Đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài toán tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

I. PHẦN MỞ ĐẦU : I.1. Lý do chọn đề tài: Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán 7, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc khi giải bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đa số học sinh khi giải còn thiếu lôgíc, thiếu chặt chẽ, thiếu trường hợp. Lí do là các em vận dụng tính chất, định nghĩa giá trị tuyệt đối chưa chắc, các em chưa phân biệt được các dạng toán và áp dụng tương tự vào bài toán khác. Mặt khác nội dung kiến thức ở lớp 6 và 7 ở dạng này để áp dụng còn hạn chế nên không thể đưa ra đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống và phong phú được. Mặc dù chương trình sách giáo khoa sắp xếp rất hệ thống và lô gíc, có lợi thế về dạy học đặt vấn đề trong dạng toán tìm x này. Chính vì vậy, để khắc phục cho học sinh những sai lầm khi giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Tôi đã suy nghĩ, tìm tòi và áp dụng vào trong giảng dạy thấy có hiệu quả cao, nên tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài toán tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ” với mục đích giúp cho học sinh tự tin hơn trong làm toán. I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài: Nhằm giải đáp những vướng mắc khi giải bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh một cách lô gíc và có khoa học. Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ một số vấn đề như sau: + Làm sáng tỏ cơ sở lí luận về năng lực giải bài toán tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Đưa ra một số dạng toán tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài. I.3. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 7 của trường thcs Hải Ba có học lực dưới mức giỏi. I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu: Tháng 9 năm 2014 – Tháng 11 năm 2014. Học sinh khối 7 trường THCS Hải Ba. I.5. Phương pháp nghiên cứu: Thông qua bài kiểm tra khảo sát đầu năm, kiểm tra vấn đáp những kiến thức cơ bản, trọng tâm mà các em đã được học. Qua đó giúp tôi nắm được những ''lỗ hổng” kiến thức của các em rồi tìm hiểu nguyên nhân và lập kế hoạch khắc phục. I.6. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã đưa ra các dạng bài toán nhằm phát triển tư duy lôgic cho học sinh, các giải pháp và những hoạt động cụ thể trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Qua việc áp dụng các dạng toán tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ở các lớp tôi dạy, học sinh đã có nhiều tiến bộ, yêu thích học toán, vì vậy chất lượng bộ môn được nâng cao. II. PHẦN NỘI DUNG: II.1. Cơ sở lý luận: Lớp 7 là cơ sở hạ tầng của bậc trung học cơ sở. Kiến thức toán học lớp 6 và 7 là những cơ sở bước đầu của bậc trung học cơ sở. Nắm vững kiến thức, kỹ năng toán học ở lớp 7 là điều kiện thuận lợi để học tốt ở các lớp trên. Về mặt lý luận, người thầy phải nắm vững những khó khăn vướng mắc khi giải toán của học sinh để từ đó đề ra các giải pháp phù hợp nhằm khắc phục tình trạng đó trong học toán của học sinh. Một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ". Phải có sự suy nghĩ chính xác thì mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập môn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Như vậy rèn luyện khả năng tư duy lôgic hướng dẫn cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cần thiết và rất đáng để đầu tư công sức. II.2. Cơ sở thực tiễn: Trên địa bàn mà trường tôi trực thuộc, học sinh đa số là con em nông thôn, điều kiện kinh tế còn khó khăn nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa cao, ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình, không