Đề khảo sát chất lượng các môn thi THPT quốc gia lần 3 năm học 2014 - 2015 môn: Toán

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 Câu 1 (2, 0 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 b. Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục hoành Câu 2 ( 1,0 điểm) Giải phương trình: 2 cos 6x + 2 cos 4x - √ cos 2x = sin 2x + √ Câu 3 (1, 0 điểm) Tính: I = ∫ dx Câu 4 (1,0 điểm) a. Giải phương trình log2 x + log3 x + log6 x = log36 x b. Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển nhị thức Niu ton (√ + ) n ( với x 0) biết rằng n * và - = 9(n+4) Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a, AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2 HB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và AD. Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng d: 2x – 5y + 1 = 0, cạnh AB nằm trên đường thẳng d’ : 12x – y – 23 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua điểm M (3;1) Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, C sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ B đến (P). Câu 8 (1,0 điểm) SỞ GD&ĐT TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM HỌC 2014- 2015 MÔN : TOÁN THỜI GIAN: 180 phút (không kể thời gian phát đề) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 Giải hệ phương trình: { √ √ √ √ Câu 9 (1,0 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3 Tìm GTNN của biểu thức S = 8(a+b+c) + 5( + + ) Hết ĐÁP ÁN Câu 1 a. (1,0 điểm) TXĐ: D = R - Sự biến thiên: Chiều biến thiên y = 3x2 + 6x; y’ = 0 [ 0,25 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 2), (0; + nghịch biến trên (-2;0) - Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = -2; yCd = y(-2) = 2 - Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0; yCd = y(0) = -2 - Giới hạn: y = - ; = + 0,25 - Bảng biến thiên : 0,25 x -2 0 y’ + 0 - 0 + y - Đồ thị cắt Ox tại (-1;0), (-1+√ ; 0), (-1-√ ; 0) >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 - Đồ thị nhận điểm uốn U(-1;0) là tâm đối xứng 0,25 b. (1.0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành là x 3 + 3x 2 + mx + m – 2 = 0 (x -1 )(x2 + 2x + m – 2) = 0 (1) 0,25 (1) [ 0,25 (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox PT (1) có ba nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 { m < 3 0,25 Vậy khi m < 3 thì (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía trục hoành Câu 2: PT 2 (cos 6x + cos 4x) = √ (1+cos 2x) + 2 sinx.cos x 0,25 4 cos5x cos x = 2 cos x(√ cos x + sin x) [ √ 0,25 + cos x = 0 x = + k , (k ) + √ cos 5x = √ cos x + sin x cos 5x = cos (x - ) 0,25 [ [ (k ) 0,25 Vậy pt có 3 họ nghiệm x = + k ; ; (k ) Câu 3: Tính I = ∫ dx = ∫ 0,25 Đặt t = x.ex + 1 dt = (x+1)exdx Đổi cận : x = 0 t = 1 X = 1 t = e +1 0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4 Suy ra I = ∫ = ∫ dt = ∫ )dt 0,25 Vậy I = (t - ln| |)| = e – ln(e+1) 0,25 Câu 4 a. (0,5 điểm) PT xác định với mọi x R Áp dụng công thức loga c = logab . logbc (0 < a,b,c; a 1, b 1) PT log2x + log32 . log2x + log62.log2x = log362. log2x 0,25 log2x (log32 + log62 + 1 - log362) = 0 (*) Do log3 2 + log6 2 + 1 – log36 2 > 0 PT (*) log2x = 0 x = 1 0,25 Vậy nghiệm pt là x =1 b. (0,5 điểm) Từ giả thiết - = 9 (n +4) - = 9(n+4) n = 15. Khi đó (√ + ) 15 = ∑ √ 15-k ( ) k = ∑ 2 k 0,25 Số hạng không phụ thuộc vào x tương ứng với = 0 k = 6 0,25 Vậy số hạng không phụ thuộc vào x là . 2 6 Câu 5: (1,0 điểm) Kẻ HK CD (K CD) Khi đó { CD (SHK) CD SK Vậy góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc ̂ = 600 0,25 Trong tam giác vuông SHK: SH = HK. tan600 = 2a√ Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = .SABCD.SH >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5 = . 3a.2a.2a√ = 4a3 √ 0,25 Vì (SBC) // AD d(AD, SC) = d(A,(SBC)). Trong đó (SAB) kẻ AI SB, khi đó { BC (SAB) BC AI AI (SBC) 0,25 Vậy d(AD, SC) = d(A,(SBC)) = AI = = √ √ = √ 0,25 Câu 6 (1,0 điểm) VTPT của BC: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2;-5), VTPT của AB: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (12;-1) VTPT của AC: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (a;b), (a 2 + b 2 > 0) . Ta có ̂ = ̂ < 900 0,25 cos ̂ = ̂ | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ | = | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | √ = | | √ 9 a 2 – 100 ab – 96b2 = 0 a + 12b = 0 v 9a – 8b = 0 0,25 Với a + 12b = 0 chọn a = 12, b= -1 thì ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =(12;-1) AB // AC (loại) 0,25 Với 9a – 8b = 0 chọn a = 8, b= 9 nên AC: 8(x – 3) + 9 (y -1) = 0 AC: 8x + 9y – 33 = 0 0,25 Câu 7 (1,0 điểm) Do (P) cách đều A và B nên hoặc (P) // AB hoặc (P) đi qua trung điểm AB 0,25 Khi (P) // AB (P) { ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ (P): 2x + y = 0 0,25 Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x – y = 0, (P): 2x + y = 0 0,25 Câu 8 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6 ĐK { 0,25 Khi hệ có nghiệm (x;y) → x + y Ta thấy √ (*) dấu bằng khi x = y thật vậy (*) (2x +y)2 (x – y)2 0 luôn đúng với mọi x, y Tương tự √ x + 2y (**) dấu bằng khi x = y 0,25 Từ (*), (**) VT(1) = √ √ (1) Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y (3) Thế (3) vào (2) ta được √ + 2√ = 2x 2 + x + 5 (4) điều kiện x (4) 2(x 2 – x) + (x+1-√ ) + 2 (x+2 + √ ) = 0 0,25 2(x 2 – x) + √ + 2. √ √ = 0 (x2 – x) [2 + √ + 2. √ √ ] = 0 x 2 – x = 0 [ → → (tmđk) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) = (0;0) và (x;y) = (1;1) Câu 9 Nhận xét: 8a + (1) với mọi 0< a <√ dấu bằng khi a = 1, thật vậy 8a + 3a 3 – 16a2 + 23a – 10 0 (a-1)2 (3a – 10) 0 luôn đúng với 0<a<√ dấu bằng khi a = 1 0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7 Tương tự 8b + (2) dấu bằng khi b = 1 8c + (3) dấu bằng khi c = 1 0,25 Từ (1),(2),(3) suy ra S = 8 (a+b+c)+5( + ) = 39 0,25 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của S = 39 đạt được khi và chỉ khi a = b = c = 1 0,25 Chú ý: để tìm ra vế phải của (1) ta sử dụng phương pháp tiếp tuyến