Đề tài Một số vấn đề ứng dụng của đồ thị trong Tin học

LỜI NÓI ĐẦU Bước sang năm bản lề của thế kỷ 21, nhìn lại thế kỷ 20 là thế kỷ mà con người đạt được nhiều thành tựu khoa học rực rỡ nhất, một trong những thành tựu đó là sự bùng nổ của ngành khoa học máy tính. Sự phát triển kỳ diệu của máy tính trong thế kỷ này gắn liền với sự phát triển toán học hiện đại, đó là toán rời rạc. Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chất rời rạc không liên tục. Toán rời rạc bao gồm các lĩnh vực như quan hệ, lý thuyết đồ thị, lôgíc toán, ngôn ngữ hình thức... trong đó lý thuyết đồ thị là một bộ phận trọng tâm với nhiều khối lượng kiến thức khá lý thú và được nghiên cứu nhiều nhất. Toán rời rạc nói chung và lý thuyết đồ thị nói riêng là công cụ thiết yếu cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật, và là một thành phần quan trọng trong học vấn đối với sinh viên các ngành kỹ thuật đặc biệt sinh viên ngành Tin học. Lý thuyết đồ thị, với cách tiếp cận đối tượng nghiên cứu và phương pháp tư duy khá độc đáo thực sự ngày càng hữu ích có nhiều ứng dụng phong phú và gây không ít bất ngờ. Máy tính mà bản thân nó với các quá trình làm việc mang tính rời rạc, nên điều này tương hợp gắn chặt lý thuyết đồ thị với công nghệ máy tính trong việc nghiên cứu các đối tượng có tính chất rời rạc. Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực Tin học, muốn hiểu biết sâu sắc các vấn đề Tin học cần nắm vững các kiến thức về Toán học rời rạc mà trong đó đặc biệt là lý thuyết đồ thị. Từ những nhận thức trên, với đề tài "Một số vấn đề ứng dụng của đồ thị trong Tin học" đây không chỉ là nhiệm vụ em phải thực hiện trong kỳ bảo vệ luận văn tốt nghiệp mà thực sự đây là đề tài mà em rất quan tâm và say mê nghiên cứu. Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Pgs. Ts Đỗ Đức Giáo là người trực tiếp, tận tình, chu đáo giảng dạy và hướng dẫn em hoàn thành cuốn luận văn này. Nhân dịp này em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ, dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo, cán bộ Khoa Công Nghệ Thông Tin trường Đại học Dân lập Đông Đô và những bạn học đã đóng góp những ý kiến bổ ích cho bản luận văn này. Do trình độ hiểu biết còn hạn chế, thời gian chuẩn bị không nhiều, bản luận văn này còn nhiều sai sót và chưa đầy đủ, em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn quan tâm. Hà Nội 6/2000 Sinh viên: Phan Thanh Long GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI "Một số vấn đề ứng dụng của đồ thị trong Tin học" là đề tài mang tính nghiên cứu lý thuyết, có tầm quan trọng và có ý nghĩa thiết thực cao. Khái niệm đồ thị ở đây khác với những đồ thị thông thường đã biết, đây là 1 lĩnh vực về lý thuyết đồ thị nghiên cứu những cấu trúc mang tính rời rạc là 1 bộ phận quan trọng của Toán học rời rạc. Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng trong các ngành kỹ thuật và đã được nghiên cứu nhiều với khối lượng kiến thức khá đồ sộ. Đề tài được thực hiện trước tiên sẽ đề cập tới những vấn đề chủ yếu của Lý thuyết đồ thị, sau đó tuỳ từng nội dung cũng sẽ xoay quanh tới những ứng dụng của đồ thị trong Tin học, giải quyết các bài toán trong Tin học như xác định xem hai máy tính trong mạng có thể truyền tin được hay không nhờ mô hình đồ thị của mạng máy tính, hay là bài toán nối mạng máy tính sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất hoặc việc khắc phục những gói tin bị truyền sai nhờ các giải thuật đã nghiên cứu về đồ thị. Có những ứng dụng của đồ thị không đi trực tiếp vào các lĩnh vực trong Tin học, ví dụ như bài toán lập lịch trong công tác hành chính, xác định đường đi ngắn nhất giữa 2 điểm nút giao thông, ta cũng xem đó là ứng dụng 1 cách gián tiếp trong Tin học vì nếu được mô hình tốt những bài toán đó bằng đồ thị thì sẽ giải quyết chúng dễ dàng bằng máy tính, hoặc là về chơi cờ Ca rô tuy chỉ là môn chơi về trí tuệ nhưng đồ thị cũng hỗ trợ tốt cho nhưng ai muốn lập trình chơi cờ Ca rô trên máy tính khi đã mô hình được các thế cờ bằng đồ thị. Đề tài được thực hiện xong bao gồm những nội dung sau đây: Chương 1 Một số vấn đề cơ bản của đồ thị Nhằm trình bày những khái niệm cơ bản nhất về lý thuyết đồ thị, là cơ sở tìm hiểu sâu sắc hơn các vấn đề tiếp theo. Ngoài các định nghĩa, tính chất cơ bản của đồ thị, chương này có trình bày đến 1 vấn đề quan trọng, đó là cách lưu trữ, biểu diễn và xử lý đồ thị trên máy tính khi đã xét những mô hình biểu diễn hình học. Cấu trúc dữ liệu liên quan chặt chẽ đến giải thuật, việc biểu diễn đồ thị trên máy tính như thế nào sẽ ảnh hưởng đến cách giải các bài toán ứng dụng bằng máy tính. Trong chương có trình bày một số phương pháp biểu diễn đồ thị trên máy tính, mỗi phương pháp đều có những ưu và khuyết điểm riêng, vì vậy cần lựa chọn phương pháp sao cho phù hợp với đặc điểm từng bài toán và đạt được hiệu quả về thuật toán. Khi đưa các ví dụ minh họa, nhất là về phần đồ thị đặc biệt ta sẽ thấy được ứng dụng của đồ thị trong mô hình về mạng máy tính. Chương 2 Số ổn định và tô màu đồ thị Số ổn định của đồ thị bao gồm số ổn định trong, số ổn định ngoài và nhân đồ thị, nghiên cứu vấn đề này ta sẽ thấy được mối quan hệ giữa các tập đỉnh của một đồ thị. Một ứng dụng khá lý thú khi đề cập tới vấn đề này đó là xây dựng mô hình đồ thị cho bài toán lập trình chơi cờ carô, có sử dụng đến tập ổn định ngoài của đồ thị. Ở chương này ta cũng sẽ gặp đến một ứng dụng khá thiết thực khi bàn đến vấn đề tô màu của đồ thị, hay còn gọi là sắc số của đồ thị, ứng dụng đó là bài toán lập lịch. Lập lịch là công tác hành chính phổ biến, hay gặp ở các cơ quan, xí nghiệp, trường học... cũng đã có nhiều sản phẩm phần mềm phục vụ cho việc lập lịch. Chương 3 Chu trình, đường đi Euler và Hamilton trong đồ thị Trình bày những khái niệm về chu trình Euler, đường Euler, chu trình Hamilton, đường Hamilton các tính chất của chúng đồng thời đưa ra 1 số thuật toán ứng dụng để tìm các đường, chu trình Euler, Hamilton. Chương 4 Đường đi ngắn nhất trong đồ thị Bài toán đường đi ngắn nhất hay được đề cập tới trong lý thuyết đồ thị, đây cũng là loại bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng rộng rãi. Trong đồ thị thường đặt ra các loại tìm đường đi ngắn nhất như sau: - Đường đi ngắn nhất nhất giữa 1 cặp đỉnh đã được xác định trước. - Đường đi ngắn nhất giữa 1 đỉnh với tất cả các đỉnh còn lại. - Đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh