Cơ sở lý thuyết truyền tin 2004 - Chương 7: Lý thuyết tín hiệu

0 Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 30/ 73 2.1.Không gian vector (Tiếp) Chuẩn của vectơ v ‖v‖ chính là độ dài của v ‖v‖ = √v.v = √√√√ n∑ i=1 v2i Bất đẳng thức tam giác ‖v1 + v2‖ ≤ ‖v1‖+ ‖v2‖ Bất đẳng thức Cauchy |v1.v2| ≤ ‖v1‖ . ‖v2‖ Công thức Pythagore cho 2 vecto trực giao ‖v1 + v2‖2 = ‖v1‖2 + ‖v2‖2 Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 31/ 73 2.1.Không gian vector (Tiếp) Biến đổi tuyến tính trong không gian vectơ v ′ = Avhay v ′ = λv Thuật toán xác định tập hợp các vector trực chuẩn từ tập hợp các vector 1 Chọn một vector đầu tiên, chuẩn hóa độ dài u1 = v1 ||v1|| 2 Chọn một vector thứ hai và tính vector trực chuẩn thứ 2 u′2 = v2 − (v2.u1).u1 sau đó u2 = u′2 ||u′2|| Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 32/ 73 2.1.Không gian vector (Tiếp) 3 Tiếp tục chọn vectơ thứ 3 u′3 = v3 − (v3.u1).u1 − (v3.u2).u2 rồi chuẩn hóa u3 = u′3 ||u′3|| 4 Quá trình tiếp tục như vậy cho đến khi kết thúc (thu được vecto 0, không còn vecto nào để chọn), thu được n1 vectơ trực chuẩn Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 33/ 73 2.2.Không gian tín hiệu Xét tập hợp tín hiệu phức trên khoảng thời gian [a,b] Tích vô hướng của hai tín hiệu được định nghĩa 〈x1 (t) , x2 (t)〉 = b∫ a x1(t)x ∗ 2(t)dt 2 tín hiệu trực giao nếu tích = 0 Chuẩn của tín hiệu được định nghĩa là ‖x (t)‖ = √√√√√ b∫ a |x(t)|2dt Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 34/ 73 2.2.Không gian tín hiệu (Tiếp) M tín hiệu là độc lập tuyến tính nếu không có tín hiệu nào biểu diễn được bằng tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu còn lại. Tín hiệu gọi là trực chuẩn nếu tích các cặp 2 tín hiệu bằng 0, chiều dài bằng 1 Bất đẳng thức tam giác ||x(t) + y(t)|| ≤ ||x(t)||+ ||y(t)|| Bất đẳng thức Cauchy∣∣∣∣∣∣ b∫ a x1(t)x ∗ 2(t)dt ∣∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∣∣ b∫ a |x1 (t)|2 dt ∣∣∣∣∣∣ 1/2 ∣∣∣∣∣∣ b∫ a |x2 (t)|2 dt ∣∣∣∣∣∣ 1/2 Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 35/ 73 2.3.Khai triển trực giao tín hiệu Xét s(t) là tín hiệu thực, có năng lượng hữu hạn Cs = +∞∫ −∞ [s(t)]2dt Xét tập hợp N hàm trực chuẩn fn(t),1 ≤ n ≤ N +∞∫ −∞ fn(t)fm(t)dt = { 0(m 6= n) 1(m = n) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 36/ 73 2.3.Khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp) Ước lượng s(t) theo tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu trên _s(t) = K∑ k=1 sk fk(t) với sai số là e (t) = s (t)− sˆ (t) Cần tính các hệ số để tác động của sai số là cực tiểu (năng lượng cực tiểu) Ce = +∞∫ −∞ [ s(t)− _s(t) ]2 dt = +∞∫ −∞ [ s(t)− K∑ k=1 sk fk(t) ]2 dt Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 37/ 73 2.3.Khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp) Cực tiểu đạt được khi +∞∫ −∞ [ s(t)− K∑ k=1 sk fk(t) ] fn(t)dt = 0 hay sn = ∞∫ −∞ s(t)fn(t)dt Đây chính là hình chiếu của s(t) trên trục fn(t), còn sˆ(t) là hình chiếu của s(t) trên không gian N