Giải tích 11 - Đạo hàm

Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa GIAÛI TÍCH 11 www.saosangsong.com.vn Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 2 CHÖÔNG V. ÑAÏO HAØM §1 . Ñaïo h ïo haøm . aøm & yù nghóa hình hoïc cuûa ña A . Toùm taét giaùo kh Cho haøm soá y = f ( x ) xaùc ñònh treân khoûang (a,b) vaø xo thuoäc o o õa oa . taïi moät ñieåm :1 . Ñaïo haøm cuûa haøm soá khoûang ( a , b ) . Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f ( x ) taïi ñieåm x , kyù hieäu laø f’ ( x ) , laø giôùi haïn höõu haïn (neáu coù) cuûa tæ soá giö soá gia cuûa haøm soá yΔ vaø soá gia cuûa bieán soá xΔ taïi ñieåm xo khi soá gia cuûa bieán soá daàn tôùi 0 : x 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )'( lim im limo o o) l x oo x x xo f x f x f x x f xyf x − + Δ − x x x→ Δ → Δ → Δ= = =− Δ Δ Chuù yù : Neáu haøm i soá y = f ( x ) coù ñaïo haøm taïi ñieåm xo thì haøm soá naøy lieân tuïc taïi ñ eåm xo 2 . Ñaïo haøm cuûa haøm soá treân moät khoảng : ) . D laø moät khoảng ( hay hôïp cuûa nhieàu khoảng Haøm soá y = f ( x ) coù ñaïo haøm treân D khi noù coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm xo thuoäc D . öôïc goïi laø ñaïo Khi ñoù ta coù moät haøm soá xaùc ñònh treân D : y’ = f’( x ) vôùi moïi x thuoäc D . Haøm soá naøy ñ haøm cuûa haøm soá y = f ( x ) . Ñaïo haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp : 1 0 , ( ) '( ) 1 , ( ) ( , 2) '( ) , 1( ) '( ) , 2 n n ( ) '( )f x C f x x R f x x f x x R f x x n N n f x nx x R x x f x x R x − + = ⇒ = ∀ ∈ = ⇒ = ∀ ∈ = ∈ ≥ ⇒ = ∀ ∈ = ⇒ = ∀ ∈f (C laø moät haèng soá) cuûa ñaïo haøm : Cho haøm soá y = . YÙ nghóa hình hoïc3 M x0 f(x0) ϕ Heä soá goùc cuûa tieáp f ( x ) coù ñaïo haøm taïi ñieåm xo , ñoà thò cuûa haøm soá laø ( C ) . Ñònh lyù : Ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi ñieåm x laø heä soá goùc tuyeán tanϕ = f’(x0) o o o 0 cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò ( C ) taïi ñieåm Mo( xo , f(xo)) thuoäc ( C ) Nhö theá , phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M ( xo , yo) thuoäc ( C ) coù daïng : ( t ) : y = f’( xo) ( x – x ) + f(x ) . B . Giaûi toùan . Daïng 1 : Tính đạo hàm của hàm số tại x0 . Ta thöôøng thöïc hieän caùc böôùc sau : ™ Cho xo moät soá gia xΔ vaø tinh soá gia yΔ . ™ Laäp tæ soá y ( ) ( ) (o ) ( )o o o f x Δ = Δ x x f x x x x + − − Δ vaø tìm giôùi haïn cuûa tæ soá naøy khi . o). Giôùi haïn naøy, neáu coù, laø ñaïo haøm f’(x Ví duï : Tính đạo của caùc haøm soá sau taïi xo o f x f x− Δ= 0xΔ → (hay x → x o) cuûa haøm soá taïi ñieåm xo . töông öùng : f ( x) = x2a) y = + 3x – 1 taïi x = 2 Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 3 b) y = f ( x ) = 2 1 2 x x + + taïi xo = 1 Giaûi : a) Cho xo = 2 moät soá gia xΔ , ta coù : ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) (2 ) 3(2 ) 1 2 3.2 1 [4 4 6 3 1] 9 7 o oy f x x f x x x x x x x x ⎡ ⎤ ⎡Δ = + Δ − = + Δ + + Δ − − + −⎣ ⎦ ⎣ = + Δ + Δ + + Δ − − = Δ + Δ ⎤⎦ Suy ra: x 0 ( x) 7 lim = 7 x x y y Δ → Δ Δ= Δ + =>Δ Δ . Vậy f’(2) = 7. Cách trình bày khác: Ta có: 2 2(x) - f(2) (x + 3 x 1) - 9 x +3x -10 x 2 x 2 x 2 (x 2)(x +5) x 5 x 2 f −= =− − −= = +− − Suy ra: x 2 (x) - f(2) lim 2 5 