bất kỳ. Để giải quyết các loại bài toán này, trong chương sẽ trình bày 1 số thuật toán chính hay được sử dụng như: Dijkstra, Ford-Bellman và Floyd. Về mặt ứng dụng, trong chương sẽ nêu ra giải thuật Viterbi cho ứng dụng khá quan trọng trong lĩnh vực Tin học đó sửa gói tin sai khi truyền tin trong mạng máy tính. Khi nói đến đường đi ngắn nhất, người ta cũng hay nói đến mở rộng của bài toán đường đi ngắn nhất thành đường đi dài nhất. Trong vấn đề này ta lại có 1 ứng dụng nữa trong công tác lập lịch, đó là sơ đồ mạng PERT cho việc lập dự án thi công một công trình. Ứng dụng này rất thực tiễn và đã đem lại nhiều hiệu quả cao cho việc thi công một công trình. Chương 5 Một số vấn đề về cây Đây là chương cuối cùng và là chương sẽ đề cập tới nhiều ứng dụng nhất. Cây là một trường hợp riêng của đồ thị, để nghiên cứu hết các tính chất, khái niệm về cây cần cả 1 khối lượng kiến thức đồ sộ và đã có những đề tài cấp luận văn hoặc hơn thế nữa nghiên cứu về cây. Trong chương này chỉ đề cập tới những điểm chính nhất, cơ bản nhất về cây và tập trung khai thác những ứng dụng của nó. Những ứng dụng của cây thì rất nhiều, trong chương chỉ đề cập tới những ứng dụng cơ sở nhất nhưng cũng thiết thực nhất, đó là 1 số ứng dụng của cây nhị phân như mã tiền tố, cây biểu diễn biểu thức, cây quyết định, cây sắp xếp và tìm kiếm. Trong lý thuyết đồ thị, khi nói về cây thì cây bao trùm là vấn đề không thể thiếu, vì đây cũng là đặc điểm rất hay của đồ thị. Trong cây bao trùm lại có cây bao trùm bé nhất, lớn nhất và đây lại là 1 dạng của bài toán tối ưu. Trong chương cũng sẽ giới thiệu ứng dụng thực tiễn của cây bao trùm nhỏ nhất trong việc kết nối mạng sao cho chi phí nhỏ nhất, đồng thời đưa ra 1 số thuật toán tìm cây bao trùm, đặc biệt có những thuật toán rất cơ sở được nêu ra, được dùng nhiều trong việc giải quyết các bài toán đồ thị trên máy tính như là kỹ thuật quay lui, tìm kiếm ưu tiên theo chiều rộng và chiều sâu. Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ I. CÁC ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ 1. Định nghĩa đồ thị Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này, các loại đồ thị khác nhau được phân biệt bởi kiểu và số lượng cạnh nối hai đỉnh nào đó của đồ thị. Giả sử X là tập hữu hạn, không rỗng các phần tử nào đó và U Í X´X. Bộ G = được gọi là đồ thị hữu hạn. Mỗi phần tử xÎX gọi là một đỉnh và mỗi phần tử u = (x,y) Î U gọi là một cạnh của đồ thị G = . Xét một cạnh u Î U khi đó tồn tại 2 đỉnh x, y Î X sao cho u = (x, y), ta nói rằng x nối với y hoặc x và y thuộc u. x y u - Nếu cạnh u = (x, y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh kề nhau. - Nếu u = (x, x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên. - Nếu u = (x, y) mà x,y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hướng từ x đến y thì u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh vào. - Khi giữa cặp đỉnh (x, y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói những cạnh cùng cặp đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội y x y x y a) b) c) a. Tại đỉnh y có một khuyên b. Một cung có hướng từ x sang y c. Cặp đỉnh (x, y) có 2 cạnh song song