Đồ họa thiết kế - Đường cong trong không gian 3D curve

CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn 1 Khoa CNTT DHBK Hanoi1 Đường cong trong không gian 3D CURVE Khoa CNTT DHBK Hanoi2 Đường cong - Curve z Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong không gian z Điểm biểu diễn Đường cong -curve represents points: – là phương pháp được sử dụng trong khoa học vật lý và kỹ nghệ nói chung. – Các điểm dữ liệu được đo chính xác trên các thực thể sẽ chính đối tượng cơ sở. Đường cong đi qua các điểm dữ liệu hiển thị hỗ trợ cho việc nhận ra xu hướng và ý nghĩa cả các điểm dữ liệu. – Các kỹ thuật phức tạp “vd bình phương sai số” được dùng đưa đường cong hợp với 1 dạng toán học cơ bản. z Biểu diễn Điểm và kiểm soát đường cong -Points represent-and control-the curve. – đường cong là các đối tượng cơ bản thường là kết quả của tiến trình thiết kế và các điểm đóng vai trò là công cụ để kiểm soát và và mô hình hoá đường cong. – Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric Design (CAGD). Khoa CNTT DHBK Hanoi3 Phân loại z Trên cơ sở ràng buộc giữa điểm và đường trong cả ứng dụng khoa học và thiết kế ta co thể phân làm 2 loại: z Nội suy-Interpolation - đường cong đi qua các điểm, trong ứng dụng khoa học các yêu cầu về ràng buộc sử dụng đa thức hay các hàm bậc cao tuy nhiên kết quả thường có những hiệu ứng phụ như sai số phóng đại hay độ nhấp nhô của đường cong do đa thức bậc cao tạo nên. z Trong thiết kế nôi suy là cần thiết với các đối tượng nhưng không phù hợp với các đối tượng có hình dáng bất kỳ "free form“. z Xấp xỉ-Approximation - đường cong không cần đi qua các điểm,với các ứng dụng khoa học ta gọi là trung bình dữ liệu- data averaging hay trong thiết kế điểu khiển đường cong. Khoa CNTT DHBK Hanoi4 Polynomial Parametric Curves z What degree should we use to represent a curve? – We choose the third degree: z Cubic polynomials – Higher degrees: z Require more computation z Have extra “wiggles” z Provide more flexibility than is required. z Are often used to model cars and aeroplanes Khoa CNTT DHBK Hanoi5 Tính chất cả đường cong bậc 3 z Tham biến – parametric sử dụng tham biến ngoài để biểu diễn cho các tham biến trong z Độ mượt - smooth. Với đường cong Hermite and Bézier tính liên tục continuity của đường cong hay đạo hàm bậc 1-first derivative tại các điểm kiểm soát-control point. Với B-splines tính liên tục trên đạo hàm bậc 2 second derivative hay độ cong được đảm bảo curvature. z Độ biến đổi -"variation diminishing." đường cong ít bị khuếch đại sai số bởi các điểm kiểm soát hay tính nhấp nhô của đường cong hạn chế -oscillate. z Ví dụ Bézier curve, for instance, lies within the convex hull (polygon envelope) of the set of control points. z Điêm kiểm soát cục bộ-local control. đường cong bị ảnh hưởng mạnh nhất với chính các điểm kiểm soát gần chúng nhất. Khoa CNTT DHBK Hanoi6 Đường cong đa thức bậc ba z Phải đảm bảo là đường cong không gian với 3 trục toạ độ x, y, z z tránh được những tính toán phức tạp và những phần nhấp nhô ngoài ý muốn xuất hiện ở những đường đa thức bậc cao z Why cubic? – lower-degree polynomials give too little flexibility in controlling the shape of the curve – higher-degree polynomials can introduce unwanted wiggles and require more computation – lowest degree that allows specification of endpoints and their derivatives – lowest degree that is not planar in 3D CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn 2 Khoa CNTT DHBK Hanoi7 z Kinds of continuity: – G0: two curve segments join together – G1: directions of tangents are equal at the joint – C1: directions and magnitudes of tangents are equal at the joint – Cn: directions and magnitudes of n-th derivative are equal at the joint Khoa CNTT DHBK Hanoi8 P0 P1 p2 p3 P0 P'0 P1 P'1 Đường cong bậc 3 z Theo Lagrange: z x = a1 + b1u + c1u2 + d1u3 z y = a2 + b2u + c2u2 + d2u3 z z = a3 + b3u + c3u2 + d3u3 z 3 phương trinh với 12 ẩn số z Với 3 điểm P0, P1, P2, P3 phương trình xác định Khoa CNTT DHBK Hanoi9 Đường cong Hermite z Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn Ferguson hay Coons năm 60 z đường bậc ba sẽ xác định bởi hai điểm đầu và cuối cùng với hai góc nghiêng tại hai điểm đó z p = p(u) = k0 + k1u + k2u2 + k3u3 z p(u) = ∑kiui i∈n z p’ = p(u) = k1 + 2k2u + 3k3u2 z p0 và p1 ta có hai độ dốc p0’ và p1’ với u = 0 và u = 1 tại hai điểm đầu cuối của đoạn [0,1]. z k1 + 2k2 + 3k3 = p1’ z k0 = p0 k1 = p1’ z k2 = 3(p1 – p0) - 2p0’ – p1’ z k3 = 2(p0-p1) + p0’ + p1’ Khoa CNTT DHBK Hanoi10 z Thay vào: z p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2+u3) + p1’(-u2+u3) p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− 1 0 1 0 1122 1233 0100 0001 ' ' . p p p p Khoa CNTT DHBK Hanoi11 Khoa CNTT DHBK Hanoi12 Đường cong Bezier z Sử dụng điểm và các vector kiểm soát được độ dốc của đường cong tại nhưng điểm mà nó đi qua.(Hermit) z không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, không tiếp cận vào các độ dốc của đường cong bằng các giá trị số (Hermite). z Paul Bezier, RENAULT, 1970 đường và bề mặt UNISURF CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn 3 Khoa CNTT DHBK Hanoi13 z po, p3 tương đương với p0, p1 trên đường Hermite. diểm trung gian p1, p2 được xác định bằng 1/3 theo độ dài của vector tiếp tuyến tại điểm po và p3 z p0’ = 3(p1 – p0) z p3’ = 3(p3 – p2) z p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u- 2u2+u3) + p1’(-u2 + u3) z p = p(u) = p0(1 - 3u + 3u2 - u3) + p1(3u-6u2+3u3) + p2(3u2 - 3u3) + p3u3 Khoa CNTT DHBK Hanoi14 p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − − 3 2 1 0 1331 0363 0033 0001 p p p p Khoa CNTT DHBK Hanoi15 Ưu điểm z dễ dàng kiểm soát hi`nh dạng của đường cong hơn vector tiếp tuyến tại p0’ và p1’ của Hermite. z Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung gian tuỳ ý( số bậc tuỳ ý) z đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm soát, tiếp xúc với cặp hai vector của đầu cuối đó Khoa CNTT DHBK Hanoi16 De Casteljau algorithm Khoa CNTT DHBK Hanoi17 Biểu thức Bezier-Bernstain z Tổng quát hoá với n +1 điểm kiểm soát z p0 ... pn : vector vị trí của đa giác n+1 đỉnh ))(()( )()( 1 0 1, 0 , ii n i ni i n i ni PpuBnup puBup −=′ = + = − = ∑ ∑ ini ni uuinCuB −−= )1(),()(, )!in(!i !n )i,n(C −= Khoa CNTT DHBK Hanoi18 Tính chất z P0 và Pn nằm trên đường cong. z Đường cong liên tục và có đạo hàm liên tục tất cả các bậc z Tiếp tuyến của đường cong tại điểm P0 là đường P0P1 và tại Pn là đường Pn-1Pn . z Đường cong nằm trong đường bao lồi convex hull của các điểm kiểm soát. z This is because each successive Pi(j) is a convex combination of the points Pi(j-1) and Pi-1(j-1) . z P1 ,P2 , ,Pn-1 nằm trên đường cong khi và chỉ khi đường cong là đoạn thẳng. CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn 4 Khoa CNTT DHBK Hanoi19 Review: Bézier Curve Prop’s [1/6] z We looked at some properties of Bézier curves. z Generally “Good” Properties – Endpoint Interpolation – Smooth Joining – Affine Invariance – Convex-Hull Property z Generally “Bad” Properties – Not Interpolating – No Local Control Khoa CNTT DHBK Hanoi20 Đường bậc ba Spline z Spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là đường bậc ba độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi điểm kiểm soát hay điểm nút z Với n điểm:n-1 đoạn với mỗi đoạn 4 vector hệ số 4(n-1) cho n-1 đoạn, và 2(n-1) điều kiện biên và n- 2 điều kiện về độ dốc cùng n-2 về độ cong z Spline dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm thông qua các đoạn cong tham biến bậc ba với các điều kiện liên tục tại các điểm đầu nút Khoa CNTT DHBK Hanoi21 Đường cong bậc ba Spline z u0 = 0 với : (u0 ... un-1) uj+1 > uj z ui+1 = ui + di+1 z C0 để không có sự gián đoạn giữa hai đoạn cong. z C1 tính liên tục bậc nhất hay đạo hàm bậc nhất tại điểm nối. z C2 đạo hàm bậc hai liên tục của đường cong tại điểm nối Khoa CNTT DHBK Hanoi22 z tính liên tục của đạo hàm bậc hai tại các điểm nối có thể dễ dàng đạt được bằng cách đặt P’’i-1(ui-1=1) là đạo hàm bậc hai tại điểm cuối của đoạn (i-1) bằng với P’’i(ui=0) đạo hàm bậc hai tại điểm