Đồ họa thiết kế - Xử lý ảnh - Chương III: Các phép biến đổi đồ họa hai chiều

và quang cảnh phía trên được gọi là “mặt phẳng” . Các bản vẽ trong kỹ thuật thường dùng các phép chiếu 74 trực giao này, vì các chiều dài và góc miêu tả chính xác và có thể đo được từ bản vẽ. Chúng ta cũng có thể xây dựng các phép chiếu trực giao để có thể quan sát nhiều hơn một mặt của một đối tượng. Các quang cảnh như thế được gọi là các phép chiếu trực giao trục lượng học. Hầu hết phép chiếu trục lượng học được dùng là phép chiếu cùng kìch thước. Một phép chiếu cùng kìch thước được thực hiện bằng việc sắp xếp song song mặt phẳng chiếu mà nó cắt mỗi trục tọa độ ở nơi đối tượng được định nghĩa (được gọi là các trục chính) ở các khoảng cách như nhau từ ảnh gốc. Hình trình bày phép chiếu cùng kích thước. Có tám vị trí, một trong tám mặt, đều có kìch thước bằng nhau. Tất cả ba trục chình được vẽ thu gọn bằng nhau trong phép chiếu cùng kìch thước để kìch thước liên hệ của các đối tượng được bảo tồn. Đây không là trường hợp phép chiếu trực giao trục lượng học tổng quát, khi mà các hệ số tỷ lệ theo ba trục chính có thể khác nhau. 75 Hình 6.3 Ba phép chiếu trực giao của một đối tƣợng. Các phương trính biến đổi để thực hiện một phép chiếu song song trực giao thì dễ hiểu. Đối với điểm bất kỳ (x, y, z), điểm chiếu (xp, yp, xp) trên bề mặt chiếu được tình như sau: xp = x, yp = y, zp = 0 (6-1) Một phép chiếu xiên đạt được bằng việc chiếu các điểm theo các đường thẳng song song, các đường thẳng này không vuông góc với mặt phẳng chiếu. Hình 6.3 trình bày hình chiếu xiên của điểm (x, y, z) theo một đường thẳng chiếu đến vị trí (xp, yp). Các tọa độ chiếu trực giao trên mặt phẳng chiếu là (x, y). Đường thẳng của phép chiếu xiên tạo một góc α với đường thẳng trên mặt phẳng chiếu (đây là đường nối điểm (xp, yp) với điểm (x, 76 y)). Đường này, có chiều dài L, hợp một góc φ với phương ngang trên mặt phẳng chiếu. Chúng ta có thể diễn tả các tọa độ chiếu qua các số hạng x, y, L, và φ: xp = x + L cosφ (6-2) yp = y + L sinφ 6.1.2 Phép chiếu phối cảnh Để đạt được phép chiếu phối cảnh của đối tượng ba chiều, chúng ta chiếu các điểm theo đường thẳng chiếu để các đường này gặp nhau ở tâm chiếu. Trong dưới đây, tãm chiếu trên trục z và có giá trị âm, cách một khoảng d phía sau mặt phẳng chiếu. Bất kỳ điểm nào cũng có thể được chọn làm tâm của phép chiếu, tuy nhiên việc chọn một điểm dọc theo trục z sẽ làm đơn giản việc tính toán trong các phương trình biến đổi. Hình 6.4 Phép chiếu phối cảnh của điểm P ở tọa độ (x, y, z) thành điểm P’(x’, y’, 0) trên mặt phẳng chiếu. 77 Chúng ta có thể đạt được các phương trính biến đổi cho phép chiếu phối cảnh từ các phương trính tham số mô tả các đường chiếu từ điểm P đến tâm chiếu. Các tham số xây dựng các đường chiếu này là: x’ = x - xu y’ = y - yu (6-5) z’ = z - (z + d)u Tham số u lấy giá trị từ 0 đến 1, và các tọa độ (x’, y’, z’) thể hiện cho bất kỳ điểm nào dọc theo đường thẳng chiếu. Khi u = 0, điểm P ở tọa độ (x, y, z). Ở đầu mút kia của đường thẳng u =1, và chúng ta có các tọa độ của tâm chiếu, (0, 0, d). Để thu được các tọa độ trên mặt phẳng chiếu, chúng ta đặt z’ = 0 và tìm ra tham số u 6.2 Điểm tụ Khi các đối tượng ba chiều đựợc chiếu lên một mặt phẳng dùng các phương trính biến đổi phối cảnh, bất kỳ tập hợp các đường thẳng song song nào của đối tượng mà không song song với mặt phẳng chiếu được chiếu thành các đường hội tụ (đồng quy). Các đường thẳng song song với mặt phẳng khi chiếu sẽ tạo ra các đường song song. Điểm mà tại đó tập hợp các đường thẳng song song được chiếu xuất hiện hội tụ về đó được gọi là điểm tụ. Mỗi tập hợp các đường thẳng song song được chiếu như thế sẽ có một điểm tụ riêng . 