7 x 2 f → = + =− . Vậy đạo hàm f’(2) = 7. b) Cho xo moät soá gia , ta coù : ( )ox saocho x xΔ + Δ 2≠ − 2(1 ) 1(1 ) (1) 1 (1 ) 2 [2(1 x) +1] [(1 x)+2] x (1 ) 2 3 x 1 x 3+ x xy f x f x x y + Δ +Δ = + Δ − = −+ Δ + + Δ − + Δ Δ= =+ Δ + + Δ Δ=> =Δ Δ Trình baøy khaùc: 1 2 1 1( ) (1) 12 1 1 ( 1)( ( ) (1) 1 1lim 1 1 2 3x x f x f xx Suy ra: x 0 1lim x 3 y Δ → Δ =Δ . Vậy f’(1) = 1/3 . Daïng toùan 2 : Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá . Ta thöôøng thöïc hieän caùc böôùc sau : Goïi x0 laø moät giaù trò thuoäc taäp xaùc ñònh cuûa f. ™ Tính ñaïo haøm f’(x0) theo xo. ™ Thay x baèng xo ta ñöôïc ñaïo haøm f’(x). Ví duï 1 : Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau : a) y = x3 + 3x – 2 . b) y = 2 1 x x + + . c) 1( )y f x x = = . Giaûi : a) Cho xo moät soá trò baát kì cuûa x, ta coù : 3 3 3 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 3 2) ( 3 2) ( ) 3( ) ( )[( ) 3] ( ) ( ) 3 o o o o o o o o o o o o y f x f x x x x x x x x x x x x xx x f x f xy x xx x x x x Δ = − = + − − + − = − + − = − + + + −Δ=> = = + + +Δ − 2 2 0 '( ) lim 3 3 3o o o o ox yf x x x x x x 2oxΔ → Δ= = + + + =Δ + . Vaäy f’( x ) = 3 x2 + 3 . b) Ta coù : x x x x f x f x→ + −− −+= =− − − + −=> = =− + Vaäy f’(1) = 1/3. Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 4 20 2 ( )2( ) ( ) 1 1 ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1 1'( ) lim lim ( 1)( 1) ( 1)o o o o o o o o x x x o o x x xxy f x f x x x x x y x x x yf x x x x xΔ → → + − −+Δ = − = − =+ + + + Δ=> = −Δ + + ⎛ ⎞Δ=> = = − = −⎜ ⎟Δ + +⎝ ⎠ + Vaäy f’(x) = 2 1 ( 1)x − + c) Ta coù : 0 0 1 1( ) ( ) . . ( ) 1 1'( ) lim lim . ( ) 2 1'( ) 2 o o o o o o o o o o o o o x x o o o o o o x x x y h x x h x x x x x x x x x x x x x x yy x x x x x x x x x x hay y x x x Δ → Δ → − + ΔΔ = + Δ − = − =+ Δ + Δ −Δ= + Δ + + Δ Δ − −= = =Δ + Δ + + Δ −= Daïng toaùn 3 : Tieáp tuyeán vôùi ñoà thò cuûa haøm soá y = f ( x ) taïi ñieåm M. Söû duïng coâng thöùc : Phöông trình cuûa tieáp tuyeán taïi M laø: y = f’ (xo) (x – xo) + f(xo) . Ta thöôøng gaëp caùc tröôøng hôïp sau: a) Cho hoaønh ñoä x0 (hay tung ñoä f(x0) cuûa ñieåm M) : ta phaûi tìm f(x0) (hay x0) vaø f’(x0), roài aùp duïng coâng thöùc . b) Cho bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng k : Giaûi phöông trình f’(xo) = k ta tìm ñöôïc xo , suy ra f(x o ). Roài aùp duïng coâng thöùc. M x0 f(x0) A c) Cho bieát tieáp tuyeán vôùi ( C ) qua moät ñieåm cho tröôùc A ( xA , yA ) : Ta thöïc hieän caùc böôùc sau : ™ Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm M ( x0 ; f(x0)) baát kì theo aån x0 laø (t ) : y = f’(xo) ( x – xo) + f(x0) . ™ Tieáp tuyeán naøy qua A neân : yA – yo = f’(xo) (xA – xo) . ™ Giaûi phöông trình naøy ( aån laø xo ) ta tìm ñöôïc xo. Suy ra PT tieáp tuyeán caàn tìm. Ví duï 1 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá y = f ( x ) = x2 bieát a) Tieáp ñieåm coù hoøanh ñoä baèng – 3 b) Tieáp tuyeán naøy song song vôùi ñöôøng thaúng d : y = 2x + 3 . c) Tieáp tuyeán naøy ñi qua ñieåm A (- 1 , - 3) Giaûi : a)Ta coù : y’ = f’(x) = 2x . xo= - 3 , suy ra yo= (- 3)2 = 9 ; f’(xo) = 2(-3) = -6 . Vaäy phöông trình cuûa tieáp tuyeán naøy laø : y = - 6( x + 3) + 9 hay y = - 6x - 9 . Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 5 b) Phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm (xo, yo) thuoäc ( C ) coù daïng : y = 2xo(x –xo) + x02 . Tieáp tuyeán naøy song song vôùi d : y = 2x + 3 neân : 2xo = 2 (hai ñöôøng thaúng song song coù heä soá goùc baèng nhau) hay xo= 1 . Vaäy phöông trình cuûa tieáp tuyeán naøy laø : y = 2( x – 1) + 1 hay y = 2x – 1 . c)Phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm (xo , yo) thuoäc ( C ) coù daïng : y = 2xo(x – xo) + x02 Ù y = 2 xox – x02 (1) Tieáp tuyeán naøy qua A(-1, -3) neân : - 3 = 2xo ( -1) – x02 Ù xo2 +2xo- 3 = 0 . Ù xo= 1 hay xo= - 3 . Theá vaøo (1), ta ñöôïc y = 2x – 1 hay y = -6x – 9 . Coù 2 tieáp tuyeán cuûa (C) ñeàu qua ñieåm A. Ví duï 2 : ( C ) laø ñoà thò cuûa haøm soá 1 2 xy x += − vaø cho bieát : 2 3' ( 2) y x −= − a) Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát tieáp ñieåm coù tung ñoä baèng 4 . b) Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát tieáp tuyeán naøy vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d : 3y – x + 1 = 0 . c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä x0 döôùi daïng y = ax + b Aùp duïng: tìm treân O x nhöõng ñieåm A sao cho khoâng coù tieáp tuyeán naøo cuûa (C) ñi qua. Giaûi : Ta coù : haøm soá xaùc ñònh khi vaø 2x ≠ 23' ( 2)y x −= − . a) 0 1( ) 4 4 4 8 1 3 2 o o o o o xf x x x x x += ⇔ = ⇔ − = + ⇔ =− . Tieáp ñieåm laø T(3, 4) , heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi T laø : y’(3) = - 3 . Vaäy phöông trình cuûa tieáp tuyeán taïi T laø : y = - 3( x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13 . b) d: y = 1 1 3 3 x − => heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng d laø 1 3 . Goïi k laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán phaûi tìm , ta coù : 1. 1 3 3 k k= − ⇔ = − ( vì 2 ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi nhau khi tích soá 2 heä soá goùc baèng -1 ) . Goïi xo laø hoøanh ñoä tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán naøy , ta coù : y’(xo) = - 3 ( )22 3 ( ) 43 3 2 1 1 ( ) 2( 2) o oo o oo x f x x x f xx = => =⎡−⇔ = − ⇔ − = ⇔ ⎢ = => = −− ⎣ Vaäy phöông trình tieáp tuyeán laø : y = - 3(x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13 Hay : y = - 3(x –1) – 2 Ù y = -3x + 1 . c) Phöông trình tieáp tuyeán taïi M : y = f’(xo)(x – x0) + f(xo) = 2 13 ( ) ( 2) o o o o xx x x x +− − + 2− − Ù y = 2 2 3 ( 1)( 23 ( 2) ( 2) o o o o o x x xx x x + + −− +− − ) Ù y = - 2 3 ( 2)o x x − + 2 2 2 ( 2) o o o x x x + − − 2 (1) * Goïi A(a, 0) laø ñieåm treân truïc Ox. Tieáp tuyeân qua A Ù (1) thoûa vôùi x = a vaø y = 0 Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 6 Ù 0 = 2 2 3 2 2 ( 2) o o o a x x x − + + − − 2 2 2 3 0 (2) ( 2)o o ox x a x+ − − = ≠Ù Khoâng coù tieáp tuyeán naøo qua A Ù (2) VN hay (2) coù nghieäm keùp baèng 2 Ù 2 ' 3 3 0 1 ' 3 3 0 11 22 4 2 3 0 a a a aa aa Δ = + < −= −⎧ ⎧⎢ ⎢⎨ ⎨⎢ ⎢ =+ − − = ⎩⎩ ⎣⎣ C . Baøi taäp reøn luyeän . 5.1 . Tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau taïi giaù trò xo töông öùng a) y = 2x2 + 3x taïi xo= 2 . b) y = 4x3 + x2 – 2x taïi xo = 1. c) y = 2 1x x + taïi x0 = 1 d) y = 1 4x + taïi xo = 0 5.2 . Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) y = (x – 3)2 b) y = 2 5 3 x x − + c) y = x 1x − 5.3 .Cho bieát haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x = a laø f’(a) , tìm caùc giôùi haïn sau : 0 0 ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( 3 )) lim ) lim h h f a h f a f a h f a ha b h h→ → + − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c) 2 2( ) ( )lim( ) x a x f a a f x x a→ − − 5.4 . ( C ) laø ñoâ thò cuûa haøm soá y = x . a) Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm M thuoäc ( C ) coù hoøanh ñoä baèng 1 . b) Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm N thuoäc ( C ) coù tung ñoä baèng 2 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến qua điểm 5.5 . ( C ) laø ñoà thò cuûa haøm soá : 2 3 3 x xy x + += + a) Chöùng minh ñaïo haøm: 2 2 6' ( 3) x xy x += + b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi giao ñieåm cuûa ( C ) vôùi ñöôøng thaúng d : y = 5. c)* Goïi M , N laø 2 ñieåm treân ( C ) sao cho tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M , N song song vôùi nhau . Hai ñieåm M , N seõ ñoái xöùng vôùi nhau qua ñieåm coá ñònh naøo ? D . Höôùng daãn – Ñaùp soá . 5.1. a) f’(2) = 11 b) f’(1) = 12 c) f’(1) = - 33 d) f’(0) = - 1/16 5.2. a) y’ = 2(x – 3) b) y’ = 2 11 ( 3)x + c) y’ 3 2 2 1 x x −= − [ ] 0 0 0 ( 4 ) ( ) ( ) ( )5.3. ) lim lim 4 4 '( ) ( 4 ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ) lim 2 '( ) 3 '( ) 5 '( ) x x h f a h f a f a x f aa f a x h h x f a h f a f a h f a b f a f a f a h Δ → Δ → → + − ⎡ + Δ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = Δ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ − − − − = + =⎢ ⎥⎣ ⎦ Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 7 [ ] ( ) 2 2 22 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )) lim lim ( ) ( )lim ( ) lim . 2 ( ) '( ) x a x a x a x a x a f a a f x f ax f a a f xc x a x a f x f ax a f a a af a a f a x a → → → → ⎡ ⎤− − −⎡ ⎤− = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎡ ⎤= + − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 5.4 . 1 1) ( 1) ) 2 4 a y x b y x= + = +1 tiếp tuyến tại điểm (x0 ; xo ) của © là : y = 1 (x x )+ x 2 x o oo − c) Phương trình Ù y = xx 22 x o o + Tiếp tuyến qua điểm (8 ; 3) Ù 3 = x8 x - 6 x + 8 = 0 22 x o o o o + Ù x 2 xo hay= 4o = Ù x0 = 4 hay xo = 16. Vậy coù hai tiếp tuyến y = 1 1 4 x + hay y = 1 2 8 x + 5.5 . a) Phöông trình hoøanh ñoä giao ñieåm cuûa d vaø ( C ) : 2 2 23 5 4 12 0 63 xx x x x xx = −⎡+ + = ⇔ − − = ⇔ ⎢ =+ ⎣ Vôùi x = - 2 : y’ = - 8 => Phöông trình tieáp tuyeán laø : y = - 8x – 11 . Vôùi x = 6: Phöông trình tieáp tuyeán laø : 8 1 9 3 y x= − ( ) . b) Goïi k laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M , N vaø x1 , x2 laø hoøanh ñoä tieáp ñieåm M , N , ta coù : ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 6 6 3 3 x x x x k x x + += =+ + ( ) hay x1 , x2 laø nghieäm cuûa phöông trình 2 2 1 2 2 6 6( 1)( 1) 6( 1) 9 0 3 2 2( 1)3 x xx x kk k x k x k kx ++ − −= ⇔ − + − + = ⇒ = = −−+ (*) Vaäy hoøanh ñoä trung ñieåm I cuûa MN baèng – 3 . Tung ñoä trung ñieåm I laø : ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 3 3 3 31 1 