đầu của đoạn thứ i. z P’’i-1(1)= P’’i(0) y Pn-1’ Pn-1 Po’ P1 x z Po p = [ 1 u u2 u3 ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− 1 0 1 0 1122 1233 0100 0001 ' ' . p p p p Khoa CNTT DHBK Hanoi23 Đường cong B-spline z Đường cong B-spline là đường cong được sinh ra từ đa giác kiểm soát mà bậc của nó không phụ thuộc vào số đỉnh của đa giác kiểm soát. Khoa CNTT DHBK Hanoi24 B-Splines: The Idea [1/2] z The repeated-lirping idea that produced the Bézier curves has the drawbacks that is produces polynomials with high degree that are nonzero almost everywhere. – Using functions defined in pieces, we can fix these two. z Start: An order-1 B-Spline has blending functions that are always either 1 or 0. When a function is 1, all the rest are zero. – So an order-1 B-spline is just a sequence of points. – Any number of control points may be used. z Now we make higher-order B-splines using a repeated- lirping procedure. – But this time, we can use any number of control points. CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn 5 Khoa CNTT DHBK Hanoi25 B-Splines: The Idea [2/2] z We form an order-2 B-Spline by lirping between the order-1 blending functions. – As discussed, we get functions that start at 0, ramp up to 1 and back down, then stay at zero. Each function is 0 most of the time. – So each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of degree 1 (graph is a line). – So an order-2 B-spline is just the control polygon. – Again, any number of control points may be used. z We form an order-3 B-Spline by lirping between the order-2 blending functions. – Now blending functions are smooth. They start at 0, curve up to 1 then back down. Again, each function is 0 most of the time. – Again, each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of degree 2. z We continue this repeated-lirping procedure to define B-splines of higher order. – See the blue book for details and graphs. Khoa CNTT DHBK Hanoi26 Types of B-Splines Approximation Curves Used B-Spline approximations can be classified based on the spacing of the knot vector and the use of weights. 1. Uniform/Periodic B-splines : The spacing is unform and the knots (control points) are equispaced e.g. [0,1,2,3,4,5] These have satisfactory smoothness but lack local control and the starting and ending poits are ill defined as above. 2. Non-periodic: The knots are repeated at the ends m times and the interior is equispaced. e.g. [0 0 0 1 2 3 3 3 ] These can be used to force the control point to start and finish at a control point. 3. Non-uniform B-Splines : The spacing is non- uniform and or repeated knots e.g. [0 1 1 2 4 5 6 6 ] These can be used to obtain local control B-Splines Khoa CNTT DHBK Hanoi27 B-spline z Ni,k(u) đa thức B-Spline cơ bản z Với n+ 1 sô điểm kiểm soát z Pi điểm kiểm soát thứ i z k bậc của đường cong 1<k<n+2 z Ui vector nút của đường cong U=[U1,U2...Un+k+1] i n i ki PuNuP ∑ = = 0 , ).()( )( )( )()()()( 1, 21 1 1,1 1 1 , uNUU uUuN UU UuuN ki kii i ki kii ki ki − −++ + −− −+ −+ − −+− −= ⎩⎨ ⎧ ∈= + others0 ],[1 )( 11, ii i uuu uN Khoa CNTT DHBK Hanoi28 Khoa CNTT DHBK Hanoi29 Đặc điểm z B-spline không đi qua hai điểm đầu và cuối trừ khi hàm hợp được dùng là tuyến tính. z B-spline có thể được tạo qua hai điểm đầu, cuối và tiếp xúc với vector đầu và cuối của đa giác kiểm soát. Bằng cách thêm vào các nút tại vị trí của các nút cuối của vector tuy nhiên các giá trị giống nhau không nhiều hơn bậc của đường cong. z Tính chất bao lồi của đa giác kiểm soát và tính chất chuẩn được thoa mãn. z Số lượng các nút, bậc của đường cong và số điểm điều khiển luôn có các quan hệ ràng buộc: z 0 ≤ u ≤ n - k + 2 1(u)N n 0i ki, =∑ = Khoa CNTT DHBK Hanoi30 B Spline -Đều và tuần hoàn z Vecto nút là đều khi giá trị của chúng cách đều nhau một khoảng ∇ xác định. Trong các bài toán thực tế, vecto nút đều được bắt đầu từ 0 và tăng 1 cho đến giá trị lớn nhất z Ví dụ: [ 0 1 2 3 4 5 ] với ∇ xác định = 1 z [ -2 -1/2 1 5/2 4 ] với ∇ xác định = 3/2 z Với cấp là k, số điểm kiểm soát là