Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn Toán

Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 1 §Ò C¦¥NG ¤N THI TèT NGHIÖP M«n to¸n N¨m häc 2009 - 2010 CẤU TRÚC ĐỀ THI NGHIỆP THPT NĂM 2010 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu Nội dung kiến thức Điểm I • Khảo sát, vẽ ñồ thị của hàm số. • Các bài toán liên quan ñến ứng dụng của ñạo hàm và ñồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (ñứng và ngang) của ñồ thị của hàm số. Tìm trên ñồ thị những ñiểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai ñồ thị (một trong hai ñồ thị là ñường thẳng);... 3,0 II • Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. • Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân. • Bài toán tổng hợp. 3,0 III Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 1,0 II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh học chương trình nào thì chỉ ñược làm phần dành riêng cho chương trình ñó (phần 1 hoặc phần 2). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu Nội dung kiến thức Điểm IV.a Phương pháp toạ ñộ trong trong không gian: − Xác ñịnh toạ ñộ của ñiểm, vectơ. − Mặt cầu. − Viết phương trình mặt phẳng, ñường thẳng. − Tính góc; tính khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng. Vị trí tương ñối của ñường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 2,0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 2 V.a • Số phức: Môñun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm. • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 1,0 2. Theo chương trình Naââng cao: Câu Nội dung kiến thức Điểm IV.b Phương pháp toạ ñộ trong trong không gian: − Xác ñịnh toạ ñộ của ñiểm, vectơ. − Mặt cầu. − Viết phương trình mặt phẳng, ñường thẳng. − Tính góc; tính khoảng cách từ ñiểm ñến ñường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai ñường thẳng. Vị trí tương ñối của ñường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 2,0 V.b • Số phức: Môñun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số phức. Dạng lượng giác của số phức. • Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng 2 + + = + ax bx cy px q và một số yếu tố liên quan. • Sự tiếp xúc của hai ñường cong. • Hệ phương trình mũ và lôgarit. • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 1,0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 3 phÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh CHñ §Ò kh¶o s¸t, vÏ ®å thÞ hµm sè vµ c¸c bµi to¸n liªn quan i. kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 1. D¹ng 1: Hµm bËc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ( 0a ≠ ) 1.1. C¸c b−íc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ. 1. TËp x¸c ®Þnh: D = R 2. Sù biÕn thiªn * Ta cã y’ = 3ax2 + 2bx + c - XÐt dÊu y’ tõ ®ã suy ra sù ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè * T×m cùc trÞ. - T×m cùc trÞ tøc lµ t×m c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña hµm sè (nÕu cã) - C¸ch t×m: + NÕu t¹i x = x0 mµ y ’ ®æi dÊu tõ (+) sang (-) th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = x0 vµ gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ yC§ = y(x0) + NÕu t¹i i x = x0 mµ y ’ ®æi dÊu tõ (-) sang (+) th× hµm