Cơ sở lý thuyết trường lượng tử

: + Nm = 1, Nn = 0         1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,1 ,...0 ..., , ,...,1 ,...0 ..., , ,...,1 ,...0 ..., , ˆ ˆ,...,1 ,...1 ..., , .0 0 0 m n m n r m n m n r n m m n r m m n r n a a C N N t a a C N N t a a C N N t a C N N t a                   (3) + Nm = 0, Nn = 1         1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,0 ,...1 ..., , ,...,0 ,...1 ..., , ,...,0 ,...1 ..., , ˆ ˆ.0 ,...,1 ,...1 ..., , 0 0 m n m n r m n m n r n m m n r m n m n r a a C N N t a a C N N t a a C N N t a a C N N t                   (4) Từ (1), (2), (3), (4), suy ra: (đpcm) ˆ ˆ2) 0m na a     * Xết trường hợp m n : + Nn = 1           1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,1 ,..., , ,...,1 ,..., , ,...,1 ,..., , ˆ ˆ,...,0 ,..., , ,...,0 ,..., , 0 0 n n n r n n n r n n n r n n r n n r a a C N N t a a C N N t a a C N N t a C N N t a C N N t             (1) ˆ ˆ 0m na a      ˆ ˆ 0m na a       ˆ ˆ 0n na a     ˆ ˆ 0m na a       ĐHSLY 2012B 26 + Nn = 0      1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,0 ,..., , ,...,0 ,..., , ,...,0 ,..., , ˆ ˆ.0 .0 0 n n n r n n n r n n n r n n a a C N N t a a C N N t a a C N N t a a          (2) * Xết trường hợp m n : + Nm = 1, Nn = 0         1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,1 ,...0 ..., , ,...,1 ,...0 ..., , ,...,1 ,...0 ..., , ˆ ˆ.0 ,...,0 ,...0 ..., , 0 0 m n m n r m n m n r n m m n r m n m n r a a C N N t a a C N N t a a C N N t a a C N N t          (3) + Nm = 0, Nn = 1         1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,0 ,...1 ..., , ,...,0 ,...1 ..., , ,...,0 ,...1 ..., , ˆ ˆ,...,0 ,...0 ..., , .0 0 0 m n m n r m n m n r n m m n r m m n r n a a C N N t a a C N N t a a C N N t a C N N t a          (4) Từ (1), (2), (3), (4), suy ra: (đpcm) ˆ ˆ3) m n mna a       * Xết trường hợp m n : + Nn = 1 ˆ ˆ 0n na a     ˆ ˆ 0m na a     ˆ ˆ 0m na a    ˆ ˆ 0m na a     ĐHSLY 2012B 27           1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,1 ,..., , ,...,1 ..., , ,...,1 ..., , ˆ ˆ,...,0 ..., , .0 ,...,1 ..., , n n n r n n n r n n n r n n r n n r a a C N N t a a C N N t a a C N N t a N N t a C N N t              + Nn = 0           1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,0 ,..., , ,...,0 ..., , ,...,0 ..., , ˆ ˆ.0 ,...,1 ..., , 0 ,...,0 ..., , n n n r n n n r n n n r n n n r n r a a C N N t a a C N N t a a C N N t a a N N t C N N t               Vậy khi n m thì: ˆ ˆ 1n na a      (1) * Xết trường hợp m n : Khi Nm = Nn = 0         1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,0 ,...0 ..., , ,...,0 ,...0 ..., , ,...,0 ,...0 ..., , ˆ ˆ.0 ,...,1 ,...0 ..., , 0 0 m n m n r m n m n r n m m n r m n m n r a a C N N t a a C N N t a a C N N t a a C N N t               Khi Nm = Nn = 1 ˆ ˆ 1n na a      ˆ ˆ 1n na a      ˆ ˆ 0m na a      ĐHSLY 2012B 28         1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,1 ,...1 ..., , ,...,1 ,...1 ..., , ,...,1 ,...1 ..., , ˆ ˆ,...,1 ,...0 ..., , .0 0 0 m n m n r m n m n r n m m n r m m n r n a a C N N t a a C N N t a a C N N t a C N N t a               Khi Nm = 1, Nn = 0      1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,1 ,...0 ..., , ,...,1 ,...0 ..., , ,...,1 ,...0 ..., , ˆ ˆ.0 .0 0 0 