2 2 3 3 2 3 3 1 5( ) 5 2 3 2( 3) 2( 3) ( (*) : 3 ( 3); 2( 3) 2( 3) ) M N I y y x x x x x x x xy x x x x x x x xx x x x x x x x x do cho x x x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + += = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − + +− + − − −= = = = −+ + + + = − + − = − + = + Hai ñieåm M , N nhaän I ( - 3 , - 5 ) laøm trung ñieåm neân ñoái xöùng qua I coá ñònh . Toùm laïi , 2 ñieåm M , N treân ( C ) coù tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M , N song song vôùi nhau thì luoân ñoái xöùng qua ñieåm I ( - 3 , - 5 ) . Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 8 §2 . Quy taéc tính ñaïo haøm . Haøm soá Ñaïo haøm y = u+v-w y ’ = u’+v’- w’ y = uv y ’ = u’v + uv’ y = ku y ’ = ku’ Y = u v y ’ = 2 'u v uv v − A Toùm taét giaùo khoa . 1 . Caùc quy taéc tính ñaïo haøm . (u = u(x) , v = v(x) , w = w( x) coù ñaïo haøm vaø k laø moät haèng soá ) B . Gæai toùan . Daïng toùan 1 : Tính ñaïo haøm baèng coâng thöùc . Xeùt xem haøm soá cho thuoäc daïng naøo : y = u + v – w ; y = u.v ; y = u v hoaëc y laø haøm soá hôïp [ ]( )y f u x= ( u , v , w laø nhöõng haøm soá thöôøng gaëp ) vaø aùp duïng caùc coâng thöùc tính ñaïo haøm . ' Y = k y’ = 2 'kv− v v y = f[u( x)] y ’ = f’[u(x)]u’( x ) Y = un y ’ = n.un – 1 . u’ y = u y ‘ = ' 2 u u Ví duï 1 : Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau : a) y = 3x4- 2x3 + 5x - 2 b) y = 2 53 x x − c) y= ( 2x3—x2) ( 3x + 2 ) d) y = 2 3 3 1 x x − + . Giaûi : a) Haøm soá cho coù daïng y = u + v – w , do ñoù : y’ = 3( x4)’ – 2( x3)’ + 5( x)’ – ( 2 )’ = 12x3 – 6x2 + 5 . b) Töông töï , ta coù : y’ = 2 3 3 3 3 3 105( ) ' 10 2 2 2 x x xx x x − −− = + = + c) Haøm soá cho coù daïng : y = u.v , do ñoù : y’ = (2x3-x2)’(3x + 2 ) + (2x3-x2) (3x +2)’ = (6x2-2x) (3x + 2) +( 2x3 – x2) .3 = 24x3+ 3x2 – 4x . d) Haøm soá cho coù daïng : uy v = , do ñoù : y’= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 ' 3 1 2 3 3 1 ' 2 3 1 2 3 .3 11 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x x x − + − − + + − −= =+ + + ( ) ( ) Ví duï 2 : Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau : ( ) 5 32 3 2 62 2 2 3 2 3 5 4) 3 1 ) 3 2 ) 1 (2 1)) 2 1 ) (2 1) ( 6) ) 2 a y x x b y x x c y x xd y x x x e y x x f y x = + + = + + = + −= + + = − + = + Giaûi : a) Haøm soá cho coù daïng : y = u5 , do ñoù : y’ = 5u4u’ = 5( x2+ 3x + 1)4(x2 +3x + 1 )’= 5(x2+3x +1 )4(2x + 3) Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b) Haøm soá cho coù daïng : 5 43 2 3 2 2 5 3 23 2 3 2 ' 5 3 2 3 6'' 2 2 3 22 3 2 x x x x x xuy u y u x xx x ⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ = = = + ++ + c) Haøm soá cho coù daïng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 52 2 12 12 72 2 2 2 4 1 ' 24 1 .24 4 ' 48' 1 1 1 x x xv xy y v v x x x ⎡ ⎤− + − +− −⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ = = = = + + + d) Haøm soá cho coù daïng : y = u.v , do ñoù : ( ) ( ) 22 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 4 3 3 2 3 2 6 2' ' 2 1 2 1 ' 2 2 1 2 2 1 2 (2 1) (3 ) 7 3 2 2 1 2 1 x xy x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x += + + + + + = + + + + + + + + + + += =+ + + + e) y’ = [(2x – 1)3]’ (x + 6)5 + (2x – 1)3[(x + 6)5]’ = 6(2x – 1)2(x + 6)5 + (2x – 1)3 (x + 6)4 = (2x – 1)2(x + 6)5(8x + 35) 2 2 2 2 14(2 1) 2 (2 1) [(2 1) ]' 2 (2 1) .