Đề kiểm tra chất lượng lớp 12 năm học 2014 - 2015 môn Toán - Trường THPT Chuyên Lan Sơn

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN (thời gian 180 phút) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=xx+1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với trục tọa độ một tam giác cân. Câu 2 (1,0 điểm) a) Giải phương trình 2cos5x.cos3x+sinx=cos8x. b) Giải phương trình log2(5.2x-82x+2)=3-x. Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I=0π41+3tanx1+cos2xdx. Câu 4 (1,0 điểm) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 a) Lập số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để lấy được số có mặt chữ số 6. b) Tính tổng S=C20150-2.C20151+22.C20152-23.C20153+-22015.C20152015. Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình chữ nhật tâm I, có AB = a và BC=a3. Gọi H là trung điểm AI. Biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAC vuông tại S.Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm A1;0;0, B0;-2;0, C0;0;3, D1;- 2;3. Tìm tọa độ điểm I cách đều 4 điểm A, B, C,, D. Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có diện tích bằng 40, đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn (S): (x-4)2+(y-1)2=2, điểm J(195;185) nằm trên đường thẳng AB, đường thẳng AC có phương trình x-3y+1=0. Tìm tọa độ các điểm A, D biết D có hoành độ nhỏ hơn 5. >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x+y-x-y=4x-yx2-9=3y-3x+3-2 Câu 9 (1,0 điểm) Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn x>0>yx22y-3x+6y-4y2x-4≤6xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=2x4+32y4+4x2y2-2x2-8y2+1x2+14y2-5. -----------------Hết--------------- ĐÁP ÁN Câu 1 (1,0 đ) a)(1,0 điểm) y=xx+1 • Tập xác định: D=R\{-1}. • Sự biến thiên: >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 + Chiều biến thiên: y'=1(x+1)2>0, ∀x∈D. (0,25đ) Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-∞;-1) và -1;+∞. + Giới hạn và tiệm cận: limx→-∞y=limx→+∞y=1 ; tiệm cận ngang: y=1 (0,25đ) limx→(-1)-y=+∞ và limx→(-1)+y=-∞; tiệm cận đứng: x=-1 + Bảng biến thiên: >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4 • Đồ thị: + Đi qua các điểm O0;0 và M-2;2. b)(1,0 đ) • Tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác cân, thì hệ số góc tiếp tuyến bằng ±1. • M(x0;y0), suy ra: 1(x0+1)2=±1⇔x0=0 hoặc x0=-2 (0,25đ) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5 • x0=0, suy ra y0=0; tiếp tuyến là y=x đi qua gốc tọa độ, không thỏa mãn yêu cầu. (0,25đ) • x0=-2, suy ra y0=2; tiếp tuyến là y=x+4, thỏa mãn yêu cầu. (0,25đ) • Vậy, điểm cần tìm là: M(-2;2). (Nếu không loại tiếp tuyến y=x thì trừ 0,25 điểm) • Câu 2 (1,0 đ) • a)(0,5đ) 2cos5x.cos3x+sinx=cos8x (1) • (1)⇔cos8x+cos2x+sinx=cos8x • ⇔2sin2x-sinx-1=0⇔sinx=1,sinx=-12 (0,25đ) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6 • + sinx=1⇔x=π2+k2π, k∈Z (0,25đ) • + sinx=-12⇔x=-π6+k2π, x=7π6+k2π, k∈Z • b)(0,5đ) • log2(5.2x-82x+2)=3-x (2) • (2)⇔ 5.2x-82x+2=23-x • ⇔2x5.2x-8=82x+2⇔5.22x-16.2x-16=0 (2) (0,25đ) • Đặt 2x=t>0 thì (2) trở thành 5t2-16t-16=0 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7 • ⇔t=4>0t=-45<0 (loại); t=4⇔x=2 • Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2 • Câu 3 (1,0 đ) • I=0π41+3tanx1+cos2xdx • =120π42+3tanxcos2xdx=160π4(2+3tanx)12d(2+3tanx) (0,5đ) • Đặt 2+3tanx=t=>I=1625tdt=16.23.t32|25=19(55-22) (0,5đ) • Câu 4 (1,0 đ) • a)(0,5 điểm) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8 • Giả sử abcd là số có 4 chữ số phân biệt từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6; có A64=360 số. • Trong 360 số trên có 4.A53=240 số có mặt chữ số 6. (0,25đ) • Xác suất cần tính: p=240360=23. (0,25đ) • b)(0,5 điểm) • Xét: (1+2x)2015=C20150+C20151.2x+C20152.