Đề cương bài giảng Toán cơ sở

a =q.b + r ; 0 r b≤ < . *Ví dụ: a =9, b = 4 ⇒ a = 9 = 4.2 + 1, vậy q = 2, r =1. Quy −ớc: {0 11, , ....n n a a a a a a= = = . 4.3.3. Hệ đếm cơ số 10 (hệ thập phân) a) Cách ghi số theo hệ đếm cơ số 10 Ta đã kí hiệu số 0 = ∅ ; số { }1 a= số kề sau số 1 là 1′ , số kề sau 1′ là (1 )′ ′ , Nh−ng không thể dùng kí hiệu này với mọi số tự nhiên vì đến một lúc nào đó số dấu ngoặc và số dấu phẩy quá lớn ng−ời ta không thể dễ dàng hiểu nổi đó là số nào. Vì vậy, trong hệ cơ số 10 ng−ời ta chọn ra 10 kí hiệu cho 10 số tự nhiên đầu tiên đó là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và gọi chúng là các chữ số trong hệ đếm cơ số 10. Để biểu diễn một số tự nhiên tuỳ ý trong hệ đếm cơ số 10 ta làm nh− sau: 69 *) Nếu 9a ≤ thì a đ−ợc biểu diễn bởi 1 trong 10 chữ số trên. *) Nếu 9a ′= (số kề sau số 9) thì a đ−ợc biểu diễn bởi “10”. *) Nếu 10a > thì theo bổ đề 2 tồn tại duy nhất hai số 1 1,q r sao cho 1 1.10a q r= + . Khi đó: +) Nếu 1 10q < thì a đ−ợc biểu diễn là 1 1q r trong hệ đếm cơ số 10. +) Nếu 1 10q ≥ lại áp dụng bổ đề 2 cho 1q ta đ−ợc: 1 2 2.10q q r= + ⇒ 2 2 2 1 2 2 1(10 ).10 .10 .10a q r r q r r= + + = + + . Khi đó: .) Nếu 2 10q < thì a đ−ợc biểu diễn là 2 2 1q r r trong hệ đếm cơ số 10. .) Nếu 2 10q ≥ lặp lại t−ơng tự quá trình trên. Từ bổ đề 1 suy ra rằng quá trình trên phải dừng lại sau một số hữu hạn b−ớc, chẳng hạn n b−ớc, khi đó ta đ−ợc: 1 2 1.10 .10 ... .10 n n n na q r r r −= + + + + với 1 20 , ,..., , 10n nr r r q≤ < . Kí hiệu số a bởi 2 1....n nq r r r hoặc 2 1....n nq r r r nếu không sợ nhầm lẫn với tích 2 1....n nq r r r . Ví dụ: 3 21572 1000 500 70 2 1.10 5.10 7.10 2= + + + = + + + . b) Cách đếm Qua cách ghi số nói trên ta dễ thấy quy tắc đếm trong hệ thập phân nh− sau: +) Cho 10 số tự nhiên đầu tiên những tên gọi: không, một, , chín và gọi chúng là những số hàng đơn vị. +) Số 10: đ−ợc gọi là một chục. +) M−ời và 1 đ−ợc gọi là m−ời một. +) M−ời chục ( 210.10 10= ) đ−ợc gọi là một trăm. +) M−ời trăm ( 2 310.10 10= ) gọi là một nghìn... Ví dụ: Số 1235 đọc là một nghìn hai trăm ba chục năm đơn vị (hay một nghìn hai trăm ba m−ơi lăm) (vì 1235 1.1000 2.100 3.10 5= + + + ). Nh− vậy, ta đọc lần l−ợt số lần của 10n , 110n− ,, của 10 và số đơn vị và phép đếm chẳng qua là phép cộng. 70 c) Các phép toán Cộng, trừ, nhân, chia (nh− đã học ở tr−ờng phổ thông). 4.3.4. Cách ghi số trong hệ đếm cơ số g (1 9)g< ≤ Các kí tự trong hệ đếm cơ số g là 0,1,2,3,..., g-1. Để ghi một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 10 theo cơ số g tuỳ ý ta làm nh− sau: *) Nếu a g< thì trong cơ số g a cũng đ−ợc biểu diễn là a. *) Nếu a g≥ chia a cho g đ−ợc th−ơng là 1q , số d− 1r ⇒ 1 1a q g r= + . Khi đó: +) Nếu 1q g< thì a đ−ợc biểu diễn là 1 1q r trong hệ đếm cơ số g. +) Nếu 1q g≥ lại chia 1q cho g đ−ợc th−ơng là 2q ,số d− 2r ⇒ 22 2 1a q g r g r= + + . Khi đó .) Nếu 2q g< thì a đ−ợc biểu diễn là 2 2 1q r r trong hệ đếm cơ số g. .) Nếu 2q g≥ lại tiếp tục chia chia 2q cho g Từ bổ đề 1 suy ra rằng quá trình trên phải dừng lại sau một số hữu hạn b−ớc, chẳng hạn n b−ớc, khi đó ta đ−ợc: 1 2 1... n n n na q g r g r g r −= + + + + , nq g< . Khi đó, a đ−ợc biểu diễn d−ới dạng: 2 1....n nq r r r trong cơ số g. *) Ví dụ: Ghi số tự nhiên 87a = trong hệ đếm cơ số 10 theo hệ đếm cơ số 5. 