78 Hình 6.5 Các quang cảnh phối cảnh của một hình lập phƣơng. Điểm tụ cho bất kỳ tập các đường thẳng, tức các đường song song với một trong các trục tọa độ thực được nói đến như một điểm tụ chính. Chúng ta quản lý số lượng các điểm tụ chính (một, hai, hoặc ba) với hướng của mặt phẳng chiếu, và các phép chiếu phối cảnh được phân loại dựa vào đó để có các phép chiếu: một-điểm, hai-điểm, hoặc ba-điểm. Số lượng các điểm tụ chính trong một phép chiếu được xác định bởi số lượng các trục của hệ tọa độ thực cắt mặt phẳng chiếu. Hình trên minh họa hình ảnh của các phép chiếu phối cảnh một-điểm và hai-điểm của hình lập phương. 79 Trong hình 6.5(b), mặt phẳng chiếu có phương song song với mặt xy để chỉ có trục z bị cắt. Phương này tạo ra phép chiếu phối cảnh một-điểm với một điểm tụ trên trục z. Với quang cảnh trong hình 6.5(c), mặt phẳng chiếu cắt cả hai trục x và z nhưng không cắt trục y. Kết quả, phép chiếu phối cảnh hai-điểm này chứa cả hai điểm tụ: trên trục x và trên trục z. 6.3. Loại bỏ mặt khuất Một vấn đề cần được quan tãm đến trong việc tạo ra các hình ảnh thực là sự xác định và xóa bỏ các phần của đối tượng hình học mà ta không nhìn thấy được từ một vị trí quan sát. Có nhiều tiếp cận chúng ta cần để giải quyết vấn đề này, và cũng có nhiều thuật toán khác nhau đã và đang được phát triển để xóa bỏ các phần bị che khuất một cách hiệu quả cho những loại ứng dụng khác nhau. Có phương pháp tốn bộ nhớ, một số khác cần nhiều thời gian xử lý hay chỉ áp dụng được cho những kiểu đối tượng đặc biệt. Các thuật toán về đường khuất và mặt khuất dựa vào xử lý trực tiếp định nghĩa đối tượng hay xử lý hình chiếu của các đối tượng đó. Hai tiếp cận này được gọi là các phương pháp không gian đối tượng và các phương pháp không gian ảnh. Phương pháp không gian đối tượng xác định các thành phần của đối tượng được nhìn thấy bằng cách sử dụng các quan hệ hình học và không gian. Nó thực hiện với độ chính xác từ dữ liệu mô tả đối tượng. Trong thuật toán không gian ảnh, tính chất nhìn thấy được của một điểm được quyết định bởi điểm ở vị trí pixel trên mặt phẳng chiếu. Hầu hết các thuật toán khử mặt khuất dùng phương pháp không gian ảnh, tuy nhiên các phương pháp không gian đối tượng vẫn có thể được dùngmột cách hiệu quả cho một số trường hợp. 80 Các thuật toán khử đường khuất hầu hết dùng phương pháp không gian đối tượng, dù rằng nhiều thuật toán khử mặt khuất không gian ảnh có thể dễ dàng được chỉnh sửa cho việc khử đường khuất. 6.3.1 Phương pháp mặt sau Một phương pháp không gian đối tượng đơn giản là phương pháp mặt sau, dựa vào các phương trình mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 Bất kỳ điểm (x’, y’, z’) trên hệ tọa độ bân tay trái sẽ ở “phìa trong” mặt này nếu nó thỏa bất phương trình: Ax’ + By’ + Cz’ + D < 0 Nếu điểm (x’, y’, z’) là vị trì quan sát, khi đó bất kỳ mặt phẳng nào làm cho bất phương trình đúng phải là một mặt ở đằng sau. Tức là, nó là mặt ta không thể nhìn thấy từ vị trí quan sát. Hình 6.6 Một mặt phẳng với tham số C < 0 Chúng ta có thể thực hiện một cách kiểm tra mặt đằng sau đơn giản hơn bằng cách nhìn ở vector pháp tuyến của mặt có phương trính 7-1, vector này có tọa độ Descartes (A, B, C). Trong hệ tọa độ bân tay phải với hướng quan sát cùng chiều với trục z 81 âm (xem hình 6.6), vector có tham số C song song với hướng quan sát. Nếu C<0, vector chỉ ra xa khỏi vị trí quan sát, và mặt phải là mặt ở đằng sau. Các tham số A, B, C, và D có thể được tính từ tọa độ các đỉnh được xét theo chiều kim đồng hồ (thay