m n m n r m n m n r n m m n r m n a a C N N t a a C N N t a a C N N t a a               Khi Nm = 0, Nn = 1             1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,...,0 ,...1 ..., , ,...,0 ,...1 ..., , ,...,0 ,...1 ..., , ˆ ˆ,...,0 ,...0 ..., , ,...,1 ,...1 ..., , ,...,1 ,...0 ..., , ,...,1 ,...0 . m n m n r m n m n r n m m n r m m n r n m n r m n r m n a a C N N t a a C N N t a a C N N t a C N N t a C N N t C N N t C N               .., ,rN t  Vậy khi n m thì: ˆ ˆ 0n na a      (2) Từ (1) và (2), suy ra: (đpcm) ˆ ˆ 0m na a     ˆ ˆ 0m na a      ˆ ˆ 0m na a     1 ˆ ˆ 0 n n mn khi m n a a khi m n           ĐHSLY 2012B 29 Câu 3: Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai cho hệ Bose : 3.1: Phương trình Scchoddinger trong x – biểu diễn Ta viết phương trình Schrodinger cho hệ N hạt Bose đồng nhất trong x – biểu diễn     1 2 1 2, ,... , , ,... ,N Ni t H tt            (1) Trong đó: + Toán tử năng lượng:      1 1 2 n i ik i i k H H W      + Hamintonian của hạt thứ i:    2 2 i i iH Um      + Thế năng trường ngoài:  iU  + Thế năng tương tác giữa hạt thứ I và hạt thứ k: ikW + Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ lượng tử gồm N hạt đồng nhất:  1 2 ,, ,... N t   - Về mặt ý nghĩa,   2 1 2 ,, ,... N t   cho biết mật độ xác suất tìm thấy hạt thứ nhất ở tọa độ 1 , hạt thứ hai ở tọa độ 2 , hạt thứ N ở tọa độ N . - Xác suất tìm thấy hạt thứ nhất nằm trong miền 1 1 1d    , hạt thứ hai nằm trong miền 2 2 2d    , hạt thứ N nằm trong miền N N Nd    như sau:     2 1 2 1 2 1 2, ,... , ,... ...N N NdW d d d          (2) - Theo điều kiện chuẩn hóa:     2 2 1 2 1 2 1 2, ,... , ... , ,... , 1N N Nt d d d t d              (3) - Nếu chỉ tính riêng hạt thứ i nằm trong miền tọa độ i i id    thì ta lấy tích phân theo N-1 biến không gian trừ biến thứ i.     2 1 2, ,...i i N idW d d       Với i i dd d    3.2: Phương trình Schrodinger trong F – biểu diễn - Ta có phương trình Schrodinger trong x - biểu diễn     1 2 1 2, ,... , , ,... ,N Ni t H tt            (1) Trong đó: + Toán tử năng lượng:      1 1 2 n i ik i i k H H W      (2) Để chuyển từ x – biểu diễn sang F – biểu diễn, với F được xác định bởi 4N toán tử giao hoán nhau kí hiệu      1 2, ,... NF F F    . Trong đó: +  = 1, 2, 3, 4 là ba tọa độ không gian và tọa độ Spin của hạt thứ i. +      1 2, ,... NF F F    là toán tử hạt lượng tử thứ nhất, thứ hai, thứ N Giả sử phổ trị riêng của các toán tử gián đoạn và được đặc trưng bằng bốn lượng tử số kí hiệu n1 , n2 , , nN. - Hàm sóng của hệ khai triển theo các hàm riêng của toán tử  iF  là: ĐHSLY 2012B 30         1 1 1 1 1 ,..., ,... , ,..., , ... N N N N n n N n n t C n n t       (3) - Trong đó:  1 ,..., ,NC n n t là hệ số khai triển cũng là hàm sóng trong F – biểu diễn. - Thay (2) và (3) vào (1), ta có:                       1 1 1 1 1 1 1 1 ,..., 1 1 1 ,..., 1 1 ,..., ,..., , ... ,..., , ... 1 ,..., , ... 2 N N N N N N N n n N n n n i N n n N i n n ik N n n N i k n n i C n n t t H C n n t W C n n t                         (4) - Nhân trái với     1 * * 1 ... Nm m N   , ta được :                                   1 1 1 1 1 1 1 1 1 * * 1 1 1 ,..., * * 1 1 1 1 ,..., * * 1 1 1 ,..., ... ,..., , ... ... ,..., , ... 1... ,..., , ... 