287 3.5 2.5 2a = = + + ⇒ 322a = trong cơ số 5. 4.3.5. Hệ đếm và cách ghi số trong hệ đếm cơ số 2 (hệ nhị phân) a) Các kí tự: 0, 1 b) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 10 theo cơ số 2 *) Cách tiến hành: Để biểu diễn một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 10 theo hệ đếm cơ số 2 ta phải khai triển số đó thành tổng của các lũy thừa của 2. Số a có sự biểu diễn trong cơ số 2 với các chữ số chính là các số lần của các lũy thừa của 2 trong khai triển đó. 71 *) Ví dụ: +) a = 30 trong hệ đếm cơ số 10 230 15.2 (2.7 1).2 7.2 1.2a⇒ = = = + = + 2 3 2(2.3 1).2 1.2 3.2 1.2 1.2= + + = + + 3 2 4 3 2(2.1 1).2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2= + + + = + + + 11110a⇒ = trong hệ đếm cơ số 2. +) a = 99 trong hệ đếm cơ số 10 299 45.2 1 (22.2 1).2 1 22.2 1.2 1a⇒ = = + = + + = + + 3 3 4 311.2 1.2 1 (5.2 1).2 1.2 1 5.2 1.2 1.2 1= + + = + + + = + + + 4 3 6 4 3(2.2 1).2 1.2 1.2 1 1.2 1.2 1.2 1.2 1= + + + + = + + + + 1011011a⇒ = trong hệ đếm cơ số 2. Quy trình trên có thể tóm tắt nh− sau: +) Chia liên tiếp a cho 2, cho đến khi đ−ợc th−ơng là 0. +) Viết các số d− từ trái qua phải bắt đầu từ số d− cuối cùng cho đến số d− đầu tiên, đó chính là sự biểu diễn của a trong hệ đếm cơ số 2. *) Ví dụ: kí hiệu số tự nhiên có biểu diễn trong cơ số g là gx +) 10 30x = +) 10 735x = 0 1 0 0 1 1 30 25 12 6 3 1 0 2 2 2 2 2 2 2 110010x⇒ = 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 735 367 183 91 45 22 11 5 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1011011111x⇒ = 72 Cơ số 10 Cơ số 2 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 . . 99 1011011 c) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 2 theo cơ số 10 *) Cách tiến hành: Cho một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 2 - Đếm tổng số chữ số trong số a, giả sử a có n chữ số. - Lập tổng các lũy thừa với số mũ giảm dần của 2, bắt đầu từ 2n-1 với các số lần của các lũy thừa chính là các chữ số của a. Cụ thể là: nếu 1 2 1...n na a a a a−= trong hệ đếm cơ số 2 thì 1 21 2 1.2 .2 ... .2 n n n na a a a a − − −= + + + + trong hệ đếm cơ số 10. *) Ví dụ: +) 4 3 22 1010111 1.2 0.2 1.2 1.2 1 16 0 4 2 1 23x x= ⇒ = + + + + = + + + + = +) 2 100101x = 5 4 3 210 1.2 0.2 0.2 1.2 0.2 1 32 0 0 4 0 1 37x⇒ = + + + + + = + + + + + = d) Các phép toán trong hệ đếm cơ số 2 *) Phép cộng: Phép cộng trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc cộng trong hệ đếm cơ số 10, chỉ khác là khi tổng riêng lớn hơn 1 thì ta phải chuyển nó về cơ số 2 bằng cách chia tổng đó cho 2, ghi số d−, nhớ phần th−ơng sang hàng 73 ngay tr−ớc đó. *) Ví dụ: 10111 1010101 10111011 + 111 + 111011 + 101111 11110 10010000 11101010 Thử lại: 22 10(111) 1.2 1.2 1 (7)= + + = ⇒ 4 22 10(10111) 1.2 1.2 1.2 1 16 4 2 1 (23)= + + + = + + + = 10 223 7 (30) (11110)+ = = . *) Phép trừ: Phép trừ trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc trừ trong hệ đếm cơ số 10, chỉ khác là khi m−ợn 1 ở hàng tr−ớc thì phải đổi thành 2. *) Ví dụ: 110101 1010101 10111011 - 1111 - 111011 - 101111 100110 0011010 10001100 Thử lại: 5 4 3 22 10(110101) 1.2 1.2 0.2 1.2 0.2 1 (53)= + + + + + = ⇒ 3 22 10(1111) 1.2 1.2 1.2 1 8 4 2 1 (15)= + + + = + + + = 10 253 15 (38) (100110)− = = . *) Phép nhân: Phép nhân trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện theo quy tắc nhân nh− trong hệ đếm cơ số 10. Thực chất phép nhân trong hệ đếm cơ số 2 chẳng qua là việc thực hiện phép cộng nhiều số. 110111 1010101 1011 ì 111 ì 101 ì 11 110111 1010101 1011 + 110111 + 0000000 + 1011 110111 1010101 100001 101111001 110101001 Thử lại: 2 2 2(1011) (11) (100001)ì = ; 2 10(11) (3)= 3 2 10(1011) 1.2 1.2 1 (11)= + + = ⇒ 10 211 3 (33) (100001)ì = = 74 *) Phép chia: Phép chia trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện theo quy tắc chia nh− trong hệ đếm cơ số 10. Thực chất phép chia trong hệ đếm cơ số 2 chẳng qua là việc thực hiện một số phép trừ. 1010111 111 1110101 101 - 111 1100 - 101 10111 00111 01001 - 111 - 101 00011 01000 - 101 00111 - 101 010 Thử lại: 6 5 4 3 22 10(1010111) 1.2 0.2 1.2 0.2 1.2 1.2 1 (87)= + + + + + + = ⇒ 22 10(111) 1.2 1.2 1 4 2 1 (7)= + + = + + = 1087 : 7 (12)= d− 3. 10 2 10 2(12) (1100) ;(3) (11)= = 4.3.6. Hệ đếm cơ số 8 (hệ bát phân) a) Các kí tự: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. b) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 10 theo cơ số 8 Để biểu diễn một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 10 theo hệ đếm cơ số 8 ta phải khai triển số đó thành tổng của các lũy thừa của 8. Số a có sự biểu diễn trong cơ số 8 với các chữ số chính là các số lần của các lũy thừa của 8 trong khai triển đó. 1918 8 1455 8 6 239 8 7 181 8 7 29 8 5 22 8 5 3 8 6 2 8 3 0 2 0 75 10 81918 3576= 10 81455 2657= 10 8965 1705= 10 8786 1422= c) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 8 theo cơ số 10 *) Cách tiến hành: Cho một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 8 - Đếm tổng số chữ số trong số số a - Lập tổng các lũy thừa với số mũ giảm dần của 8 với các số lần của các lũy thừa chính là các chữ số của a. Cụ thể là: nếu 1 2 1...n na a a a a−= trong hệ đếm cơ số 8 thì 1 2 1 2 1.8 .8 ... .8 n n n na a a a a − − −⇒ = + + + + trong hệ đếm cơ số 10. *) Ví dụ: 4 3 2 1 8(67523) 6.8 7.8 5.8 2.8 3= + + + + 1024576 3584 320 16 3 (28499)= + + + + = 3 2 1 8(5327) 5.8 3.8 2.8 7 5.512 3.64 2.8 7= + + + = + + + 102560 192 16 7 (2775)= + + + = d) Các phép toán trong hệ đếm cơ số 8 *) Phép cộng: Phép cộng trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc cộng trong cơ hệ đếm số 10, chỉ khác là khi tổng riêng lớn hơn 7 thì ta phải chuyển nó về cơ số 8 bằng cách chia số đó cho 8, ghi số d−, nhớ phần th−ơng sang hàng ngay tr−ớc đó. *) Ví dụ: 6732 2345 5436 + 1456 + 4127 + 4353 10410 6474 12011 3457 2476 3457 2746 + 4365 + 7654 + 4365 + 5672 10044 12352 6726 7646 16765 20506 *) Phép trừ: Phép trừ trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc trừ trong hệ đếm cơ số 10, chỉ khác là khi m−ợn 1 ở hàng tr−ớc thì phải đổi thành 8. 