu)’ =(cotgx)’ = –1/sin2x = (cotgu)’ = (ex)’ = ex, (ax)’ = axlna(eu)’ = (lnx)’ = 1/x, (logax) = 1/(xlna)(lnu)’ = QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Quy tắc đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương: tự xem lạiy = f(x)g(x)  log (cơ số e) hoá 2 vế. VD:Đạo hàm hàm hợp: Quy tắc dây xích!VD: Cho y = f(x2). Tính các đạo hàm y’, y’’ĐẠO HÀM HÀM ẨN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm ẩn : F(x,y) = 0  x  [a, b]  y = y(x)  x  [a, b] VD : Hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương trình y = 1 + xey VD đang xét :Tính y’: Đạo hàm trực tiếp 2 vế theo x, chú ý y = y(x) rồi giải phương trình ẩn y’VD : Đạo hàm y’(0) của hàm ẩnĐẠO HÀM HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC – HYPERBOLIC -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = f(x)  hàm ngược x = g(y). Tại y0 = f(x0): (arcsinx)’ = (arcsinu)’ =(arccosx)’ =(arccosu)’ =(arctgx)’ =(arctgu)’ =(arccotgx)’ = (arccotgu)’ =(shx)’ = chx(shu)’ = u’ . chu (chx)’ = shx(chu)’ = u’ . shu (thx)’ = 1/ch2x = 1 – th2x (thu)’ =(cothx)’ = –1/sh2x = 1 – coth2x(cothu)’ =ĐẠO HÀM HÀM THEO THAM SỐ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm theo tham số : x = x(t), y = y(t)  y = y(x)VD : Hàm biểu diễn đường cycloid x = a(t – sint), y = a(1 – cost)P/pháp: Đưa về đ/hàm theo t!VD : Tham số hoá đường elip & viết p/trình tiếp tuyến:Đường cycloidĐẠO HÀM CẤP CAO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đhàm cấp 2: y’’(x) = [y’(x)]’ . ĐH cấp n: y(n)(x) = [y(n-1)(x)]’Ký hiệu:Một số đạo hàm cấp cao cơ bản:KỸ NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phân tích hàm về dạng “tổng” các hàm đơn giảnVD:VD:VD: f(x) = x2exTổng quát: f(x) = u.v, u – đa thức bậc m  Các đạo hàm u(k) = 0  k > m  Tổng u(k)v(n – k) chỉ gồm vài thừa số: tính đơn giản!