sè ®¹t cùc tiÕu t¹i x = x0 vµ gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ yCT = y(x0) L−u ý: NÕu qua x0 mµ y’ ®æi dÊu th× hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x0, ng−îc l¹i x0 kh«ng lµ cùc trÞ cña hµm sè. * T×m c¸c giíi h¹n: { } { } 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 lim ( ) lim (1 ) , , lim ( ) lim (1 ) , , x x x x b c d ax bx cx d ax ax ax ax b c d ax bx cx d ax ax ax ax →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ + + + + = + + + +∞ = −∞ + + + + = + + + +∞ = −∞ * LËp b¶ng biÕn thiªn. nÕu a > 0 nÕu a < 0 nÕu a < 0 nÕu a > 0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 4 1.2. VÝ dô: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = -x3 + 3x2 – 4 1.3. H−íng dÉn 1. TËp x¸c ®Þnh: D = R 2. Sù biÕn thiªn * Ta cã y’ = -3x2 + 6x y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 2 XÐt dÊu y’ (b¶ng xÐt dÊu nµy häc sinh cã thÓ lµm ngoµi giÊy nh¸p) x -∞ 0 2 +∞ y - 0 + 0 - Tõ b¶ng xÐt dÊu y’ ta cã Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞ ; 0) vµ (2; +∞ ) Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; 2) * Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 0, yCT = y(0) = -4 Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2, yC§ = y(2) = 0 * C¸c giíi h¹n: { }3 2 3 33 4lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + ) x xx x→+∞ →+∞ = = −∞ { }3 2 3 33 4lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + ) x xx x→−∞ →−∞ = = +∞ * B¶ng biÕn thiªn. x -∞ 0 2 +∞ y - 0 + 0 - y +∞ -∞ - 4 0 3. VÏ ®å thÞ: Khi vÏ ®å thÞ hµm sè ngoµi c¸c chó ý ®· tr×nh bµy trong SGK häc sinh cÇn l−u ý thªm mét sè ®iÓm sau c¸c b−íc sau: - BiÓu diÔn c¸c ®iÓm cùc trÞ (nÕu cã) lªn hÖ trôc to¹ ®é. - T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc to¹ ®é, c¸c ®iÓm ®Æc biÖt vµ biÓu diÔn chóng lªn hÖ trôc to¹ ®é. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 5 1.4. Bµi tËp tù gi¶i: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: 1. y = x3 + 3x2 - 4 2. y = -x3 +3x – 2 3. y = x3 + x2 + 9x 4. y = -2x3 + 5 5. y = x3 + 4x2 + 4x 6. y = x3 – 3x + 5 7. y = x3 – 3x2 8. y = –x3 + 3x2 – 2 9. y = x3 – 6x2 + 9 2. D¹ng 2: Hµm trïng ph−¬ng y = ax4 + bx2 + c ( 0a ≠ ) 2.1. C¸c b−íc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ. 1. TËp x¸c ®Þnh: D = R 2. Sù biÕn thiªn * Ta cã y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) - XÐt dÊu y’ tõ ®ã suy ra sù ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè * T×m cùc trÞ. C¸ch t×m cùc trÞ hµm bËc bèn ®−îc lµm t−¬ng tù nh− hµm bËc ba * T×m c¸c giíi h¹n: { }4 2 4 2 4 ,lim ( ) lim (1 ) ,x x b c ax bx c ax ax ax→±∞ →±∞ +∞ + + + = + + = −∞ * LËp b¶ng biÕn thiªn. 3. VÏ ®å thÞ: Khi vÏ ®å thÞ hµm sè bËc bèn häc sinh còng cÇn l−u ý mét sè ®iÓm nh− vÏ ®å thÞ hµm bËc ba. nÕu a<0 nÕu a>0 3. VÏ ®å thÞ: - Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc to¹ ®é Giao víi Ox (-1; 0), (2; 0) Giao víi trôc Oy (0; -4) Chän x = -2, y = 16 X = 3, y = -4 4 2 -2 -4 -6 -5 5 3-1 2 O Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 6 2.2. VÝ dô: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = x4 - 2x2 + 2 2.3. H−íng dÉn 1. TËp x¸c ®Þnh: D = R 2. Sù biÕn thiªn * Ta cã y ‘ = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1 B¶ng xÐt dÊu y’ x -∞ -1 0 1 +∞ 4x - - 0 + + x2 - 1 + 0 - - 0 + y’ - 0 + 0 - 0 + Tõ b¶ng xÐt dÊu y’ ta cã Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (-1; 0) vµ (1; +∞ ) Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞ ; -1) vµ (0; 1) * Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0, yC§ = y(0) = 2 Hµm ®¹t cùc tiÕu t¹i x = ± 1, yCT = y(± 1) = 1 * Giíi h¹n: { }4 2 4 2 42 2lim ( 2 2) lim (1 )x xx x x x x→±∞ →±∞+ − + = − + = + ∞ * B¶ng biÕn thiªn x -∞ -1 0 1 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y +∞ +∞ 3. §å thÞ Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc Oy: (0; 2) 1 2 1 6 4 2 -2 -4 -5 5 1 1-1 f x( ) = x4-2⋅x2( )+2 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 7 2.4. Bµi tËp tù gi¶i: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: 1. y = -x4 + 8x2 - 1 2. y = -x4 – 2x2 + 3 3. y = 4 2 1 3 2 2 x x+ − 4. y = 4 22 3x x− + + 5. y = 4 2 3 2 2 x x− − + 6. y = 4 2 1 33 2 2 x x− + 7. y = x4 – 2x2 8. y = x4 + x2 + 1 9. y = 4 2 1 1 1 4 2 x x+ + 3. D¹ng 3: Hµm ph©n thøc h÷u tû B1/B1 ( 0)ax by ac cx d + = ≠ + 3.1. C¸c b−íc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ. 1. TËp x¸c ®Þnh: D = \ dR c   −    2. Sù biÕn thiªn * Ta cã 2( ) ad cby cx d − ′ = + - NÕu ad – cb > 0 th× hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng ( ; d c −∞ − ) vµ ( ; d c − + ∞ ) - NÕu ad – cb < 0 th× hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng ( ; d c −∞ − ) vµ ( ; d c − + ∞ ) * Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ L−u ý: Lo¹i hµm sè nµy kh«ng cã cùc trÞ * T×m c¸c giíi h¹n: lim , lim dx x c ax b a ax b cx d c cx d→±∞ →− + + = = ∞ + + , do ®ã ®å thÞ hµm sè nhËn c¸c ®−êng th¼ng x = d c − lµm tiÖm cËn ®øng vµ y = a c lµm tiÖm cËn ngang. , lim ,d x c ax b cx d− → −    −∞+ =  +∞+  , lim ,d x c ax b cx d+ → −    −∞+ =  +∞+  * LËp b¶ng biÕn thiªn. 3. VÏ ®å thÞ: Khi vÏ ®å thÞ hµm sè b1/b1, ngoµi c¸c l−u ý trong SGK häc sinh cÇn l−u thªm mét sè ®iÓm sau: - VÏ c¸c ®−êng tiÖm cËn lªn hÖ trôc to¹ ®é - T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc to¹ ®é, c¸c ®iÓm ®Æc biÖt vµ biÓu diÔn chóng lªn hÖ trôc to¹ ®é. nÕu ad – cb > 0 nÕu ad – cb < 0 nÕu ad – cb > 0 nÕu ad – cb < 0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 8 3.2. VÝ dô Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 2 2 1 xy x − + = + 3.3. H−íng dÉn 1. TËp x¸c ®Þnh D = 1\ 2 R  −    2. Sù biÕn thiªn * Ta cã ( )2 5 0, 2 1 y x D x ′ = − < ∀ ∈ + Do ®ã hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng 1( ; ) 2 −∞ − vµ ( 1 ; 2 − + ∞ ) * Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ * Giíi h¹n 1 1 2 2 2 1 2 2lim ; lim ; lim 2 1 2 2 1 2 1x x x x x x x x x− +→±∞    → − → −        − + − + − + = − = − ∞ = + ∞ + + + Do ®ã ®å thÞ hµm sè nhËn c¸c ®−êng th¼ng x = 1 2 − lµm tiÖm cËn ®øng vµ ®−êng th¼ng y = 1 2 − lµm tiÖm cËn ngang. * B¶ng biÕn thiªn x - ∞ - 1 2 + ∞ y′ - - y - 1 2 3. §å thÞ Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc Ox: (2; 0) Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc Oy: (0; 2) - 1 2 - ∞ + ∞ 6 4 2 -2 -4 -5 5 O- 1 2 - 1 2 f x( ) = -x+2 2 ⋅ x+1 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 9 3.4. Bµi tËp tù gi¶i Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: 1. y = 2 1 x x + − + 2. y = 2 2 1 x x − + 3. y = 1 1 x x − + 4. y = 3 1 x x + − 5. y = 1 2 2 4 x x − − 6. y = 5 1 x x − − 7. y = 2 3 2 x x + − 8. y = 3 1 x x + + 9. y = 1 1 x x − + Ii. Mét sè d¹ng to¸n liªn quan ®Õn bµi to¸n kh¶o s¸t hµm sè 4. D¹ng 4: Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh F(x;m) =0 (1). 