76 *) Ví dụ: 4765 4365 5672 - 1567 - 457 - 2746 3176 3706 2724 *) Phép nhân: Phép nhân trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc nhân trong hệ đếm cơ số 10, trong quá trình nhân phải sử dụng bảng cửu ch−ơng của hệ cơ số 10, chỉ khác là khi tổng riêng lớn hơn 7 thì ta phải chuyển nó về cơ số 8 bằng cách chia số đó cho 8, ghi số d−, nhớ phần th−ơng sang hàng ngay tr−ớc đó. (Có thể lập bảng bát ch−ơng của hệ cơ số 8). 367 1035 3745 ì 23 ì 42 ì 52 1345 2072 7712 + 756 + 4164 + 23571 11125 43732 245622 1235 7045 ì 763 ì 652 3727 16012 + 7656 + 43271 11113 52336 1214007 5704522 8 8 8(6754) (57) (507124)ì = *) Phép chia: Phép chia trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc chia trong hệ đếm cơ số 10. 56743 145 23510 436 - 457 356 - 2170 43 1104 1610 - 771 - 1532 01133 056 - 771 0142 77 Đối với hệ đếm theo các cơ số khác các phép toán đ−ợc thực hiện hoàn toàn t−ơng tự nh− trong hệ đếm theo các cơ số 2, 8 đã trình bày ở trên. Bài tập ch−ơng 4 1. Chứng minh tập hợp số tự nhiên chẵn và tập hợp số tự nhiên lẻ có cùng bản số. 2. Chứng minh { }, ,X a b c= là tập hữu hạn. 3. Chứng minh 3 là tập vô hạn. 4. Chứng minh 6 là tập vô hạn. 5. { }, ,A a b c= , { }, , , ,X x y z t u= ; m = card(A), n = card(X). Chứng minh: m < n. 6. X hữu hạn và khác rỗng. a∈ X. Chứng minh a) { }Xn a= − là số tự nhiên kề tr−ớc m. b) Mỗi số tự nhiên m ≠ 0 có một số kề tr−ớc duy nhất. 7. Chứng minh rằng nếu X là một tập hữu hạn khác rỗng, a ∈ X thì X \ {a} cũng là một tập hợp hữu hạn. 8. Dùng tiên đề qui nạp chứng minh rằng: a) Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì A ∪ B cũng là một tập hợp hữu hạn. b) Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì A ì B cũng là một tập hợp hữu hạn. 9. Gọi y' là số tự nhiên kề sau số tự nhiên y. Chứng minh rằng x + y' = (x + y)', ∀x, y ∈ . 10. Dùng tiên đề qui nạp chứng minh rằng phép cộng thoả mãn luật giản −ớc, tức là: với x, y, z ∈ , nếu x + y = x + z thì y = z. H−ớng dẫn: * Với x = 1, chứng minh rằng nếu 1 + y = 1 + z thì y = z * Giả sử từ n + y = n + z suy ra y = z Hãy chứng minh: (n + 1) + y = (n + 1) + z → y = z. 11. Dùng đẳng thức A ì (B ∪ C) = (A ì B) ∪ (A ì C), chứng minh rằng phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, tức là a.(b + c) = a.b + a.c, (b + c).a = b.a + c.a. 78 12. Giả sử a, b là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng: a) Nếu ab = 0 thì a = 0 hoặc b = 0 b) Nếu ab = 1 thì a = 1 và b = 1. 13. Hãy hãy biểu diễn các số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 10 sau sang hệ đếm cơ số g (g=2, 3, ..., 9). a) 50 b) 128 c) 1088 14. Hãy hãy biểu diễn các số tự nhiên trong hệ đếm cơ số g sau sang hệ đếm cơ số 10. a) 2(10101111) b) 3(120212) c) 4(132101) d) 5(201043) e) 6(310524) f) 7(4016) h) 8(1735) i) 9(1082) 15. Cho 10 21725; 10101111x y= = . Hãy tính: ; ; . ; :g g g g g g g gx y x y x y x y+ − với 2,3,...,9g = . 