chiều Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 38/ 73 2.3.Khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp) Năng lượng của sai số Cmin = ∞∫ −∞ e(t)s(t)dt = ∞∫ −∞ [s(t)]2 dt− ∞∫ −∞ K∑ k=1 sk fk(t)s(t)dt = Cs − K∑ k=1 s2k Nếu giá trị này bằng 0 Cs = K∑ k=1 s2k = ∞∫ −∞ [s(t)]2 dt Khai triển trực giao s(t) s(t) = K∑ k=1 sk fk(t) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 39/ 73 2.3.Khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp) Nếu một tín hiệu có năng lượng hữu hạn đều biểu diễn được như vậy, thì họ fn(t) gọi là hệ kín Ví dụ: khai triển bằng chuỗi Fourier, tín hiệu định nghĩa trên 0, T s (t) = ∞∑ k=0 ( ak cos k 2pi T t + bk sin k 2pi T t ) Trong đó ak = 1√ T T∫ 0 s(t) cos k 2piT tdt , bk = 1√ T T∫ 0 s(t) sin k 2piT tdt Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 40/ 73 2.4.Xây dựng hệ thống trực chuẩn (Gram-Schmit) Cho một tập M tín hiệu. Xây dựng tập các tín hiệu trực chuẩn từ tập tín hiệu trên Thuật toán 1 Chọn một vector, chuẩn hóa f1(t) = s1(t)√C1 2 Chọn vectơ thứ 2, loại bỏ hình chiếu của vectơ thư nhất f ′2(t) = s2(t)− c12f1(t), thu được vector trực giao với f1(t), rồi chuẩn hóa f2(t) = f ′ 2 (t)√ C2 3 Lặp lại quá trình cho đến khi kết thúc fk(t) = f ′k(t)√ Ck f ′k(t) = sk(t)− k−1∑ i=1 cik fi(t) cik = ∞∫ −∞ sk(t)fi(t)dt Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 41/ 73 2.5.Quan hệ giữa các tín hiệu Biểu diễn thông thấp của tín hiệu m chiều sm(t) = Re [ slm(t)ej2pifc t ] Năng lượng của tín hiệu Cm = ∞∫ −∞ s2m(t)dt = 1 2 ∞∫ −∞ |slm(t)|2 dt Tương quan chuẩn hóa giữa hai tín hiệu 1√ CmCk ∞∫ −∞ sm(t)sk(t)dt = Re  12√CmCk ∞∫ −∞ slm(t)s∗lk(t)dt  Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 42/ 73 2.5.Quan hệ giữa các tín hiệu (Tiếp) Hàm tương quan phức ρkm = 1 2 √ CmCk ∞∫ −∞ s∗lm(t)slk(t)dt Re(ρkm) = 1√ CmCk ∞∫ −∞ sm(t)sk(t)dt Và Re(ρkm) = sm.sk ‖sm‖ . ‖sk‖ = sm.sk√ CkCm Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 43/ 73 2.5.Quan hệ giữa các tín hiệu (Tiếp) Khoảng cách Euclit giữa các tín hiệu: d (e)km = ‖sm − sk‖ = { ∞∫ −∞ [sm(t)− sk(t)]2 dt}1/2 = = √ Cm + Ck − 2 √ CmCkRe(ρkm) Nếu các tín hiệu có cùng chuẩn thì d (e)km = √ 2C [1− Re(ρkm)] Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 44/ 73 2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu Cho 4 tín hiệu Xác định tập các tín hiệu trực chuẩn của tín hiệu Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 45/ 73 2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp) Năng lượng của s1(t) là 2, vậy f1(t) = 1/ √ 2s1(t) Tích của f1(t) và s2(t) là ∫∞ −∞ f1(t)s2(t) = 0, do đó f ′2(t) = f2(t). Năng lượng của f2(t) là 2, vậy f2(t) = 1/ √ 2s2(t) Có thể thấy ngay s3(t)f2(t) = 0, s3(t)f1(t) = √ 2. Vậy f ′3(t) = s3(t)− √ 2s1(t) = { −1, nếu 2 ≤ t ≤ 3 0, nếu không Năng lượng của f ′3(t) = 1, vậy f3(t) = f ′3(t) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 46/ 73 2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp) Tích f1(t) và s4(t) là − √ 2, 2 và 4 là 0, 3 và 4 là -1 f ′4(t) = s4(t) + √ 2f1(t)− f3(t) = 0 Vậy s(4) phụ thuộc tuyến tính vào các tín hiệu còn lại, nên f4(t) = 0 Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 47/ 73 2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 48/ 73 2.6.Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu (Tiếp) Các tín hiệu ban đầu có thể khai triển tuyến tính theo các tín hiệu trực chuẩn vừa nhận được s1(t) = √ 2f1(t) s2(t) = √ 2f2(t) s3(t) = √ 2f1(t) + f3(t) s4(t) = − √ 2f1(t) + f3(t) Biểu diễn trong hệ tọa độ 3 chiều, 3 tín hiệu sẽ có các tọa độ tương ứng là ( √ 2,0,0), (0, √ 2,0), ( √ 2,0,1), (−√2,0,1) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 49/ 73 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 1 Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 2 Không gian tín hiệu 3 Biểu diễn các tín hiệu điều chế số Điều chế không nhớ Điều chế có nhớ Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 50/ 73 Khái niệm Điều chế tín hiệu số: Chuyển đổi các thông tin số thành dạng tín hiệu phù hợp với kênh truyền tin. Biểu diễn m bít a1,a2, ...am bằng 2m đơn vị tín hiệu tất định, có năng lượng hữu hạn. Gọi tốc độ bít là R (bít/s) Điều chế có nhớ:đơn vị tín hiệu tại một thời điểm phụ thuộc vào giá trị thông tin tại các thời điểm trước đó. Ví dụ NRZI. Điều chế không nhớ đơn vị tín hiệu tại một thời điểm không phụ thuộc vào giá trị thông tin tại các thời điểm trước đó. Ví dụ: PAM(DSB, SSB), PSK, QAM,OMS (FSK) ... Điều chế phi tuyến CFM, CPM, ... Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 51/ 73 3.1.Điều chế không nhớ PAM PSK QAM Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 52/ 73 PAM (Pulse Amplitude Modulation) Mỗi đơn vị tín hiệu có dạng sm(t) = Re [ Amg(t)ej2pifc t ] = Amg(t)cos2pifc t m = 1,2, . . .M = 2k Biên độ của các đơn vị tín hiệu nhận các giá trị rời rạc: Am = (2m − 1−M)d Khoảng cách giữa các mức sẽ là 2d .Tín hiệu g(t) biểu diễn dạng của tín hiệu, có ảnh hưởng trực tiếp tới phổ tần số của tín hiệu điều chế. Tốc độ bít là R bít/s. Tốc độ ký hiệu là R/k ký hiệu/s. Tốc độ chuyển mức là R/k lần /s. Khoảng thời gian Tb = 1/R gọi là thời gian của 1 bít, khoảng thời gian T = k/R gọi là khoảng thời gian của ký hiệu. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 53/ 73 PAM (Pulse Amplitude Modulation) (Tiếp) Năng lượng của tín hiệu điều chế Cm = ∫ T 0 s2m(t)dt = 1/2A2m ∫ T 0 g2(t)dt = 1/2A2mCg Các tín hiệu nằm trong không gian một chiều, với cơ sở và tọa độ tương ứng là: sm(t) = smf (t) f (t) = √ 2 Cg g(t)cos2pifc t sm = Am √ 1 2 Cg Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 54/ 73 PAM (Pulse Amplitude Modulation) (Tiếp) Khoảng cách giữa hai tín hiệu bất kỳ sm và sn demn = √ (sm − sn)2 = √ 1 2 Cg |Am − An| = d √ 2Cg |m − n| Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tín hiệu dmin = d √ 2Cg Trên thực tế, phương pháp điều biên như vậy đòi hỏi giải thông gấp 2 lần giải thông của tín hiệu thông thấp g(t) (DSB). Để có thể loại bỏ một nửa giải thông, có thể sử dụng phương pháp