Đề thi thử đại học lần 2 - Năm học 2009 - 2010 môn: Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUNG TAM GIA SU DUC TRI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 - NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . Câu II (2 điểm) Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 Giải phương trình: x2 – 4x - 3 = Câu III (1 điểm) Tính tích phân: Câu IV (1 điểm) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất . Câu V ( 1 điểm ) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . CMR: PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.( 2 điểm ) 1. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1) 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d) và (d’) Viết phương trình tham số của đường thẳng () nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng . Câu VIIa . ( 1 điểm ) Tính tổng : B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b.( 2 điểm ) 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : (d) và (d’) a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) . Câu VIIb.( 1 điểm ) Giải phương trình : BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUNG TAM GIA SU DUC TRI ®¸p ¸n ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 2 n¨m häc 2009 - 2010 M«n thi: to¸n Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò C©u Néi dung §iÓm I 2.0® 1 1.25® Hµm sè y = cã : - TX§: D = \ {2} - Sù biÕn thiªn: + ) Giíi h¹n : . Do ®ã §THS nhËn ®­êng th¼ng y = 2 lµm TCN , . Do ®ã §THS nhËn ®­êng th¼ng x = 2 lµm TC§ +) B¶ng biÕn thiªn: Ta cã : y’ = < 0 y’ y x - 2 - 2 2 2 Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng vµ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ - §å thÞ + Giao ®iÓm víi trôc tung : (0 ; ) + Giao ®iÓm víi trôc hoµnh : A(3/2; 0) - §THS nhËn ®iÓm (2; 2) lµm t©m ®èi xøng 0,25 0,25 0,25 0,5 2 0,75đ Lấy điểm . Ta có : . Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình : Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là : Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2) Ta có : . Dấu “=” xảy ra khi m = 2 Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2) 0,25đ 0,25đ 0,25đ II 2,0® 1 1,0® Phương trình đã cho tương đương với : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0 Xét Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx với . Khi đó phương trình trở thành: Suy ra : 0,25 0,25 0,5 2 1,0® x2 - 4x + 3 = (1) TX§ : D = ®Æt y - 2 = , Ta cã hÖ : 0,25 0,25 0,5 III 1.0® 1® Ta có : = . Đặt Đổi cận : Vậy I2= Nên I = 1 0,5 0,5 IV 2® 1.0® Gọi là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . Ta có : ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin Vậy Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN hay Vậy MaxVSABC = , đạt được khi sin = hay ( với 0 < ) 0,25 0,5 V 1.0® +Ta có : ;; + Lại có : cộng các BĐT này ta được đpcm. 1® VIa 2® 1 1® Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0) . Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên : 9a2 + 100ab – 96b2 = 0 Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác . Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1® Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình : + Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP + Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP Ta có : Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm) Khi đó : 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa 1đ Chọn khai triển : Hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)5.(x + 1)7 là : Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)12 là : Từ đó ta có : = = 792 .0,25 0,25 0,25 0,25 VIb 2đ 1 1đ Đường tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , Đường tròn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = 5 . Nếu đường thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) thì khoảng cách từ I1 và I2 đến đường thẳng đó lần lượt bằng R1 và R2 , tức là : Từ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) C = A – 9B thay vào (2) : |2A – 7B | = 5 Nếu ta chọn B= 21 thì sẽ được A = - 14 , C = Vậy có hai tiếp tuyến : (- 14 )x + 21y = 0 TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) , thay vào (2) ta được : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 . Phương trình này vô nghiệm . 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1® a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP + Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM) b) Ta lấy . Ta đặt : Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ làm VTCP và chúng có phương trình là : và VIIb 1® ĐK : x > 0 PT đã cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1) Đặt t = log2x, suy ra x = 2t (2) Xét hàm số : f(t) = f'(t) = Suy ra f(t) nghịch biến trên R Lại có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghiệm duy nhất t = 1 hay log2x = 1 hay x =2 Vậy nghiệm của PT đã cho là : x = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUNG TAM GIA SU DUC TRI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 - NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số ( là tham số) (1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương . Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2. Giải hệ phương trình: Câu III (1 điểm)Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với cạnh vuông góc với đáy, cạnh tạo với mặt phẳng đáy một góc Trên cạnh lấy điểm sao cho. Mặt phẳng cắt cạnh tại điểm . Tính thể tích khối chóp Câu IV (2 điểm) Tính tích phân: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 2sin8x + cos42x PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a.( 3 điểm ) Theo chương trình Chuẩn Cho đường tròn (C) : và điểm M(2;4) . Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C) có hệ số góc k = -1 . Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. Câu V.b.( 3 điểm ) Theo chương trình Nâng cao Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của , chứng minh rằng: . Cho hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 – 4x +2y – 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 -10x -6y +30 = 0 có tâm lần lượt là I, J Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm tọa độ tiếp điểm H . Gọi (d) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2) . Tìm tọa độ giao điểm K của (d) và đường thẳng IJ . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) tại H . ----------------------------- Hết ----------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUNG TAM GIA SU DUC TRI ®¸p ¸n ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m häc 2008 - 2009 M«n thi: to¸n Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò C©u Néi dung §iÓm I 2.0® 1 1,25® Víi m = 0 , ta cã : y = x3 – 3x + 1 - TX§: - Sù biÕn thiªn: + ) Giíi h¹n : +) B¶ng biÕn thiªn: Ta cã : y’ = 3x2 – 3 y’ = 0 x = -1 hoÆc x = 1 y’ y x + -1 + 0 0 - 1 3 -1 Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng vµ , nghÞch biÕn trªn kho¶ng ( -1; 1) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x = -1, gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm sè lµ y(-1) =3 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 1, gi¸ trÞ cùc tiÓu cña hµm sè lµ y(1) =-1 - §å thÞ + §iÓm uèn : Ta cã : y’’ = 6x , y" = 0 t¹i ®iÓm x = 0 vµ y" ®æi dÊu tõ d­¬ng sang ©m khi x qua ®iÓm x = 0 . VËy U(0 ; 1) lµ ®iÓm uèn cña ®å thÞ . + Giao ®iÓm víi trôc tung : (0 ;1) y x + §THS ®i qua c¸c ®iÓm : A(2; 3) , B(1/2; -3/8) C(-2; -1) 0,25 0,25 0,25 0,5 2 0.75® §Ó §THS (1) c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d­¬ng, ta ph¶i cã : (I) Trong ®ã : y’ = 3( x2 – 2mx + m2 – 1) ∆y’ = m2 – m2 + 1 = 1 > 0 víi mäi m y’ = 0 khi x1 = m – 1 = xC§ vµ x2 = m + 1 = xCT . (I) 0,25 0,5 II 2,0® 1 1,0® Ta cã : sin2x – cos2x + 4sinx + 1 = 0 sin2x + 2sin2x + 4 sinx = 0 sinx ( cosx + sinx + 2 ) = 0 sinx = 0 (1) hoÆc cosx + sinx + 2 = 0 (2) + (1) + (2) 0,25 0,5 2 1,0® LÊy (2’) - (1’) ta ®­îc : x2 y– xy2 = 6 (3) KÕt hîp víi (1) ta cã : . §Æt y = - z ta cã : ®Æt S = x +z vµ P = xz ta cã : Ta cã : . HÖ nµy cã nghiÖm hoÆc VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm lµ : ( 3 ; 2) vµ ( -2 ; -3 ) 0,25 0,25 0,25 0,25 III 1.0® 1® Ta cã ( SAB) ( BCNM) vµ . Tõ S h¹ SH vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng BM th× SH (BCNM) hay SH lµ ®­êng cao cña h×nh chãp SBCNM. MÆt kh¸c : SA = AB.tan600 = a . Suy ra : MA = SA L¹i cã : MN lµ giao tuyÕn cña cña mp(BCM) víi mp(SAD), mµ BC // (SAD) nªn NM // AD vµ MN // BC Do ®ã : V× AD (SAB) nªn MN (SAB) , suy ra MN BM vµ BC BM VËy thiÕt diÖn cña mp(BCM) víi h×nh chãp SABCD lµ h×nh thang vu«ng BCNM . Ta cã : SBCNM = Trong ®ã : BC = 2a , MM vµ BM = = VËy SBCNM = Khi ®ã : VSBCNM = SH. SBCNM TÝnh SH : Ta cã ∆MAB ∆ MHS , suy ra : VËy : VSBCNM = .a. = 0,5 0,5 IV 2® 1 1.0® ®Æt , ta cã dt = hay dt = dx vµ Khi x = 2 th× t = 3 vµ khi x= 6 th× t = 5 Khi ®ã : = = = 0,25 0,5 2 1.0® §Æt t = cos2x th× sin2x = + = t f’(t) f(t) -1 1/3 1 + 0 - 3 1 B¶ng biÕn thiªn Qua b¶ng biÕn thiªn ta cã : miny = vµ maxy = 3 0,25 0,5 Va 3® 1a §­êng trßn (C) : ( x – 1)2 + ( y – 3 )2 = 4 cã t©m I ( 1 ; 3) vµ b¸n kÝnh R = 2 . Ta cã : (d) : (d) : x – 2 + y – 4 = 0 (d) : x + y – 6 = 0 0,25 0,5 0,25 1b §­êng th¼ng (d) víi hÖ sè gãc k = -1 cã d¹ng : y = -x + m hay x + y – m =0 (1) §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (C) kc(I,(d)) = R + VËy cã 2 tiÕp tuyÕn tho¶ m·n ®Ò bµi lµ : x + y – 4 = 0 0,25 0,5 0,25 2 Theo ®Ò ra ta cã : ( ) n2 + 8n – 560 = 0 VËy n = 20 0,25 0,25 0,25 0,25 Vb 3.0 ® 1 Ta cã : [(x2 + x )100]’ = 100(x2 + x )99( 2x +1) (1) vµ (2) Tõ (1) vµ (2) ta thay , ta ®­îc 0.25 0.5 0,25 2a (C1) cã t©m I( 2 ; -1) vµ b¸n kÝnh R1= 3 . (C2) cã t©m J(5;3) vµ b¸n kÝnh R=2. Ta cã : IJ2 = ( 5 – 2)2 + ( 3 + 1)2 = 25 IJ = 5 = R1 + R2 Suy ra (C1) vµ (C2) tiÕp xóc ngoµi víi nhau . Täa ®é tiÕp ®iÓm H ®­îc x¸c ®Þnh bëi : 0,25 0,25 0,5 2b Cã : §­êng trßn (C) qua K , tiÕp xóc víi (C1) , (C2) t¹i H nªn t©m E cña (C) lµ trung ®iÓm cña KH : . B¸n kÝnh (C) lµ EH = 6 Ph­¬ng tr×nh cña (C) lµ : 0,5 0,5