Động học chất lỏng

32 Lùc næi lµ hîp lùc cña c¸c lùc ¸p suÊt h­íng th¼ng ®øng lªn mét vËt thÓ ch×m vµ b»ng träng l­îng cña chÊt láng bÞ chiÕm chç (®Þnh luËt Acsimet). Trong h×nh 3.4, lùc th¼ng ®øng lªn mÆt trªn 2 – 1 – 4 b»ng träng l­îng cña chÊt láng ë trªn bÒ mÆt ®ã, vµ lªn mÆt ®¸y 2 – 3 – 4 b»ng chÊt láng ë trªn bÒ mÆt ®ã, thËm chÝ dï chÊt láng kh«ng chiÕm toµn bé thÓ tÝch ®ã. H×nh 3.4. Lùc næi t¸c ®éng lªn mét thÓ tÝch ch×m trong n­íc Nh­ vËy lùc th¼ng ®øng thùc tÕ thÓ hiÖn träng l­îng cña chÊt láng trong thÓ tÝch 1 - 2- 3- 4 (thÓ tÝch chiÕm chç). Lùc ®­îc ®Æt ë träng t©m cña thÓ tÝch bÞ chiÕm chç. Nh­ vËy, Fv = gv1234. (3.5.1) Ch­¬ng 4. §éng häc chÊt Láng 33 4.1. Më ®Çu §éng häc lµ h×nh häc cña chuyÓn ®éng. Nh­ vËy ®éng häc chÊt láng m« t¶ nh÷ng chuyÓn ®éng chÊt láng mµ kh«ng xÐt ®Õn nh÷ng lùc g©y ra chuyÓn ®éng ®ã. §éng häc rÊt quan träng bëi v× nã cã thÓ gi¶i thÝch nhiÒu hiÖn t­îng chÊt láng theo mét c¸ch ®¬n gi¶n. Cã thÓ nghiªn cøu nh÷ng chuyÓn ®éng chÊt láng b»ng c¸ch quan s¸t nh÷ng h¹t chÊt láng ®· cho khi chóng di chuyÓn trong kh«ng gian (ph­¬ng ph¸p Lagrange) hoÆc b»ng c¸ch quan s¸t chuyÓn ®éng cña nh÷ng h¹t chÊt láng kh¸c nhau khi chóng ®i qua nh÷ng ®iÓm cè ®Þnh trong kh«ng gian (ph­¬ng ph¸p Euler). Trong ph­¬ng ph¸p Lagrange, ®­êng ®i cña h¹t chÊt láng hoÆc quü ®¹o lµ ®­êng cong cã tÇm quan träng c¬ b¶n. Trong ph­¬ng ph¸p Euler, ®­êng dßng lµ ®­êng cong cã tÇm quan träng c¬ b¶n. Ph­¬ng ph¸p Euler nãi chung tiÖn lîi h¬n vµ ®­îc sö dông ë ®©y. 4. 2. §­êng dßng vµ dßng nguyªn tè §­êng dßng lµ mét ®­êng cong mµ tiÕp tuyÕn cña nã ë bÊt kú ®iÓm nµo ®Òu trïng víi vect¬ vËn tèc chÊt láng t¹i ®iÓm ®ã (xem h×nh 4.1). Do ®ã, cã thÓ kh«ng cã vËn chuyÓn cña khèi l­îng chÊt láng ngang qua mét ®­êng dßng. Tõ nh÷ng xem xÐt ®éng häc (h×nh 4.1) thÊy r»ng dy/dx = V/U. T­¬ng tù, dz /dy = W/V vµ dx/dz = U/W. Nh­ vËy: W dz V dy U dx  . (4.2.1) H×nh 4.1. §­êng dßng Gi¶ sö, lÊy vÝ dô mét dßng ch¶y 2 chiÒu víi U = kx, V = - ky vµ k = const. §iÒu ®ã dÉn tíi: dx /x = - dy/y hoÆc ln(x) = - ln(y) + C1, t­¬ng ®­¬ng víi xy = C2, trong ®ã C lµ h»ng sè tÝch ph©n. §iÒu nµy thÓ hiÖn mét tr¹ng th¸i dßng ch¶y víi nh÷ng ®­êng dßng hyperbol d¹ng gãc vu«ng (dßng ch¶y t¹i gãc), nh­ trong h×nh 4.2. 