Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán

(Đề 1) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) __________________________ Câu I: Giải hệ phương trình: Câu II: Tìm tất cả các nghiệm x(2009; 2011) của phương trình : Câu III: Cho dãy số () xác định bởi: Đặt Tính . Câu IV: 1. Cho elip(E):và điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng () đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB. 2. Cho tứ diện ABCD, O là điểm bất kì nằm trong miền tam giác BCD. Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tai M, N, P . Chứng minh rằng: không đổi. Câu V: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ---------------------Hết------------------------ (Đề 2) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian ra đề) Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình : Câu 2: (2,5 điểm) 1. Cho khai triển: a. Tính tổng . b. Chứng minh rằng: 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác xuất để chọn được một số thuộc vào tập Avà số đó chia hết cho 3. Câu 3: (2,5 điểm) 1. Cho dãy số () được xác định như sau: Chứng minh rằng dãy số () có giới hạn và tìm giới hạn đó. 2. Tính giới hạn: Câu 4: (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. 1. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)và đường thẳng A’C đi qua trọng tâm tam giác A’BD. 2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a. ----------------------Hết---------------------- (Đề 3) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) 1. Chứng minh rằng : 2. Cho: sinx + siny = 2sin(x + y), với x + yk,k. Chứng minh rằng: . Câu 2: (3 điểm) 1. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: Chứng minh rằng tam giác ABC cân. 2. Giải phương trình sau: Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E. AD và BC cắt nhau tại F. AC và BD cắt nhau tại G. (P) là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. 1. Tìm giao điểm D’ của SD và (P). 2. Với điều kiện nào của (P) thì A’B’C’D’ là hình bình hành. Câu 4: (1 điểm) Chứng minh rằng: x, y, z thì: -----------------Hết---------------- (Đề 4) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Cho dãy số (),n=0,1,2… được xác định như sau: , . Chứng minh rằng (u)là số chính phương với mọi n. Câu 2: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng () song song với hai đường thẳng AD và BC. Gọi M, N, P, Q tương ứng là giao điểm của () với các đường thẳng AB, AC, CD, DB. Xác định tất cả các vị trí của () để: a. Tứ giác MNPQ là hình thoi. b. Diện tích thiết diện giữa () và tứ diện ABCD là lớn nhất. Câu 3: (3 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2. Cho x, y, z . Chứng minh rằng : 3. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: . Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với các góc A, B, C lần lượt là l, l, l. 1. Chứng minh rằng: 2. Nhận dạng tam giác, biết: --------------------Hết------------------- (Đề 5) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: Cho a, b, c >0 và a + b + c = 6 Chứng minh rằng: Câu 2: Giải phương trình: Câu 3: Giải hệ phương trình: Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên cạnh AD và DC sao cho AM = x, CN = y với và góc MBN bằng 45. a. Chứng minh rằng : . b. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích BMN. Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực: Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức : trong đó a là tham số thực và --------------------Hết------------------- (Đề 6) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2 điểm) Cho dãy () lập theo quy tắc: a. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đề là số nguyên. b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Câu 2: (2 điểm) 1. Định a để hệ: có nghiệm duy nhất. 2. Chứng minh rằng nếu thì: Câu 3: (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2. Giải hệ phương trình: . Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là và . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC. a. Chứng minh rằng . b. Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của . Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác: Chứng minh rằng: --------------------Hết------------------- (Đề 7) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) 1. Giải phương trình: . 2. Giải bất phương trình: 3. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số cộng: Câu 2: (2 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những giá trị tìm được của m: Câu 3: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 4: (2 điểm) Cho đều. Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho và . Gọi I là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng BI vuông góc CM. Câu 5: (2 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: --------------------Hết------------------- (Đề 8) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) Cho hai phương trình sau: (1) (2) a. Giải các phương trình trên với a = 2. b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương. Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phương trình: Câu 3: (2 điểm) 1. Tính giới hạn sau: 2. Giải phương trình: Câu 4: (2 điểm) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất. Câu 5: (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho --------------------Hết------------------- (Đề 9) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) 1. Tìm tất cả các giá trị sao cho: 2. Giải và biện luận phương trình theo tham số a, b: . Câu 2: (2 điểm) 1. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng: 2. Giải hệ phương trình: . Câu 3: (2 điểm) Cho dãy số xác định bởi: với ; a là tham số có giá trị thực. a. Với hãy tìm giới hạn của dãy số khi . b. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn khi . Câu 4: (3 điểm) Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các đường thẳng . Các cặp đường thẳng và , và , và , và tương ứng cắt nhau tại K, L, M, N. a. Chứng minh rằng các đường thẳng KM và NL cắt nhau tại O. b. Gọi p, q, r lần lượt là độ dài các đoạn thẳng OK, OL, OM. Tính độ dài đoạn ON. --------------------Hết------------------- (Đề 10) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm: Câu 2: (3 điểm) 1. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm: 2. Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng: Câu 3: (3 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng nếu ba trung điểm của AD, BC, OE thẳng hàng thì AB=CD hoặc Câu 4: (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 5: (1 điểm) Tìm ba số thực dương a, b, c thoả mãn hệ : --------------------Hết------------------- (Đề 11) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: Tính tổng số đo góc: Câu 2: (2 điểm) Cho một cấp số nhân biết rằng tổng các số hạng của chúng bằng 11, tổng bình phương các số hạng của chúng bằng 341, tổng lập phương các số hạng của chúng bằng 3641. a. Chứng minh rằng công bội của cấp số nhân đã cho khác 1. b. Xác định các số hạng của cấp số nhân. Câu 3: (2 điểm) Cho dãy số () thoả mãn các điều kiện: a. Chứng minh rằng: b. Chứng minh rằng dãy số () có giới hạn và tìm giới hạn đó. Câu 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB. Gọi M là một điểm di động trên đoạn AB và P là hình chiếu vuông góc của S lên CM. a. Tìm quỹ tích của điểm P khi M di động. b. Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm của đoạn SC đạt giá trị lớn nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn . Chứng minh rằng: --------------------Hết------------------- (Đề 12) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: . Tìm giá trị lớn của biểu thức: Câu 2: (3 điểm) 1. Giải hệ phương trình:. 2. Cho tam giác ABC có phương trình hai đường cao lần lượt là và , trọng tâm tam giác G(1; 2). Viết phương trình các cạnh của tam giác. Câu 3: (2 điểm) Giả sử . Chứng minh rằng: a. b. Dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó. Câu 4: (3 điểm) Gọi O là một điểm trên cạnh AB của tứ diện ABCD (O không trùng với A và B). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC và BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M và N (MC, ND). Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC và AD của tứ diện ABCD lần lượt tại P và Q (PC, QD). Chứng minh rằng tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP. --------------------Hết------------------- (Đề 13) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: . Câu 2: (2 điểm) 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: . 2. Tính giới hạn: Câu 3: (2 điểm) Cho dãy số () xác định bởi: Tìm công thức tổng quát của . Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có góc A không vuông; đường cao AH và trung tuyến AM. Trên các tia AB và AC theo thứ tự lấy các điểm E và F sao cho ME=MF=MA. Gọi K là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh rằng E, F, M, K cùng thuộc một dường tròn. Câu 5: (2 điểm) 1. Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn: xyz =1. Chứng minh rằng: 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của: . --------------------Hết------------------- ( MỘT SỐ ĐỀ DÀNH CHO LỚP 12) (Đề 14) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) 1. Chứng minh rằng với mọi ta luôn có . 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm . Câu 2: (2 điểm) Biết rằng tam giác ABC có độ dài các cạnh và đường trung tuyến theo kí hiệu thông thường thoả mãn: . a. Tìm số thực k sao cho: . b. Tìm tất cả các giá trị có thể có của tỉ số a : b. Câu 3: (2 điểm) Một hàm số f : (N* là tập hợp các số nguyên dương) thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (1) nếu ước chung lớn nhất của a và b bằng 1; (2) nếu p, q là các số nguyên tố. Chứng minh rằng: và Câu 4: (2 điểm) Cho P là một điểm cố định nằm bên trong một hình cầu cho trước. Ba đoạn thẳng PA, PB, PC đôi một vuông góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm trên mặt cầu. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. a. Tính PG theo PA, PB, PC. b. Tìm quỹ tích điểm G khi A, B, C thay đổi. Câu 5: (2 điểm) Xét tất cả các số nguyên dương dạng , . Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số . a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S(n). b. Chứng minh rằng tồn tại n để . --------------------Hết------------------- (Đề 15) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình: . 2. Giải phương trình: . Câu 2: (3 điểm) 1. Tìm tất cả các cặp số thực (a;b) để với mọi ta có: 2. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng: . Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiều cao bằng h. Gọi là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi (K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD). a. Chứng minh rằng: b. Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích hình chóp. Câu 4: (2 điểm) Cho f là một hàm liên tục trên [0; 1] thoả mãn . Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dương n nào cũng tồn tại một số sao cho . --------------------Hết-------------------