79 Ch−ơng 5: Đại Số véc tơ vμ hình học giải tích 5.1. Véc tơ 5.1.1. Véc tơ tự do a) Định nghĩa: Một đoạn thẳng trên đó có quy định thứ tự của 2 điểm mút gọi là một véc tơ (hay một đoạn thẳng có h−ớng). Điểm mút thứ nhất gọi là điểm gốc, điểm mút thứ hai gọi là điểm ngọn. Kí hiệu véc tơ có gốc A ngọn B là AB uuur . - Đ−ờng thẳng đi qua A, B đ−ợc gọi là giá của véc tơ AB uuur . - Véc tơ có gốc và ngọn trùng nhau đ−ợc gọi là véc tơ không, kí hiệu 0 r . - Độ dài đoạn thẳng AB đ−ợc gọi là môdun của véc tơ AB uuur , kí hiệu AB uuur . - Véc tơ có môdun bằng 1 đ−ợc gọi là véc tơ đơn vị. - Hai véc tơ có giá song song hoặc trùng nhau đ−ợc gọi là hai véc tơ cộng tuyến hay cùng ph−ơng. - Hai véc tơ ,AB CD uuur uuur đ−ợc gọi là cùng h−ớng (ng−ợc h−ớng) nếu khi tịnh tiến CD uuur sao cho C đến trùng với A thì B và D ở về cùng một phía (hai phía khác nhau) đối với A. * Chú ý: i) Từ đây về sau ta sẽ gọi hai véc tơ cùng ph−ơng, cùng h−ớng là hai véc tơ cùng h−ớng và hai véc tơ cùng ph−ơng, ng−ợc h−ớng là hai véc tơ ng−ợc h−ớng. ii) Véc tơ không có môdun bằng 0 và h−ớng tùy chọn. b) Định nghĩa: Hai véc tơ đ−ợc gọi là bằng nhau nếu chúng cùng h−ớng và có môdun bằng nhau. Nếu AB uuur bằng CD uuur thì ta kí hiệu: AB uuur = CD uuur . * Chú ý: Quan hệ bằng nhau giữa hai véc tơ là một quan hệ t−ơng đ−ơng. c) Khái niệm véc tơ tự do: Các véc tơ bằng nhau chỉ khác nhau ở vị trí của gốc véc tơ. Trong nhiều tr−ờng hợp ng−ời ta chỉ chú ý đến ph−ơng, h−ớng và mô đun của các véc tơ mà không cần quan tâm đến vị trí của gốc của nó. Từ đó ta có: Một véc tơ mà gốc có thể đặt tùy ý trong không gian đ−ợc gọi là véc tơ tự do. 80 Véc tơ tự do th−ờng đ−ợc kí hiệu: , , ,...a x αr r ur 5.1.2. Cộng véc tơ a) Định nghĩa: Tổng của hai véc tơ ,a b r r là một véc tơ xác định nh− sau: Từ một điểm O tùy ý trong không gian dựng véc tơ OA a=uuur r rồi dựng véc tơ AB b=uuur r . Véc tơ c OB=r uuur đ−ợc gọi là véc tơ tổng của hai véc tơ ,a br r , kí hiệu c a b= +r r r . Mở rộng định nghĩa trên ta có thể định nghĩa tổng của n véc tơ 1 2, ,..., na a a ur uur uur nh− sau: Từ một điểm O tùy ý trong không gian dựng véc tơ 1 1OA a= uuur ur rồi dựng véc tơ 1 2 2A A a= uuuur uur ,...từ điểm 1nA − dựng véc tơ 1n n nA A a− = uuuuuur uur . Véc tơ na OA= r uuuur đ−ợc gọi là véc tơ tổng của n véc tơ 1 2, ,..., na a a ur uur uur , kí hiệu 1 2 ... na a a a= + + + r ur uur uur . b) Tính chất +) Phép cộng véc tơ có tính chất giao hoán: a b b a+ = +r r r r . +) Phép cộng véc tơ có tính chất kết hợp: ( ) ( )a b c a b c+ + = + +r r r r r r . +) 0a a+ =r r r +) Hai véc tơ có môdun bằng nhau nh−ng ng−ợc h−ớng đ−ợc gọi là hai véc tơ đối nhau. Kí hiệu véc tơ đối của véc tơ a r là a−r . Ta có ( ) 0a a+ − =r r r . 5.1.3. Trừ véc tơ a) Định nghĩa: Hiệu của hai véc tơ ,a b r r là một véc tơ x r sao cho b x a+ =r r r . Véc tơ x r đ−ợc gọi là véc tơ hiệu của hai véc tơ ,a b r r , kí hiệu ( )x a b a b= − = + −r r r r r b) Chú ý +) Phép trừ véc tơ không có tính chất giao hoán, kết hợp. +) a b a b+ ≤ +r r r r , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ,a br r cùng h−ớng. +) a b a b− ≥ −r r r r , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ,a br r cùng h−ớng và a b≥r r . 