4.1. C¸ch giải: 4.2. VÝ dô: Cho hµm sè y = -x3 + 3x2 – 4 a/ Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµ ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: -x3 + 3x2 - 4 - m = 0 (1) 4.3. H−íng dÉn: Bµi to¸n nµy th−êng ®i kÌm theo sau bµi to¸n kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = f(x) v× thÕ ®Ó sö dông ®−îc ®å thÞ hµm sè võa vÏ tr−íc hÕt ta biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng: f(x) = g(m). Khi ®ã sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ ®−êng th¼ng y = g(m). Dùa vµ ®å thÞ, ta suy ra kÕt qu¶ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1). a/ ViÖc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· ®−îc tr×nh bµy (xem bµi 1.2). b/ Ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng: -x3 + 3x2 - 4 = m(2). Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = -x3 + 3x2 - 4 vµ ®−êng th¼ng y = m (lu«n song song hoÆc trïng víi trôc Ox). Dùa vµo ®å thÞ (h×nh 4.3) ta cã: * Khi m0: Ph−¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm * Khi m = 0 hoÆc m = -4: Ph−¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm * Khi -4<m<0: Ph−¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt. 4 2 -2 -4 -6 -5 5 y = m y = m y = m H×nh 4.3 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 10 4.4. Bµi tËp tù gi¶i: 1. Cho hµm sè y = x3 + 4x2 + 4x a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x3 + 4x2 + 4x + 2 – m = 0 (1) 2. Cho hµm sè y = y = x3 – 3x + 5 a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x3 – 3x + 5 + 3 m = 0 (1) 3. Cho hµm sè y = 4 2 3 2 2 x x− − + a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 4 2 1 2 x x− − + + m = 0 (1) 4. Cho hµm sè y = 4 2 1 33 2 2 x x− + a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 4 2 1 33 2 2 x x− + + m = 0 (1) 5. Cho hµm sè y = x3 – 3x2 a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã 3 nghiÖm ph©n biÖt: x3 – 3x2 – 3 + m = 0 (1) 5. D¹ng 5: Bµi t−¬ng giao gi÷a ®−êng th¼ng y = px + q vµ ®å thÞ hµm sè y = f(x). 5.1. C¸ch gi¶i: Sè giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng y = px + q víi ®å thÞ hµm sè y = f(x) lµ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm: f(x) = px + q(1) Nh− vËy ®Ó xÐt sù t−¬ng giao cña ®−êng th¼ng vµ ®å thÞ hµm sè ta gi¶I vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh (1). Dùa vµ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) ta kÕt luËn vÒ sù t−¬ng giao cña ®−êng th¼ng y = px + q víi ®å thÞ hµm sè y = f(x). Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 11 5.2. VÝ dô Cho hµm sè y = 3 1 x x + + (C). Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, ®−êng th¼ng (d): y = 2x+m lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 5.3. H−íng dÉn 5.4. Bµi tËp tù gi¶i. 1. Cho hµm sè y = 1 1 x x + − (C). CMR ®−êng th¼ng 2x-y+m=0 lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt thuéc 2 nh¸nh cña (C.) 2. T×m m ®Ó ®−êng th¼ng y = x +m c¾t ®å thÞ (C): y = 3 1 x x + − t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 3. Cho hµm sè y = 3 2 1 x x − − .T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = mx+2 c¾t ®å thÞ hµm sè ®· cho t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 6. D¹ng 6: ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm M(x0, y0) thuéc ®å thÞ y = f(x). 6.1. C¸ch gi¶i 6.2. VÝ dô Cho hµm sè y = x3 – 3x + 5. ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(1; 3). Ta cã ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm: 3 1 x x + + = 2x+m (1). §−êng th¼ng (d) lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt víi mäi m khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©m biÖt víi mäi m. ThËt vËy 3 1 x x + + = 2x+m 3 (2 )( 1) 1 x x m x x + = + + ⇔  ≠ − 2( ) 2 ( 1) 3 0(2) 1 g x x m x m x  = + + + − = ⇔  ≠ − XÐt ph−¬ng tr×nh (2), ta cã: 2 6 25 0 ( 1) 2 0 m m m g ∆ = − + > ∀ − = − ≠ . VËy ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm kh¸c -1. Do ®ã ®−êng th¼ng (d) lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt víi mäi m. * Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(x0, y0) thuéc ®å thÞ cã d¹ng: y-y0 = f ’(x0)(x-x0) (1) * T×m f’(x0) thay vµo (1) ta ®−îc tiÕp tuyÕn cÇn t×m. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 12 6.3. H−íng dÉn: 6.4. Bµi tËp tù gi¶i: 1. Cho hµm sè y = 4 22 3x x− + + . ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(2, 3) 2. Cho hµm sè y = 4 2 3 2 2 x x− − + ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(1, 0) 3. Cho hµm sè y = 4 2 1 33 2 2 x x− + . ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(1, -2) 4. Cho hµm sè y = x3 – 3x2 ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i c¸c giao ®iÓm cña nã víi trôc Ox. 5. Cho hµm sè y = –x3 + 3x2 – 2. ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(2, 2) 6. Cho hµm sè y = 1 2 2 4 x x − − ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i giao ®iÓm cña nã víi trôc Ox. 7. Cho hµm sè y = 5 1 x x − − ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i giao ®iÓm cña nã víi trôc Ox 7. D¹ng 7: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ®−îc giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ c¸c ®−êng th¼ng x = a, x = b, trôc Ox. 7.1. C¸ch gi¶i: 7.2 VÝ dô: Cho hµm sè y = x3 - 4x. a/ Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b/ TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè víi c¸c ®−êng x = -1, x = 2 * Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(1, 3) thuéc ®å thÞ cã d¹ng: y-y0 = f ’(x0)(x-x0) (1) * Ta cã y’ = f’(x) = 3x-3 ⇒ f’(1) = 0 thay vµo (1) ta ®−îc PTTT cÇn t×m lµ: y = 3 * Ta cã diÖn tÝch ( ) b a S f x dx= ∫ . §Ó tÝnh S ta ph¶I ph¸ dÊu trÞ tuyÖt ®èi cña biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n, muèn vËy ta lµm nh− sau: C¸ch 1: LËp b¶ng xÐt dÊu f(x), tõ ®ã ta cã thÓ ph¸ dÊu trÞ tuyÖt ®èi. C¸ch 2: NÕu trªn kho¶ng (a; b) ®å thÞ hµm sè y = f(x) n»m phÝa trªn trôc hoµnh th× ( ) ( )f x f x= Ng−îc l¹i, nÕu ®å thÞ n¨mg phÝa d−íi trôc hoµnh th× ( ) ( )f x