Động lực học hệ chất điểm, động lực học vật rắn

Ch−ơng III động lực học hệ chất điểm, động lực học vật rắn Bμi giảng Vật lý đại c−ơng Tác giả: PGS. TS Đỗ Ngọc Uấn Viện Vật lý kỹ thuật Tr−ờng ĐH Bách khoa Hμ nội 1. Khối tâm: G M2M1 m1g m2g G (m1+m2)g GMgmGMgm 2211 −= 0GMmGMm 2211 =+ Khối tâm của hệ chất điểm M1, M2, ...,Mn lần l−ợt có khối l−ợng m1, m2, ..., mn lμ điểm G xác định bởi đẳng thức: 0GMm...GMmGMm nn2211 =+++ 0GMm n 1i ii =∑ = 1.1. Định nghĩa Đối với một gốc O M2Mi 1.2. Toạ độ khối tâm G O ir r GR r GMrR iiG += r r GMmrmRm iiiiGi += r r ∑∑∑ === += n 1i ii n 1i ii n 1i Gi GMmrmRm rr ∑∑ == = n 1i ii n 1i Gi rmRm rr ∑ ∑ = ==⇒ n 1i i n 1i ii G m rm R r r Mi(xi,yi,zi) RG(XG,YG,ZG) ∑ ∑ = ==⇒ n 1i i n 1i ii G m xm X 1.3. Vận tốc khối tâm ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = == n 1i i n 1i ii n 1i i n 1i i i G m vm m dt rdm dt Rd rrr ∑ ∑ = ==⇒ n 1i i n 1i ii G m vm V r r G n 1i i V).m(K rr ∑ = =⇒∑ = = n 1i iivmK rrTổng động l−ợng của cả hệ Tổng động l−ợng của cả hệ = động l−ợng của một chất điểm đặt tại khối tâm, có khối l−ợng bằng tổng khối l−ợng cả hệ, có vận tốc bằng vận tốc của khối tâm của hệ 1.4.Ph−ơng trình chuyển động của khối tâm Hệ chất điểm M1, M2, ...,Mn có khối l−ợng m1, m2, ..., mn n21 a,...,a,a rrr Có gia tốc n21 F,...,F,F rrr Chịu tác dụng l−c iii Fam rr = ∑ ∑ = == n 1i i n 1i ii G m vm V r r ∑ ∑ = == n 1i i n 1i i i G m dt vdm dt Vd r r FFam n 1i i n 1i ii rrr == ∑∑ == Đối với chất điểm thứ i: Lấy tổng cho cả hệ: Khối tâm của hệ chuyển động nh− chất điểm có khối l−ợng bằng khối l−ợng của hệ vμ chịu tác dụng của một lực bằng tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ. ∑∑ ∑ == = == n 1i i n 1i i n 1i ii G m F m am A rrr FA).m( G n 1i i rr =∑ = 2. Chuyển động của vật rắn Vật rắn lμ hệ chất điểm mμ vị trí t−ơng đối giữa các chất điểm đó không thay đổi 2.1. Chuyển động tịnh tiến: Tại mỗi thời điểm tất cả các chất điểm của vật rắn có cùng véc tơ vận tốc vμ véc tơ gia tốc. Hệ chất điểm M1, M2, ...,Mn có khối l−ợng m1, m2, ..., mn aa...aa n21 rrrr ====Có gia tốc n21 F,...,F,F rrr Chịu tác dụng lực 1Fa rr =1m 2Fa rr =2m nFa rr =nm ................ Fa).m( n 1i i rr =∑ = Chỉ cần khảo sát chuyển động của khối tâm của vật rắn 2.2. Chuyển động quay βr ωr rr ta r vr Δ Mọi điểm có quĩ đạo tròn cùng trục Δ Trong cùng khoảng thời gian mọi điểm cùng quay đi góc θ Mọi điểm có cùng vận tốc góc ω=dθ/dt vμ gia tốc góc β=dω/dt= d2θ/dt2 Động học vật rắn quay quanh 1 trục: rv rrr ìω= ra t rrr ìβ= Tại mọi thời điểm vμcủa một điểm đ−ợc xác địnht ar vr 3. Ph−ơng trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định: Δ 3.1.Tác dụng của lực tn FF rrrr ++= zFF zF r tF r nF r F r zF vμ rr nF đồng phẳng với trục quay không gây quay vì Δ//zF r nF r xuyên tâm M r rr Trong chuyển động quay của vật rắn quanh một trục chỉ có thμnh phần tiếp tuyến với quĩ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự tF r Mômen của lực tF rrr ì= rM tt F.rsin.F =α= r.M βr tiM r ir r tia r tiF r Δ mi O3.2. Ph−ơng trình cơ bản của chuyển động quay Chất điểm thứ i titi Fa rr = mi tiiti Fra rrrr ì=ìii r m ).r(r)r.r.