Hình 1.1 Trong thực tế ta có thể gặp nhiều vấn đề mà có thể dùng mô hình đồ thị để biểu diễn, như sơ đồ một mạng máy tính, sơ đồ mạng lưới giao thông, sơ đồ thi công một công trình. Ví dụ: Xét một mạng máy tính, có thể biểu diễn mạng này bằng một mô hình đồ thị, trong đó mỗi máy là một đỉnh, giữa các máy được nối với nhau bằng các dây truyền, chúng tương ứng là các cạnh của đồ thị. Một mô hình mạng máy tính như hình 1.2 trong đó có các máy tính A, B, C, D tương ứng là các đỉnh, giữa 2 máy được nối trực tiếp với nhau thì tương ứng với 1 cặp đỉnh kề nhau. A B C D Hình 1.2 Ví dụ về một đồ thị 2. Đồ thị đơn Đồ thị G = được gọi là đồ thị đơn nếu giữa hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bởi không quá một cạnh (cung), tức là đồ thị không có cạnh bội, không có khuyên. Hình 1.2 là một ví dụ về đồ thị đơn 3. Đa đồ thị Đồ thị G = được gọi là đa đồ thị nếu nó có ít nhất một cặp đỉnh được nối với nhau bởi hai cạnh (hai cung) trở lên. 4. Giả đồ thị Là đồ thị có ít nhất một khuyên, có thể chứa cạnh bội, cạnh đơn. Tóm lại đây là loại đồ thị tổng quát nhất. A B C D A B C D a) b) Hình 1.3 a. Đa đồ thị b. Giả đồ thị II. CÁC LOẠI ĐỒ THỊ 1. Đồ thị vô hướng Đồ thị G= được gọi là đồ thị vô hướng nếu tất cả các cạnh e Î U mà cặp đỉnh thuộc nó e = (x,y) Î X không phân biệt thứ tự. Đồ thị vô hướng là đồ thị không có bất kỳ một cung nào. Ví dụ: như hình 1.3.a là biểu diễn của một đồ thị vô hướng. 2. Đồ thị có hướng Đồ thị G = được gọi là đồ thị có hướng nếu tất cả các cạnh e Î U mà cặp đỉnh thuộc nó e = (x, y) Î X có phân biệt thứ tự. Đồ thị có hướng là đồ thị mà mọi e = (x, y) Î X đều là cung. A B C Hình 2.1 Đồ thị có hướng 3. Đồ thị hỗn hợp Đồ thị G= vừa có cạnh vô hướng, vừa có cạnh có hướng thì nó được gọi là đồ thị hỗn hợp, loại đồ thị này rất ít khi được dùng tới. Chú ý rằng vấn đề phân chia đồ thị và các thuật ngữ về đồ thị chỉ mang tính tương đối, hiện nay vẫn còn chưa mang tính thống nhất chuẩn trên nhiều tài liệu. III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ 1. Bậc đồ thị 1.1 Bậc đồ thị vô hướng Cho đồ thị vô hướng G = . Xét 1 đỉnh x Î X đặt m(x) là số cạnh thuộc đỉnh x khi đó m(x) được gọi là bậc của đỉnh x. Nếu x có một khuyên thì m(x) được cộng thêm 2. x x m(x) = 3 m(x) = 2 - Nếu m(x) = 0 thì đỉnh x được gọi là đỉnh cô lập - Nếu m(x) = 1 thì đỉnh x được gọi là đỉnh treo Ta đặt thì m(G) được gọi là bậc của đồ thị vô hướng G = 1.2 Bậc đồ thị có hướng Cho đồ thị có hướng G= xét 1 đỉnh x Î X, ta ký hiệu m+(x) là số các cung vào của đỉnh x, còn m-(x) là số các cung ra khỏi x. Khi đó ta gọi m+(x) là bậc vào của đỉnh x còn m-(x) là bậc ra của đỉnh x. - Nếu m+(x) + m-(x) = 0 thì đỉnh x được gọi đỉnh là cô lập - Nếu m+(x) + m-(x) = 1 thì đỉnh x được gọi là đỉnh treo Ta đặt Khi đó m(G) được gọi là bậc của đồ thị có hướng G = . Trong đồ thị có hướng thì m+(x) = m-(x) = çU ç Ví dụ: - Xét đồ thị vô hướng như trong hình 1.3.a ta có: m(G) = m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 2 + 5 + 2 + 1 = 10 - Xét đồ thị có hướng trong hình 2.1 ta có: m(G) = [m+(A) + m+(B) + m+(C) ] + [m-(A) + m-(B) + m-(C)] = [1 + 2 + 1] + [2 + 1 +1] = 8 Định lý: Cho đồ thị hữu hạn G = khi đó bậc của đồ thị G bằng 2 lần số cạnh của đồ thị, tức là m(G) = 2çU ç. Chứng minh: Ta thấy một cạnh thuộc 2 đỉnh, nếu xoá một cạnh thì bậc của G giảm đi 2, nếu xoá một khuyên u = (x, x) thì bậc của G cũng giảm đi 2, còn nếu xoá hết cạnh, hết khuyên thì bậc của đồ thị bằng 0. Từ đó suy ra định lý. Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = là một số chẵn Chứng minh: Gọi A và B tương ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập đỉnh bậc chẵn của đồ thị. Ta có: Do vế trái chẵn nên tổng vế phải cũng là số chẵn. Mà tổng bậc của các đỉnh bậc chẵn (xÎA) là số chẵn nên tổng bậc của các đỉnh bậc lẻ (xÎB) phải là số chẵn, do tất cả các số hạng của nó là số lẻ, nên tổng này phải gồm một số chẵn các số hạng. Vì vậy số đỉnh bậc lẻ phải là số chẵn. 2. đường đi và chu trình 2.1 Đường đi Xét đồ thị G = với - Tập đỉnh X = {x1,x2,...,xn} - Tập cạnh U = {u1,u2,...,um} Tập hợp các đỉnh kề nhau từ xi đến xj được gọi là 1 đường đi, kí hiệu xixi1xi2 ... xj º xiuixi1ui1xi2ui2 ... ujxj Trong đó các cạnh, các đỉnh trong đường đi có thể lặp lại Độ dài của đường đi bằng số các cạnh (hoặc cung) trong đường đi đó. *Chú ý rằng trong đồ thị có hướng, trên một cung uv chẳng hạn thì đường đi chỉ có thể đi từ gốc (u) đến ngọn (v) không thể đi ngược lại. 2.2 Chu trình Xét một đường đi từ xi - xj. Nếu xi º xj thì đường đi này được gọi là một chu trình. Như vậy chu trình là một đường đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết thúc trùng nhau. Chú ý rằng đường đi trong đồ thị có hướng không được đi ngược chiều mũi tên - Đường đi (chu trình) được gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh không quá một lần. - Đường đi (chu trình) được gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đúng một lần A B C D E Hình 3.1 Ví dụ như ở hình 3.1 ADBE là một đường đi sơ cấp từ A đến E độ dài 3; ABCDBE là đường đi không sơ cấp ( qua B 2 lần) từ A đến E độ dài 5; ABDAB là một đường đi không đơn (chứa cạnh AB 2 lần) từ A đến B độ dài 4; ABDA Là 1 chu trình đơn và sơ cấp độ dài 3; CC là đường đi độ dài 0. Xét đồ thị có hướng như hình 2.1 thì ABCB là một đường đi độ dài 3; CBA không là một đường đi vì không có cung đi từ B đến A. Định lý: Nếu trong đồ thị G = các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 ( "x Î X | m(x) ³ 2 ) thì trong G tồn tại ít nhất một chu trình. Chứng minh: Xét tất cả các đường đi đơn. Vì đồ thị là hữu hạn cho nên số các đường đi đơn là hữu hạn. Chọn một đường đi là dài nhất nào đó ví dụ từ xi1 đến xij +1 (xem hình vẽ dưới đây). Theo giả thiết m(x) ³ 2 nên tồn tại ít nhất một đỉnh xi0 và một cạnh nối đỉnh xi1 và xi0. Đỉnh xi0 thuộc một trong các đỉnh trên đường đi đã chọn chẳng hạn xij vì đường đi là dài nhất, nên chứng tỏ tồn tại một chu trình trong đường đi. xi0 xi1 xi2 xi3 xij xij+1 3. Đồ thị liên thông Cho đồ thị G = . Hai đỉnh phân biệt x,y Î X được gọi là liên thông nếu tồn tại một đường đi nối các đỉnh x, y với nhau. Đồ thị G được gọi là liên thông nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ trong đồ thị đều là liên thông. Ví dụ như hình 3.1 là một đồ thị liên thông vì luôn có đường đi nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị, còn đồ thị