f x= − . Sau khi ph¸ dÊu trÞ tuyÖt ®èi ta tÝnh tÝch ph©n b×nh th−êng, kÕt qu¶ ®ã chÝnh lµ diÖn tÝch cÇn t×m. 6 4 2 -2 -4 -5 5 O 1 -1 f x( ) = x3-4⋅x H×nh 7.3 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 13 7.3 H−íng dÉn. a/ B¹n ®äc tù gi¶i, ®å thÞ (h×nh 7.3) 7.4. Bµi tËp tù gi¶I TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: 1. y = x3 – 3x2 vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -1, x = 2, trôc Ox. 2. y = –x3 + 3x2 – 2 vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -1, x = 2, trôc Ox 3. y = x3 – 6x2 + 9 vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -2, x = 1, trôc Ox 4. y = 4 22 3x x− + + vµ c¸c ®−êng th¼ng x = 0, x = 1, trôc Ox 5. y = 4 2 3 2 2 x x− − + vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -1, x = 1, trôc Ox 6. y = 4 2 1 33 2 2 x x− + vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -2, x = 1, trôc Ox b. C¸ch 1 * Ta cã diÖn tÝch cÇn t×m 2 3 1 4S x x dx − = −∫ . * Ph¸ dÊu trÞ tuyÖt ®èi: §Æt f(x) = x3 - 4x = x(x2 - 4) Trªn kho¶ng (-1; 2), ta cã x3 - 4x = 0 ⇔ x = 0, x = 2. * LËp b¶ng xÐt dÊu f(x). x -1 0 2 x - 0 + x2 -4 - -4 - f(x) + 0 - Tõ b¶ng xÐt dÊu, ta cã 2 0 2 0 2 0 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 0 1 0 1 0 4 4 4 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx − − − − = − = − + − = − − − = − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ TÝnh kÕt qu¶ trªn ta suy ra diÖn tÝch cÇn t×m. C¸ch 2: Tõ ®å thÞ cña hµm sè (h×nh 7.3), ta cã: Trªn kho¶ng (-1; 0) ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh vµ trªn kho¶ng (0; 2) ®å thÞ n»m phÝa d−íi trôc hoµnh, nªn ta cã: 2 0 2 0 2 0 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 0 1 0 1 0 4 4 4 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx − − − − = − = − + − = − − − = − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ TÝnh kÕt qu¶ trªn ta suy ra diÖn tÝch cÇn t×m. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 14 8. D¹ng 8: T×m §iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ®å thÞ hµm bËc ba y = ax3 + bx2 + cx + d a/ Cã cùc trÞ. b/ Lu«n ®ång biÕn hoÆc nghÞc biÕn trªn R. 8.1. C¸ch gi¶i: a/ * T×m tËp x¸c ®Þnh D = R * TÝnh y’ = 3ax2 + 2bx + c Hµm sè cã cùc trÞ (cùc ®¹i vµ cùc tiÓu) khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt. 0y m′⇔ ∆ > ⇒ cÇn t×m b/ * T×m tËp x¸c ®Þnh D = R * TÝnh y’ = 3ax2 + 2bx + c Hµm sè lu«n ®ång biÕn trªn R khi vµ chØ khi 0,y x R′≥ ∀ ∈ 0 0 y y m a ′ ′ ∆ ≤ ⇔ ⇒ > cÇn t×m Hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn R khi vµ chØ khi 0,y x R′≥ ∀ ∈ 0 0 y y m a ′ ′ ∆ ≤ ⇔ ⇒ < cÇn t×m Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 15 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT A. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Kieán thöùc cô baûn 1 – Caùc tính chaát cuûa luyõ thöøa. 2– Caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ. 3 – Phöông phaùp giaûi phöông trình muõ. 3.1- Phöông trình muõ ñôn giaûn nhaát. * ( )= ⇔ = < ≠x ba a x b 0 a 1 * ( )= ⇔ = x aa b x lo g b 0 a 1 , b 0 Ví dụ 3x = 5 ⇔ x = log35 3.2 Phöông trình muõ thöôøng gaëp a. Phöông phaùp ñöa veà cuøng moät cô soá. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⇔ = < ≠f x g xa a f x g x 0 a 1 Ví duï: 32 8 2 2 3x x x= ⇔ = ⇔ = Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau 1)   =    x1 5 5 2) 5. 5x – 5x = 2x+1 + 2x+3 3) − = x 1 x x5 . 8 5 0 0 4) 1 6-x = 82(1 -x) 5) 52x = 62 5 1.1 ( )−= = = ≠0 1 n n1a 1 , a a , a a 0a 1.2 + −= = m m n m n m n n aa .a a , a a 1.3 ( ) ( )= =m nn m m . na a a 1.4 ( )  = =     nn nn n n a aa b a.b , b b 1.5 = m mnna a Cho haøm soá = xy a ( )< ≠0 a 1 2.1 Taäp xaùc ñònh D = R. 2.2 Taäp giaù trò : T = (0; +∞). 2.3 Haøm soá = xy a ñoàng bieán khi a > 1 vaø nghòch bieán khi 0 < a < 1. 2.4 = ⇔ =x ta a x t 2.5 > < <  ⇒ > ⇒ <  > >  x t x t a 1 0 a 1 x t ; x t a a a a Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 16 b. Phöông phaùp ñaët aån soá phuï Ñaët = xt a (t > 0) {choïn cô s oá a thích h ôï p} Ví dụ: G iải pt : 4 3.2 2 0x x− + = Giải . Biến ñổi pt 4 3.2 2 0x x− + = 2 2(2 ) 3.2 2 0 (2 ) 3.2 2 0x x x x⇔ − + = ⇔ − + = (1) . • Đặt t=2x , ñk t>0 . • Pt (1) 2 1 3 2 0 2 t t t t = ⇔ − + = ⇔  = . • Với t= 1 02 1 2 2 0x x x⇒ = ⇔ = ⇔ = . • Với t= 2 12 2 2 2 1x x x⇒ = ⇔ = ⇔ = Đáp số : Nghiệm của phương trình là x=0 , x=1 . Baøi taäp: G iaûi caù c phö ô ng tr ình 1) + = +x x x8 .3 3. 2 2 4 6 2) + + ++ = +x 1 x 4 x 24 2 2 1 6 3) + +− + =4 x 8 2 x 53 4. 3 27 0 4) − + −− = 2 2x x 2 x x2 2 3 5) 991010 22 11 =− −+ xx c) Phöông phaùp laáy loâragit (cô soá thích hôïp) hai veá. ( ) ( ) ( )= < ≠ < ≠f x g xa b 0 a 1, 0 b 1 Laáy loâga rit cô soá a ta ñöôï c: ( ) ( )= af x g x lo g b Ví dụ: Giải pt 23 .2 1x x = . Giải Lấy Lôgarit cơ số 3 hai vế , ta ñược : 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 23 3 3 3 .2 1 log (3 .2 ) log 1 log (3 .2 ) 0 log 3 log 2 0 log 2 0 (1 log 2) 0 0 0 0 1 1log 3 log1 log 2 0 log 2 1 log 2 3 x x x x x x x x PT x x x x x x x xx x = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = = = =  ⇔ ⇔ ⇔ −   = = − =+ = = −   Baøi taäp: Giaû i ca ùc p hö ông trìn h 1) 722.3 1 )12(3 = + − x x x 2) 132 2 − = xx , 3) 50085 1 = − x x x 4)lo gx+1(x2 + 3 x - 1 ) = 1 5) 4 10ln 1 xxx = Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 17 B. PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT Kieán thöùc cô baûn Cho 0, 1a a> ≠ ; 1 20, 0, 0x x x> > > . 1) Ñònh nghóa log ba x b x a= ⇔ = Chuù yù: ( ) ( ) ( ) ( ) alog x x a 1 x a x 0 2 x lo g a x R = ∀ > = ∀ ∈ 2) Tính chaát ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1) log 1, log 1 0 2) log . log log 3) log log log 4) log log , log5) log 0 1 log α α α = = = + = − = ∀ ∈ = < ≠ a a a a a a a a a a b a b a x x x x x x x x x x R x x b a Chuù yù: 1 1log ; log log , 0 log α α α = = ≠a aa b b x x a 3) Phöông phaùp giaûi a) Ñöa veà cuøng moät cô soá ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) b a a a log f x b f x a f x 0 ho aë c g x 0 l og f x log g x f x g x + = ⇔ =  > > + = ⇔  = AÙp duïng: Giải pt : 0)12(log)3(log 2 12 =+++ xx Giải ĐK: x > 2 1 − 0)12(log)3(log 2 12 =+++ xx ⇔ 0)12(log)3(log 22 =+−+ xx ⇔ )12(log)3(log 22 +=+ xx ⇔ x + 3 = 2x + 1 ⇔ x = 2 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 18 Chuù yù: Kh i kh oâng s öû duïng coâ ng thöù c töông ñöông n hôù ñaët ñ ie àu k ieän ñe å haø m soá loâgar it coù nghóa (cô s oá pha ûi lôù n h ôn 0 vaø khaù c 1, b ie