Đề tài Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

y xy x y y         Suy ra : 2 2( ) 4 ( ) 2( ) 4 2 0. (3) 2 x y x y x y x y              Coi (3) là phương trình bậc hai ẩn x y . Phương trình (3) có nghiệm khi 5 ' 5 2 0 . 2        Hệ (2) có nghiệm khi ít nhất một trong hai hệ sau có nghiệm : www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 18 2 2 1 5 2 4 (*) 0 x y x y y           2 2 1 5 2 4 (**) 0 x y x y y           Hệ (*) có nghiệm khi đường 1 5 2x y      cắt nửa đường tròn, tức nó nằm giữa hai đường 2 2x y  và 2x y  . Ta suy ra: 5 2 1 5 2 2 2 2 2 2. 2            Tương tự, hệ (**) có nghiệm khi 5 2. 2    Kết luận: Hệ (1) có nghiệm khi 5 2 2 2. 2     Vậy: 5 min ( ) 2 f x   khi 1 7 2 x   ; max ( ) 2 2 2f x   khi 2.x  Bình luận: Như vậy đối với các bài toán tưởng chừng như quá tầm đối với cách giải thông thường thì lại thật gọn nhẹ với phương pháp sử dụng, nhìn bài toán đoán đó bằng con mắt hình học. Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: ( ; )f x y x y  trên miền  2 2 2 2( ; ) | ( 6) ( 3) 25, ( 4) 25, 2 4, 0, 0x y x y x y x y x y              Giải: Miền xác định  được biểu diễn bởi miền tô đậm trong hình vẽ. Gọi  là một giá trị tùy ý của ( ; )f x y trên  . Điều này có nghĩa hệ sau có nghiệm: 2 2 2 2 ( 6) ( 3) 25, ( 4) 25, 2 4, 0, 0 x y x y x y x y x y                 đồ thị hàm số x y   cắt miền  . Giải hệ: 2 2( 4) 25 2 4 0, 0 x y x y x y          suy ra tạo độ điểm ( 5;2 5 4)A  . Đường thẳng x y   qua A khi 4 5   . www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 19 Đường tròn 2 2( 6) ( 3) 25x y    cắt trục hoành tại (2;0), (10;0)B C Đường thẳng x y   qua B khi 2.  Khi đó: 4 5x y    và 2x y  là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x y   cắt miền D . Từ đó suy ra: max ( ; ) 2f x y  khi 2; 0x y  và min ( ; ) 4 5f x y    khi 5; 2 5 4.x y   III. BÀI TẬP ÁP DỤNG Xin đưa ra một số bài tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đó là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và một số bài toán chứng minh bất đẳng thức. Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2 2( ) 2 3 4 6f x x x x x      khi 1 1.x   Bài 2: Cho , , 0a b c  và 2a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2P a ab b b bc c c ca a         Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2 2( ) 4 29 4 5y f x x x x x       trên  . Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 4y f x x x     trên miền  | 1 4x x     . Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 4y f x x x     trên miền  | 1 4x x     . Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: ( ) 3 6 (3 )(6 )y f x x x x x        trên miền  | 3 6x x     . Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 2( )y f x x x x    trên miền  | 0 1x x    . Bài 8: Cho hàm số 2 2( ) sin cos ,( 0)f x A x B x A B    a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên. b) Chứng minh rằng 2cos 3 cos 3 1 1 1 3 , , . 2 cos 3 3 x a x a x a x         Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2 2 2 2( ; ) 2 12 37 6 6 18f x y x y x y x y x y          Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2( ; ) ( 6) 100 ( 1) 4f x y x x      . www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 20 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2 22 2 2 2 ,( )y x px p x qx q p q       Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2 2( )y a x a c x     . Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số   2 ( ) 1993 1995f x x x    trên miền xác định của nó. Bài 14: Chứng minh rằng *, ,x y z     ta có: 2 2 2 2 2 2 3( )x xy y y yz z z zx x x y z           Bài 15: Chứng minh rằng , , ,a b c d   ta có 2 2 2 2 2 2( ) ( )a c b d a b c d       . Bài 16: Chứng minh rằng ,x y   ta có: 2 2 ( )(1 ) 1 2(1 )(1 ) x y xy x y      Bài 17: Chứng minh rằng , , , , ,a b c x y z   ta có: a) 2 2 2 2 2 2.ax by cz a b c x y z       b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c x y z a x b y c z           Bài 18: Cho ba số thực , ,x y z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 x y y z x z x y y z x z            Bài 19: Chứng minh rằng với mọi số thực ,a b ta luôn có a) 2 2 2 22 2 37 6 6 18 5a b a b a b a b          b) 2 2 2 24 2 1 6 18 5a a a b b b         Bài 20: Chứng minh rằng , , ,a b c d   ta có: 2 2 2 2 22 5 2 1 2 1a a a ab b b bc c          2 22 1c cd d    2 10 26 6 2d d    Bài 21: Chứng minh rằng , , , 1a b c abc   ta có: 2 2 2 2 2 2 3 2 bc ca ab a b a c b c b a c a c b       (Trích đề thi ĐH Nông nghiệp I năm 2000) Bài 22: Cho 2 2 2 2, , , : 1x y u v u v x y     . Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2u x y v x y    Bài 23: Chứng minh rằng ,x y   ta có: www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 21 a) 2 2 2 2 2 24 cos cos sin ( ) 4 sin sin sin ( ) 2x y x y x y x y      b) 4 4 2 2cos cos sin sin 2x y x y    c) 2 2sin 2 sin sin 2 sin 3x x x x     Bài 24: Chứng minh rằng , 0a b c   ta có: ( ) ( )c a c c b c ab    Bài 25: Chứng minh rằng , ,a b c   ta có: 2 2 2 ( )a b c abc a b c     . Bài 26: Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 , , : 16 x xy y x y z y yz z             ta có: 8.xy yz zx   Bài 27: Chứng minh rằng [0;1]x  ta có: 4 4 41 1 2 8x x x x       . Bài 28: Cho n số thực 1 2 , ,..., n a a a . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 1 1 (1 ) (1 ) ... (1 ) (1 ) 2 n n n n a a a a a a a a               . www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 22 PHẦN 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1. Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. 2. Tổ chức thực nghiệm a) Hình thức thực nghiệm: Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo nội dung đã đề cập ở phần 2. Sau đó cho học sinh lớp chọn làm thực nghiệm đo kết quả thực nghiệm. b) Đối tượng thực nghiệm Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm 1) và 20 em học sinh còn lại (nhóm 2) năm học 2013-2014 của trường THPT Nguyễn Hữu Tiến – Hà Nam. Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm và nhóm 2 là nhóm đối chứng. Chọn học sinh ở 2 nhóm này có lực học khá và tương đương nhau. 3. Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm nội dung: Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 4. Đánh giá kết quả thực nghiệm a) Đề kiểm tra: Phát phiếu kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh: Thời gian 45’ Bài 1 (3đ): Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2 2( ) 4 29 4 5y f x x x x x       trên  . Bài 2 (4đ): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 4y f x x x     trên miền  | 1 4x x     . Bài 3 (3đ): Cho , , 0a b c  và 2a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2P a ab b b bc c c ca a         b) Kết quả kiểm tra Điểm Lớp 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài Nhóm 1 (TN) 0 0 1 4 3 5 1 4 2 20 Nhóm 2 (ĐC) 1 1 2 6 4 4 1 1 0 20 Điểm trung bình: 1 1 2 2 1 1 1 ( ... ) k k k i i i x n x n x x n n x n n        Trong đó: : i x là điểm kiểm tra : i n là tần số của các giá trị i x www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 23 :n là số học sinh tham gia ( 20n  ). Kết quả thu được: TN §C 7,05; 5,6x x  . 5. Kết luận Dựa trên kết quả thực nghiệm thấy rằng kết quả của nhóm thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Số học sinh đạt điểm cao ở nhóm thực nghiệm cũng vượt trội so với nhóm đối chứng. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy rằng phương pháp này có thể dạy ngay cho học sinh học lớp 10 – khi đã học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở một mức độ nào đó (phần hình học). www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 24 PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Thực hiện mục đích của đề tài, tôi đã giải quyết được một số vấn đề sau: 1. Học sinh biết áp dụng những điều đã được giới thiệu để giải quyết một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số cũng như vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức. Học sinh trung bình khá trở nên nắm vững được phương pháp và biết vận dụng ở dạng bài tập cơ bản, học sinh khá giỏi có thể sử dụng phương pháp này để giải quyết một số bài toán trong đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi. 2. Ngoài ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Phương pháp tọa độ còn có nhiều ứng dụng: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình... Tôi khuyến khích các em về tìm tòi thêm. 3. Thực nghiệm cho thấy: kết quả ứng dụng của phương pháp là tương đối khả quan. Học sinh tiếp thu được bài và trình bày chặt chẽ. Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng được ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu về những bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ độ thì có thể chuyển thành bài toán đại số hoặc giải tích và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn đề của đề tài. Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có thể dùng phương pháp tọa độ. Ngoài phương pháp tọa độ nêu trên thì còn rất nhiều kĩ thuật, phương pháp để giải đối với bài toán này. Tuy nhiên phương pháp này cho thấy việc sử dụng phương pháp tọa độ trong hình học vào giải quyết các bài toán đại số là rất mạnh mẽ, làm cho việc trình bày lời giải trở nên gọn gàng, sáng sủa. Thông quan bản sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác phương pháp tọa độ một cách có hiệu quả khi làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán. Qua nội dung đề tài, tôi mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn nữa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và bài toán chứng minh bất đẳng thức cũng như muốn nghiên cứu mối quan hệ giữa “Hình học” và “Đại số”. Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ và thành công hơn trong giảng dạy. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Duy Tiên, tháng 4 năm 2014 Người viết ThS. Trần Mạnh Hân www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Người thực hiện: Trần Mạnh Hân Tổ chuyên môn : Toán - Tin NĂM HỌC 2013- 2014 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] SGK “Hình học 10 Nâng cao” NXB Giáo dục - 2006. [2] SGK "Đại số 10 Nâng cao” NXB Giáo dục - 2006. [3] Tạp chí toán học và Tuổi trẻ, NXB Giáo dục. [4] Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh 10, 11, 12 tỉnh Hà Nam. [5] Tuyển chọn theo chuyên đề “Toán học&Tuổi trẻ” – Quyển 1 – NXB Giáo dục. [6] Giới thiệu các bài thi chọn học sinh giỏi Toán THPT toàn quốc, Lê Hải Châu, NXB Trẻ - 2001. [7] Tuyển tập đề thi Olympic 30- 4. lần thứ V. VI. VII. [8] Chuyên đề toán hình học tọa độ phẳng và không gian, PGS.TS Nguyễn Văn Lộc, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2009. [9] Các trang web về toán học: ... www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com