34 H×nh 4.2. §­êng dßng t¹i mét gãc §­êng dßng ®Æc biÖt lµ ®­êng dßng ph©n chia, t¸ch ra hai miÒn dßng ch¶y (vÝ dô, dßng chÝnh vµ dßng hoµn l­u nghÞch). Dßng nguyªn tè lµ mét phÇn tö dßng ch¶y ®­îc bao bäc bëi nh÷ng ®­êng dßng vµ nh­ vËy chÊt láng kh«ng thÓ ®i qua nh÷ng biªn cña dßng nguyªn tè (xem h×nh 4.3). H×nh 4.3. Dßng nguyªn tè 4.3. Hµm dßng Trong dßng ch¶y hai chiÒu nh÷ng ph­¬ng tr×nh cña ®­êng dßng cã thÓ m« t¶ b»ng nh÷ng hµm dßng . Gi¸ trÞ  kh«ng ®æi däc theo mét ®­êng dßng. Nh÷ng gi¸ trÞ  kh¸c nhau chØ ®Þnh nh÷ng ®­êng dßng kh¸c nhau. U vµ V lµ nh÷ng thµnh phÇn vËn tèc liªn quan ®Õn hµm dßng nh­ sau: U = -/y (4.3.1) V = /x (4.3.2) dy y dx x d       . (4.3.3) V×  = (x,y), vi ph©n toµn phÇn cña  dÉn ®Õn: d = Vdx- Udy. (4.3.4) 35 Hµm dßng  kh«ng ®æi khi d = 0, kÕt qu¶ lµ V dx - Udy = 0. BiÓu thøc nµy thÓ hiÖn ph­¬ng tr×nh ®­êng dßng (ph­¬ng tr×nh 4.2.1). Nh­ vËy, hµm dßng  kh«ng ®æi ®èi víi mét ®­êng dßng. Gi¶ sö, vÝ dô hµm dßng  = - kxy. §iÒu nµy dÉn tíi U = kx vµ V = - ky. Nh÷ng ®­êng dßng lµ nh÷ng ®­êng cong  = const, nghÜa lµ nh÷ng ®­êng hypebol d¹ng gãc vu«ng xy = const (xem h×nh 4.2). 4.4. Gia tèc VËn tèc chÊt láng cã thÓ thay ®æi theo vÞ trÝ vµ theo thêi gian. Nã cã thÓ ®­îc m« t¶ nh­ sau: dt rd trfV  ),( (4.4.1) trong ®ã: V = vect¬ vËn tèc chÊt láng víi c¸c thµnh phÇn U, V, W. r = vect¬ vÞ trÝ víi nh÷ng thµnh phÇn x, y, z. Ba thµnh phÇn vËn tèc ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau: U = dx/dt = U(x,y,z,t) V = dy/dt = V(x,y,z,t) W = dz/dt = W(x,y,z,t) (4.4.2) vµ còng lµ nh÷ng hµm cña vÞ trÝ vµ thêi gian. Mét khi vËn tèc cña mét phÇn tö hoÆc h¹t chÊt láng lµ mét hµm cña c¶ vÞ trÝ lÉn thêi gian, chóng ta cã thÓ viÕt cho thµnh phÇn x, vÝ dô dt t U dz z U dy y U dx x U dU             (4.4.3) cïng nh÷ng biÓu thøc t­¬ng tù cho dV vµ dW. Gia tèc trong h­íng x lµ: t U z U W y U V x U U t U dt dz z U dt dy y U dt dx x U dt dU ax                         (4.4.4) trong ®ã tz W y V x U dt d             (4.4.5) ®­îc gäi lµ ®¹o hµm vËt chÊt, hoÆc thÓ chÊt, hoÆc h¹t. Ba sè h¹ng ®Çu tiªn liªn quan ®Õn chuyÓn ®éng cña c¸c h¹t chÊt láng vµ lµ nh÷ng gia tèc ®èi l­u, vµ sè h¹ng cuèi cïng liªn quan ®Õn sù thay ®æi thuéc tÝnh t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh theo thêi gian, lµ gia tèc ®Þa ph­¬ng. Trong d¹ng vect¬, gia tèc cña mét h¹t chÊt láng lµ 36 t V V t V z V W y V V x V U dt Vd a                ).( . (4.4.6) Trong täa ®é §ecacto t U z U W y U V x U Uax             t V z V W y V V x V Uay             t U z W W y W V x W Uaw             . (4.4.7) §iÒu quan träng ph¶i chó ý lµ nÕu mét h¹t thay ®æi vËn tèc khi di chuyÓn tõ mét ®iÓm nµy ®Õn ®iÓm kh¸c trong kh«ng gian th× cã mét gia tèc ®èi l­u. NÕu gia tèc ®èi l­u b»ng kh«ng, th× dßng ch¶y ®­îc gäi lµ dßng ®Òu. NÕu vËn tèc cña nh÷ng h¹t chÊt láng liªn tiÕp ®i qua mét ®iÓm ®· cho trong kh«ng gian thay ®æi theo thêi