()r(ra iiiiiiti β−β=ìβì=ì rrrrrrrrrrr ir 0).r(r ii =β rrr titii MFr. rrrr =ì=β2ii rm ∑∑ =β tiM.)( rr2ii rm M rr =β I Mômen của lực đối với trục quay chính lμ mômen của lực đối với O - giao điểm của trục với mặt phẳng của quỹ đạo điểm đặt lực tF r M rr =β I I)( =∑ 2ii rm Mômen quán tính củavật đối với trục quay MMti rr =∑ Tổng hợp mômen của các lực gây quay I M rr =β Gia tốc góc ~M vμ ~ nghịch với I I m vμMF 3.3. Tính mômen quán tính của vật đối với trục quay: 0Δ Thanh đều: Khối l−ợng M, dμi L 2 L 2 - L dx x dxM. L x dI 2= 12 MLdx.MdxM. 22 L 2 L 2 L 2 L === ∫∫ −− 22 0 xLL x I 2 MR2 0 =I R 2 0 MR=I 2 0 MR5 2=I )ba( 12 M 22 0 +=I a b 0Δ Δ 20 MdII += 2Md 12 2MLdx.MdxM. 2 L 2 L 2 L 2 L += − += − +=Δ ∫∫ 2x)(dLL2x)(d I d Mômen QT của vật rắn đối với trục bất kỳ =... Định lý Stene- Huyghen: 0Δ 0Δ 0Δ 4. Mômen động l−ợng của hệ chất điểm 4.1. Mômen động l−ợng của hệ chất điểm đối với gốc O Hệ chất điểm M1, M2, ...,Mn có khối l−ợng m1, m2, ..., mn n21 v,...,v,v rrr Có vận tốc n21 r,...,r,r rrr Vị trí đối với gốc O Mômen động l−ợng của hệ đối với O iiii vmrLL rrrr ∑ ∑ ì== Mômen động l−ợng của hệ chất điểm quay quanh trục Δ ∑∑ ω== i iii ILL rrr ω=ω==ω=ω rrrr n21 .... Mômen động l−ợng của hệ lμ vật rắn quay quanh trục Δ ∑∑ ω== i iii ILL rrr ω=ω= ∑ rrr I).I(L i i ∑ ∑== i i 2 iii rmII 4.2. Định lý về mômen động l−ợng của hệ chất điểm ⇒μ= )F( dt Ld i0/ i rr r Một chất điểm ∑∑ μ= i i0/ i i )F( dt Ld rr r dt LdL dt d dt Ld i i i i rrr ∑∑ == M)F( i i0/ rrr =μ∑ M dt Ld r r = Đạo hμm theo thời gian mômen động l−ợng của hệ = tổng hợp các mômen ngoại lực tdụng lên hệ đối với gốc O Tr−ờng hợp hệ lμ vật rắn quay quanh trục Δ ω=ω= ∑ rrr I).I(L i i ⇒=ω= M dt )I(d dt Ld rr r ∫=−=Δ 2 1 t t 12 dtMLLL rrrr tMLconstM Δ=Δ⇒= rrr M dt )I(d rr =ω I=const MI rr =β⇒ Độ biến thiên của mômen động l−ợng trong khoảng thời gian Δt bằng xung l−ợng của mômen lực trong khoảng thời gian đó 5. Định luật bảo toμn mômen động l−ợng 5.1. Thiết lập: Hệ chất điểm chịu tác dụng ngoại lực với mômen đối với gốc O bằng 0 0M dt Ld == r r constL =⇒ r Hệ cô lập, M/O=0-> L=const 5.2. Hệ quay quanh một trục cố định 0M)I....II( dt d nn2211 ==ω++ω+ω rrrr constI....II nn2211 =ω++ω+ω rrr 5.3. ứng dụng: Hệ quay quanh một trục cố định với vận tốc góc không đổi const.I =ω Ghế Giukốpxki quay quanh một trục cố định 0constII 2211 ==ω+ω rr 2 11 2 I 'I' ω−=ω rr 11I ωr của bánh xe 22I ωr của ng−ời & ghế 2'ωr 1'ωr 6. Con quay trục quay tự do A A’ B B’ C C’ Con quay Các đăng L r L r L rΔ'L r M r Con quay đang quay quay ngang 7.1. Công vμ công suất của lực tác dụng trong chuyển động quay của vật rắn ds.FdA t= dα ds tF rMr Δ ds = r. dα α=α= d.Md.F.rdA t ω=α== M dt d.M dt dAP ω= rr .MP 7. Công vμ động năng của vật rắn 7.2. Động năng trong tr−ờng hợp vật rắn quay Δω= rr .MP dα ds tF rMr ωrdtMdt.PdA ω== r r ωω=βω= dIdtIdA 2 I 2 IA 2 1 2 2 2,1 ω−ω= 2 I 2ω Wđ= Động năng vật rắn lăn không tr−ợt = Động năng chuyển động tịnh tiến + Động năng chuyển động quay: 2 I 2 mv 22 ω+=Wđ