có thời gian để tự học. Sự quan tâm kèm cặp con cái của phụ huynh còn hạn chế. Ý thức học tập của một số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập của học sinh còn yếu vì thế hầu hết các em sợ học môn toán. Bản thân tôi là giáo viên vào ngành được gần 10 năm. Trong những năm qua tôi được phân công giảng dạy môn toán ở nhiều khối lớp từ 6 đến 9. Tham gia dạy bồi dưỡng học sinh giỏi. Khi dạy học môn toán 7, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc khi giải bài toán tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đa số học sinh khi giải còn thiếu lôgíc, thiếu chặt chẽ, thiếu trường hợp. Khả năng tính toán của các em chưa linh hoạt, chưa vận dụng hợp lí các phương pháp giải, hợp logic, khả năng phân tích, dự đoán kết quả của một số em còn hạn chế và chưa có khả năng khai thác bài toán. Vì vậy, chất lượng môn toán của học sinh còn chưa cao, học sinh giỏi còn ít. Đặc biệt, khi giải bài toán tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối các em thường làm được rất ít, hoặc làm thì thường mắc những sai lầm sau: Ví dụ 1 : Tìm x, biết: Học sinh chưa nắm được đẳng thức luôn xảy ra vì (4 > 0 ) mà vẫn xét hai trường hợp x – 5 < 0 và x – 5 < 0 và giải hai trường hợp tương ứng. Cách làm này chưa gọn. Ví dụ 2 : Tìm x, biết : Nhiều học sinh chưa đưa về dạng cơ bản để giải mà nhanh chóng xét hai trường hợp giống như ví dụ 1: x – 2 > 0 và x – 2 < 0 Ví dụ 3 : Tìm x biết: (1) Học sinh đã làm như sau: Nếu suy ra Nếu suy ra Với cách giải này các em không xét tới điều kiện của x. Có em đã thực hiện (1) suy ra hoặc x–2 =-x – 1 Trong trường hợp này các em mắc sai lầm ở trường hợp không xét điều kiện của x+2. Như vậy trong các cách làm trên các em làm chưa kết hợp chặt chẽ điều kiện, chưa rút ra được điều kiện của x, làm bài còn chưa ngắn gọn. *Kết quả điều tra khảo sát Khi chưa hướng dẫn, tôi ra đề cho học sinh lớp 7 trường THCS Hải Ba như sau : Tìm x , biết a, ( 3 điểm) b, ( 3 điểm) c, ( 2 điểm) d, ( 2 điểm) Tôi thấy học sinh còn lúng túng về cách giải, chưa nắm vững phương pháp giải đối với từng dạng bài, chưa kết hợp được kết quả với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn được phương pháp giải nhanh gọn và hợp lí . Kết quả đạt được như sau : Tổng số Hs zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzaaaaaaaaaaaa Điểm 0 - 2 Điểm < 2 - < 5 Điểm TB Điểm K + G SL % SL % SL % SL % 93 6 6,5 34 36,6 39 41,9 14 15,1 Kết quả thấp là do học sinh còn vướng mắc những điều tôi đã nói ở trên và phần lớn các em chưa làm được câu c, d . II.3. Các giải pháp thực hiện : * Cung cấp kiến thức có liên quan đến bài toán Điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 là các em chưa được học giải phương trình, bất phương trình, các phép biến đổi tương đương, hằng đẳng thức ….Nên giải bài toán tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có những phương pháp xây dựng chưa thể hướng dẫn được học sinh vì thế các em cần nắm vững các kiến thức sau : 1, Yêu cầu học sinh nắm vững cách giải bài toán tìm x cơ bản dạng A(x) = B(x) dạng này cần nắm vững quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế. 2, Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối. A khi A > 0 -A khi A < 0 3, Định lí về dấu nhị thức bậc nhất. II.4. Các biện pháp tổ chức thực hiện Để giải bài toán tìm x trong biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, tôi đã sử dụng các kiến thức cơ bản như quy tắc, tính chất, định nghĩa về giá trị tuyệt đối để hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang dạng khác. Từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa tính chất về giá trị tuyệt đối đi đến tìm tòi các phương pháp giải các