gian, th× cã mét gia tèc ®Þa ph­¬ng. NÕu gia tèc ®Þa ph­¬ng b»ng kh«ng, th× dßng ch¶y ®­îc gäi lµ dßng æn ®Þnh. 4.5. BiÕn d¹ng VÒ c¬ b¶n, cã thÓ ph©n biÖt bèn lo¹i biÕn d¹ng cho mét khèi lËp ph­¬ng nguyªn tè víi nh÷ng c¹nh x, y vµ z. Nh÷ng biÕn d¹ng nµy lµ hÖ qu¶ cña nh÷ng biÕn ®æi kh«ng gian cña vËn tèc. Bèn lo¹i biÕn d¹ng lµ: - a dÞch chuyÓn, - b quay, - c1 biÕn d¹ng tuyÕn tÝnh, - c2 biÕn d¹ng gãc. DÞch chuyÓn vµ quay bao gåm nh÷ng biÕn d¹ng mµ kh«ng cã sù thay ®æi vÒ h×nh d¹ng cña phÇn tö chÊt láng. Tuy nhiªn, biÕn d¹ng tuyÕn tÝnh vµ biÕn d¹ng gãc bao gåm sù thay ®æi h×nh d¹ng. ChØ th«ng qua hai biÕn d¹ng nµy míi ph¸t sinh nhiÖt vµ c¬ n¨ng ®­îc tiªu t¸n nh­ kÕt qu¶ cña t¸c ®éng nhít trong chÊt láng. H×nh 4.4 cho thÊy bèn lo¹i biÕn d¹ng trong mÆt ph¼ng x - y cña khèi lËp ph­¬ng. DÞch chyÓn: DÞch chuyÓn theo h­íng x : Udt h­íng y: Vdt h­íng z : Wdt. Quay: 37 §é quay trong mÆt ph¼ng x - y lµ trung b×nh ®é quay cña nh÷ng c¹nh x vµ y, lµ 1/2(tan + tan): dt y U x V y ydt y U x xdt x V )( 2 1 )( 2 1                . Tèc ®é quay trong mÆt ph¼ng x - y lµ vËn tèc gãc: dt y U x V z )( 2 1       . (4.5.1) H×nh 4.4. C¸c lo¹i biÕn d¹ng T­¬ng tù, dt z V y W x )( 2 1       (4.5.2) dt x W z U y )( 2 1       . (4.5.3) Cã ba thµnh phÇn cña vect¬ vËn tèc gãc  : VxVcurl  2 1 2 1  . BiÕn d¹ng tuyÕn tÝnh: 38 BiÕn d¹ng tuyÕn tÝnh theo h­íng x: (U/x)xdt; theo h­íng y: (V/y) ydt theo h­íng z : (W/z) z dt. Thay ®æi chiÒu dµi cña mçi c¹nh g©y ra thay ®æi t­¬ng øng cña thÓ tÝch khèi lËp ph­¬ng lµ: VVdiv z W y V x U e .          . (4.5.4) §èi víi chÊt láng kh«ng nÐn ®­îc nã b»ng kh«ng (e = 0) vµ biÓu thÞ ph­¬ng tr×nh liªn tôc (xem thªm Ch­¬ng 5). BiÕn d¹ng gãc: BiÕn d¹ng gãc trong mÆt ph¼ng x - y lµ trung b×nh c¸c biÕn d¹ng gãc cña nh÷ng c¹nh riªng lÎ x vµ y: dt y U x V )( 2 1      . Møc biÕn d¹ng trong mÆt ph¼ng x – y lµ: )( 2 1 y U x V xyyx        . (4.5.5) T­¬ng tù, )( 2 1 y W z V zyyz        (4.5.6) )( 2 1 z U x W xzzx        . (4.5.7) 4.6. Xo¸y Vect¬ xo¸y ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau (xem ph­¬ng tr×nh 4.5.1 ... 4.5.3): VxVcurl  2 (4.6. 1) vµ b»ng hai lÇn vect¬ vËn tèc gãc. Vect¬ xo¸y lµ hµm cña c¶ vÞ trÝ lÉn thêi gian. Mét ®­êng xo¸y lµ mét ®­êng cong däc theo ®ã vect¬ xo¸y lµ tiÕp tuyÕn. Mét xo¸y nguyªn tè ®­îc giíi h¹n bëi nh÷ng ®­êng xo¸y. Nh÷ng xo¸y cã thÓ tån t¹i trong dßng ch¶y nhít vµ dßng ch¶y kh«ng nhít. NÕu xo¸y b»ng kh«ng trong mét chÊt láng ®ang chuyÓn ®éng, th× dßng ch¶y ®­îc gäi lµ kh«ng quay. Nh­ vËy 0 Vx vµ: y U x V      vµ y W z V      vµ z U x W      . (4.6.2)