Dãy số tự nhiên và dãy số cách đều

Dãy số tự nhiên và dãy số cách đều. I- Dạng 1: Tìm qui luật thành lập dãy số, điền thêm số hạng vào dãy số. * Ví dụ: Tìm qui luật thành lập và điền tiếp 3 số hạng nữa vào dãy số 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; … + Ta nhận thấy: 1 = 0 + 1; 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5; …. Vậy dãy số đã cho được thành lập theo qui luật: kể từ số hạng thứ ba trử đi mỗi số hạng đều bằng tổng hai số hạng liên tiếp ngay trước nó. Ta có 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34. Ta có dãy số: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; … II- Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?  Ví dụ: Cho hai dãy số: 1) 3; 6; 9; …và 2) 4; 7; 10; 13; …  Hỏi số 1997 có phải là một số hạng của dãy số đã cho không?  Ta thấy: - Dãy số 3; 6; 9; … gồm các số chia hết cho 3 và dãy số 4; 7; 10; 13; … gồm các số hạng chia cho 3 dư 1. Do 1997 chia cho 3 dư 2 nên 1997 không phải là một số hạng của các dãy số trên. III- Dạng 3: Xác định số hạng và số lượng số trong dãy số. * Ví dụ: Cho dãy số: 354; 355; 356; … ; 2005; 2006. Hỏi: a) Dãy số đó có bao nhiêu số? b) Dãy số đó có bao nhiêu chữ số? c) Số hạng thứ 100 là số nào? * Giải: Dãy số 354; 355; 356; …; 2005; 2006 là dãy số tự nhiên liên tiếp bắt dầu từ số 354. a) Số lượng các số có trong dãy số là: ( 2006 – 354 ) + 1 = 1653 ( số) b) Ta có: + Các số có ba chữ số gồm: 354; 355; 356; …; 998; 999 có tất cả: ( 999 – 354 ) + 1 = 646 ( số có ba chữ số) + Các số có bốn chữ số gồm: 1000; 1001; 1002; …; 2005; 2006 có tất cả: ( 2006 – 1000) + 1 = 1007(số có bốn chữ số) Vậy dãy số cos tất cả: 3 x 646 + 4 x 1007 = 5966 ( chữ số) c) Nhận xét: Theo câu b) ta có 646 số có ba chữ số nên số hạng thứ 100 là số có ba chữ số. Số hạng thứ nhất là: 354. Số hạng thứ hai là: 354 + 1 x ( 2 – 1 ) = 355 Số hạng thứ ba là: 354 + 1 x ( 3 – 1 ) = 356 Số hạng thứ tư là: 354 + 1 x ( 4 – 1 ) = 357 v.v… Ta thấy mỗi số hạng trong dãy số bằng số hạng thứ nhất cộng với tích của 1 và hiệu của số thứ tự của số đó với 1. Do đó ta có: Số hạng thứ n là: 354 + 1 x ( n – 1 ) Số hạng thứ 100 là: 354 + 1 x ( 100 – 1 ) = 453. IV-Dạng 4: Xác định số hạng và số lượng trong dãy số cách đều.  Ví dụ: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; …; 2004. a) Hỏi dãy số đó có bao nhiêu chữ số? b) Nếu phải viết 184 csố thì viết đến số nào? c) Tìm chữ số thứ 2000 của dãy số. *Gi ải: a) Dãy số đã cho là dãy số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 đến 2004. Hai số chẵn liên tiếp hơn ( kém) nhau 2 đơn vị. Ta thấy trong dãy số đó: + Từ 2 đến 8 có: (8 – 2) : 2 + 1 = 4 (chữ số) + Từ 10 đến 98 có: ( 98 – 10 ) : 2 + 1 = 45 ( số có hai chữ số) + Từ 100 đến 998 có: ( 998 – 100) : 2 + 1 = 450 ( số có ba chữ số) + Từ 1000 đến 2004 có: ( 2004 – 1000 ) : 2 + 1 = 503 ( số có bốn chữ số) Vậy số lượng chữ số của dãy số là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 503 = 3456 ( chữ số) b)Ta thấy: Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 98 thì phải viết tới: 1 x4 +2 x 45 = 94 (chữ số) Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì phải viết tới: 1 x 4 + 2 x45 +3 x 450 =1444( csố) Do 94 < 184 < 1444 nên 184 chữ số chỉ dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số. Số lượng chữ số dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số là: 184 – 94 = 90 ( chữ số) Số lượng số chẵn có 3 chữ số viết được là: 90 : 3 = 30 ( số). Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị và số khoảng cách ít hơn số lượng số là 1 nên: Số khoảng cách ( mỗi khoảng cách 2 đơn vị ) là: 30 – 1 = 29 ( khoảng cách ) Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 hơn số 100 là: 2 x 29 = 58 ( đơn vị ) Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 của dãy số là: 100 + 58 = 158. Vậy nếu 184 chữ số thì viết đến số 158. c) Ta thấy: Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì phải viết tới: 1 x 4 + 2 x45+3 x 450=1444(chữ số) Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 2004 thì phải viết tới 3 456 chữ số (theo câu a). Do 1444 < 2000 < 3456 nên chữ số thứ 2000 thuộc các số chẵn có 4 chữ số. Số lượng chữ số dùng để viết các số chẵn có 4 chữ số là: 2000 – 1444 = 556 ( chữ số) Số lượng số chẵn có 4 chữ số là: 556 : 4 = 139 ( số) Số chẵn có 4 chữ số đầu tiên là 1000, số chẵn có 4 chữ số thứ 139 là: 1000+(139-1)x2=1276 Vậy dãy số chẵn liên tiếp từ 2 đến 1276 có đúng 2000 chữ số. Do đó chữ số thứ 2000 của dãy số là 6 ( của số 1276). V- Dạng 5: Viết dãy số “ cách đều” *Ví dụ: Viết dãy số cách đều biết số hạng đầu tiên là 1 và số hạng thứ 20 là 77. *Hiệu của số hạng thứ 20 và số hạng đầu tiên là: 77 – 1 = 76 Từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 20 có số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 ( khoảng cách) Giá trị mỗi khoảng cách là: 76 : 19 = 4 ( đơn vị) Vậy dãy số phải tìm là: 1; 5; 9; 13; 17; … ; 77; … VI- Dạng 6: Tính tổng các số hạng trong dãy số “cách đều”.  Công thức tính tổng: - Nếu n là số chẵn thì : a1 + a2 + … + an = ( a1 + an) x 2 n - Nếu n là số lẻ thì: a1 + a2 + … + an = a1 + ( a2 + an ) x 2 1n Các bài tập ứng dụng 1- Tìm qui luật thành lập của dãy số sau, rồi điền tiếp theo 3 số hạng vào dãy số: a) 1; 4; 7; 10; … b) 5; 7; 12; 19; 31; 50; … c) 5; 8; 11; 24; 43; 78; … d) 1; 4; 9; 16; 25; … e) 1; 2; 6; 24; 120; … g) 2; 20; 56; 110; 182; … 2- Tìm số hạng đàu tiên của dãy số sau: …; 10; 16; 26; 42 . Biết dãy số có 7 số hạng. 3- Điền thêm sáu số hạng nữa vào tổng sau: 9 + …+ 16 = 100. 4- Em hãy cho biết 50 và 133 có thuộc dãy số sau không: 90; 95; 100; … 5- Em hãy cho biết: a) Số 2006 có thuộc dãy số: 1; 4; 7; 10; … b) Số nào trong các số: 666; 1000; 9999 thuộc dãy số: 3; 6; 12; 24; … 6- Cho dãy số: 100; 97; 94; … có bao nhiêu số hạng biết rằng số hạng cuối cùng của dãy số đó là số nhỏ nhất có 1 chữ số khác 1 và chia 3 dư 1? Tìm số hạng thứ 17 của dãy số. 7- Từ 1 đến 2004 có bao nhiêu chữ số tận cùng là 4? 8- Cho dãy số: 1; 3; 5; 7; …; 2005. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng và số hạng thứ 100 là số nào? 9- a) Từ 563 đến 2005 có bao nhiêu số tự nhiên liên tiếp? b) Dãy số lẻ liên tiếp từ 147 đến 2005 có bao nhiêu số? c) Dãy số chẵn liên tiếp từ 140 đến 2004 có bao nhiêu số? 10- Hãy viết dãy số cách đều có 10 số hạng đều là các số tự nhiên, biết số hạng đầu tiên là 10 và số hạng cuối cùng là 37. 11- Cho dãy số cách đều có 9 số hạng, có số hạng thứ năm là 19 và số hạng thứ chín là 35. Hãy viết đủ các số hạng của dãy số đó. 12- a) Viết tất cả 50 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 1996. Hỏi số cuối cùng phải viết là số nào? b) Viết 96 số chẵn liên tiếp. Số cuối cùng của dãy là 2004. Hỏi số đầu tiên của dãy là số nào? 13- Người ta đánh máy chữ các số: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; …để dán vào trong một quyển sách dày 500 trang ( đánh số trang ). Hỏi phải gõ vào máy chữ bao nhiêu lần( chỉ tính những lần gõ vào chữ số và giả sử không lần nào gõ nhầm)? 14- Viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1. Hỏi chữ số thứ 2004 là chữ số nào? 15-Viết liên tiếp các số chẵn bắt đầu từ 2004. Hỏi nếu phải viết 480 chữ số thì phải viết đến số nào? 16- Tính các tổng sau: a) 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2005 b) 1 + 4 + 9 + 16 +…+ 100 c) 2 + 4 + 8 + 16 + ….( có 16 số hạng). 17- Một phòng họp có hàng ghế đầu gồm 12 ghế, hàng ghế thứ hai có 13 ghế, hàng ghế thứ ba có 14 ghế, cứ xếp như thế nào cho đến hàng ghế cuối cùng có 30 ghế. Hỏi phòng họp có bao nhiêu hàng ghế? Và phòng họp ấy có đủ cho 390 người ngồi không?