n+1 thì vecto nút đều là z U=[0 1 2 ...n+k] khoảng tham số (k-1)≤u≤(n+1). z Khi vecto nút là đều thì ta có Ni,k(u)=Ni-1,k(u- 1)=Ni+1,k(u+1) CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn 6 Khoa CNTT DHBK Hanoi31 Khoa CNTT DHBK Hanoi32 Không tuần hoàn Open – Non Uniform z Một vector không tuần hoàn hoặc mở là vector nút có giá trị nút tại các điểm đầu cuối lặp lại với số lượng các giá trị lặp lại này bằng chính cấp k của đường cong và các giá trị nút trong mỗi điểm lặp này là bằng nhau z Nếu một trong hai điều kiện này hoặc cả hai điều kiện không được thoả mãn thì vecto nút là không đều. z Cách tính Ui Ui = 0 1=<i<=k Ui = i-k k+1<i<=n+1 Ui = n-k+2 n+1<i<=n+k+1 2 6 [0 0 1 2 3 3] 3 7 [0 0 0 1 2 2 2] 4 8 [0 0 0 0 1 1 1 1] Cấp k số lượng nút (m = n + k) Vector nút không tuần hoàn Khoa CNTT DHBK Hanoi33 B-Splines: Properties z The most used B-splines are: – Order 3 (“quadratic B-splines”). z Smooth. – Order 4 (“cubic B-splines”). z Smoother, but control is a little less local. z B-splines have the following properties. – An order-k B-spline has blending functions that are defined in pieces, using polynomials of degree k–1. z This is true for any number of control points. We can choose the number of control points and the polynomial degree separately. ☺ – B-splines are affine invariant (of course). – They have the convex-hull property. ☺ – They have local control. ☺ – A B-spline (of order 3 or more) does not interpolate any of its control points. / But we can deal with this Khoa CNTT DHBK Hanoi34 Kết luận z B-spline là một dòng của Bezier z Thực tế khi ta chọn bậc k cho tập hợp k điểm thì thi B-spline chuyển thành Bezier z Khi bậc của đa thức giảm sự ảnh hưởng cục bộ của mỗi điểm nút càng rõ ràng hơn. z Khi tồn tại anh hưởng cục bộ càng lớn và đường cong phai đi qua điểm đó. z Chúng ta có thể thay đổi hình dạng đường cong B-spline bằng cách: z Thay đổi kiểu vecto nút : đều tuần hoàn, mở, không đều z Thay đổi cấp k của đường cong z Thay đổi số đỉnh và vị trí các đỉnh đa giác kiểm soát z Sử dụng các điểm kiểm soát trùng nhau Khoa CNTT DHBK Hanoi35 Non-uniform Rational B-Splines(NURBS) The last 3 types are good for representing free form curves but also introduce unnecessary approximations in the representation of conic sections. NURBS build on non-uniform B-Splines and introduce a weight function to obtain an approximation that retains all the advantages of the non-uniform B-Splines and is also capable of exact representation of conic sections (circles, parabolas etc.).The general form is given below: The curve is described as rational since it is expressed as the ratio of two polynomials. wi defines a weight function. If wi is set to 1 we get back the non- uniform B-Spline. Other values of the wi can be used to produce curves for straight line, parabola, ellipse and hyperbola. Khoa CNTT DHBK Hanoi36 Other Splines: NURBS, etc. z There are any number of other types of splines. – Often we want a very general type of curve that will do whatever we want. z One such type of curve that has been very successful is the NURBS. – NURBS = Non-Uniform Rational B-Spline. – A NURBS is defined using rational functions. z A rational function is a polynomial divided by a polynomial. – Control points can be given weights, so some are more important than others. – NURBS curves (and surfaces) are built into GLU, but can be rather complex to use. z One important issue when defining curves and surfaces: – In advanced rendering the technique of ray tracing is often used. – In ray tracing, we determine the color of a pixel by tracing a ray of light backward from the viewer’s eye, through the pixel, and we see where the ray came from. – In order to do ray tracing efficiently, we must be able to test quickly whether a particular ray hits a particular object and, if so, where. – Types of surfaces in which this test can be done quickly will be more useful in 3-D graphics. CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn 7 Khoa CNTT DHBK Hanoi37