ET 2060 Biểu diễn tín hiệu và hệ thống LTI trên miền tần số

ET 2060 Biểu diễn tín hiệu và hệ thống LTI trên miền tần số TS. Đặng Quang Hiếu Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Vai trò của biến đổi Fourier ◮ Quan trọng trong toán học, vật lý và các ngành kỹ thuật đặc biệt là xử lý tín hiệu. ◮ Khái niệm chuỗi Fourier do Joseph Fourier giới thiệu vào năm 1807, và sau đó được phát triển bởi nhiều nhà khoa học nổi tiếng khác. Phân loại: ◮ Chuỗi Fourier (FS) ◮ Chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFS) ◮ Biến đổi Fourier (FT) ◮ Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFT) ◮ Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) có thể được thực hiện nhanh (các thuật toán FFT). Tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số 1 -1 1 2 3 4 5 t x(t) 1 2 3-1-2-3 f |X (f )| Hàm riêng của hệ thống LTI (1) Xét hệ thống LTI với đầu vào là dãy lũy thừa x [n] = ejωn y [n] = ∞∑ k=−∞ h[k]ejω(n−k) = ejωnH(ejω) trong đó, H(ejω) = ∞∑ k=−∞ h[k]e−jωk ◮ ejωn - hàm riêng (eigenfunction) của hệ thống LTI ◮ H(ejω) - trị riêng (eigenvalue) Hàm riêng của hệ thống (2) e jωn H(e jω)e jωn h[n] Nếu biểu diễn đầu vào bất kỳ theo các hàm riêng x [n] = ∑ k ake jωkn thì y [n] = ∑ k akH(e jωk )ejωkn ◮ Không phải thực hiện phép chập!!! ◮ H(ejω) gọi là đáp ứng tần số của hệ thống Outline Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian Chuỗi Fourier (FS) Tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ cơ bản T = 2πΩ0 có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier (FS) như sau: x(t) = ∞∑ k=−∞ cke jkΩ0t trong đó ck = 1 T ∫ T 0 x(t)e−jkΩ0tdt là các hệ số FS của x(t) (ck , c−k – thành phần hài bậc |k|). Ví dụ về FS Hãy tìm khai triển chuỗi Fourier cho các tín hiệu sau với chu kỳ cơ bản Ω0 = 2π/T . (a) x(t) = cos(Ω0t) (b) x(t) = ∑∞ k=−∞ δ(t − kT ) (c) Xét trong một chu kỳ, x(t) = { 1, |t| ≤ T0 0, T0 < |t| < T/2 t x(t) T0−T0 T 2 −T 2 Khai triển chuỗi Fourier của hàm xung vuông tuần hoàn 0.25 4 8 12 16 20-4-8-12-16-20 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b k ak T0 T = 1 8 8 16-8-16 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b k ak T0 T = 1 16 Điều kiện tồn tại FS Các điều kiện Dirichlet: 1. x(t) bị chặn 2. x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ 3. x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ Tín hiệu có năng lượng hữu hạn trên một chu kỳ:∫ T |x(t)|2dt <∞ Dạng biểu diễn khác của FS x(t) = a0 2 + ∞∑ k=1 ak cos(kΩ0t) + bk sin(kΩ0t) Quan hệ giữa ak , bk và ck? Nếu coi ck là một dãy rời rạc: x(t) = ∞∑ k=−∞ X [k]ejkΩ0t Tính chất tuyến tính Nếu x(t) FS←−→ ak y(t) FS←−→ bk thì αx(t) + βy(t) FS←−→ αak + βbk Tính chất dịch Dịch theo thời gian: x(t − t0) FS←−→ e−jΩ0t0ck Dịch tần số: ejk0Ω0tx(t) FS←−→ ck−k0 Ví dụ: Tìm khai triển cho tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T x(t) = { 1, 0 < t ≤ T0 0, T0 < t < T Đảo trục thời gian x(−t) FS←−→ c−k ◮ Nếu x(t) chẵn? ◮ Nếu x(t) lẻ? Tính chất đối xứng x∗(t) FS←−→ c∗−k ◮ Nếu x(t) thực? ◮ Nếu x(t) ảo? Quan hệ Parseval 1 T ∫ T |x(t)|2dt = ∞∑ k=−∞ |ck |2 Ý nghĩa: FS bảo toàn công suất của tín hiệu. Outline Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian Dãy tuần hoàn và chuỗi Fourier Dãy x˜ [n] (hoặc x˜ [n]N) tuần hoàn với chu kỳ N: x˜ [n] = x˜ [n + rN], ∀n, r ∈ Z Khai triển chuỗi Fourier cho dãy x˜ [n]: x˜ [n] = ∑ k cke j 2pi N kn Đặc điểm của các thành phần tần số ej 2pi N kn, ∀k ∈ Z? ej 2pi N kn = ej 2pi N (k+rN)n, ∀r ∈ Z x˜ [n] = N−1∑ k=0 X [k]e j 2pi N kn, X [k] = ∑ r ck+rN Tính X [k ]? (i) Nhân cả hai vế với e−j 2pi N mn, tính tổng với n = 0, (N − 1) N−1∑ n=0 x˜ [n]e−j 2pi N mn = N−1∑ n=0 N−1∑ k=0 X [k]ej 2pi N (k−m)n (ii) Đổi thứ tự lấy tổng ở vế phải N−1∑ n=0 x˜ [n]e−j 2pi N mn = N−1∑ k=0 X [k] N−1∑ n=0 ej 2pi N (k−m)n (iii) Tính trực giao: N−1∑ n=0 ej 2pi N (k−m)n = { N, khi k −m = rN 0, khi k −m 6= rN =⇒ N−1∑ n=0 x˜ [n]e−j 2pi N mn = N · X [m] Khái niệm chuỗi Fourier rời rạc X [k] = 1 N N−1∑ n=0 x˜ [n]e−j 2pi N kn X [k] tuần hoàn với chu kỳ N. Ký hiệu: X˜ [k] hoặc X˜ [k]N . DTFS (chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian) cho dãy tuần hoàn: x˜ [n] DTFS←−−−→ X˜ [k] X˜ [k] = 1 N N−1∑ n=0 x˜ [n]e−j 2pi N kn, x˜ [n] = N−1∑ k=0 X˜ [k]e j 2pi N kn ◮ Nếu cần nhấn mạnh "hệ số", có thể thay X˜ [k] bằng ký hiệu c˜k . ◮ WN = e −j 2pi N → công thức? ◮ Khái niệm biên độ và pha: |X˜ [k]|, arg{X˜ [k]}. Ví dụ về DTFS (1) Tìm khai triển Fourier của dãy x˜ [n] = ∞∑ r=−∞ δ(n − rN) = { 1, n = rN, ∀r ∈ Z 0, n 6= rN (2) Cho x˜ [n] là dãy tuần hoàn với chu kỳ N x˜ [n] = { 1, ℓN ≤ n ≤ ℓN + M − 1, ∀n ∈ Z,M < N 0, n còn lại Hãy tìm X˜ [k], |X˜ [k]|, arg{X˜ [k]}. (3) Dãy x˜ [n] tuần hoàn với chu kỳ N cũng có thể coi là một dãy tuần hoàn có chu kỳ 2N. Nếu X˜1[k]N = DTFS{x˜ [n]N} và X˜2[k]2N = DTFS{x˜ [n]2N}. Hãy tính X˜2[k]2N theo X˜1[k]N . DTFS của dãy xung chữ nhật tuần hoàn N = 100,M = 10 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 k |X[ k]| −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 −3 −2 −1 0 1 2 3 k a rg {X [k] } Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc (1) Tuyến tính: a1x˜1[n]N + a2x˜2[n]N DTFS←−−−→ a1X˜1[k]N + a2X˜2[k]N (2) Dịch thời gian x˜ [n − n0] DTFS←−−−→ e−j 2pi N kn0 X˜ [k] := W kn0N X˜ [k] (3) Dịch tần số ej 2pi N k0nx˜ [n] DTFS←−−−→ X˜ [k − k0] Tính chất đối ngẫu Nếu x˜ [n] DTFS←−−−→ X˜ [k] thì X˜ [n] DTFS←−−−→ 1 N x˜ [−k] Ví dụ: Cho X˜ [k] = ∞∑ r=−∞ δ(k − rN) Hãy tìm x˜ [n]? Các tính chất đối xứng (a) x˜∗[n] DTFS←−−−→ X˜ ∗[−k] (b) x˜ [−n] DTFS←−−−→ X˜ ∗[k] (c) Re[x˜ [n]] DTFS←−−−→ 12 [X˜ [k] + X˜ ∗[−k]] (d) 12 [x˜ [n] + x˜ ∗[−n]] DTFS←−−−→ Re[X˜ [k]] (e) Khi x˜ [n] ∈ R ◮ X˜ [k ] = X˜ ∗[−k ] ◮ Re[X˜ [k ]] = Re[X˜ [−k ]] ◮ Im[X˜ [k ]] = −Im[X˜ [−k ]] ◮ |X˜ [k ]| = |X˜ [−k ]| ◮ arg{X˜ [k ]} = − arg{X˜ [−k ]} Chập tuần hoàn Cho x˜1[n] DTFS←−−−→ X˜1[k] x˜2[n] DTFS←−−−→ X˜2[k] Nếu X˜3[k] = X˜1[k]X˜2[k] thì x˜3[n] =? ⇒ Khái niệm chập tuần hoàn: x˜3[n]N = 1 N x˜1[n](∗˜)N x˜2[n] = 1 N N−1∑ m=0 x˜1[m]x˜2[n −m] Chứng minh? Cách tính chập tuần hoàn Tìm x˜3(n0) với n0 ∈ [0, (N − 1)] (1) Lấy đối xứng qua trục tung x˜2[m]→ x˜2[−m] (2) Dịch theo trục hoành n0 mẫu (3) Nhân hai dãy v˜n0 [m] = x˜1[m]x˜2[n0−m] trong đoạn [0, (N − 1)] (4) Tính tổng các phần tử của dãy v˜n0 [m] trong đoạn [0, (N − 1)] → x˜3[n0] (5) Dãy tuần hoàn chu kỳ N: x˜3[n0] = x˜3[n0 + rN], ∀r ∈ Z. Các tính chất khác ◮ Tích của hai dãy? ◮ Tương quan tuần hoàn của hai dãy? Tự đọc! Bài tập Cho tín hiệu liên tục (tuần hoàn) xc(t) có khai triển Fourier như sau: xc(t) = 9∑ k=−9 ake j2πkt/10−3 trong đó các hệ số ak = 0, ∀|k| > 9. Tín hiệu này được lấy mẫu với chu kỳ T = 1610 −3 [s] để tạo thành dãy x [n] = xc(nT ). (a) Dãy x [n] có tuần hoàn không, nếu có thì chu kỳ bao nhiêu? (b) Hãy tính X˜ [k] theo các hệ số ak . Outline Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian Biến đổi Fourier (FT) cho tín hiệu không tuần hoàn Xét x(t) là tín hiệu liên tục và không tuần hoàn theo thời gian. Nếu coi x(t) là tuần hoàn với T →∞, ta có cặp biến đổi Fourier: t Ω FT FT−1 x(t) FT←−→ X (jΩ) trong đó: X (jΩ) = FT{x(t)} = ∫ ∞ −∞ x(t)e−jΩtdt và x(t) = FT−1{X (jΩ)} = 1 2π ∫ ∞ −∞ X (jΩ)ejΩtdΩ Điều kiện tồn tại FT (i) ∫∞ −∞ |x(t)|dt <∞ (ii) x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong bất cứ khoảng thời gian hữu hạn nào. (iii) x(r) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong bất cứ khoảng thời gian hữu hạn nào và mỗi điểm gián đoạn đó phải có giá trị hữu hạn. Ví dụ: Hãy tìm FT của các tín hiệu sau (a) Hàm lũy thừa: x(t) = eatu(t) (b) Xung đơn vị: x(t) = δ(t) (c) Xung vuông: x(t) = { 1, |t| < T0 0, |t| > T0 (d) x(t) = cos(Ω0t) FT cho tín hiệu tuần hoàn Xét tín hiệu ở miền tần số X (jΩ) = 2πδ(Ω −Ω0), ta có: x(t) = 1 2π ∫ ∞ −∞ 2πδ(Ω − Ω0)ejΩtdΩ = ejΩ0t =⇒ Nếu biết FS của x(t) (tuần hoàn), tìm FT? Ví dụ: Tìm FT của các tín hiệu sau (a) x(t) = cos(Ω0t) (b) x(t) = ∑∞ k=−∞ δ(t − kT ) (c) Xét trong một chu kỳ, x(t) = { 1, |t| ≤ T0 0, T0 < |t| < T/2 Các tính chất của biến đổi Fourier (1) Tuyến tính a1x1(t) + a2x2(t) FT←−→ a1X1(jΩ) + a2X2(jΩ) (2) Dịch thời gian x(t − t0) FT←−→ e−jΩt0X (jΩ) (3) Dịch tần số ejΩ0tx(t) FT←−→ X (j(Ω− Ω0)) Tính chất đối xứng x∗(t) FT←−→ X ∗(−jΩ) ◮ Khi x(t) thực / ảo? ◮ Nếu x(t) thực và x(t) = xe(t) + xo(t), hãy tìm FT của xe(t) và của xo(t)? Vi phân và tích phân Vi phân: d dt x(t) FT←−→ jΩX (jΩ) Tích phân: ∫ t −∞ x(τ)dτ FT←−→ 1 jΩ X (jΩ) + πX (0)δ(Ω) Ví dụ: Tìm FT của dãy nhảy đơn vị u(t). Co dãn trên miền thời gian và tần số x(at) FT←−→ 1|a|X ( jΩ a ) với a ∈ R, const. Đối ngẫu Nếu x(t) FT←−→ X (jΩ) thì X (jt) FT←−→ 2πx(−Ω) Quan hệ Parseval ∫ ∞ −∞ |x(t)|2dt = 1 2π ∫ ∞ −∞ |X (jΩ)|2dΩ Chập trên miền thời gian y(t) = x(t) ∗ h(t) FT←−→ Y (jΩ) = X (jΩ)H(jΩ) ◮ H(jΩ) - đáp ứng tần số của hệ thống LTI. ◮ Khi hệ thống LTI không ổn định, có tồn tại H(jΩ) không? ◮ Tự đọc thêm về FT của tích, tương quan chéo giữa hai tín hiệu. Đáp ứng tần số của hệ thống LTI x(t) y(t) h(t) ◮ Đáp ứng tần số: H(jΩ) = FT{h(t)} = ∫ ∞ −∞ h(t)e−jΩtdt ◮ Biên độ: |H(jΩ)| ◮ Pha: arg{H(jΩ)} ◮ Đồ thị Bode: 20 log10 |H(jΩ)| Ví dụ: Hãy tìm đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng sau H(jΩ) = { 1, |Ω| ≤ Ωc 0, |Ω| > Ωc Khái niệm độ rộng băng thông (bandwidth) Xét hệ thống LTI với đáp ứng tần số H(jΩ) (i) Độ rộng băng thông tuyệt đối: ◮ B = Ωc (hệ thống thông thấp lý tưởng) ◮ B = ΩH − ΩL (hệ thống thông dải lý tưởng). (ii) Độ rộng băng thông 3-dB: |H(jΩ)|2 giảm một nửa so với giá trị lớn nhất. (iii) Tương tự đối với tín hiệu. Ω |H(jΩ)| Outline Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian FT cho tín hiệu rời rạc ko tuần hoàn theo thời gian Xét dãy x [n] có chiều dài hữu hạn, có thể coi là dãy x˜ [n]N với N →∞. Dễ dàng tính được X˜ [k]N = 1 N X (ejkω0) trong đó ω0 = 2π N và X (ejω) = ∞∑ n=−∞ x [n]e−jωn X (ejω) - biến đổi Fourier của dãy rời rạc theo thời gian x [n]. ◮ Tuần hoàn với chu kỳ 2π ◮ Phổ biên độ: |X (ejω)|, và phổ pha: arg{X (ejω)}. Cặp biến đổi Fourier n ω FT FT−1 x [n] FT←−→ X (ejω) Biến đổi thuận: x [n] FT−−→ X (ejω) = FT{x [n]} = ∞∑ n=−∞ x [n]e−jωn Biến đổi ngược: X (ejω) FT−1−−−−→ x [n] = FT−1{X (ejω)} = 1 2π ∫ π −π X (ejω)e jωndω Ví dụ 1. Tìm X (ejω), |X (ejω)| và arg{X (ejω)} của các dãy sau: (a) x [n] = δ[n] (b) x [n] = δ[n − 2] (c) x [n] = δ[n − 2]− δ[n] (d) x [n] = rectN [n] (e) x [n] = (0.5)nu[n] (f) x [n] = u[n] Nhận xét? 2. Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng tần số (trong một chu kỳ) như sau: Hlp(e jω) = { 1, |ω| ≤ ωc 0, ωc < |ω| ≤ π Hãy tìm đáp ứng xung hlp[n] của bộ lọc này. Xét các trường hợp bộ lọc thông cao, thông dải, chắn dải lý tưởng? Nhận xét? Phổ biên độ và phổ pha của dãy rect10[n] −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 10 ω |X( jω) | −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −4 −2 0 2 4 ω a rg {X (jω )} Sự tồn tại của biến đổi Fourier FT tồn tại khi dãy sau hội tụ: ∞∑ n=−∞ x [n]e−jωn Điều kiện hội tụ trên miền n: ∞∑ n=−∞ |x [n]| <∞ Xét trên quan điểm hệ thống? Hệ thống LTI tồn tại đáp ứng tần số khi hệ thống đó ổn định Khi x [n] tuần hoàn? ejω0n FT←−→ 2π ∞∑ ℓ=−∞ δ(ω − ω0 − 2πℓ) Nếu x˜ [n]N có khai triển Fourier (DTFS): x˜ [n] = N−1∑ k=0 X˜ [k]e j 2pi N kn thì có biến đổi Fourier (FT) như sau: X (ejω) = 2π ∞∑ k=−∞ X˜ [k]δ(ω − k 2π N ) Các tính chất của FT ◮ Tuyến tính: FT{a1x1[n] + a2x2[n]} = a1X1(ejω) + a2X2(ejω) ◮ Trễ thời gian: FT{x [n − n0]} = e−jωn0X (ejω) ◮ Trễ tần số: FT{ejω0nx [n]} = X (ej(ω−ω0)) ◮ Đảo trục thời gian: FT{x [−n]} = X (e−jω) ◮ Đạo hàm trên miền tần số: FT{nx [n]} = j dX (e jω)dω ◮ Chập FT{x1[n] ∗ x2[n]} = X1(ejω)X2(ejω) ◮ Nhân FT{x1[n]x2[n]} = 12π ∫ π −π X1(e jθ)X2(e j(ω−θ))dθ Các tính chất đối xứng của FT (a) FT{x∗[n]} = X ∗(e−jω) (b) FT{x∗[−n]} = X ∗(ejω) (c) FT{Re[x [n]]} = 12 [X (ejω) + X ∗(e−jω)] (d) Khi x [n] ∈ R ◮ X (e jω) = X ∗(e−jω) ◮ Re[X (e jω)] = Re[X (e−jω)] ◮ Im[X (e jω)] = −Im[X (e−jω)] ◮ |X (e jω)| = |X (e−jω)| ◮ arg{X (e jω)} = − arg{X (e−jω)} (e) Khi x [n] ∈ R và x [n] chẵn? (f) Khi x [n] ∈ R và x [n] lẻ? Các tính chất khác ◮ Quan hệ Parseval: ∞∑ n=−∞ |x [n]|2 = 1 2π ∫ π −π |X (ejω)|2dω ◮ Tương quan: FT{rx1x2[n]} = SX1X2(ejω) = X1(ejω)X2(e−jω) ◮ Định lý Wiener - Khintchine: Nếu x [n] ∈ R thì FT{rxx [n]} = SXX (ejω) = |X (ejω)|2 trong đó SXX (e jω) gọi là phổ mật độ năng lượng (energy density spectrum) của tín hiệu x [n]. ◮ Điều chế (modulation): FT{x [n] cos(ω0n)} =? Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Xét hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: N−1∑ k=0 aky [n − k] = M−1∑ r=0 arx [n − r ] Biến đổi Fourier cả hai vế và áp dụng tính chất dịch N−1∑ k=0 ake −jkωY (ejω) = M−1∑ r=0 bre −jrωX (ejω) Ta có đáp ứng tần số của hệ thống: H(ejω) = Y (ejω) X (ejω) = ∑M−1 r=0 bre −jrω∑N−1 k=0 ake −jkω Bài tập Matlab 1. Viết chương trình Matlab để tính biến đổi Fourier cho một dãy có chiều dài hữu hạn. 2. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của các dãy đã cho trong ví dụ. 3. Dùng hàm freqz và freqs trong Matlab để vẽ đáp ứng tần số của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân / vi phân tuyến tính hệ số hằng.