81 5.1.4. Nhân một véc tơ với một số a) Định nghĩa: Tích của một véc tơ a r với một số k là một véc tơ kí hiệu .k a r có môđun bằng .k a r , cùng h−ớng với a r nếu 0k > , ng−ợc h−ớng với ar nếu 0k < . b) Tính chất +) 1.a a=r r . +) ( 1).a a− = −r r . +) ( ) ( )k la kl a=r r (tính chất kết hợp đối với phép nhân). +) ( )k a b ka kb+ = +r r r r (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng véc tơ). +) ( )k l a ka la+ = +r r r (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các số). 5.1.5. Tích vô h−ớng của hai véc tơ a) Định nghĩa: Cho hai véc tơ ,a b r r . Số . .cosa b ϕr r , trong đó ϕ là góc giữa hai véc tơ ,a b r r đ−ợc gọi là tích vô h−ớng của hai véc tơ ,a b r r , kí hiệu .a b r r . Nh− vậy: . . .cos .a b a b ϕ=r r r r * Chú ý: +) Hai véc tơ .a b r r đ−ợc gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900, kí hiệu a b⊥r r . Từ định nghĩa của tích vô h−ớng ta có: . 0a b a b⊥ ⇔ =r r r r r +) .a a r r đ−ợc gọi là bình ph−ơng vô h−ớng của véc tơ a r , kí hiệu 2 a r . Từ định nghĩa ta có: 22 a a=r r , .cos . . a b a b ϕ = r r r r b) Tính chất +) Tích vô h−ớng của hai véc tơ có tính chất giao hoán . .a b b a=r r r r . +) ( . ) ( ). .( . )k a b ka b a k b= =r r r r r r . +) .( ) . .a b c a b a c+ = +r r r r r r r . 82 +) .0 0a =r r r . 5.1.6. Tích có h−ớng của hai véc tơ a) Định nghĩa i) Tam diện tạo bởi 3 véc tơ , ,OA OB OC uuur uuur uuur không đồng phẳng lấy theo thứ tự ấy đ−ợc gọi là thuận (nghịch) nếu một ng−ời đứng trên mặt phẳng chứa ,OA OB uuur uuur theo h−ớng của véc tơ OC uuur thấy h−ớng quay từ véc tơ OA uuur đến véc tơ OB uuur theo góc nhỏ nhất là ng−ợc chiều quay của kim đồng hồ (cùng chiều quay của kim đồng hồ). ii) Cho hai véc tơ ,a b r r , véc tơ c r thỏa mãn ba điều kiện sau đ−ợc gọi là tích có h−ớng của hai véc tơ ,a b r r : +) ,c a c b⊥ ⊥r r r r +) . .sinc a b ϕ=r r r , ϕ là góc giữa hai véc tơ ,a br r +) , ,a b c r r r tạo thành một tam diện thuận. Kí hiệu: c a b= ∧r r r . *) Hệ quả: +) Trong không gian, hai véc tơ cùng ph−ơng khi và chỉ khi tích có h−ớng của chúng bằng véc tơ không. +) Môdun của tích có h−ớng của hai véc tơ bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai véc tơ ấy. b) Tính chất +) a b b a∧ = − ∧r r r r +) ( ) .k a b ka b a k b∧ = ∧ = ∧r r r r r r +) ( ) ( ) ( );( ) ( ) ( )a b c a b a c a b c a c b c∧ + = ∧ + ∧ + ∧ = ∧ + ∧r r r r r r r r r r r r r r 5.1.7.Tích hỗn tạp của ba véc tơ a) Định nghĩa: Cho ba véc tơ , ,a b c r r r . Lấy tích có h−ớng của hai véc tơ ,a b r r ta đ−ợc véc tơ a b∧r r , nhân vô h−ớng a b∧r r với cr ta đ−ợc số ( ).a b c∧r r r gọi là tích 83 hỗn tạp của ba véc tơ , ,a b c r r r , kí hiệu: ( , , )a b c r r r . Ta có: ( , , ) ( ).a b c a b c= ∧r r r r r r . b) Định lý: Tích hỗn tạp của ba véc tơ không đồng phẳng , ,a b c r r r là một số có giá trị tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên ba véc tơ đó. Số ấy là d−ơng nếu , ,a b c r r r tạo thành một tam diện thuận, là âm nếu , ,a b c r r r tạo thành một tam diện nghịch. Chú ý: Từ định lý ta có: ( ). ( ). ( ).a b c b c a c a b∧ = ∧ = ∧r r r r r r r r r . c) Định lý: Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ đồng phẳng là tích hỗn tạp của chúng bằng 0. 