vì hướng ngược chiều kim đồng hồ được dùngtrong hệ tọa độ bân tay phải). Bất phương trình 6-10 sau đó cho một kiểm tra hợp lệ đối với các điểm nằm phìa trong. Cũng như vậy, các mặt ở đằng sau có các vector chỉ ra xa khỏi vị trí quan sát và được xác định bởi C>0 khi hướng quan sát cùng hướng với trục z dương. Trong tất cả các thảo luận sau này trong chương, chúng ta giả sử rằng hệ quan sát bân tay trái được dùng. Hình 6.7 Trong hệ quan sát bân tay trái, khi hƣớng quan sát cùng chiều với trục zv dƣơng, một mặt ở đằng sau là mặt với tham số C>0. Bằng việc kiểm tra tham số C ở mỗi mặt của đối tượng, ta có thể xác định được ngay tất cả các mặt ở đằng sau. Đối với một khối đa diện lồi đơn lẻ, như hính kim tự tháp trong hình 6.10, việc kiểm tra này xác định tất cả các mặt bị che khuất trên đối tượng, bởi vì mỗi mặt thí là hoàn toàn được nhìn thấy hoặc hoàn toàn bị che khuất. Đối với các đối tượng khác, các kiểm tra phức tạp hơn cần được thực hiện để xác định xem các mặt là bị che khuất hoàn toàn hay chỉ bị che khuất một phần. 82 Hình 6.8 Ảnh một đối tƣợng với một mặt bị che khuất một phần Tương tự, chúng ta cần xác định xem các đối tượng là có một phần hay toàn bộ bị che khuất bởi các đối tượng khác. Một cách tổng quát, việc khử mặt khuất sẽ loại bỏ khoảng một nửa số mặt trong một ảnh khi thực hiện các phép kiểm tra. 83 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 1 Chƣơng 1. Tổng quan về đồ họa máy tính ........................... 2 1.1. Giới thiệu tổng quan ........................................................... 2 1.1.1. Lịch sử phát triển của đồ họa máy tình ........................... 2 1.2. Các ứng dụng tiêu biểu của kỹ thuật đồ họa máy tình ....... 4 1.2.1. Ứng dụng CAD/CAM ..................................................... 4 1.2.2. Ứng dụng biểu diễn thông tin .......................................... 6 1.2.3. Ứng dụng hoạt hính và nghệ thuật .................................. 7 1.2.4. Ứng dụng đào tạo ............................................................ 8 1.2.5. Ứng dụng xây dựng giao diện người dùng ..................... 9 1.2.6. Ứng dụng xây dựng bản đồ ........................................... 10 1.2.7. Ứng dụng trong y tế ...................................................... 11 1.3. Tổng quan về một hệ tọa độ ............................................. 12 1.3.1. Phần cứng đồ họa .......................................................... 13 1.3.2. Phần mềm đồ họa .......................................................... 14 1.3.3. Hệ tọa độ thực, hệ tọa độ thiết bị và hệ tọa độ chuẩn ... 15 1.3.4. Hệ màu .......................................................................... 17 Chƣơng 2. Các thuật toán cơ sở ........................................... 20 2.1. Giới thiệu ......................................................................... 20 2.1.1. Các đối tượng đồ họa cơ sở ........................................... 20 2.1.2. Các thuộc tình của các đối tượng đồ họa cơ sở ............. 21 2.2. Các thuật toán vẽ đường thẳng ......................................... 22 2.2.1. Thuật toán vẽ đường thẳng ........................................... 22 2.2.2. Thuật toán DDA ............................................................ 22 2.2.3. Thuật toán Bresenham ................................................... 25 84 2.2.4. Thuật toán MidPoint ...................................................... 29 2.3. Thuật toán vẽ đường tròn, elip ......................................... 33 2.3.1. Thuật toán MidPoint ...................................................... 