Đề thi thử đại học năm 2013 – Đợt 1 môn: Toán

CƠ SỞ BỒI DƯỠNG VĂN HÓA ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 – ĐỢT 1 LÊ HỒNG PHONG MÔN : TOÁN Ngày thi: 10.3.2013 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (3m2 – 3)x + m2 + 1 (1), với m là tham số. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. b) Định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cách đều trục Ox. Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình: Câu 3(1 điểm) Giải hệ phương trình: . Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân sau I = Câu 5(1 điểm) Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SC = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của MD và CN. Biết rằng SH vuông góc với (ABCD). Chứng minh CH vuông góc với MD và tính thể tích khối chóp SNMBC. Câu 6 (1 điểm) Cho x, y, là hai số dương thỏa x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (Phần A hoặc Phần B) A. Theo chương trình Chuẩn: Câu 7a (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác có đỉnh A(5; –3), trọng tâm là G(3; 1), đỉnh B thuộc đường thẳng (D): 2x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết rằng BC = và B có tọa độ nguyên. Câu 8a (1 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 3 = 0, đường thẳng (D): và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 4z – 2 = 0. Hãy viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (D), vuông góc với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Câu 9a (1 điểm) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z sao cho (1). Từ đó hãy tìm số phức z thỏa (1) sao cho phần ảo của z bằng 4. B. Theo chương trình Nâng cao: Câu 7b (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng (d): x + 2y + 1 = 0, trọng tâm G. Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 đơn vị diện tích, hãy tìm tọa độ đỉnh C. Câu 8b (1 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 2 = 0 và (Q): 2x + 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua A(0; 0; 1), nằm trong mặt phẳng (Q) và tạo với mặt phẳng (P) một góc bằng 450. Câu 9b (1 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa . Hãy tìm số hạng chứa x14 trong khai triển của P(x) = . Hết. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT 1 NĂM 2013 Câu Ý Điểm Câu 1 y = x3 – 3mx2 + (3m2 – 3)x + m2 + 1 (1) ∑ = 2 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1: y = x3 – 3x2 + 2 ∑= 1 Tập xác định: D = R Giới hạn: 0,25 y' = 3x2 – 6x; y' = 0 Û . 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 y'' = 6x – 6; y'' = 0 Û x = 1 Þ y = 0. Đồ thị có điểm uốn là I(1; 0). Đồ thị 0,25 b Định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cách đều trục Ox. ∑= 1 y' = 3x2 – 6mx + 3m – 3 0,25 y' = 0 Û x2 – 2mx + m2 – 1 Û . 0,25 d(A, Ox) = d(B, Ox) Û (m3 + m2 – 3m – 1)2 = (m3 + m2 – 3m + 3)2 Û – 8(m3 + m2 – 3m) – 8 = 0 Û 8m3 + 8m2 – 24m + 8 = 0 0,25 Û m = 1 hay m = –1 ± . 0,25 Câu 2 (1) ∑= 1 Điều kiện: sinx ≠ 0. (1) Û Û 0,25 Û Û 2sinxcosx – sinx = Û Û 0,25 Û Û 0,25 So sánh điều kiện ta được phương trình có nghiệm là: . 0,25 Câu 3 Giải hệ phương trình . ∑= 1 (1) Û Cộng (a) và (b) theo vế: 8x3 – 12x2 + 8x – 4 = y3 + 6y2 + 13y + 8 Û 8x3 – 12x2 + 6x – 1 + 2x – 1 = y3 + 6y2 + 12y + 8 + y + 2 Û (2x – 1)3 + (2x – 1) = (y + 2)3 + ( y + 2) (c) 0,25 Xét hàm số f(t) = t3 + t . Ta có: f'(t) = 3t2 + 1 > 0, " t Þ f(t) đồng biến trên R và f(t) liên tục trên R. 0,25 Do đó (c) Û f(2x – 1) = f(y + 2) Û 2x – 1 = y + 2 Û x = . 0,25 Thay vào (b) ta được: Û 4y3 + 3y2 – 2y – 5 = 0 Û (y – 1)(4y2 + 7y + 5) = 0 Û y = 1. Suy ra x = 2. Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x = 2 và y = 1. 0,25 Câu 4 * I = ∑= 1 I = + = I1 + I2 0,25 Tính I1: Đặt u = 2x Þ u' = 2 v' = 2sin2x Chọn v = –cos2x I1 = = = p + (0 – 1) = p – 1. 