Định lí điểm bất động cho dạng ∂ co yếu suy rộng trong không gian kiểu-Mêtric

Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 An Giang University 27 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG  CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC Nguyễn Văn Dũng 1 , Nguyễn Chí Tâm 2 1 TS. Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 2 ThS. Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Thông tin chung: Ngày nhận bài: 25/02/14 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 29/04/14 Ngày chấp nhận đăng: 22/10/14 Title: Fixed point theorems for generalized  - weak contractions mappings in metric-type spaces Từ khóa: Điểm bất động, kiểu-mêtric, ánh xạ -co yếu suy rộng Keywords: Fixed point, metric-type, - weak contractions ABSTRACT In this paper, we state and prove a fixed point theorem for generalized - weak contractions mappings in metric-type spaces. This result generalizes the main result of (Zhang & Song, 2009) to the setting of metric-type spaces. TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một định lí điểm bất động cho dạng -co yếu suy rộng trong không gian kiểu-mêtric. Kết quả này là mở rộng kết quả chính của (Zhang & Song, 2009) sang không gian kiểu-mêtric. 1. GIỚI THIỆU Định lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là một kết quả nổi bật trong Giải tích, được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và mở rộng cho nhiều ánh xạ trên nhiều không gian khác nhau (Agarwal, Meehan & O’Regan, 2004). Năm 2009, Zhang và Song (2009), các tác giả đã mở rộng ánh xạ co thành dạng -co yếu suy rộng trong không gian mêtric và đã chứng minh định lí điểm bất động cho dạng -co yếu này. Gần đây, Khamsi (2010) đã giới thiệu một khái niệm mêtric suy rộng mới gọi là kiểu-mêtric như sau. Định nghĩa 1.1 Cho X là tập khác rỗng, 1K là một số thực và : [0, )D X X là một hàm thoả mãn các điều kiện sau. (1) ( , ) 0 D x y khi và chỉ khi x y . (2) ( , ) ( , ) D x y D y x với mọi ,x y X . (3) 1 1 2 ( , ) [ ( , ) ( , ) ... ( , )] n D x z K D x y D y y D y z với mọi 1 2 , , ,..., , n x y y y z X . Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric trên X và ( , , )X D K được gọi là một không gian kiểu- mêtric. Ta có ( , )X d là một không gian mêtric khi chỉ khi ( , ,1)X d là một không gian kiểu- mêtric. Chú ý 1.2. Nguyễn Trung Hiếu và Võ Thị Lệ Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 An Giang University 28 Hằng (2013) đã chứng tỏ rằng kiểu-mêtric như Định nghĩa 1.1 là ánh xạ không liên tục (Nguyễn Trung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng, 2013, Example 2.1). Bên cạnh đó, Jovanovic, Kadelburg và Radenovic (2010) đã xét một không gian kiểu mêtric khác, trong đó điều kiện (3) của Định nghĩa 1.1 được thay bởi điều kiện sau (3’) ( , ) [ ( , ) ( , )]D x z K D x y D y z với mọi , ,x y z X . Trong bài báo này, chúng tôi xét không gian kiểu- mêtric theo Định nghĩa 1.1. Một số khái niệm liên quan đến không gian kiểu-mêtric này được trích dẫn từ các bài báo của Khamsi (2010), Zhang và Song (2009). Định nghĩa 1.3 Cho ( , , )X D K là một không gian kiểu-mêtric. Khi đó (1) Dãy { } n x được gọi là hội tụ đến x X , viết là lim nn x x , nếu lim ( , ) 0 nn D x x . Khi đó x được gọi là điểm giới hạn của dãy { } n x . (2) Dãy{ } n x được gọi là một dãy Cauchy nếu , lim ( , ) 0 n mn m D x x . (3) Không gian ( , , )X D K được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong ( , , )X D K là một dãy hội tụ. Định nghĩa 1.4 Cho , X d là một không gian mêtric và :T X X là một ánh xạ. (1) T được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại (0,1)k sao cho ( , ) ( , )d Tx Ty kd x y với mọi , .x y X (2) T được gọi là một ánh xạ -co yếu nếu tồn tại : [0, ) [0, ) sao cho ( ) 0t với mọi 0t , (0) 0 và ( , ) ( , ) ( , )d Tx Ty d x y d x y với mọi , .x y X Đồng thời, Zhang và Song (2009) đã thiết lập định lí điểm bất động cho dạng -co yếu trong không gian mêtric. Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng định lí điểm bất động cho ánh xạ -co yếu trên không gian mêtric của Zhang và Song (2009) sang ánh xạ -co yếu suy rộng trong không gian kiểu- mêtric. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả thu được. 2. KẾT QUẢ CHÍNH Bổ đề 2.1. Cho ( , , )X D K là một không gian kiểu-mêtric. Nếu dãy { } n x hội tụ thì điểm giới hạn của nó là duy nhất. Chứng minh. Giả sử { } n x hội tụ về x và y trong X . Khi đó với mọi n ta có ( , ) ( , ) ( , ) . n n D x y K D x x D x y Cho n ta được ( , ) 0D x y hay x y . Vậy điểm giới hạn của { } n x là duy nhất. Định lí 2.2. Cho  , , X D K là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ và , :T S X X là hai ánh xạ sao cho với mọi ,x y X ta có ( , ) ( , ) ( , )DTx Sy M x y M x y , ở đây : [0, ) [0, ) là một hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, ( ) 0t với mọi (0, )t , (0) 0 và 1 ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) . 2 M x y D x y D Tx x D Sy y D y Tx D x Sy K (1) Khi đó S và T có duy nhất điểm bất động chung, nghĩa là, tồn tại duy nhất điểm u X sao cho .u Tu Su Chứng minh. Trường hợp 1: Tồn tại ,x y sao cho ( , ) 0M x y . Khi đó x y là điểm bất động chung của ,T S . Thật vậy ( , ) 0M x y và ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ).D x y M x y DTx x M x y D Sy y M x y nên ( , ) ( , ) ( , ) 0D x y DTx x D Sy y . Điều này có nghĩa là .x y Tx Ty Sx Sy Trường hợp 2: Với mọi ,x y ta có ( , ) 0M x y . Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 An Giang University 29 Bước 1: Xây dựng dãy lặp n x thỏa mãn 1 lim ( , ) 0. n nn D x x Lấy 0 x X đặt 1 0 2 1 3 2 4 3 , , , ,...x Sx x Tx x Sx x Tx Tiếp tục quá trình này ta chọn được nx X sao cho 2 2 2 1 2 1 2 , n n n n x Tx x Sx với mọi 0n . Giả sử n lẻ, từ (1) ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n D Tx Sx D x x M x x M x x M x x D x x D x x D x x D x x D x x K 1 1 1 1 1 1 1 1 max ( , ), ( , ), ( , ), K ( , ) ( , ) 2 = max ( , ),D( , ) . n n n n n n n n n n n n n n D x x D x x D x x D x x D x x K D x x x x Nếu tồn tại n lẻ sao cho 1 1 1 max ( , ),D( , ) ( , ) n n n n n n D x x x x D x x thì 1 1 ( , ) ( , ) 0 n n n n M x x D x x . Do đó 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n D x x D x x D x x Điều này là vô lí. Vậy với mọi n lẻ , ta có 1 1 ( , ) ( , ). n n n n D x x D x x (2) Giả sử n chẵn, từ (1) ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n D Tx Sx D x x M x x M x x M x x D x x D x x D x x D x x D x x K 1 1 1 1 1 1 1 1 max ( , ), ( , ), ( , ), K ( , ) ( , ) 2 max ( , ),D( , ) . n n n n n n n n n n n n n n D x x D x x D x x D x x D x x K D x x x x Nếu tồn tại n chẵn sao cho 1 1 1 max ( , ),D( , ) ( , ) n n n n n n D x x x x D x x thì 1 1 ( , ) ( , ) 0 n n n n M x x D x x . Do đó 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) . n n n n n n D x x D x x D x x Điều này vô lí. Vậy với mọi n chẵn, ta có 1 1 ( , ) ( , ). n n n n D x x D x x (3) Như vậy, từ (2) và (3) ta suy ra 1 ( , ) n n D x x là một dãy số thực không tăng và bị chặn dưới bởi 0. Vì thế tồn tại 0r sao cho 1 1 lim ( , ) lim ( , ) . n n n nn n D x x M x x r (4) Vì là hàm nửa liên tục dưới nên ta có 1( ) liminf ( ( , ))n n n r M x x     . Lưu ý rằng, với mọi n ta có 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n D x x M x x M x x (5) Lấy giới hạn dưới khi n trong (5) và sử dụng (4) ta có 1 lim inf ( , ) ( ) n nn r r M x x r r . Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 An Giang University 30 Vậy ( ) 0r hay ( ) 0r . Suy ra  0r . Từ đó ta có 1 lim ( , ) 0. n nn D x x r Bước 2: Chứng minh dãy lặp n x là một dãy Cauchy. Đặt sup ( , ) : , . n j k c D x x j k n Khi đó { } n c là một dãy không tăng. Nếu lim 0n n c   thì lim sup ( , ) : , 0 j kn D x x j k n . Nói cách khác, với mỗi 0 tồn tại 0 n sao cho với mọi 0 n n ta có sup ( , ) : , j k D x x j k n . Vậy ( , ) j k D x x , với mọi , .j k n Chọn 0 n n , khi đó với mọi 0 ,j k n thì ( , ) j k D x x . Điều này có nghĩa n x là một dãy Cauchy. Giả sử rằng lim 0 nn c c . Chọn 6 c , khi đó tồn tại N sao cho với mọi n N ta có 1 ( , ) n n D x x và n c c . (6) Vì 1 sup ( , ), , 1 N m n c D x x m n N , tồn tại , 1m n N sao cho 1 ( , ) m n N D x x c c . (7) Điều này kéo theo 1 1 1 1 1 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) m n m n n n m m c D x x D x x D x x D x x K K .(8) Mặc khác, từ (1) ta có 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . m n m n m n m n D x x D Tx Sx M x x M x x (9) Áp dụng (8) và 6 c ta suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) 2 ( , ) 3 . 2 m n m n m m n n n m m n m n M x x D x x D x x D x x D x x D x x K D x x c K c K Vì 1 1 ( , ) 2m n c M x x K và là một hàm không giảm nên 1 1 ( , ) 2m n c M x x K . Mặc khác, với  , 1m n N thì 1 1 ( , ) m n N M x x c . Do đó theo (9) ta có          ( , ) 2m n N c D x x c K với mọi  , 1m n N . Từ đó suy ra           1 2N N c c c K . (10) Từ (6), (7) và (10) ta có 2 c c c K . Cho 0 ta suy ra 2 c c c K . Điều này là vô lí vì 0c . Vậy 0c , nghĩa là { } n x là một dãy Cauchy. Bước 3: Chứng minh dãy Cauchy { }nx hội tụ về điểm bất động chung của S và .T VìX là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ nên tồn tại u X sao cho lim . nn x u Hơn nữa Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 An Giang University 31 2 lim nn x u , 2 1 lim . nn x u Tiếp theo, ta chứng minh u Tu Su . Thật vậy, giả sử u Tu , khi đó ( , ) 0D u Tu . Suy ra tồn tại 1 N sao cho với mọi 1 n N , ta có 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ), 2 2 2 2 1 ( , ) ( , ). 2 n n n n D x u D u Tu D u Tu D x u D u Tu D u Tu K K D x x D u Tu Khi đó ta có 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 ( , ) ( , ) 1 max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) 2 K ( , ) ( , )1 max ( , ), ( , ), ( , ), +K ( , ) (2 n n n n n n n n n n n n n D u Tu M u x D u x D u Tu D x x D u x D x Tu K D u x D x x D u x D u Tu D x x D x u DK , ) 1 1 ( , ) ( , )1 1 1 2 2 max ( , ), ( , ), ( , ), K 12 2 2 + ( , ) ( , ) 2 ( , ). u Tu D u Tu D u Tu D u Tu D u Tu D u Tu K D u Tu D u Tu D u Tu Vậy 2 ( , ) ( , ) n M u x D u Tu . Khi đó 2 1 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . n n n n D Tu x D Tu Sx M u x M u x D u Tu D u Tu Lấy giới hạn khi n ta được ( , ) ( , ) ( , )DTu u DTu u DTu u . Điều này là mẫu thuẫn với ( , ) 0D u Tu . Vậy .u Tu Ta lại có ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , )) ( , ) ( , ) . D u Su D Tu Su M u u M u u D u Su D u Su Từ đó ( , ) 0D u Su hay