Dòng chảy ổn định đều

68 Ch­¬ng 6. dßng ch¶y æn ®Þnh ®Òu 6.1. Më ®Çu Trong ch­¬ng nµy xÐt dßng ch¶y æn ®Þnh (u/t = 0), cã nghÜa lµ vËn tèc t¹i mét ®iÓm kh«ng ®æi theo thêi gian. §èi víi dßng ch¶y rèi ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ vËn tèc trung b×nh thêi gian lµ kh«ng ®æi theo thêi gian. Dßng ch¶y còng ®­îc coi lµ ®Òu, cã nghÜa lµ vËn tèc kh«ng ®æi theo h­íng dßng ch¶y (u/x = 0). Mét dßng æn ®Þnh ®Òu trong lßng dÉn hë l¨ng trô lµ dßng ch¶y víi vËn tèc kh«ng ®æi vµ ®é s©u n­íc kh«ng ®æi, trong khi mÆt n­íc song song víi ®¸y, nh­ trong h×nh 6.1. VËn tèc dßng ch¶y vµ ®é s©u n­íc cã thÓ xem nh­ nh÷ng gi¸ trÞ c©n b»ng. V× xem xÐt dßng ch¶y cña chÊt láng thùc víi ®é nhít , cã sù tiªu t¸n n¨ng l­îng dßng ch¶y vµ kh«ng thÓ ¸p dông ph­¬ng tr×nh Bernoulli. Cét n­íc tæng céng He gi¶m theo h­íng dßng ch¶y. Møc gi¶m cét n­íc tæng céng He trªn ®¬n vÞ chiÒu dµi L dÉn ®Õn gradient n¨ng l­îng ie = He/ L vµ b»ng gradient ®¸y hoÆc ®é dèc ®¸y ib  sin. Nh­ vËy ie = ib. H×nh 6.1. Dßng æn ®Þnh ®Òu trong lßng dÉn hë Cét n­íc l­u tèc (VH), kh«ng ®æi theo h­íng dßng ch¶y lµ ( u lµ vËn tèc trung b×nh mÆt c¾t ngang): g u VH 2 2   (6.1.1) víi:  A dAu uA 3 3 1  . (6.1.2) Cét n­íc tæng céng (he) so víi mÆt chuÈn n»m ngang lµ: 69 He = zb + hcos + g u 2 2  . (6.1.3) §èi víi ®é dèc nhá cét n­íc tæng céng lµ: He = zb + h + g u 2 2  . (6.1.4) Cao ®é mÆt n­íc trªn mÆt chuÈn n»m ngang (zb + h) gäi lµ cao tr×nh cña dßng ch¶y. N¨ng l­îng ®Æc tr­ng (SE) trong mét mÆt c¾t x¸c ®Þnh b»ng n¨ng l­îng trªn ®¬n vÞ khèi l­îng chÊt láng so víi ®¸y lßng dÉn: SE = h + g u 2 2  = h + 2 2 2gA Q (6.1.5) trong ®ã: Q = l­u l­îng, A = diÖn tÝch mÆt c¾t ngang. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®èi víi dßng æn ®Þnh ®Òu t­¬ng ®èi ®¬n gi¶n vµ ®­îc thÓ hiÖn b»ng c«ng thøc søc c¶n. NhiÒu lo¹i c«ng thøc søc c¶n sÏ ®­îc cho trong ch­¬ng nµy, trong khi còng ®­a ra ph©n bè vËn tèc trong dßng ch¶y ph©n tÇng vµ trong dßng ch¶y rèi. 6.2. C¸c lùc chÊt láng vµ øng suÊt tr­ît Nh÷ng lùc t¸c ®éng lªn mét phÇn tö chÊt láng trªn ®¬n vÞ bÒ réng x cña dßng æn ®Þnh ®Òu ®­îc cho trong h×nh 6.2. C¸c lùc ¸p suÊt thñy tÜnh F1 vµ F2 b»ng nhau. Thµnh phÇn träng lùc theo h­íng x lµ Fg = gxy(h-z) sin. C©n b»ng lùc theo h­íng x dÉn ®Õn: zxy = gxy(h-z) sin z = g(h-z) sin. V× sin  ib, cho thÊy: z = gib(h-z). (6.2.1) Ph­¬ng tr×nh (6.2.1) biÓu thÞ ph©n bè øng suÊt tr­ît tuyÕn tÝnh theo ®é s©u. §èi víi z = 0 nã cho thÊy (z=0 = b): b = ghib. (6.2.2) Ph­¬ng tr×nh (6.2.2) hîp lÖ ®èi víi mét lßng dÉn réng (b >> h). Trong tr­êng hîp mét mÆt c¾t ngang tuú ý, c©n b»ng lùc ®èi víi mét phÇn tö x cña mÆt c¾t ngang A cho ta (xem h×nh 6.2): bx = gAx sin b = g(A/)ib = gRib (6.2.3) trong ®ã: 70 A = diÖn tÝch mÆt c¾t ngang  = chu vi ­ít R = A/ = b¸n kÝnh thñy lùc b = øng suÊt tr­ît t¹i ®¸y. H×nh 6.2. C¸c lùc chÊt láng Ph­¬ng tr×nh (6.2.1), (6.2.2) vµ (6.2.3) hîp lÖ ®èi víi dßng ch¶y ph©n tÇng vµ rèi. §èi víi mÆt c¾t ngang h×nh ch÷ nhËt ®¬n gi¶n (®é s©u = h, bÒ réng = b) b¸n kÝnh thñy lùc lµ: R = bh/(b + 2h). (6.2.4) §èi víi mÆt c¾t ngang h×nh ch÷ nhËt réng: R  h. 6.3. Ph©n bè vËn tèc trong líp biªn dßng ch¶y ph©n tÇng 6.3.1. Më ®Çu Líp biªn  lµ líp dßng ch¶y ë trªn biªn, trong ®ã vËn tèc dßng ch¶y bÞ chËm l¹i bëi hiÖu øng cña biªn. Nãi chung, líp biªn  x¸c ®Þnh theo kho¶ng c¸ch tõ mÆt biªn ®Õn ®iÓm mµ t¹i ®ã u = 0,995ue víi ue = vËn tèc t¹i líp ngoµi. Tr­íc hÕt, ta th¶o luËn sù ph¸t sinh líp biªn. Tèt nhÊt cã thÓ tr×nh diÔn ®iÒu nµy b»ng viÖc xÐt dßng ch¶y däc theo mét tÊm ph¼ng tr¬n cã chiÒu dµi h÷u h¹n. Dßng ch¶y ®Õn gÇn ®­îc gi¶ thiÕt ®ång nhÊt theo h­íng th¼ng ®øng víi vËn tèc ue. Khi chÊt láng ®¹t ®Õn chç b¾t ®Çu cña tÊm ph¼ng, nh÷ng øng suÊt tr­ît lín sÏ ph¸t sinh ë bÒ mÆt tÊm ph¼ng. Nh÷ng h¹t chÊt láng t¹i bÒ mÆt tÊm ph¼ng b»ng kh«ng vµ nh÷ng h¹t ë trªn tÊm ph¼ng bÞ chËm l¹i bëi 71 t¸c ®éng cña øng suÊt nhít trong chÊt láng. Khu vùc dßng ch¶y bÞ chËm l¹i ®­îc gäi lµ líp biªn. §èi víi kho¶ng c¸ch h­íng däc nµo ®ã, dßng ch¶y bªn trong líp biªn lµ ph©n tÇng. H¹ l­u khu vùc ph©n tÇng, dßng ch¶y sÏ trë nªn kh«ng æn ®Þnh vµ cuèi cïng sÏ thµnh rèi. §é dµy líp biªn t¨ng theo h­íng dßng ch¶y. Trong khu vùc rèi, profil vËn tèc ®ång nhÊt h¬n cïng víi gradient vËn tèc lín gÇn mÆt biªn. Sù qu¸ ®é tõ dßng ch¶y ph©n tÇng ®Õn dßng ch¶y rèi phô thuéc vµo ®é nh¸m cña bÒ mÆt tÊm, vËn tèc vµ møc ®é rèi cña dßng ch¶y ®Õn gÇn. Sù ph¸t triÓn líp biªn cã thÓ biÓu thÞ theo (Cebeci vµ Bradshaw,1977): dßng ch¶y ph©n tÇng: 505 ,)(    xu x e dßng ch¶y rèi (tr¬n vµ nh¸m): 2040 ,)(,    xu x e víi x = kho¶ng c¸ch tõ mÐp cña mÆt biªn. Líp ph©n tÇng trë nªn kh«ng æn ®Þnh ®èi víi ue = 2000, t­¬ng ®­¬ng víi uex/ = 5 x10 5. Dùa vµo biÓu thøc ®èi víi dßng ch¶y rèi, kho¶ng c¸ch phi thø nguyªn yªu cÇu ®Ó nhËn ®­îc bÒ dµy líp biªn b»ng ®é s©u n­íc ( = h) lµ x/ h = 3 (u h/)0,25 cho ta: x/ h = 50 ®èi víi  = h = 0,5 m vµ u = 0,2 m/s (trong m¸ng thuû lùc) x/ h = 200 ®èi víi  = h = 10 m vµ u = 1 m/s (t¹i hiÖn tr­êng). Trong môc sau ta xÐt profil vËn tèc trong mét dßng ch¶y ph©n tÇng æn ®Þnh, cã nghÜa lµ bÒ dµy líp biªn ph©n tÇng kh«ng ®æi theo h­íng däc (bÒ dµy líp biªn c©n b»ng). H×nh 6.3. Sù ph¸t sinh líp biªn 6.3.2. Ph©n bè vËn tèc øng suÊt tr­ît trong dßng ch¶y ph©n tÇng lµ  =  du/dz. ¸p dông ph­¬ng tr×nh (6.2.1), thÊy r»ng: )( zhgi dz du b   72 dzzh gi du b )(   . TÝch ph©n cho ta: (uz=0 = 0): ) 2 1 ( 2zhz gi u bz   . (6.3.1) Ph­¬ng tr×nh (6.3.1) biÓu thÞ mét profil vËn tèc d¹ng parab«n víi vËn tèc lín nhÊt umax = gibh 2/2 ë mÆt z = h (xem h×nh 6.12). VËn tèc trung b×nh ®é s©u lµ: 2 3 h gi u b   . (6.3.2) 6.4. Ph©n bè vËn tèc trong líp biªn rèi 6.4.1. §¸y tr¬n vµ nh¸m Theo thñ tôc Reynolds, øng suÊt tr­ît t¹i ®é cao z trong dßng æn ®Þnh ®Òu cã thÓ m« t¶ nh­ sau (xem ph­¬ng tr×nh 5.4.47): ''wu dz du z   . (6.4.1) MÆc dï vËn tèc th¼ng ®øng trung b×nh thêi gian w b»ng kh«ng (w = 0), nh÷ng dao ®éng rèi th¼ng ®øng kh«ng b»ng kh«ng (w'  