dạng khác đối với mỗi dạng bài, loại bài . Biện pháp cụ thể như sau: 1.Một số dạng cơ bản 1.1 Dạng cơ bản với B > 0 a, Cách tìm phương pháp giải Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy ra cần áp dụng kiến thức nào để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số). b, Phương pháp giải Ta lần lượt xét A(x) = B hoặc A(x) = -B c,Ví dụ Ví dụ 1 : ( Bài 25 (a) sách giáo khoa trang 16 tập 1) Tìm x, biết GV: Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán: Đẳng thức có xảy ra không ? vì sao? ( Đẳng thức có xảy ra vì và 2,3 > 0 ) Cần áp dụng kiến thức nào để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau )) Bài giải hoặc + Xét + Xét Vậy x = 4 hoặc x = - 0,6 Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra ví dụ khó dần Ví dụ 2 : ( bài 25b SGK trang 16 tập 1) Tìm x biết Với bài này tôi đặt câu hỏi " Làm sao để đưa về dạng cơ bản đã học " Từ đó học sinh biến đổi đưa về dạng Bài giải hoặc + Xét + Xét Vậy hoặc Ví dụ 3 Tìm x ,biết Làm thế nào để đưa về dạng cơ bản đã học ? Từ đó học sinh đã biến đổi đưa về dạng cơ bản đã học Bài giải hoặc + Xét + Xét Vậy x = 2 hoặc x = 9 1.2.Dạng cơ bản ( trong đó biểu thức B(x) có chưá biến x) a, Cách tìm phương pháp giải Cũng đặt câu hỏi gợi mở như trên, học sinh thấy được đẳng thức không xảy ra khi B(x) <0.Vậy cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản đế suy luận tìm ra cách giải bài toán trên không? Có thể tìm ra mấy cách ? b, Phương pháp giải Cách 1 : ( Dựa vào tính chất ) Với điều kiện ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x) sau đó giải hai trường hợp với điều kiện Cách 2 : Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối +Xét ? Ta có A(x) = B(x) (giải tìm x để thoả mãn ) + Xét ? Ta có A(x) = - B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) < 0) + Kết luận : x = ? Lưu ý : Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau ( đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau ( dạng đặc biệt của dạng hai) Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng (Nếu B0 đó là dạng đặc biệt, còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra. Nếu B là biểu thức có chứa biến là dạng hai và giải bằng cách 1) hoặc ta đi xét các trường hợp xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối. c, Ví dụ Ví dụ 1 Tìm x ,biết : Cách 1 : Với ta có hoặc + Nếu (Thoả mãn) + Nếu (Thoả mãn) Vậy hoặc x = 4 Cách 2 : + Xét Ta có (Thoả mãn) + Xét 15 – 4x 15 Ta có (Thoả mãn) Vậy hoặc x = 4 Ví dụ 2 Tìm x ,biết Cách 1 : Với ta có hoặc + Nếu ( loại ) + Nếu ( Thoả mãn) Vậy x = -1 Cách 2 : + Xét ta có ( loại ) + Xét ta có ( Thoả mãn) Vậy x = -1 1.3 Dạng a, Cách tìm phương pháp giải Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số ( giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm ). Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào ? ( cả hai số đều bằng không ). Vậy ở bài này tổng trên bằng không khi nào ? ( A(x) =0 và B(x)=0 ) Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện : A(x) =0 và B(x)=0. b, Phương pháp giải Tìm x thoả mãn hai điều kiện : A(x) =0 và B(x)=0 c, Ví dụ Tìm x , biết 1, 2, Bài giải 1, và + Xét (1) +Xét hoặc (2) Kết hợp (1)và (2) 2, và + Xét hoặc (1) + Xét hoặc hoặc x = 2 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được x = -1 Lưu ý : Ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh phải ghi kết luận giá trị tìm được thì giá trị đó phải thoả mãn hai đẳng thức và 2. Dạng mở rộng : hay a, Cách tìm phương pháp giải Trước hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy đây là dạng đặc biệt (vì đẳng thức luôn xảy ra vì cả hai vế đều không âm), từ đó các em tìm tòi hướng giải. Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn. Có hai cách giải: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) (dựa vào định nghĩa )và cách giải dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) =B(x) ; A(x) =-B(x) ( vì ở đây cả hai vế đều không âm do và ). Để học sinh lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ được. b, Phương pháp giải Cách 1 : Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá tị tuyệt đối Cách 2 : Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) =B(x) hoặc A(x) =-B(x) c, Ví dụ Ví dụ 1 : Tìm x ,biết hoặc + Xét + Xét Vậy x = 5 hoặc Ví dụ 2: Tìm x , biết Bước 1 : Lập bảng xét dấu : Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức : và Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn . Ta có bảng sau: x -4 2 x+4 - 0 + + x-2 - - 0 + Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A=0 mà kết hợp với điều kiện để A >0 (ví dụ ) Cụ thể : Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau : + Nếu x<-4 ta có x-2<0 và x+4 <0 nên và Đẳng thức trở thành ( thoả mãn x < -4) + Nếu ta có và Đẳng thức trở thành 0x = 2 (vôlí ) + Nếu ta có và Đẳng thức trở thành 2x = 6 x = 3 (thoả mãn ) Vậy x = -5 ; x = 3 Lưu ý: Qua hai cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong mỗi cách giải. Ở cách giải 2, thao tác giải sẽ nhanh hơn, dễ dàng xét dấu trong các khoảng giá trị hơn , nhất là các dạng chứa 3; 4 dấu giá trị tuyệt đối ( nên ý thức lựa chọn cách giải) Ví dụ 3 : Tìm x ,biết (1) Nếu giải bằng cách 1 sẽ phải xét nhiều trường hợp xảy ra ,dài và mất nhiều thời gian. Còn giải bằng cách hai (lập bảng xét dấu ). x 3 5 8 x-3 - 0 + + + x-5 - - 0 + + x-8 - - - 0 + + Nếu x < 3 thì và và nên đẳng thức (1) trở thành : (loại) + Nếu thì và và nên đẳng thức (1) trở thành : (loại) + Nếu thì và và nên đẳng thức (1) trở thành : (thoả mãn ) + Nếu thì (1) thì và và nên đẳng thức (1) trở thành : (thoả mãn ) Vậy ; x = 10 Tuy nhiên với cách hai sẽ dể mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng, nên khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý và tuân theo đúng quy tắc lập bảng. Một điều cần lưu ý cho học sinh đó là kết hợp trường hợp trong khi xét các trường hợp xảy ra để thoả mãn biểu thức 0 (tôi đưa ra ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh ). Ví dụ 4 : Tìm x biết Lập bảng xét dấu x 6 11 x-6 - 0 + + x-11 - - 0 + + Xét các trường hợp xảy ra, trong đó với thì đẳng thức trở thành x = 11 thoả mãn , như vậy nếu không kết hợp với x = 11 để mà chỉ xét tớí x > 11 để x-11 > 0 thì sẽ bỏ qua mất giá trị x = 11 Từ những dạng cơ bản đó đưa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại toán này: dạng lồng dấu, dạng chứa từ ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên. + Xét ta có thoả mãn với mọi x sao cho + Xét x < 6 ta có (loại) Vậy 3. Phương pháp giải và cách tìm phương pháp giải: Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh: *Phương pháp giải : tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp 1: Nếu ( ) thì suy ra A=B hoặc A=-B không cần xét tới điều kiện của biến x Phương pháp 2: Sử dụng tính chất và để giải dạng và ; Phương pháp 3 : Xét khoảng giá trị của biến ( dựa vào định nghĩa ) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, thường để giải với dạng hay *Cách tìm tòi phương pháp giải : Cốt lõi của việc giải bài toán tìm x trong biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối đó là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối . + Trước hết xem bài có rơi vào dạng đặc biệt không ? ( có đưa về dạng đặc biệt được không). Nếu là dạng đặc biệt ( ) hay thì áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối (giải bằng phương pháp 1 đã nêu ) không cần xét tới điều kiện của