u Tu Su . Như vậy, từ Trường hợp 1 và Trường hợp 2 ta suy ra S và T có điểm bất động chung. Cuối cùng, ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động chung của S và T . Giả sử tồn tại v và v Tv Sv . Ta có ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . D u v D Tu Sv M u v M u v D u v D u v Suy ra ( , ) 0D u v . Vậy .u v Hệ quả 2.3. Cho , , X D K là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ và :T X X là một ánh xạ sao cho với mọi ,x y X ta có ( , ) ( , ) ( , )DTx Ty M x y M x y , ở đây : [0, ) [0, ) là hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, ( ) 0t với mọi (0, )t , (0) 0 và 1 ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) 2 M x y D x y D Tx x D Ty y D y Tx D x Ty K Khi đó T có duy nhất điểm bất động, nghĩa là tồn tại duy nhất điểm u X sao cho .u Tu Chứng minh. Hệ quả có được bằng cách thay S T trong Định lí 2.2. Trong Định lí 2.2, nếu ta chọn 1K thì ta được hệ quả như sau. Hệ quả 2.4. Cho ( , )X d là một không gian mêtric đầy đủ và , :T S X X là hai ánh xạ sao cho với mọi ,x y X ta có ( , ) ( , ) ( , )d Tx Sy M x y M x y , ở đây : [0, ) [0, ) là hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, ( ) 0t  với mọi Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 An Giang University 32 (0, )t , (0) 0 và 1 ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) 2 M x y d x y d Tx x d Sy y d y Tx d x Sy Khi đó S và T có duy nhất điểm bất động chung. Lưu ý rằng Hệ quả 2.4 tương tự như Định lí 2.1 trong (Zhang & Song, 2009) ngoại trừ giả thiết không giảm của hàm . Tuy nhiên, trong chứng minh của Định lí 2.1 trong (Zhang & Song, 2009) ở trang 77, từ 1 1 ( , ) 2m n c M x x . Các tác giả suy ra 1 1 ( , ) 2m n c M x x . Điều này là chưa hợp lí. Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. Ví dụ 2.5. Xét {0,1,2}X và kiểu-mêtric D xác định bởi (0,0) (1,1) (2,2) 0D D D , (1,2) (2,1) 4D D , (0,1) (1,0) (0,2) (2,0) 1D D D D . Khi đó ( , )X D là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ với 2K . Xét hai ánh xạ , :T S X X xác định bởi 0 1 2 0T T T , 0 0, 1 2, 2 1S S S , với mọi x X . Khi đó 0 0 ( , ) (0, ) 1 0 khi y D Tx Sy D Sy khi y và 1 ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) 4 1 max ( , ), (0, ), ( , ), ( , 0) ( , ) 4 0 0 = 1 0, 0 4 0, . M x y D x y D Tx x D Sy y D y Tx D x Sy D x y D x D Sy y D y D x Sy khi x y khi y x khi y x X Xét hàm 1 ( ) , 0 6 t t t . Khi đó ta có ( , ) ( , ) ( , ) .DTx Sy M x y M x y Đồng thời, các giả thiết còn lại trong Định lí 2.2 đều thỏa mãn. Do đó Định lí 2.2 áp dụng được cho S và T trên không gian kiểu-mêtric ( , , )X D K . Mặc khác D không là một mêtric trên X . Do đó Hệ quả 2.4 không áp dụng được cho S và T trên ( , )X D . TÀI LIỆU THAM KHẢO Agarwal, R. P., Meehan, M., & O’Regan, D. (2004). Fixed point theory and applications. Cambridge: Cambridge University Press. Khamsi, M. A. (2010). Remarks on cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings. Fixed Point Theory Appl. 2010, 1 - 7. Nguyễn Trung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng. (2013). Coupled fixed point theorems for generalized - -contactive mappings in partially ordered metric-type spaces, J. Nonlinear Anal. Optim. (bài gửi đăng). Jovanovic, M., Kadelburg, Z., & Radenovic, S. (2010). Common fixed point results in metric-type spaces. Fixed Point Theory Appl. 2010, 1 – 15. Zhang, Q., & Song, Y. (2009). Fixed point theory for generalized  -weak contractions. Appl. Math. Lett. 22, 75 – 78.