[ 2]' 2 2' 2 2 8(2 1)( 2) (2 1) (2 1)(6 17) 2( 2) 2) 2( 2) 2 x x x x x x x xy x x x x x x x x x x x − + − −− + − − + += =+ + − + − − − += =+ + + + f) Ví duï 3 : Cho haøm soá : ax by cx d += + . Chöùng minh raèng : 2' ( ) ad bcy cx d −= + . AÙp duïng coâng thöùc naøy , tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau : 33 2 3 5) ) ) ) 2 1 2 1 2 3 x x xa y b y c y d y x x x x − − −⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )( ) ( ) Giaûi : ( ) ( ) ( )Ta coù : ( )2 2 2 ' ' . ' ax b cx d ax b cx d a cx d ax b c ad bcy cx d cx d cx d + + − + + + − + −= = =+ + + ( ) a) a = 3 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 1 2 7' 2 1 y x +⇒ = b) a = -1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 2 ( )2 5' 2 y x −⇒ = + c) Ñaët u = x : a = 1 ; b = 0 ; c = 1 ; d = 1 ( )2 1' 1 u x −⇒ = x 1− − Vaø y = u3 => y’ = 3u2u’ = 2 2 2 4 1 33. x . 1 ( 1) ( 1) x x x x − −⎛ ⎞ =⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ d) Ñaët u = 5 2 3x + : a = 0 ; b = 5 ; c = 2 ; d = 3 2 10' (2 3) u x −⇒ = + Vaø y = 2 10 ' (2 3)' 2 52 2 3 u xu y u x − +=> = = + = - 5 (2 3) 2 3x x − + + Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 10 Daïng toùan 2 : Moät soá baøi toùan coù lieân quan ñeán ñaïo haøm . Ví duï 1 : Cho haøm soá : y = x3 + 3x2 +10x – 3 , doà thò laø ( C ) . Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc nhoû nhaát . Giaûi : Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi tieáp ñieåm coù hoøanh ñoä x laø : y’ = 3x2 + 6x +10 = 3 ( x + 1)2 +7 ; daáu “ = “ xaûy ra khi x = - 1 . 7≥ Vaäy trong taát caû caùc tieáp tuyeán vôùi ( C ) , tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng 7 laø tieáp tuyeán coù heä soá goùc nhoû nhaát öùng vôùi x 0 = - 1 => f(x9) = f(- 1) = - 11. Phöông trình tieáp tuyeán laø : y = 7 ( x + 1 ) – 11 hay : y = 7x –4 . Ví duï 2* : f(x) laø moät ña thöùc thoûa heä thöùc : f’(x).f(x) = f’(x) + f(x) +2x3 + 2x2 – 1 (1) a) Ña thöùc f(x) coù baäc baèng bao nhieâu ? b) Xaùc ñònh ña thöùc f(x) . Giaûi : a) (1) thaønh : f’(x).f(x) – f’(x) – f(x) + 1 = 2x3 + 2x2 hay : ( f(x) – 1 ) ( f’(x) – 1 ) = 2x3 + 2x2 . Goïi n laø baäc cuûa ña thöùc f(x) thì baäc cuûa ( f(x) - 1 ) cuõng laø n ; baäc cuûa ( f’(x) – 1 ) laø n – 1 . Vaäy baäc cuûa ña thöùc ôû veá traùi n + n – 1 . Do ñoù : 2n – 1 = 3 ( baäc cuûa ña thöùc ôû veá phaûi ) . Suy ra n = 2 . Toùm laïi , ña thöùc f(x) coù baäc baèng 2 . b) Nhö theá f(x) coù daïng : f(x) = ax2 + bx +c . Suy ra : f’(x) = 2ax + b . (1) thaønh : ( ax2 + bx + c – 1) ( 2ax + b – 1 ) = 2x3 + 2x2 hay 2a2x3 + ( 3ab – a )x2 + ( 2ac – 2a + b2 – b )x + ( b – 1 ) ( c – 1 ) = 2x3 + 2x2 . Do ñoù : 2 2 2 2 1 3 2 1 2 2 0 1 ( 1)( 1) 0 a a ab a b ac a b b c b c ⎧ = =⎧⎪ − =⎪ ⎪⇔ =⎨ ⎨− + − =⎪ ⎪ =⎩⎪ − − =⎩ Vaäy : f(x) = x2 + x + 1 . Ví duï 3 : f(x) laø moät ña thöùc coù baäc lôùn hôn hay baèng 2 . Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå f(x) chia heát cho ( x—a )2 laø : f(a) = f’(a) = 0 . AÙp duïng : Chöùng minh raèng ña thöùc f(x) sau chia heát cho ( x – a )2 . f(x) = nxn+1 – ( n + 1) axn +an+1 . Giaûi : Ñieàu kieän caàn : f(x) chia heát cho ( x – a )2 neân : f(x) = ( x – a )2 .g(x) . Suy ra : f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a )2. g’(x) . Do ñoù : f(a) = f’(a) = 0 . Ñieàu kieän ñuû : Chia f(x) cho ( x – a )2 , ta coù : f(x) = ( x – a )2. g(x) + Ax + B . Suy ra : f’(x) = 2( x – a ) .g(x) + ( x – a )2 . g’(x) + A . 0 0 ( ) '( ) 0 0 0 Aa B A f a f a A B + = =⎧ ⎧= = ⇔ ⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩ Vaäy : f(x) = ( x – a )2 g(x) hay f(x) chia heát cho ( x – a )2 . AÙp duïng : f(a) = nan+1 – ( n + 1 ) a.an + an+1 = nan+1 – nan+1 – an+1 + an+1 = 0 . f’(x) = n ( n + 1 ) xn – n ( n + 1 )a xn-1 ; f’(a) = n2an + nan - n2an – nan = 0 . Vaäy f(x) chia heát cho ( x – a )2 . Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 11 Ví duï 4* : Cho haøm soá : 2 2x mx my x m − += + ( m laø tham soá khaùc 0 ) , ñoà thò laø ( C ) . a) Goïi A(xA , 0 ) laø moät ñieåm chung cuûa ( C ) vaø truïc Ox .Chöùng minh raèng tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A coù heä soá goùc baèng 2 2A A x mk − x m = + . b) Ñònh m ñeå ( C ) caét Ox taïi 2 ñieåm A , B phaân bieät vaø tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A vaø B vuoâng goùc vôùi nhau . Giaûi : a) Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A baèng k = y’(xA) . Maø : 2 2 2 2 2 (2 2 )( ) ( 2 )' . ( ) (2 2 )( ) 2 2'( ) ( ) 2( 0 2 A A A A A A A A A A A x m x m x mx my Suy ra x m x m x m x my x x m x m x mx mdo y x mx m x m − + − − += + − + −= =+ + − += = ⇔ − + =+ : 0)A Vaäy tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A coù heä soá goùc baèng k = 2 2A A x m x m − + b) ( C ) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät A , B khi phöông trình 2 2 0x mx m x m − + =+ 1 coù 2 nghieäm phaân bieät hay phöông trình x2 – 2mx + m = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät hay : 2' 0 0m m m hay mΔ = − > ⇔ . Hai tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi A , B vuoâng goùc khi : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 . 4 ( ) 4'( ). '( ) 1 . 1 1 . ( ) 4 8 4 1 5 0 5( 0) 2 A B A B A B A B A B A B A B x m x m x x m x x my x y x x m x m x x m x x m m m m m m m dom m m m − − − + += − ⇔ = − ⇔ = −+ + + + + − +⇔ = − ⇔ − = ⇔ = ≠+ + ( vì xA , xB laø nghieäm cuûa phöông trình x – 2mx + m = 0 neân : xB 2 A + xBB = 2m ; xA . xB = m ) . B Töø ñònh nghóa ñaïo haøm, ta coù : ( ) ( )lim '( ) o o ox x o f x f x f x x x−> − =− Ví du 5 ï: Tính caùc giôùi haïn sau: 35 5 22 4 ( 3) 1(2 1) 243) lim ) lim 2 16(2 7)x x xxa b x x x−> −> − −− − − − − Giaûi: Töø ñònh nghóa ñaïo haøm, ta coù theå duøng ñaïo haøm ñeå tính giôùi haïn coù daïng sau: ( ) ( )lim o o x x o f x f x x x−> − − hay 0 ( ) (lim o h )of x h f x h−> + − . . . Caùc giôùi haïn naøy ñeàu baèng f’(xo). a) Xeùt haøm soá f(x) = (2x – 1)5 => f(2) = 243 vaø f’(x ) = 10(2x – 1)4 => f’(2) = 810 Do ñoù: 8 2 2 (2 1) 243 ( ) (2)lim lim '(2) 810 2 2x x x f x f f x x−> −> − − −= =− − = Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 12 b) Ta coù : 3 3 5 25 24 4 ( 3) 1 ( 3) 1 4lim lim (1) 16(2 7)16(2 7) 4 x x x x x x xx x x −> −> − − − − −= − −− − − Xeùt haøm soá f(x) = 3( 3)x − ; f(4) = 1 vaø f ’( x) = 2 3 3( 3) 3'(4) 22 ( 3) x f x − => =− g(x) = 5 2 416(2 7) ; (4) 0 ; '( ) 160(2 7) 2 (4) 160 8 152x x g g x x x g− − = = − − => = − = Vì 3 4 4 ( 3) 1 ( ) (4)lim lim 3 / 2 4 4x x x f x f x x−> −> − − −= =− − vaø 5 2 4 4 16(2 7) ( ) (4)lim lim '(4) 152 4 4x x x x g x g g x x−> −> − − −= =− − = Vaäy (1) = 3 / 2 3 152 304 = C . Baøi taäp reøn luyeän . 5.6 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá : y = 2x2 + x bieát : a) Tieáp ñieåm coù tung ñoä baèng 3 . b) Tieáp tuyeán naøy song song vôùi ñöôøng thaúng y = 9x + 2 . c) Tieáp tuyeán naøy qua ñieåm A ( 0 , -2 ) . 5.7 . ( C ) laø ñoà thò cuûa haøm soá : y = x3 +2x2 +3x – 5 . Chöùng minh raèng ta khoâng theå tìm ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi ( C ) sao cho chuùng vuoâng goùc vôùi nhau . 5.8 . Cho haøm soá : y = x3 – 3x2 + x , ñoà thò laø ( C ) . Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát raèng tieáp tuyeán naøy taïo vôùi Ox moät goùc 45o . 5.9 . Cho haøm soá : y = - x3 +6x2 – 3x +14 , ñoà thò laø ( C ) . Trong taát caû caùc tieáp tuyeán vôùi ( C ) , vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán coù heä soá goùc lôùn nhaát . 5.10 . Cho haøm soá : x 1 3 +y = , ñoà thò laø ( C ) . A (0 , a) laø moät ñieåm treân Oy . Tìm ñieàu kieän cuûa a ñeå töø x − A ta veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ( C ) maø 2 tieáp ñieåm naøm hai beân ñöôøng thaúng x = 3 . 5.11 . Cho haøm soá : 2 2' ' ' ax bx cy a x b x c + += + + . Chöùng minh raèng : 2 2 2 ( ' ') 2( ' ') ' '' ( ' ' ') ' '; ' '; ' ' ' ' ' ' ' ' ab ba x ac ca x bc cby a x b x c a b a c b c ab ba ac ca bc cb a b a c b c − + − + −= + + = − = − = − Xeùt tröôøng hôïp ñaëc bieät : 2 ' ' ax bx cy b x c + += + AÙp duïng coâng thöùc treân , tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau : Chöông 5 : Ñaïo haøm www.saosangsong.com.vn 13 2 2 2 2 22 2 1 2 3 2 3 1) ) ) 2 2 2 5 3 2 1) ) 1 3 5 x x x x xa y b y c y x x x x x x xd y e y x x + − + − += = =+ − + − ⎛ ⎞− + + += =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 5.12 . Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau 4 2 2 2 2 2 7) 2 5 ) 3 2 ) 3 2 3 2) ) ) 2 1 1 1 xa y x x b y x x c y x x x x xd y e y f y x x x −= − + = − + = − − += =+ + += 5.13 . Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau : ( )63 2 2 2 2 2 ) 2 3 ) 6 ) ( 1) 1 ) 1 2) ) 2 1 3 a y x x b y x x c y x x d y x x x x x xe y f y x x x = + + = − = + + = + − + + + += =+ + + 1 1 5. 14. Tính giôùi haïn caùc haøm soá sau: 2 42 3 2 2 2 40 1 1 2 4 4 3 452 3 ( 2 2) 1( 2) 8 3 2) lim ) lim ) lim ( 2 3) 16 ( ) 16 16( 3)( 1)) lim ) lim 16( 2) ( 1)( 1) 1 x x x x x x xx x x xa b c x x x x x x x x xd e x xx −> −> −> −> −> − + −− + − − + − − + − − − − − − − −− − 1 2 32 3 .... .... .k nn n n n nC C C kC nC+ + + + + + 5.15. Ruùt goïn caùc biểu thức sau: A = 1 + 2x + 3x2 + 4 x 3 . . . + (n + 1)xn. Vaø B = 1 + x + 2x2 + 3x2 + . . . + nxn 5.16. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = (1 + x)n baèng 2 caùch , suy ra giaù trò cuûa bieåu thöùc: D . Höôùng daãn . Ñaùp soá . 5.6 . a) 2 tieáp tuyeán : y = 5x – 2 ; y = -6x + 6 . b) 1 tieáp tuyeán : y = 9x – 8 . c) 2 ti