0,25 Tính I2: Đặt t = 3 + sin2x Þ dt = 2cos2xdx Đổi cận: x = Þ t = 4; x = Þ t = 3 Þ I1 = = = . 0,25 Vậy I = p – 1 + = . 0,25 Câu 5 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SC = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD và H là giao điểm của MD và CN. Biết rằng SH vuông góc với (ABCD). Chứng minh CH vuông góc với MD và tính thể tích khối chóp SNMBC. ∑= 1 Ta có: D CDN = D DAM Þ Þ Þ CH ^ DM 0,25 CN = Þ HC = Þ SH = . 0,25 SNMBC = SABCD – SDNC – SANM = 4a2 – a2 – = . 0,25 Do đó VSNMBC = = . 0,25 Câu 6 Cho x, y, z là ba số dương thỏa x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = ∑= 1 4 Ta có: ; 0,25 P ≥ ≥ 0,25 , Tương tự ta có: Þ ≤ ≤ 0,25 Vậy P ≥ . Dấu "=" xảy ra Û x = y = . Vậy MinP = . 0,25 Câu 7a Tam giác ABC có đỉnh A(5; –3), trọng tâm là G(3; 1), đỉnh B thuộc đường thẳng (D): 2x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết BC = và B có tọa độ nguyên. ∑= 1 Gọi M là trung điểm BC, ta có: = (–3; 6) Û Û M(2; 3). 0,25 B Î (D) Þ B(b; 4 – 2b) Þ = (b – 2; 1 – 2b) 0,25 MB2 = 2 Û (b – 2)2 + (1 – 2b)2 = 2 Û Þ b = 1 Þ B(1; 2) 0,25 Từ đó có C(3; 4). 0,25 Câu 8a Cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 3 = 0, đường thẳng (D): và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 4z – 2 = 0. Hãy viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (D), vuông góc với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). ∑= 1 (P) có VTPT là = (1; 2; –2). D có VTCP là = (2; 1; 2). (Q) // (D) và vuông góc (P) nên (Q) có VTPT là: = (6; –6; –3) = 3(2; –2; –1) Þ (Q): 2x – 2y – z + D = 0. 0,25 (S) có tâm là I(1; –3; 2) và bán kính R = . 0,25 (Q) tiếp xúc (S) Û d(I; (Q)) = R Û Û . 0,25 Vậy (Q): 2x – 2y – z + 6 = 0 hay (Q): 2x – 2y – z – 18 = 0. 0,25 Câu 9a Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z sao cho (1). Từ đó hãy tìm số phức z thỏa (1) sao cho phần ảo của z bằng 4. ∑= 1 Gọi z = x + yi (x, y Î R) là số phức có điểm biểu diễn là M. Ta có: Û |(x – 1) + (y – 2)i | = Û (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8. Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8. 0,5 4 Ta có z có phần ảo là 4 Þ y = 4. Mà z thỏa (1) nên (x – 1)2 + (4 – 2)2 = 8 Þ (x – 1)2 = 4 Û x – 1 = ± 2 Û x = 3 hay x = –1. Do đó z = 3 + 4i hay z = –1 + 4i. 0,25 Câu 7b Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc (d): x + 2y + 1 = 0, trọng tâm G. Biết diện tích D GAB bằng 3 (đvdt) hãy tìm tọa độ đỉnh C. ∑= 1 Ta có C thuộc (d) Þ C(–2y – 1; y). G là trọng tâm D ABC Þ . 0,25 = (–2; –2) Þ AB: Þ AB: x – y + 1 = 0; AB = . 0,25 = . 0,25 = |y| = 3 Û y = ± 3. * y = 3 Þ C(–7; 3). * y = –3 Þ C(5; –3). Vậy C(–7; 3) hay C(5; –3). 0,25 Câu 8b Cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 2 = 0 và (Q): 2x + 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua A(0; 0; 1), nằm trong (Q) và tạo với mặt phẳng (P) một góc bằng 450. ∑= 1 Ta có: là một vectơ pháp tuyến của (Q) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Gọi với a2 + b2 + c2 > 0 là một vectơ chỉ phương của (d) . Vì đường thẳng (d) đi qua A(0; 0; 1) mà A(Q) do đó (d) chứa trong (Q) Û c = –2a – 2b. 0,25 Góc hợp bởi (d) và (P) bằng 450 0,25 Û . Û 9[a2 + b2 + (–2a – 2b)2] = 2[a – 2b + 2(–2a – 2b)]2 Û 9(5a2 + 5b2 + 8ab) = 2(–3a – 6b)2 = 2.9(a + 2b)2. Û 5a2 + 5b2 + 8ab = 2(a2 + 4ab + 4b2) Û 3a2 – 3b2 = 0 Û a = ± b. 0,25 4 a = b: Chọn b = 1 Þ a = 1 và c = –4. 4 a = –b: Chọn b = –1 Þ a = 1 và c = 0. Vậy (d): hay (d): là các đường thẳng cần tìm. 0,25 Câu 9b Cho n là số nguyên dương thỏa . Hãy tìm số hạng chứa x14 trong khai triển của P(x) = . ∑= 1 Ta có Þ Theo giả thiết ta có 2n – 1 = 255 Û 2n = 256 = 28Û n = 8. 0,25 P(x) = (1 + x + 3x2)8 = = =. 0,25 YCBT Û Û . 0,25 Vậy số hạng chứa x14 là: ()x14. 0,25