0). Nh­ vËy, øng suÊt tr­ît do rèi 0''  wut  . ¸p dông ph­¬ng tr×nh (6.2.1) cho thÊy: )('' zhgiwu dz du bz   . (6.4.2) PhÇn ®Çu tiªn biÓu thÞ øng suÊt tr­ît do nhít (); phÇn thø hai biÓu thÞ øng suÊt tr­ît do rèi (t). Ph­¬ng tr×nh (6.4.2) m« t¶ mét ph©n bè tuyÕn tÝnh theo z, nh­ trong h×nh 6.4. Tuy nhiªn, nh÷ng phÐp ®o chØ ra r»ng øng suÊt tr­ît gÇn ®¸y hÇu nh­ kh«ng ®æi ( b) trong mét líp cã bÒ dµy kho¶ng 0,1 h. øng suÊt tr­ît do rèi (t) chiÕm ­u thÕ trong phÇn chñ yÕu cña ®é s©u dßng ch¶y. Trong tr­êng hîp mét ®¸y tr¬n, nh÷ng øng suÊt tr­ît do nhít () trë nªn ­u thÕ ë s¸t ®¸y do nh÷ng dao ®éng rèi u' vµ w' t¾t h¼n gÇn ®¸y vµ b»ng kh«ng t¹i ®¸y (u' = w' = 0 t¹i z = 0). Líp cã øng suÊt tr­ît do nhít chiÕm ­u thÕ gäi lµ líp con nhít (). PhÝa trªn líp con nhít lµ dßng ch¶y rèi. Líp con rèi quan träng nhÊt lµ líp con d¹ng l«garit. VÒ sau, sÏ chØ ra r»ng bÒ dµy cña líp con nhít kho¶ng  = 5 /u*. Gi÷a líp con nhít vµ líp con l«garit cã mét líp con qu¸ ®é, ®«i khi gäi lµ líp con ®Öm. PhÝa trªn líp con l«garit cã mét líp con ë phÝa ngoµi (xem thªm h×nh 6.5). 73 H×nh 6.4. Ph©n bè øng suÊt tr­ît HiÖu øng cña ®é nh¸m ®¸y (hoÆc t­êng) lªn ph©n bè vËn tèc trong dßng ch¶y rèi ®­îc Nikuradse (1933) kh¶o s¸t lÇn ®Çu tiªn cho dßng ch¶y trong èng. ¤ng sö dông nh÷ng c¸i èng ®­îc phñ bëi nh÷ng h¹t c¸t ®ång ®Òu ë phÝa trong vµ ®o nh÷ng ph©n bè vËn tèc víi nh÷ng sè Reynolds (Re), ®­êng kÝnh èng (D) vµ kÝch th­íc h¹t (d50) kh¸c nhau. Dùa vµo nh÷ng thÝ nghiÖm nµy, Nikuradse giíi thiÖu kh¸i niÖm ®é nh¸m h¹t c¸t t­¬ng ®­¬ng hoÆc ®é nh¸m Nikuradse (ks) nh­ mét tiªu chuÈn ®èi víi tÊt c¶ c¸c lo¹i phÇn tö nh¸m (k). H×nh 6.5. Líp con nhít vµ rèi ®èi víi mét ®¸y tr¬n Nh÷ng phÇn tö nh¸m chñ yÕu ¶nh h­ëng ®Õn ph©n bè vËn tèc s¸t ®¸y, v× nh÷ng phÇn tö nh¸m ph¸t sinh nh÷ng xo¸y cã kÝch th­íc cïng bËc víi nh÷ng phÇn tö nh¸m, chóng ¶nh h­ëng ®Õn cÊu tróc rèi vµ do ®ã lµ nh÷ng vËn tèc s¸t ®¸y. Sau n÷a, nh÷ng xo¸y sÏ nhanh chãng bÞ hÊp thô vµo cÊu tróc rèi hiÖn cã nãi chung. Lo¹i chÕ ®é dßng ch¶y cã thÓ liªn quan ®Õn tû sè cña ®é nh¸m Nikuradse (ks) vµ 74 quy m« ®é dµi cña líp con nhít (/u*). Dùa vµo sè liÖu thùc nghiÖm, thÊy r»ng: 1. Dßng ch¶y tr¬n vÒ thuû lùc, ®èi víi 5 / * *   uk u k ss Nh÷ng phÇn tö nh¸m nhá h¬n nhiÒu bÒ dµy cña líp con nhít (xem h×nh 6.6) vµ kh«ng ¶nh h­ëng ®Õn ph©n bè vËn tèc. 2. Dßng ch¶y nh¸m vÒ thuû lùc, ®èi víi 70 / * *   uk u k ss Líp con nhít kh«ng tån t¹i vµ ph©n bè vËn tèc kh«ng phô thuéc vµo ®é nhít  cña chÊt láng (h×nh 6.6). 3. Dßng ch¶y qu¸ ®é vÒ thuû lùc, ®èi víi 70 / 5 * *   uk u k ss Ph©n bè vËn tèc bÞ ¶nh h­ëng bëi ®é nhít còng nh­ bëi ®é nh¸m ®¸y. Tr¬n Nh¸m H×nh 6.6. Dßng ch¶y tr¬n vµ nh¸m vÒ thuû lùc 6.4.2. Líp con rèi l«garit øng suÊt tr­ît do nhít cã thÓ bá qua trong líp con nµy. Dùa vµo ®o ®¹c, gi¶ thiÕt r»ng øng suÊt tr­ît do rèi trong líp nµy kh«ng ®æi vµ b»ng øng suÊt tr­ît t¹i ®¸y (b). Nh­ vËy, ''wub   (6.4.3) ''/ wub  . (6.4.4) Theo ®Þnh nghÜa b = u 2 * dÉn ®Õn: 2 * ''/ uwub  . (6.4.5) 75 Lý thuyÕt qu·ng ®­êng x¸o trén cña Prandtl Trong dßng ch¶y rèi cã nh÷ng gãi chÊt láng di chuyÓn tõ líp nµy sang líp kh¸c b»ng nh÷ng chuyÓn ®éng xo¸y, nh­ trong h×nh 6.7. VËn tèc chÊt láng trung b×nh thêi gian trong líp 1 lín h¬n trong líp 2. Gãi chÊt láng 1 trong líp 1 cã ®éng l­îng lín h¬n trong líp 2. Khi gãi chÊt láng 1 ®Õn líp 2 nã lµm t¨ng tèc nh÷ng gãi chÊt láng trong líp 2 bëi sù truyÒn ®éng l­îng cña nã. T­¬ng tù, gãi chÊt láng 2 trong líp 2 cã ®éng l­îng thÊp h¬n, lµm chËm nh÷ng gãi chÊt láng trong líp 1 khi vµo ®Õn ®ã. T¸c ®éng cña gãi chÊt láng 1 cã thÓ xem nh­ t¸c ®éng cña øng suÊt tr­ît 1 lªn líp 2 trong khi cè t¨ng tèc líp 2. T­¬ng tù, t¸c ®éng cña gãi chÊt láng 2 cã thÓ xem nh­ t¸c ®éng cña øng suÊt tr­ît 2 lµm chËm dÇn líp 1. Tõ h×nh 6.7 cã thÓ thÊy r»ng +u' liªn quan ®Õn –w'. T­¬ng tù -u' liªn quan ®Õn +w’. Prandtl (1875-1953) ®­a ra kh¸i niÖm qu·ng ®­êng x¸o trén, ph¸t biÓu r»ng mét gãi chÊt láng ®i hÕt chiÒu dµi l tr­íc khi ®éng l­îng cña nã ®­îc truyÒn ®i. Prandtl còng ®Ò xuÊt: dz du lu ' vµ dz du lw ' . (6.4.6) H×nh 6.7. Lý thuyÕt qu·ng ®­êng x¸o trén Thay ph­¬ng tr×nh (6.4.6) vµo ph­¬ng tr×nh (6.4.3) dÉn ®Õn: dz du dz du lb 2  . (6.4.7) T­¬ng tù nh­ ®èi víi øng suÊt tr­ît do nhít  = du/dz, ph­¬ng tr×nh (6.4.7) cã thÓ m« t¶ nh­ sau: dz du b   (6.4.8) 76 trong ®ã: dz du l 2 = hÖ sè nhít rèi hoÆc hÖ sè x¸o trén. Ph­¬ng tr×nh (6.4.8) còng gäi lµ ph­¬ng tr×nh Boussinesq. Sau ®ã, Prandtl gi¶ thiÕt r»ng qu·ng ®­êng x¸o trén l tû lÖ víi kho¶ng c¸ch ®Õn ®¸y nh­ sau: l = kz (6.4.9) trong ®ã: k = hÖ sè tû lÖ. Tham sè k ®­îc gäi lµ h»ng sè Von Karman. Thay ph­¬ng tr×nh (6.4.9) vµo (6.4.7) dÉn ®Õn: dz du dz du zkb 22  (6.4.10) 2 * 22 u dz du dz du zk  (6.4.11) kz u dz du * . (6.4.12) TÝch ph©n theo h­íng z dÉn ®Õn: 1 * ln Cz k u uz  . (6.4.13) Ph­¬ng tr×nh (6.4.13) biÓu thÞ mét ph©n bè vËn tèc d¹ng l«garit. Tham sè k vµ h»ng sè tÝch ph©n C1 ph¶i ®­îc x¸c ®Þnh tõ ®o ®¹c. §· thÊy tham sè k cã gi¸ trÞ lµ k = 0,4. Tham sè C1 phô thuéc m¹nh vµo nh÷ng ®iÒu kiÖn dßng ch¶y s¸t ®¸y (dßng ch¶y tr¬n hoÆc nh¸m vÒ thuû lùc). Ph­¬ng tr×nh (6.4.13) còng cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau: 2 ** )ln( C zu k u uz   . (6.4.14) H×nh 6.8 cho thÊy nh÷ng vËn tèc ®o ®¹c. Mét líp l«garit cã thÓ quan s¸t ®èi víi u*z/ > 30. Nh÷ng ®o ®¹c dßng ch¶y trong lßng dÉn hë cho thÊy ph©n bè vËn tèc l«garit hîp lÖ cho ®Õn z = 0,2 h. Ph­¬ng tr×nh (6.4.13) còng cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau: B k z k u u s z  )ln( * (6.4.15) trong ®ã: ks = tham sè nh¸m Nikuradse B = h»ng sè tÝch ph©n k = 0,4. 