điều chế đơn biên (SSB)dựa trên biến đổi Hilbert của g(t): sm(t) = Re [ Am(g(t)± gˆ(t))ej2pifc t ] = Amg(t)cos2pifc t ˆg(t) = g(t) ∗ 1 pit Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 55/ 73 PAM (Pulse Amplitude Modulation) (Tiếp) Khi truyền không điều chế, tín hiệu được gọi là tín hiệu giải cơ sở: s(t) = Amg(t) Khi M = 2, hai đơn vị tín hiệu giống nhau và đảo cực, gọi là hai tín hiệu đối nhau: s1(t) = −s2(t) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 56/ 73 Ví dụ về tín hiệu PAM dải cơ sở và băng hẹp Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 57/ 73 Tín hiệu điều pha (PSK) Tín hiệu điều pha được biểu diễn bởi công thức: sm(t) = Re [ g(t)ej2pi(m−1)/Mej2pifc t ] ,m = 1,2 . . . ,M ,0 ≤ t ≤ T = g(t)cos [ 2pifc t + 2pi M (m − 1) ] = g(t)cos2piM (m − 1)cos2pifc t − g(t)sin 2pi M (m − 1)sin2pifc t θm = 2pi(m− 1) là các góc pha có thể được sử dụng để mã hóa. Các đơn vị tín hiệu có năng lượng bằng nhau: C = ∫ T 0 s2m(t)dt = 1 2 ∫ T 0 g2(t)dt = 1 2 Cg Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 58/ 73 Tín hiệu điều pha (PSK) (Tiếp) Các tín hiệu có thể được phân tích thành tổ hợp tuyến tính của 2 tín hiệu cơ sở: sm(t) = s1f1(t) + s2f2(t) f1(t) = √ 2 Cg g(t)cos2pifc t f2(t) = √ 2 Cg g(t)sin2pifc t Các hệ số có giá trị là sm1 = √ Cg 2 cos2piM (m − 1), sm2 = √ Cg 2 sin2piM (m − 1) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 59/ 73 Tín hiệu điều pha (PSK) (Tiếp) Khoảng cách giữa hai đơn vị tín hiệu bất kỳ: demn = √ (sm − sn)2 = √ Cg [ 1− cos2piM (m − n) ] Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai đơn vị tín hiệu: demin = √ Cg [ 1− cos2piM ] Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 60/ 73 Điều chế QAM(Quadrature Amplitude Modulation) Tín hiệu QAM được biểu diễn bởi công thức: sm(t) = Re [ (Amc + jAms)g(t)ej2pifc t ] m = 1,2 . . . ,M ,0 ≤ t ≤ T = Amcg(t)cos[2pifc t − Amsg(t)sin[2pifc t = Vmejθmg(t)ej2pifc t = Vmg(t)cos(2pifc t + θm) trong đó Amc ,Ams là các biên độ mang thông tin của các đơn vị tín hiệu, Vm = √ A2mc + A2ms, θm = arctanAmsAmc Có thể coi tín hiệu QAM như tổ hợp của hai tín hiệu PAM (M1 = 2m bít) và PSK (M2 = 2n bít). Khi đó tín hiệu QAM sẽ truyền m + n bít đồng thời. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 61/ 73 Điều chế QAM(Quadrature Amplitude Modulation) (Tiếp) Các tín hiệu có thể được phân tích thành tổ hợp tuyến tính của 2 tín hiệu cơ sở: sm(t) = s1f1(t) + s2f2(t) f1(t) = √ 2 Cg g(t)cos(2pifc t) f2(t) = √ 2 Cg g(t)sin2pifc t Các hệ số có giá trị là sm1 = Amc √ Cg 2 , sm2 = Ams √ Cg 2 sin2piM (m − 1) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 62/ 73 Điều chế QAM(Quadrature Amplitude Modulation) (Tiếp) Khoảng cách giữa hai đơn vị tín hiệu bất kỳ: demn = √ 1 2 Cg [ (Amc − Anc)2 + (Ams − Ans)2 ] Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai đơn vị tín hiệu giống như trong trường hợp PAM: demin = √ 2Cg Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 63/ 73 Điều chế QAM(Quadrature Amplitude