åu th öùc laáy loâ garit pha ûi d öô ng). Baøi taäp G iaûi caù c ph öô ng tr ình ( )231) l og x 2 x 1+ = ( )3 32) lo g x log x 2 1+ + = ( ) ( )23) lg x 2 x 3 lg x 3+ − = − ( ) ( )22 1 2 14 ) lo g x 1 log x 4 0 2 − + + = ( ) ( ) ( )84 221 15) lo g x 3 log x 1 lo g 4 x2 4+ + − = 2 2x6) lo g 2 lo g 4 x 3+ = b) Ñaët aån soá phuï Choï n aån so á ph uï thích hô ïp, b ie án ño åi phöô ng tr ình ñaõ cho thaøn h moä t ph öông tr ình ñaïi s oá. AÙp duïng: Giải pt : 13log2)12(log 123 +=+ +xx Giải ĐK: 1 2 1 ≠<− x 13log2)12(log 123 +=+ +xx ⇔ 01)12(log 2)12(log 3 3 =−+ −+ x x Đặt t = lo g3(2 x - 1 ) Ta ñược 012 =−− t t ⇔ t2 - t - 2 = 0 ⇒ t = -1, t = 2 Với t = -1 ⇒ log3 (2x - 1) = -1 ⇔ 2x + 1 = 3- 1 = 3 1 ⇔ x = 3 1 − t = 2 ⇒ log3( 2x - 1 ) = 2 ⇔ 2x + 1 32 = 9 ⇔ x = 4 Baøi taäp: Giaû i ca ùc p hö ông trìn h sau 1). 3log log 9 3xx + = . 2). 2 22 log 3.log 2 0x x− + = . 3). Lg4(x - 1)2 + lg 2(x - 1)3 = 2 5 4).log3( 2x + 1 ) = 2 lo g2x+1 + 1 5) 2log4( 3x - 2) + 2 log 3x-2 = 5 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 19 C. BÊt ph−¬ng tr×nh mò 1. sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu 1) 2x < 3x/2 + 1 x<2 (chia cho2x) 2) 2.2x + 3.3x > 6x -1 x < 2 (chuyÓn 1 sang tr¸i vµ chia hai vÕ cho 6x) 3) 8x + 18x ≤ 2.27X → x ≥ 0 2. §−a vÒ cïng c¬ sè 1) 2.14x + 3.49x – 4x ≥ 0 → x ≥ log2/73 (chia hai vÕ cho 49x vµ ®Æt t = (2/7)x) 2) 2x + 2x + 1 ≤ 3x + 3x – 1 → x ≥ 2 3) 96] 12 3 13 3 1 1 12 >      +      + xx → -1<x < 0 4) 1 2 3 13 2 −− −      ≥ xx xx → x ≥ 2 5) 3x + 1 – 22x + 1 - 12x/2 0(chia cho 3x vµ ®Æt Èn phô t = ( 3/4 )x) 6) 1 23 23.2 2 ≤ − − + xx xx →0<x≤ log3/23 (chia c¶ tö vµ mÉu cho 2x) 7) ( ) ( ) 111 2525 +−− −≥+ xxx →x ≥1,-2≤ x<-1 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 20 Chñ ®Ò Nguyªn hµm - tÝch ph©n A. nguyªn hµm I. KiÕn thøc c¬ b¶n 3, B¶ng c¸c nguyªn hµm: Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè s¬ cÊp th−êng gÆp Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè hîp (u=u(x)) dx x C= +∫ 1 ( 1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ − +∫ ln ( 0)dx x C x x = + ≠∫ x xe dx e C= +∫ (0 1) ln x x aa dx C a a = + < ≠∫ cos sinxdx x C= +∫ sin cosxdx x C= − +∫ 2cos dx tgx C x = +∫ 2 cotsin dx gx C x = − +∫ du u C= +∫ 1 ( 1) 1 u u dx C α α α α + = + ≠ − +∫ ln ( 0)du u C x u = + ≠∫ u ue du e C= +∫ (0 1) ln u u aa du C a a = + < ≠∫ cos sinudu u C= +∫ sin cosudu u C= − +∫ 2cos du tgu C u = +∫ 2 cotsin du gu C u = − +∫ 1, §Þnh nghÜa nguyªn hµm: F(x) ®−îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a;b) nÕu: F'(x)=f(x), ( );x a b∀ ∈ 2, TÝnh chÊt cña nguyªn hµm: 1. ( )'( ) ( )f x dx f x=∫ 2. ( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a= ≠∫ ∫ 3. [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 4. ( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ( ))f t dt F t C f u x u x dx F u x C= + ⇒ = +∫ ∫ . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 21 II. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n 1. D¹ng 1. ¸p dông c«ng thøc biÕn ®æi 1.1 VÝ dô a) ( )∫ +− dxxx 532 2 = ∫ dxx 22 - ∫ xdx3 + ∫ dx5 = ∫ dxx 22 - ∫ xdx3 + ∫ dx5 = Cx xx ++− 5 2 3 3 2 23 b) ∫       − dx x x 2cos 2 sin3 = ∫∫ − dx x dxx 2cos 1 2sin3 = –3cosx – 2tgx + C c) dx x