77 H×nh 6.8. Ph©n bè vËn tèc trong dßng æn ®Þnh ®Òu trªn mét ®¸y tr¬n Dùa trªn sè liÖu thùc nghiÖm dßng ch¶y tr¬n vµ nh¸m vÒ thuû lùc trong ph¹m vi 7,5  R/ks  250, Nikuradse t×m thÊy: 55 1 ,)ln( *   sku k B ®èi víi 5*   su k (6.4.16) 58,B ®èi víi 70*   su k . (6.4.17) Nh÷ng ph­¬ng tr×nh (6.4.16) vµ (6.4.17) ®­îc cho trong h×nh 6.9. H×nh 6.9. H»ng sè tÝch ph©n ®èi víi dßng ch¶y tr¬n vµ nh¸m vÒ thuû lùc. Thay ph­¬ng tr×nh (6.4.16) vµo ph­¬ng tr×nh (6.4.15) dÉn ®Õn dßng ch¶y tr¬n vÒ thuû lùc: ) /, ln(,)ln( * *** u z k uzu k u uz  110 55  (6.4.18) Thay ph­¬ng tr×nh 6.4.17) vµo ph­¬ng tr×nh (6.4.15) dÉn ®Õn dßng ch¶y nh¸m vÒ 78 thuû lùc: )ln(,)ln( ** ss z k z k u k z k u u 30 58  . (6.4.19) 6.4.3. Líp con nhít øng suÊt tr­ît do nhít chiÕm ­u thÕ trong líp nµy. Gi¶ thiÕt øng suÊt tr­ît do nhít lµ h»ng sè trong líp nµy vµ b»ng øng suÊt tr­ît t¹i ®¸y, cho thÊy: b dz du   2 *u dz du  /2*u dz du  (6.4.20) tÝch ph©n vµ gi¶ sö u = 0 t¹i z = 0 dÉn ®Õn: /2* zuuz  . (6.4.21) Nh­ vËy, cã mét ph©n bè vËn tèc tuyÕn tÝnh trong líp con nhít (xem h×nh 6.8). Ph©n bè vËn tèc tuyÕn tÝnh vµ ph©n bè vËn tèc l«garit c¾t nhau ë kho¶ng c¸ch 6.11/* zu , dÉn ®Õn mét líp con nhít víi bÒ dµy lµ: * , u   611  . (6.4.22) Nh÷ng gi¸ trÞ ®o ®¹c trong h×nh 6.8 chØ ra r»ng líp con hoµn toµn nhít cã phÇn nhá h¬n (5/u*). 6.4.4. Líp con qu¸ ®é H×nh 6.8 còng chØ ra r»ng cã líp qu¸ ®é hoÆc líp ®Öm ®èi víi 5 < u*z/ < 30. Cã s½n nhiÒu biÓu thøc ®èi víi ph©n bè vËn tèc trong líp nµy. Nh÷ng biÓu thøc nµy kh«ng ®­a ra ë ®©y, v× chóng ch­a ®­îc sö dông réng r·i. 6.4.5. Líp con phÝa ngoµi Mét hiÖn t­îng tiªu biÓu cña líp ngoµi (xem h×nh 6.5) lµ vËn tèc gÇn nh­ kh«ng ®æi, ®­îc t¹o ra bëi sù cã mÆt cña nh÷ng xo¸y lín s¶n sinh x¸o trén m¹nh dßng ch¶y. Nh÷ng ®o ®¹c trong lßng dÉn hë cho thÊy vËn tèc dßng ch¶y lín nhÊt kh«ng xuÊt hiÖn ë bÒ mÆt (z = h) mµ ë mét kho¶ng c¸ch nhá d­íi mÆt (z = 0,9 h), cã lÏ lµ kÕt qu¶ cña ph©n bè øng suÊt tr­ît phi tuyÕn vµ/hoÆc bëi hiÖu øng ma s¸t ë mÆt ph©n c¸ch chÊt láng vµ kh«ng khÝ. Nh÷ng hiÖu øng giã còng cã thÓ ¶nh h­ëng ®Õn ph©n bè vËn tèc gÇn mÆt. S½n cã nhiÒu biÓu thøc trong c¸c tµi liÖu ®Ó m« t¶ ph©n bè vËn tèc trong líp ngoµi. 79 Tuy nhiªn nh÷ng biÓu thøc nµy ch­a ®­îc sö dông réng r·i. Nãi chung, ph©n bè vËn tèc l«garit (ph­¬ng tr×nh 6.4.13) còng ®­îc ¸p dông cho líp ngoµi. Nh÷ng vËn tèc ®o ®¹c vµ tÝnh to¸n cho thÊy sù phï hîp hîp lý. VÒ c¬ b¶n, ph­¬ng tr×nh (6.4.13) chØ hîp lÖ ®èi víi phÇn thÊp cña ®é s©u dßng ch¶y (z < 0,2 h) n¬i øng suÊt tr­ît hÇu nh­ kh«ng ®æi vµ n¬i qu·ng ®­êng x¸o trén tû lÖ víi kho¶ng c¸ch tíi ®¸y (l = kz). Khi ph­¬ng tr×nh (6.4.13) ¸p dông trong líp ngoµi, nh÷ng gi¶ thiÕt nµy (b = const, l = kz) kh«ng cßn hîp lÖ n÷a vµ ph¶i ®­îc thay thÕ bëi nh÷ng gi¶ thiÕt kh¸c. Gi¶ thiÕt ph©n bè øng suÊt tr­ît tuyÕn tÝnh,  = b(1-z/h), cã thÓ dÉn ra ph­¬ng tr×nh (6.4.13) tõ ph­¬ng tr×nh (6.4.7) b»ng viÖc lÊy qu·ng ®­êng x¸o trén nh­ sau: l = kz(1-z/h)0,5 (6.4.23) thay cho l = kz. §iÒu nµy nãi lªn mét ph©n bè nhít rèi d¹ng parab«n * *222 )/1()/1( uhzkz kz u hzzk dz du l  . (6.4.24) Nh÷ng ph­¬ng tr×nh (6.4.23) vµ (6.4.24) ®­îc cho trong h×nh 6.10. H×nh 6.10 Qu·ng ®­êng x¸o trén vµ ph©n bè nhít rèi 6.4.6. Ph©n bè tæng qu¸t cña vËn tèc ®èi víi dßng ch¶y tr¬n vµ nh¸m Ph©n bè vËn tèc Mét biÓu thøc tæng qu¸t ®èi víi ph©n bè vËn tèc trªn toµn bé ®é s©u ®èi víi nh÷ng dßng ch¶y tr¬n vµ nh¸m (h×nh 6.11): )ln( 0 * z z k u u  (6.4.25) trong ®ã: 80 z0 = møc vËn tèc kh«ng (u = 0 t¹i z = z0). ChÕ ®é thñy lùc tr¬n: * , u z  1100  ®èi víi 5 *   sku ChÕ ®é thñy lùc nh¸m: skz 3300 , ®èi víi 70 *   sku ChÕ ®é thñy lùc qu¸ ®é: sk u z 3301100 ,, *   ®èi víi 705 *   sku Tr¬n Nh¸m H×nh 6.11. Ph©n bè vËn tèc trong dßng ch¶y tr¬n vµ nh¸m vÒ thuû lùc H×nh 6.12. Ph©n bè vËn tèc trong dßng ch¶y rèi vµ ph©n tÇng (De Vries, 1985) H×nh 6.12 cho thÊy ph©n bè vËn tèc trong dßng ch¶y ph©n tÇng (ph­¬ng tr×nh 81 6.3.1) vµ dßng ch¶y rèi ®èi víi h/z0 = 10, 100, 1000. Profil vËn tèc ®ång nhÊt h¬n ®èi víi tham sè h/z0 lín h¬n, mµ cã nghÜa lµ ®é nh¸m ®¸y nhá h¬n. Mùc vËn tèc kh«ng, ®­îc gi¶i thÝch nh­ mét tham sè tÝnh to¸n mµ kh«ng cã ý nghÜa vËt lý, v× ph­¬ng tr×nh (6.4.25) kh«ng hîp lÖ khi rÊt s¸t ®¸y (z < ks). Trong tr­êng hîp biªn nh¸m vÞ trÝ cña ®iÓm vËn tèc kh«ng lµ kh«ng biÕt ®­îc. Th«ng th­êng, ®¸y (z = 0) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ mÆt ph¼ng t¹o ra sau khi lµm nh½n nh÷ng phÇn tö nh¸m. §èi víi c¸c phÇn tö h×nh cÇu nh¸m, nã dÉn ®Õn gi¸ trÞ kho¶ng 0,75 k trªn mÆt d­íi cña h×nh cÇu (k = ®­êng kÝnh h×nh cÇu), nh­ thÊy trong h×nh 6.11. Mét gi¸ trÞ thùc tÕ cña mùc vËn tèc kh«ng (z = z0) cã thÓ t×m b»ng c¸ch vÏ nh÷ng gi¸ trÞ u/u* víi (z- z0’)/z0’ theo tû lÖ b¸n l«garit vµ z0’ kh¸c nhau cho ®Õn khi nhËn ®­îc sù phï hîp tèt nhÊt. Ph­¬ng ph¸p nµy cho ta gi¸ trÞ z0’ = 0,25 k ®èi víi nh÷ng h¹t c¸t vµ sái. øng dông cña ph­¬ng tr×nh (6.4.25) cho toµn bé ®é s©u nãi lªn r»ng vËn tèc lín nhÊt u = uh t¹i z = h. Thay biÓu thøc nµy vµo ph­¬ng tr×nh (6.4.13) dÉn ®Õn c¸i gäi lµ ®Þnh luËt thiÕu hôt vËn tèc: )ln(* h z k u uu h  (6.4.26) víi )ln( 0 * z h k u uh  (6.4.27) §èi víi nhiÒu øng dông kü thuËt, còng cã thÓ m« t¶ ph©n bè vËn tèc bëi mét biÓu thøc theo ®Þnh luËt hµm mò, nh­ sau: n h h z uu )( (6.4.28) trong ®ã: uh = vËn tèc dßng ch¶y ë mÆt n­íc n = sè mò. Tham sè n phô thuéc vµo ®é nh¸m ®¸y vµ sè Reynolds. Nh÷ng gi¸ trÞ gi÷a n = 1/6 vµ n = 1/10 ®· ®­îc thÊy. Th«ng th­êng, sö dông n = 1/7. LÊy trung b×nh ph­¬ng tr×nh (6.4.25) theo ®é s©u dÉn ®Õn:   h z z h h z k u dz z z k u h u 0 )]ln(1[)ln( 1 0 0* 0 * . (6.4.29) ¸p dông ph­¬ng tr×nh (6.4.29) cho ph­¬ng tr×nh (6.4.25), còng cã thÓ biÓu thÞ ph©n bè vËn tèc nh­: )ln( )/ln(1/ 000 z z zhhz u u   . (6.4.30) Bá qua tham sè z0/h trong ph­¬ng tr×nh (6.4.30), vËn tèc dßng ch¶y trung b×nh ®é s©u xuÊt hiÖn ë z = h/e = 0,37 h, trong ®ã e lµ c¬ sè l«garit tù nhiªn (e = 2,72). X¸c ®Þnh vËn tèc tr­ît t¹i ®¸y 82 Ph­¬ng tr×nh (6.4.25) còng cã thÓ øng dông ®Ó x¸c ®Þnh vËn tèc tr­ît t¹i ®¸y khi s½n cã nh÷ng vËn tèc ®o ®¹c. Víi môc ®Ých ®ã ph­¬ng tr×nh (6.4.25) ®­îc viÕt nh­ sau: )ln()ln( 0 ** z h k u h z k u u  (6.4.31) hoÆc )log( , )log( , ** 0 3232 z h k u h z k u u  (6.4.32) trong ®ã: h = ®é s©u n­íc. H×nh 6.13. Ph©n bè vËn tèc trªn tû lÖ b¸n l«garit Ph­¬ng