35 2.3.2. Thuật toán Bresenham ................................................... 38 2.3.3. Thuật toán vẽ Elip ......................................................... 41 Chƣơng 3. Biến đổi trong không gian hai chiều ................. 42 3.1. Các phép biến đổi cơ bản ................................................. 42 3.1.1. Phép tịnh tiến ................................................................. 42 3.1.2. Phép biến đổi tỷ lệ ......................................................... 43 3.1.3 Phép đối xứng ................................................................. 43 3.1.4 Phép quay ....................................................................... 44 3.2. Kết hợp các phép biến đổi ................................................ 45 3.2.1. Kết hợp các phép tịnh tiến ............................................. 45 3.2.2. Kết hợp các phép biến đổi tỷ lệ ..................................... 45 3.2.3. Kết hợp các phép quay .................................................. 46 3.2.4. Một số phép biến đổi khác ............................................ 46 3.3. Phép biến đổi giữa các hệ tọa độ ...................................... 47 Chƣơng 4. Phép quan sát hai chiều ..................................... 48 4.1. Cửa sổ và vùng quan sát ................................................... 48 4.2. Phép biến đổi cửa sổ - Vùng quan sát .............................. 50 4.3. Phép cắt xén hai chiều (Clipping) .................................... 50 4.3.1. Giải thuật Cohen – Suntherland .................................... 53 4.3.2. Giải thuật chia tại trung điểm ........................................ 56 4.3.3. Giải thuật Liang – Basky ............................................... 57 Chƣơng 5. Đồ họa ba chiều .................................................. 60 5.1. Tổng quan về đồ họa ba chiều .......................................... 60 5.1.1. Quy trính hiển thị đồ họa ba chiều ................................ 60 5.1.2. Mô hính hóa đối tượng .................................................. 61 85 5.2. Biểu diễn đối tượng ba chiều ........................................... 62 5.2.1. Biểu diễn mặt đa giác .................................................... 62 5.2.2. Đường cong và mặt cong, đường cong và mặt cong Bezier, B-spline ....................................................................... 63 5.3. Các phép biến đổi hính học ba chiều ............................... 64 5.3.1. Phép biến đổi tỷ lệ ......................................................... 65 5.3.2. Phép biến dạng .............................................................. 66 5.3.3. Phép tịnh tiến ................................................................. 68 5.3.4. Phép quay hình .............................................................. 68 Chƣơng 6. Quan sát trong không gian ba chiều ................. 71 6.1. Các phép chiếu ................................................................. 71 6.1.1. Phép chiếu song song .................................................... 73 6.1.2. Phép chiếu phối cảnh ..................................................... 76 6.2. Điểm tụ ............................................................................. 77 6.3. Loại bỏ mặt khuất ............................................................. 79 6.3.1. Phương pháp mặt sau .................................................... 80 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Văn Đức Kỹ thuật đồ họa máy tình, Viện Công nghệ thông tin, 2002 [2] Phan Hữu Phúc Cơ sở đồ họa máy vi tình, NXB Giáo dục, 2000 T 87