(2x)2+C20153.(2x)3+ +C20152015.(2x)2015 (0,25đ) • Thay x=-1, được S=(1-2)2015=-1 (0,25đ) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9 • Câu 5 (1 điểm) • • SH ⊥ (ABCD) => SH ⊥ AC. • Δ SAC vuông tại S => SH2=HA.HC , AC=AB2+BC2 (0,25đ) • HA=a2, HC=3a2=>SH=a32 • Diện tích: SABCD=AB.BC=a23. (0,25đ) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 • Thể tích: • VS.ABCD=13SH.SABCD=a32. • CI=2HI, suy ra: dC,SBD=2dH,SBD. • Hạ HN⊥BD, N∈BD và HK⊥SN, K∈SN, suy ra: HK ⊥ (SBD) nên dH, SBD=HK. • Ta có: AB.AD=2SΔABD=2.HN.BD=>HN=AB.AD2BD=a34. (0,25đ) • Ta có: 1HK2=1HN2+1SH2=>HK=3a215. Vậy, dC,SBD=2HK=3a15. (0,25đ) • Câu 6 (1,0 điểm) • • • >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 •• • Giả sử I(x;y;z). I cách đều A, B, C, D hay IA=IB=IC=ID (0,25đ) • ⇔(x-1)2+y2+z2=x2+(y+2)2+z2(x-1)2+y2+z2=x2+y2+(z-3)2(x- 1)2+y2+z2=(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2 (0,25đ) • ⇔2x+4y=-3-6z=-84y-6z=-13 (0,25đ) • Giải hệ, được: I(12;-1;32) (0,25đ) • Câu 7 (1,0 đ) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 •• Gọi I là điểm đối xứng với J qua đt AC thì I∈AD. Giả sử I (a; b) thì trung điểm của IJ là • H(a+1952;b+1855) . I, J đối xứng với nhau qua AC ⇔ H∈ACJI.UAC=0⇔a=5, b=0 • Vậy I (5; 0) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 • Ta có I (5; 0) ∊ (S) nên đt AD chính là tiếp tuyến của (S) tại I. Pt AD: x-y- 5=0=>A(8;3) (0,25đ) • Gọi E là tâm của hình thoi và φ=EAD =>φ là góc giữa AC và AD • =>cosφ=25=>cotφ=2=>SABCD=40⇔DE.EA=20⇔DE.DE.cotφ=20⇔DE2= 10 (0,25đ) • Giả sử D(x0;x0-5); DE2=10⇔d2D,AC=10⇔(|x0-3x0-5+1|10)2=10 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 • ⇔(16-2x0)2=100⇔x0=35 (loại). Vậy D(3;-2) (0,25đ) • Câu 8 (1,0 đ) • x+y-x-y=4x-y (1)x2-9=3y-3x+3-2 (2) • Điều kiện y≥0, x≥3x≥y;y+33≥x≥y4II. 1=>y=4x-4; y=0 loại • y=4x-4 thay vào (2) có x2-9=3x-1-2 (3) • C1: Đặt x-1=u, u≥2=>x=u2+1 thay vào (2) có u4+2u2-8=3u-2 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 • ⇔u4+2u2-8=9u2-12u+4⇔u4-7u2+12u-12=0⇔u-2u3+2u2-3u+6=0 ⇔u=2; u3+2u2-3u+6=0 (0,25đ) • + u=2=>x=5, y=16 thỏa mãn (II) • + u3+2u2-3u+6=0 4;u≥2 (0,5đ) • Do u≥2 nên u3+2u2-3u+6>2u+2u-3u+6=u+6>0=>(4) vô nghiệm. • Vậy hpt có nghiệm x;y=(5;16) • C2: >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16 • (2): x2-9-4=3x-1-2⇔x2-25x2-9+4=3(x-5)x-1+2 (0,25đ) • ⇔x=5;x+5x2-9+4=3x-1+2 • +x=5=>y=16 thỏa mãn (II) • + x+5x2-9+4=3x-1+2 5,∀x≥3=>x+5x2-9+4≥x+5x+4>1>32+2≥3x-1+2 • =>(5) vô nghiệm. Vậy hpt có nghiệm x;y=(5;16) (0,5đ) • Câu 9 (1,0 đ) • x>0>y (1)x22y-3x+6y-4y2x-4≤6xy (2) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17 • Do (1) nên (2) =>x3-6x2y+12xy2-8y3-8xy≥12⇔(x-2y)3-8xy≥12 (3) • Đặt 2y=-u, u>0, (3) trở thành 12≤x+u3+4xu≤x+u3+x+u2 • =>2≤x+u • Ta có P=2x4+u4+x2u2-2x2+u2+1x2+1u2-5 (0,25đ) • Ta có: 1x2+1u2≥4x2+u2 (4); dấu “=” xảy ra ⇔ x=u. Từ (4) suy ra >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18 • P=2(x2+u2)2-2x2+u2-3x2u2+1x2+1u2-5≥2(x2+u2)2-2x2+u2- 34(x2+u2)2+4x2+u2-5=54(x2+u2)2-2x2+u2+4x2+u2-5 • Đặt t=x2+u2=>P≥ft=54t2-2t+4t-5, t≥2 (Do x+u≥2) (0,25đ) • ft liên tục trên 2;+∞, f't=5t3-4t2-82t2=4t2t-1+t3-82t2>0,∀t>2 nên • ft đồng biến trên 2;+∞=>ft≥f2=-2,minP=-2⇔x;y=(1;-12) (0,5đ) • • • • >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 19