tr×nh (6.4.32) dÉn ®Õn mét ®­êng th¼ng trªn tû lÖ b¸n l«garit, nh­ trong h×nh 6.13. Mét ®­êng th¼ng khíp víi nh÷ng vËn tèc ®o ®¹c gÇn ®¸y. Nh÷ng vËn tèc ®o ®¹c ngoµi líp gÇn ®¸y kh«ng thÓ sö dông, v× c¬ b¶n ph­¬ng tr×nh 6.4.32) chØ hîp lÖ ®èi 83 víi khu vùc gÇn ®¸y (ks < z < 0,2 h). VËn tèc tr­ît t¹i ®¸y (u*) vµ tham sè nh¸m (z0) cã thÓ x¸c ®Þnh nh­ sau (xem h×nh 6.13): z/h = 1 -> log(z /h) = 0 vµ u = 0,49 m/s z/h = 0,1 -> log(z /h) = -1 vµ u = 0,24 m/s dÉn ®Õn: )log( , , * 0 32 490 z h k u  )log( ,, , ** 0 3232 240 z h k u k u  . Trõ ®i cho ta: k u*,, 32 250  hoÆc sm k u /, , , * 04350 32 250  (víi k = 0,4). Tham sè h/z0 dÉn xuÊt tõ 961 32 490 0 , , , )log( *  u k z h , cho ta h/z0 = 91 vµ z0 = 0,0022m ®èi víi h = 0,2 m. 6.4.7. Ph©n bè vËn tèc theo h­íng ngang (dßng thø cÊp) Do sù cã mÆt cña bê ë c¶ hai phÝa cña lßng dÉn, vËn tèc ph©n bè kh«ng ®Òu theo h­íng ngang. H×nh 6.14. Ph©n bè vËn tèc theo h­íng ngang H×nh 6.14 cho thÊy nh÷ng ph©n bè vËn tèc theo h­íng ngang trong mét lßng dÉn 84 ch÷ nhËt. VËn tèc lín nhÊt ®o ®­îc th­êng xuÊt hiÖn ë d­íi mÆt tù do. Khi lßng dÉn réng (b >> h), vËn tèc lín nhÊt cã thÓ thÊy ®­îc ë mÆt tù do. VËn tèc lín nhÊt lín h¬n kho¶ng 10% ®Õn 30 % vËn tèc trung b×nh mÆt c¾t ngang ( u = Q/A), phô thuéc vµo ®é nh¸m ®¸y vµ bê bao, vµ h×nh d¹ng cña mÆt c¾t ngang. Nh­ ®­îc thÊy b»ng c¸c ®o ®¹c cÈn thËn trong phßng thÝ nghiÖm, dßng ch¶y trong lßng dÉn l¨ng trô th¼ng lµ ba chiÒu víi chuyÓn ®éng xo¾n nhá theo h­íng ngang (xem h×nh 6.14). 6.5. C¸c c«ng thøc søc c¶n dßng ch¶y 6.5.1. C«ng thøc Chezy øng suÊt tr­ît t¹i ®¸y ®èi víi dßng ®Òu qua mét mÆt c¾t ngang tuú ý do ph­¬ng tr×nh (6.2.3) ®­a ra nh­ sau: b = gRie . (6.5.1) Ph­¬ng tr×nh (6.5.1) t­¬ng ®­¬ng víi (b = u 2 *): u2* = gRie. (6.5.2) Dùa vµo d÷ liÖu thùc nghiÖm ®èi víi dßng ch¶y rèi, Chezy (1718 - 1783) ®Ò xuÊt c«ng thøc sau: Q = CA(Rie ) 0,5 hoÆc u = C(Rie )0,5 (6.5.3) trong ®ã : Q = l­u l­îng (m3/s) A = diÖn tÝch mÆt c¾t ngang (m2) u = vËn tèc trung b×nh mÆt c¾t ngang (m/s) C = hÖ sè Chezy (m0,5/s) R = b¸n kÝnh thñy lùc (m) ie = ®é dèc n¨ng l­îng (-). Thay ph­¬ng tr×nh (6.5.2) vµo ph­¬ng tr×nh (6.5.3) dÉn ®Õn: 50, * g C u u  hoÆc 2 2 C u gb   . (6.5.4) HÖ sè Chezy (C) liªn quan víi hÖ sè §acxi Weisbach (f), nãi chung ®­îc sö dông ë Hoa Kú: f g C 82  . (6.5.5) 6.5.2. HÖ sè Chezy 85 Ph­¬ng tr×nh (6.5.4) chØ ra r»ng cã thÓ x¸c ®Þnh hÖ sè Chezy b»ng viÖc lÊy trung b×nh ph©n bè vËn tèc trong mÆt c¾t ngang. ¸p dông ph­¬ng tr×nh (6.4.25) cho mét lßng dÉn h×nh ch÷ nhËt cã bÒ réng v« h¹n dÉn ®Õn (k = 0,4):   h z h z z dz z z kh u dzu h u 00 )ln( 1 0 * dÉn ®Õn: ) /, log(,) /, ln(, ** , * uk h uk h g C u u ss  33 12 755 33 12 52 50     . (6.5.6) Ph­¬ng tr×nh (6.5.6) còng cã thÓ ¸p dông cho mét lßng dÉn víi mÆt c¾t ngang tuú ý nhê sö dông b¸n kÝnh thñy lùc, nh­ sau: ) /, log(, * , * uk R g C u u s 33 12 755 50   . (6.5.7) Nh÷ng ph­¬ng tr×nh (6.5.6) vµ (6.5.7) cßn ®­îc gäi lµ c«ng thøc White - Colebrook. C«ng