5.2. Tọa độ trên đ−ờng thẳng 5.2.1. Trục Định nghĩa: Một đ−ờng thẳng trên đó đã chọn một véc tơ đơn vị gọi là một trục. H−ớng của véc tơ đơn vị đ−ợc gọi là h−ớng của trục. 5.2.2. Điểm chiếu, véc tơ chiếu a) Định nghĩa: Cho một trục Δ , một mặt phẳng P không song song với Δ và một véc tơ a AB=r uuur tùy ý trong không gian. Qua A và B dựng các mặt phẳng song song với P cắt Δ ở 1A và 1B . +) Các điểm 1A , 1B gọi là các điểm chiếu của các điểm A, B trên Δ theo ph−ơng P. +) 1 1AB uuuur gọi là véc tơ chiếu của véc tơ AB uuur trên Δ theo ph−ơng P. +) Giả sử 1 1 .AB k OE= uuuur uuur (OE uuur là véc tơ đơn vị trên Δ ), 0k > nếu 1 1AB uuuur và OE uuur cùng h−ớng, 0k < nếu 1 1AB uuuur và OE uuur ng−ợc h−ớng. Số đại số k đ−ợc gọi là chiếu của véc tơ AB uuur trên trục Δ theo ph−ơng P và ta viết k pr ABΔ= uuur hay k pr aΔ= r . Số k còn đ−ợc gọi là độ dài đại số của 1 1AB và kí hiệu 1 1k AB= . b) Tính chất +) Các véc tơ bằng nhau có chiếu (trên cùng một trục, theo cùng một 84 ph−ơng) bằng nhau, tức là a b pr a pr bΔ Δ= ⇔ = r r r r . +) Chiếu của véc tơ tổng bằng tổng các chiếu của các véc tơ thành phần, nghĩa là ( )pr a b pr a r bΔ Δ Δ+ ⇔ + r r r r . +) ( . ) .pr k a k pr aΔ Δ= r r . +) Khi mặt phẳng P vuông góc với Δ , phép chiếu lên Δ theo ph−ơng P đ−ợc gọi là phép chiếu vuông góc và ta có: Định lý: Chiếu vuông góc của một véc tơ trên một trục bằng môdun của véc tơ nhân với cosin của góc giữa trục và véc tơ: .cospr a a ϕΔ = r r . 5.3. Ph−ơng pháp tọa độ trên mặt phẳng 5.3.1. Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng gồm hai đ−ờng thẳng vuông góc với nhau x’Ox và y’Oy trên đó chọn hai véc tơ đơn vị 1 1e OE= ur uuur , 2 2e OE= ur uuuur , th−ờng gọi là hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy. - Hai đ−ờng thẳng x’Ox và y’Oy gọi là hai trục tọa độ, trục x’Ox gọi là trục hoành, y’Oy gọi là trục tung. - Hai véc tơ đơn vị 1e ur , 2e ur gọi là hai véc tơ cơ sở. - Điểm O đ−ợc gọi là điểm gốc tọa độ. - Hại trục tọa độ chia mặt phẳng ra làm 4 miền, mỗi miền gọi là một góc tọa độ. Ta có 4 góc tọa độ I, II, III, IV. - Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy gọi là thuận nếu h−ớng quay từ 1e ur đến 2e ur theo góc bé nhất là ng−ợc h−ớng của kim đồng hồ, gọi là nghịch trong tr−ờng hợp ng−ợc lại. 5.3.2. Tọa độ của điểm Để định nghĩa tọa độ của điểm trong mặt phẳng ta cần định lý sau: *) Định lý: Cho hai véc tơ không cùng ph−ơng 1e ur , 2e ur . Bất kì một véc tơ a r nào 85 đồng phẳng với 1e ur , 2e ur cũng có thể khai triển theo các véc tơ ấy, nghĩa là: 1 2a xe ye= + r ur ur và sự khai triển ấy là duy nhất. Mặt phẳng trên đó có chọn một hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy quy −ớc gọi vắn tắt là mặt phẳng Oxy. Giả sử M là một điểm bất kì trong mặt phẳng Oxy. Theo định lý trên ta có: 1 2OM xe ye= + uuuur ur ur . - Cặp sắp thứ tự gồm hai số (x;y) đ−ợc gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxy, x đ−ợc gọi là hoành độ, y đ−ợc gọi là tung độ của điểm M. Kí hiệu: M(x;y) - OM uuuur đ−ợc gọi là bán kính véc tơ của điểm M. - Nh− vậy mỗi điểm M trong mặt phẳng Oxy t−ơng ứng với một và chỉ một cặp sắp thứ tự hai số (x;y). Ng−ợc lại với mỗi cặp sắp thứ tự hai số (x;y), tồn tại một và chỉ một điểm M nhận (x;y) làm tọa độ của nó. Do đó có sự t−ơng ứng 1:1 giữa tập các điểm trong mặt phẳng và tập các cặp sắp thứ tự gồm hai số (x;y). 5.3.3. Tọa độ của véc tơ a) Tọa độ của véc tơ tự do *) Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho véc tơ tự do a r , theo định lý ta có 1 2a xe ye= + r ur ur . Cặp sắp thứ tự gồm hai số (x;y) đ−ợc gọi là tọa độ của véc tơ a r đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxy. *) Tính chất: Giả sử 1 1 2 2( ; ); ( ; )a x y b x y= = r r +) 1 2 1 2( ; )a b x x y y+ = + + r r . +) 1 2 1 2( ; )a b x x y y− = − − r r . +) 1 1. ( . ; . )k a k x k y= r . +) 1 2 1 2. . .a b x x y y= + r r . +) ,a b r r cùng ph−ơng khi và chỉ khi 1 1 2 2 x y x y = . b) Tọa độ của véc tơ buộc 86 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm 1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y . Ta tìm tọa độ của véc tơ buộc AB uuur . Ta có AB OB OA= −uuur uuur uuur . Mặt khác theo định nghĩa tọa độ của điểm: 1 1 1 2 2 1 2 2;OA x e y e OB x e y e= + = + uuur ur ur uuur ur ur 2 1 1 2 1 2( ) ( )AB OB OA x x e y y e⇒ = − = − + − uuur uuur uuur ur ur Cặp sắp thứ tự gồm hai số 2 1 2 1( ; )x x y y− − đ−ợc gọi là tọa độ của véc tơ AB uuur đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxy, kí hiệu 2 1 2 1( ; )AB x x y y= − − uuur . 5.3.4. Ph−ơng trình đ−ờng thẳng a) Ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng Cho một đ−ờng thẳng d. Một véc tơ v r đ−ợc gọi là véc tơ chỉ ph−ơng của d nếu giá của v r song song hoặc trùng với d. Trong mặt phẳng Oxy cho đ−ờng thẳng d đi qua điểm 0 0 0( ; )M x y cho tr−ớc và nhận véc tơ ( ; )v a b=r làm véc tơ chỉ ph−ơng. Giả sử ( ; )M x y là một điểm tùy ý nằm trên d. Khi đó 0M M uuuuur cùng ph−ơng với v r , nghĩa là 0 0 0 0 0 . x x ta x x ta M M t v y y tb y y tb − = = +⎧ ⎧= ⇔ ⇔⎨ ⎨− = = +⎩ ⎩ uuuuur r (1) Ng−ợc lại, giả sử điểm ( ; )M x y có tọa độ thỏa mãn ph−ơng trình (1). Từ (1) ta có: 0 0 x x ta y y tb − =⎧⎨ − =⎩ . Điều này có nghĩa là 0 0 0( ; )M M x x y y= − − uuuuur cùng ph−ơng với ( ; )v a b=r , do đó ( ; )M x y nằm trên đ−ờng thẳng d. Ph−ơng trình (1) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng, trong đó t là tham số. *) Chú ý: +) Nếu 0, 0a b≠ ≠ thì từ (1) ta có: 0 0x x y y a b − −= (2) (2) đ−ợc gọi là ph−ơng trình chính tắc của đ−ờng thẳng. 87 +) Nếu 0, 0a b= ≠ thì (1) trở thành: 0 0 x x y y tb =⎧⎨ = +⎩ đây là đ−ờng thẳng song song với trục tung, cắt trục hoành tại điểm 0( ;0)x . +) Nếu 0, 0b a= ≠ thì (1) trở thành: 0 0 x x ta y y = +⎧⎨ =⎩ đây là đ−ờng thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm 0(0; )y . b) Ph−ơng trình tổng quát của đ−ờng thẳng Cho một đ−ờng thẳng d. Một véc