như hình 3.2 là không liên thông vì không có đường đi từ A tới D hoặc từ D tới F v.v.. Xét 2 đồ thị liên thông G1 = và G2 = Trong đó: X1 Ç X2 = Æ và U1 Ç U2 = Æ Khi đó: X = X1 È X2 U = U1 È U2 Thì G = là đồ thị có 2 thành phần liên thông G1, G2. A B F C E D Hình 3.3 Ví dụ như đồ thị trong hình 3.3 có ba thành phần liên thông sau: G1 = với X1= {A,B,C} và U1 = {AB, AC, CB} G2 = với X2= {D, E} và U2 = {DE} G3 = với X3= {F} và U3 = Æ Cho đồ thị có hướng G = - G được gọi là đồ thị liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng với nó là liên thông - G là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G luôn có đường đi x - y hoặc đường đi y - x. - G là liên thông mạnh (liên thông 2 chiều) nếu hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G đều có đường đi x - y và đường đi y - x. A B C D A B C D A B C D H1 H2 H3 Hình 3.4 Ở hình 3.4 đồ thị H1 là liên thông mạnh, giả sử cặp đỉnh (A,C) ta có chiều đi từ C tới A, và đồng thời cũng có chiều đi từ A tới C, và bất kỳ các cặp đỉnh khác cũng tương tự như vậy. H2 là liên thông một chiều vì xét cặp đỉnh (A,D) có chiều đi từ D tới A nhưng không có chiều đi từ A tới D. H3 là liên thông yếu vì tồn tại cặp đỉnh (B,C) không có chiều đi B - C cũng không có chiều đi C - B, nhưng đồ thị vô hướng tương ứng là liên thông. 4. Đồ thị con và đồ thị bộ phận Cho đồ thị G = - Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh xuất phát từ đỉnh đó thì phần còn lại của đồ thị được gọi là đồ thị con của đồ thị G đã cho, hoặc là nếu D = là đồ thị con của G = thì X' Í X và U' Í U - Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nhưng giữ nguyên các đỉnh thì phần còn lại của đồ thị được gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G. IV. CÁC DẠNG BIỂU DIỄN CỦA ĐỒ THỊ 1. Biểu diễn hình học của đồ thị Để có cái nhìn trực quan ta thường biểu diễn đồ thị bằng hình học, một đồ thị có thể biểu diễn trên một mặt phẳng hoặc trong không gian. Phương pháp biểu diễn như sau: Biểu diễn các đỉnh của đồ thị bằng các điểm (hay vòng tròn nhỏ, ô vuông nhỏ) và nối hai điểm bằng một đường (cong, thẳng, mũi tên) khi cặp điểm đó ứng với một cạnh (cung) của đồ thị. Ví dụ 1: Cho đồ thị G = trong đó X = {A, B, C, D, E} và U = {AB, AC, AD, AE, BD, CD, CE} C D E B A A B D E C a) b) Hình 4.1 Hình 4.1.a và hình 4.1.b đều là biểu diễn hình học của đồ thị G đã cho ở trên 2. Sự đẳng cấu Với mỗi đồ thị thì có thể có nhiều dạng biểu diễn hình học, có nhiều đồ thị tưởng chừng khác nhau nhưng đó là cách biểu diễn hình học khác nhau của cùng một đồ thị, sự đẳng cấu cho phép chúng ta kết luận được điều đó. Định nghĩa: Xét 2 đồ thị G1 = (X1, U1) và G2 = Hai đồ thị này được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại 1 song ánh từ X1 vào X2 và từ U1 vào U2 sao cho nếu có cạnh e = (u, v) Î U1 tương ứng với cạnh e' = (u', v') Î U2 thì cặp đỉnh u, v Î X1 cũng là tương ứng cặp đỉnh u', v' Î X2 Ví dụ xét 2 đồ thị G1 và G2 như hình 4.2 a b c d m n p q G1 G2 Hình 4.2 Ta có f : G1 ® G2 f(a) = m f(c) = n f(d) = q f(b) = p Nếu a, b Î X1 kề nhau thì f(a), f(b) Î X2 kề nhau. Vậy đây là 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, ta có thể xem G1 và G2 thực chất chỉ là 1 chỉ có điều biểu diễn ở dạng hình học khác nhau, các tên đỉnh khác nhau. Để xét 2 đồ thị có đẳng cấu không là việc khó, tuy nhiên để xét 2 đồ thị không đẳng cấu với nhau thì đơn giản hơn. Đối với 2 đồ thị đẳng cấu thì các đồ thị đó có những tính chất bất biến như sau: - Số đỉnh bằng nhau - Số cạnh bằng nhau - Bậc các đỉnh tương ứng cùng như nhau - 2 Ma trận kề cũng như nhau - Các chu trình cũng như nhau 3. Một số đồ thị đặc biệt Do tính chất, dạng biểu diễn có những nét đặc thù riêng biệt nên ta phân loại một số đồ thị thành các dạng đặc biệt sau: 3.1 Đồ thị đều Là một đồ thị mà mọi đỉnh có cùng bậc, nếu bậc này bằng k thì đó là đồ thị k - đều a) b) c) d) Hình 4.3 a: G- 1 đều; b: G - 2 đều; c: G - 2 đều; d: G - 3 đều. Trường hợp riêng như đồ thị hình 4.3.b và hình 4.3.c là những đồ thị vòng ký hiệu Cn (n là số đỉnh) 3.2 Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đinh, ký hiệu Kn là đơn đồ thị vô hướng mà mọi cặp đỉnh phân biệt luôn kề nhau. Xem ví dụ như hình 4.4 dưới đây hoặc 1 trường hợp riêng của đồ thị đều G - 3 là những đồ thị đầy đủ a) b) Hình 4.4 a - đồ thị đầy đủ K2 ; b - đồ thị đầy đủ K4 3.3 Đồ thị bánh xe: Ký hiệu Wn, thu được từ đồ thị vòng có n đỉnh bằng cách bổ sung một đỉnh mới nối tất cả các đỉnh đã có. W4 W5 W6 Hình 4.5 Các dạng đồ thị bánh xe 3.4 Một vài ứng dụng của đồ thị đặc biệt Ở các mạng cục bộ (LAN), các máy tính thường được kết nối theo một cách thức nào đó gọi là hình trạng (topolopy). Dựa theo đặc điểm của các totolopy này mà ta có thể mô hình bằng 1 số dạng đồ thị đặc biệt. Ví dụ với mạng LAN các máy tính được kết nối theo topolopy hình sao (Star) sau đây: Hình 4.6 Ở dạng này, tất cả các máy được nối vào một thiết bị trung tâm có nhiệm vụ nhận tín hiệu từ các máy và chuyển đến máy đích của tín hiệu. Từ đặc điểm này có thể mô hình bằng một đồ thị bộ phận của đồ thị bánh xe W6 như hình 4.7.a a) b) c) d) a) Dạng sao b) dạng vòng c) dạng hỗn hợp d) dạng đầy đủ (Complete) Hình 4.7 Một số topolopy của LAN Ở mạng LAN ta cũng thường có các dạng topolopy khác như dạng chu trình (loop) hoặc gọi là vòng. Ở dạng này mỗi máy nối đúng với 2 máy khác. Mạng cục bộ với cấu trúc vòng tròn được mô hình bằng các đồ thị đặc biệt dạng vòng Cn như hình 4.7.b, thông báo gửi từ máy này sang máy khác theo chu trình vòng tròn cho tới khi tới được máy đích. Hoặc 1 dạng nữa là dạng hỗn hợp, đó là sự kết hợp của dạng hình sao và hình vòng. Topolopy kiểu này là một đồ thị bánh xe Wn (hình 4.7.c). Mạng cục bộ dạng bánh xe các máy có thể truyền vòng quanh theo vòng tròn hoặc có thể qua bộ phận trung tâm. Ngoài ra người ta cũng thường hay bố trí mạng sao cho các máy đều kết nối trực tiếp với nhau, với kiểu này có thể mô hình bằng đồ thị đầy đủ Kn (hình 4.7.d) 4. Biểu diễn đồ thị trên máy tính Lĩnh vực đồ thị có nhiều ứng dụng trong thực tế, có thể mô hình nhiều ứng dụng bằng đồ thị và sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán về ứng dụng đó. Nên việc biểu diễn và lưu trữ đồ thị trên máy tính là một vấn đề khá trọng tâm, phương thức biểu diễn từng loại đồ thị trên máy tính ảnh hưởng đến các giải thuật, phương pháp giải quyết các ứng dụng trên máy tính. 4.1 Biểu diễn