thøc White-Colebrook (còng ®­îc biÕt nh­ hÖ sè Chezy) còng cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau: ) /, log( *uk R C s 33 12 18   . (6.5.8) VÒ c¬ b¶n, ph­¬ng tr×nh (6.5.8) hîp lÖ ®èi víi ph¹m vi 7,5  R/ks  250 (ph¹m vi thÝ nghiÖm cña Nikuradse). Ph­¬ng tr×nh (6.5.8) ®­îc ®­a vµo h×nh 6.15. HÖ sè Chezy t¨ng khi gi¸ trÞ ks gi¶m. HÖ sè ma s¸t §acxi Weisbach t¨ng khi gi¸ trÞ ks t¨ng, nh­ vËy l«gic h¬n. §èi víi dßng ch¶y tr¬n vÒ thuû lùc (u*ks/  5), cho thÊy: ) Re, log() , log() /, log( * * C Ru u R C 411 18 643 18 33 12 18   (6.5.9) trong ®ã : Re =  Ru = sè Reynold . øng dông ph­¬ng tr×nh (6.5.9) yªu cÇu mét thñ tôc tÝnh to¸n lÆp. §èi víi dßng ch¶y nh¸m vÒ thuû lùc (u*ks/  70), cho thÊy: ) 12 log(18 sk R C  . (6.5.10) øng dông ph­¬ng tr×nh (6.5.8) vµ (6.5.10) yªu cÇu th«ng tin ®é nh¸m c¸t Nikuradse (ks) t­¬ng ®­¬ng. Gi¸ trÞ ks cho nhiÒu lo¹i phÇn tö nh¸m ®­îc x¸c ®Þnh b»ng thÝ nghiÖm trong m¸ng (U, H ®o ®¹c, C vµ ks cã thÓ tÝnh to¸n). VÝ dô, mét ®¸y gåm c¸c d¶i thÐp víi chiÒu cao k ®­îc ®Æt ë kho¶ng c¸ch t­¬ng ®èi lµ 10 k, cã ®é nh¸m Nikuhadse t­¬ng ®­¬ng lµ ks = 10 k (xem Schlichting, 1968). 86 Nh÷ng gi¸ trÞ ks cho ta nh­ sau: ®¸y c¸t ph¼ng ks = 3d90 ®ôn c¸t ks = 1/2 chiÒu cao ®ôn c¸t ®¸y cuéi sái ph¼ng ks = d90 ®¸y bª t«ng ks = 0,001 – 0,01 m. Ph­¬ng tr×nh (6.5.10) cã thÓ xÊp xØ b»ng c«ng thøc Strickler: 6/1)(25 sk R C  (6.5.11) dÉn ®Õn sù phï hîp hîp lý trong ph¹m vi C = 40 ®Õn 70 m0,5/s. 6.5.3. C«ng thøc Manning Mét c«ng thøc kh¸c kh¸ næi tiÕng trong tµi liÖu Anglosaxan lµ c«ng thøc Manning (u b»ng m/s, R b»ng m): i n R Ri n R u 3/26/1  . (6.5.12) H×nh 6.15. HÖ sè Chezy C = F(R/ks, R/), Re = u R/,  = 11,6/u* (Jansen vµ nnk. , 1979) 87 ¸p dông feet thay cho mÐt, c«ng thøc lµ ( u b»ng ft/s, R b»ng ft): i n R u 32 491 / , (6.5.13) trong ®ã: n = hÖ sè Manning (xem Ven Te Chow, 1959) i = ®é dèc n¨ng l­îng. 6.5.4. MÆt c¾t ngang phøc t¹p Trong tr­êng hîp mÆt c¾t ngang phøc t¹p víi nh÷ng gi¸ trÞ ks kh¸c nhau, nh­ trong c¸c h×nh 6.16 A vµ B, søc c¶n dßng ch¶y cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng viÖc gi¶ thiÕt r»ng c«ng thøc Chezy hîp lÖ trong tõng phÇn cña mÆt c¾t ngang vµ r»ng gradient mÆt n­íc b»ng nhau trong mçi phÇn. Nh÷ng øng suÊt tr­ît trong mÆt ph¼ng gi÷a c¸c phÇn cña mÆt c¾t ngang ®­îc gi¶ thiÕt b»ng kh«ng. H×nh 6.16A,B MÆt c¾t ngang phøc t¹p Ph­¬ng ph¸p 1 H×nh 6.16A cho thÊy râ hai phÇn riªng biÖt A1 vµ A2. Gradient mÆt n­íc ie kh«ng ®æi ®èi víi mçi phÇn: 2 2 2 22 2 2 2 11 2 1 CR u CR u CR u ie  . (6.5.14) Ph­¬ng tr×nh liªn tôc dÉn ®Õn: 88 Q = Q1 + Q2 = 2211 AuAuAu  . (6.5.15) Thay ph­¬ng tr×nh (6.5.14) vµo ph­¬ng tr×nh (6.5.15) cho ta: 50 2 2 22 2 50 2 2 11 1 ,, )()( RC CR Au RC CR AuAu  22 2 22 2 2 2 11 2 1 CA CRACRA R   . (6.5.16) Gi¸ trÞ C toµn bé cã thÓ tÝnh to¸n nh­ sau: b CbCb C 2211   . (6.5.17) Nh÷ng tham sè kh¸c: A1 = b1h1, A2 = b2h2, R1= A1/1, R2 = A2/2, 1 = b1 + h1, 2 = b2 + h2, vµ C1 = 18log(12R1/ks1), C2 = 1