Modulation) (Tiếp) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 64/ 73 Điều chế không nhớ khác Trên đây là các phương pháp điều chế trong không gian 2 chiều. Có thể thực hiện điều chế trong không gian nhiều chiều bằng cách chia nhỏ không gian theo thời gian và tần số. Trong trường hợp chia thành miền tần số, cần chú ý chia dải tần cho phép thành các dải tần con thích hợp, tận dụng tối đa băng thông, đồng thời tránh nhiễu xuyên kênh (cross talk noise) giữa các dải tần con. Ví dụ: điều chế đa chiều trực giao: phương pháp điều chế khóa dịch tần số (Frequency Shift Keying-FSK). Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 65/ 73 Điều chế khóa dịch tần số (Frequency Shift Keying-FSK) Sử dụng M tín hiệu có cùng năng lượng, có tần số khác nhau để mã hóa log2M bít. sm(t) = R [ slmej2pifc t ] ,m = 1,2 . . .M ,0 ≤ t ≤ T = √ 2C T cos [2pifc t + 2pim∆ft ] Các tín hiệu thông thấp tương đương là: slm(t) = √ 2C T e j2pim∆ft Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 66/ 73 Điều chế khóa dịch tần số (Frequency Shift Keying-FSK) (Tiếp) Hàm tương quan chéo ρkm = sinpiT (m − k)∆f piT (m − k)∆f e j2piT (m−k)∆f Từ đó R(ρkm) = sin 2piT (m − k)∆f 2piT (m − k)∆f Có thể thấy để đảm bảo điều kiện trực giao,R(ρkm) = 0∀m 6= k . Do đó giá trị nhỏ nhất có thể của Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 67/ 73 Điều chế khóa dịch tần số (Frequency Shift Keying-FSK) (Tiếp) ∆f để R(ρkm) = 0∀m 6= k là 1/2T . Khi ∆f = 1/2T , các đơn vị tín hiệu có tọa độ là: s1 = [√ C,0, . . . ,0 ] s2 = [ 0, √ C, . . . ,0 ] . . . sN = [ 0,0, . . . , √ C ] (1) Khoảng cách giữa các tín hiệu là dekm = √ 2C Bằng cách sử dụng thêm các tín hiệu đối xứng, có thể tạo ra một bộ 2M các đơn vị tín hiệu. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 68/ 73 Điều chế có nhớ Các đơn vị tín hiệu tại các khoảng thời gian khác nhau phụ thuộc lẫn nhau. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 69/ 73 Điều chế có nhớ (Tiếp) Sự phụ thuộc này cho phép điều chỉnh dạng phổ tần số của tín hiệu truyền đi. Sự phụ thuộc này được thực hiện trước khi điều chế thực sự tín hiệu thành băng hẹp bằng mã điều chế. Ví dụ mã NRZ-I có mã điều chế là bk = ak ⊕ bk−1 Quá trình mã hóa có thể được biểu diễn bằng sơ đồ trạng thái hoặc Trellis. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 70/ 73 Ví dụ: NRZ-I Sơ đồ trạng thái+trellis Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 71/ 73 Ví dụ: NRZ-I (Tiếp) Sơ đồ trạng thái có thể được biểu diễn bằng hai ma trận chuyển đổi tương ứng với hai đầu vào T1 = [ 1 0 0 1 ] T2 = [ 0 1 1 0 ] Trong đó tij = 1 nếu ak làm chuyển từ trạng thái i sang j . Một cách khác để mô tả quá trình mã hóa trước điều chế là dùng chuỗi Markov và ma trận chuyển đổi. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 72/ 73 Tổng kết Các phương pháp biểu diễn tín hiệu Một số tín hiệu điều chế số cơ bản: không nhớ, có nhớ. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 3. Biểu diễn các tín hiệu điều chế số 73/ 73