bằng ma trận kề Phương pháp này dựa trên mối quan hệ giữa các cặp đỉnh, mỗi đồ thị được đặt tương ứng với một ma trận vuông cấp n (n là số đỉnh của đồ thị). Gọi ma trận kề là A = (aij ) i,j = 1...n. + Trường hợp G = là đồ thị vô hướng với X = {x1, x2,...,xn} khi đó mỗi phần tử aij của ma trận A được xác định như sau: aij = aji = d, nếu cặp đỉnh (xi, xj) có d cạnh nối với nhau. Khi cặp đỉnh (xi, xj) không có cạnh nào nối với nhau thị aij = 0. Ta thấy ma trận kề của đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng. + Trường hợp G = là đồ thị có hướng với X = {x1, x2,...,xn} thì mỗi phần tử aij của A được xác định như sau: đối với mỗi cặp đỉnh (xi, xj) từ xi đến xj nếu có d cung thì aij = d. Chú ý aji = 0 nếu không có cung nào hướng từ xj đến xi. Ma trận kề trong trường hợp này là không đối xứng. Trong 2 trường hợp trên ta chú ý nếu đỉnh xi có một khuyên thì phần tử tương ứng của ma trận kề là aii = 1 A C B D A B C D G1 G2 Hình 4.8 Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 như sau: Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (xi, xj) được gán một trọng số l(e) (còn viết là l(xi, xj) ) thì ma trận kề của nó được thay bằng ma trận có trọng số, khi đó mỗi phần tử của ma trận bằng trọng số của cạnh tương ứng: aij = l(xi, xj) Ưu điểm của phương pháp này là dễ dàng xác định được các cặp đỉnh có kề nhau hay không hoặc rất thuận tiện khi tìm số bậc của mỗi đỉnh. Việc truy cập phần tử của ma trận kề qua chỉ số không phụ thuộc vào số đỉnh của đồ thị. Nhược điểm lớn nhất của phương pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của đồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lưu trữ ma trận kề của nó. Định lý: s lần Nếu G = là đa đồ thị với A = (aij) là ma trận kề tương ứng, thì số đường đi khác nhau từ đỉnh xi đến đỉnh xj có độ dài s bằng phần tử Pij của ma trận tích A´A´...´A = As = (Pij) Xét ví dụ ứng dụng: Trong một số hệ thống thông tin khi được mô hình bằng đồ thị có thể thực hiện tốt một số công tác kiểm kỹ thuật. Ví dụ khi biểu diễn một mạng máy tính bằng đồ thị, giả sử có 2 máy nào đó mà thông tin truyền giữa chúng là quan trọng, cần tiến hành kiểm tra xem đã có đường truyền dự phòng giữa chúng không. Xét ở góc độ đồ thị thì cần kiểm tra xem số đường đi giữa cặp đỉnh tương ứng với 2 máy đó, nếu số đường đi lớn hơn 1 là đã có đường truyền dự phòng. * Chương trình viết bằng PASCAL sau tính số đường đi độ dài l nhập từ bàn phím Type MaTran = Array[1..20,1..20] Of Integer; Var a, b, aa: MaTran; n,l,x1,x2: Integer; Procedure InputMt(Var Mt: Matran); Var i, j: Integer; Begin For i:=1 to n do For j:=1 to n do Begin Write('a',i,j,'= '); Readln(Mt[i,j]); End; End; Procedure Gan(Mt1: MaTran; Var Mt2: MaTran); {Mt2 <-- Mt1} Var i,j:Integer; Begin For i:=1 to n do For j:=1 to n do Mt2[i,j]:=Mt1[i,j]; End; Procedure TichMt(mt1,mt2: Matran; Var MtKq: MaTran); { MtKq = Mt1*Mt2 } Var i,j,k: Integer; Begin For i:=1 to n do For j:=1 to n do Begin MtKq[i,j]:=0; For k:=1 to n do MtKq[i,j]:=MtKq[i,j]+Mt1[i,k]*Mt2[k,j]; End; End; Procedure LthuaMt(m: Integer); {aa = a ^m (m: do dai duong di, m>=2) } Var i: Integer; Begin Gan(a,b); For i:=1 to m-1 do Begin TichMt(b,a,aa); Gan