biến . + Khi đã xác định được dạng cụ thể ta nên suy nghĩ cách nào làm nhanh hơn, gọn hơn thì lựa chọn. III. KẾT LUẬN: Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy cho học sinh lớp tôi dạy, tôi thấy học sinh làm dạng toán này nhanh gọn hơn. Học sinh không còn lúng túng trong khi gặp dạng toán này .Cụ thể khi làm phiếu kiểm tra với đề bài như sau: Tìm x, biết : a, (3đ) b, (3đ) c, (4đ) Kết quả nhận được như sau : - Học sinh không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng loại bài - Biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí - Hầu hết đã trình bày lời giải chặt chẽ. Kết quả cụ thể như sau: Tổng số hs Điểm 0 - 2 Điểm < 2 - < 5 Điểm TB Điểm K + G SL % SL % SL % SL % 93 0 0 12 12,9 28 30,1 53 57 Kết quả cho thấy số lượng học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng lên rõ rệt so với bài khảo sát lần trước (Tăng từ 15,1% lên 57 %). Số bài bị điểm yếu giảm chỉ còn 12,9%. Không có bài dưới điểm 2. III.1. Bài học kinh nghiệm: Khi nghiên cứu đề tài này tôi rút ra một số bài học cho bản thân trong việc bồi dưỡng hai đầu cho học sinh yếu và học sinh khá - giỏi như sau: - Nghiên cứu kĩ tài liệu, chuẩn bị kĩ bài soạn, đọc và giải các bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo để có sự phân loại bài tập . - Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy . - Hệ thống các phương pháp cơ bản để giải loại toán đó. - Khái quát hoá, tổng hợp hoá từng dạng, từng loại bài tập. - Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức, sưu tầm và tích luỹ nhiều bài toán, sắp xếp theo từng loại, dạng bài để khi dạy giúp các em nắm vững dạng toán. - Chọn giải tại lớp một số bài tập cần thiết, ra đúng thời điểm cần thiết, bài dễ chuẩn bị cho bài khó, bài trước là một cách giải gợi ý cho bài sau. Cứ thế học sinh có thể tự mình giải quyết những vấn đề mới đặt ra, tự mình làm được công việc của người khám phá kiến thức. Cần tránh quan điểm giải càng nhiều bài càng tốt, và mỗi bài tập cần có sự chọn lọc, có sự khai thác triệt để kiến thức. Quá trình giải toán chính là quá trình phương pháp luận khoa học, là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo. Trong các tiết luyện tập, học sinh lại càng có điều kiện phát huy năng lực sáng tạo qua việc khai thác bài toán, không nên coi thường các bài tập đơn giản ở sách giáo khoa, nếu biết khai thác chúng ta có thể thu được nhiều kết quả phong phú. Ở tiết luyện tập nên chọn một số bài tập vừa đủ để có điều kiện khắc sâu kiến thức cho học sinh, phát triển các năng lực tư duy cần thiết trong giải toán. Sắp xếp các bài tập thành một nhóm bài có liên quan với nhau như bố cục một bài văn, hay để học sinh nghiên cứu tìm lời giải bài toán và để cho học sinh được hưởng niềm vui khi tự mình tìm được chìa khóa của lời giải. III.2. Kiến nghị: Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh giải một số dạng toán tìm x trong biểu chứa dấu giá trị tuyệt đối. Tôi nghĩ kinh nghiệm thì không thể không tránh khỏi thiếu sót và cần được chia sẻ. Nên tôi mong có sự ủng hộ, đóng góp ý kiến của các trưởng đầu ngành, của đồng nghiệp, để tôi có được nhiều kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy cho các em học sinh giải toán. Tôi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo 1. Sách giáo khoa toán 7 – NXB giáo dục -2007 2. Nâng cao và phát trỉên toán 7 - NXB giáo dục 2003 của Vũ Hữu Bình 3. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7- NXB giáo dục 2006 của Vũ Hữu Bình 4. Luyện giải và ôn tập Toán 7, tập 1 của tác giả Vũ Dương Thuỵ - Nhà xuất bản Giáo dục năm 2003. 5. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7 của tác giả Bùi Văn Tuyên - Nhà xuất bản Giáo dục năm 2006