2 N N N N N N N N N m m N N n n N n n n m m N i N n n N i n n m m N ik N n n N i k n n i C n n t t H C n n t W C n n t                                    (5) - Tích phân (5) theo 1,..., N  ta lần lượt thu được các số hạng là : + Số hạng thứ nhất :                         1 1 1 1 1 1 1 1 1 * * 1 1 1 1 ,..., * * 1 1 1 1 ,..., 1 ,..., 1 ... ,..., , ... ... ,..., , ... ... ... ,..., , ... ,..., , (6) N N N N N N N N N m m N N n n N N n n N m m N n n N N n n N m n m n n n N i C n n t d d t i C n n t d d t i C n n t t i C m m t t                                      + Số hạng thứ hai :                                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * * 1 1 1 1 1 ,..., * 1 1 ,..., * * * * 1 1 ... ,..., , ... ... ,..., , ... ... ... ... N N N i i N i i i i N i i i i N n m m N i N n n N N i n n n m i i n i i N i n n m m m m m m N n n n n n n H C n n t d d H d C n n t                                                                1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,..., 1 1 1 1 ... ... ,..., , ... ... ,..., , , ,..., , (7) i i i i i i N N N i i i N i i N n m n N m n m n m n m n i n n N m n i i i N i n d d d d H C n n t H C m m n m m t                           ĐHSLY 2012B 31 + Số hạng thứ 3:                                1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * * 1 1 1 1 ,..., * * 1 ,..., * * * * * 1 1... ,..., , ... ... 2 1 ,..., , 2 ... ... ... N N N i k i k N i i i i k k k k m m N ik N n n N N i k n n m i m k ik n i n k i k N i k n n m m m m m m m m m W C n n t d d W d d C n n t                                                                      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1 1 1 1 1 ,..., ... ... ... ... ... 1 ,..., , ... ... ... 2 1 2 N i i i i k k k k N i k i k i i i i k k k k N N N i k i m N n n n n n n n n n n N i i N m m n n N m n m n m n m n m n m n i k n n m m n n d d d d W C n n t W                                                        1 1 1,... 1 1,... , ,... , , , , , (8) k i k i i i k k k N i k n n C m m n m m n m m t      - Thay (6), (7) và (8) vào (5), ta được :       1 1 1 , 1 1 1 1 1,... 1 1,... , ,..., , ,..., , ,..., , 1 ,... , , , , , (9) 2 i i i i k i k i k N N m n i i i N i n m m n n i i i k k k N i k n n i C m m t H C m m n m m t t W C m m n m m n m m t               - Phương trình (9) chính là phương trình Schrodinger trong F – biểu diễn. - Trong đó: +      * i i i im n m i i n i i H H d      là yếu tố ma trận của toán tử năng lượng hạt lượng tử thứ i. +        * * i k i k i k i km m n n m i m k ik n i n k i k W W d d           : là yếu tố ma trận của toán tử tương tác giữa hạt lượng tử thứ i và thứ k. 3.3 : Phương trình Schrodinger trong biểu diễn biến số lấp đầy : Từ phương trình Schrodinger trong F – biểu diễn :       1 1 1 , 1 1 1 1 1,... 1 1,... , ,..., , ,..., , ,..., , 1 ,... , , , , , (1) 2 i i i i k i k i k N N m n i i i N i n m m n n i i i k k k N i k n n i C m m t H C m m n m m t t W C m m n m m n m m t               - Ta gọi tập hợp các số 1 2 , ,..., rn n n N N N là số hạt lượng tử của hệ N hạt đồng nhất cùng ở trạng thái lượng tử n1, n2, , nr tương ứng là biến số lấp đầy của hệ lượng tử. - Theo ý nghĩa thống kê hàm sóng trong F – biểu diễn:   2 1 , ,..., ,NC m m m t cho biết xác suất hạt thứ nhất ở trạng thái lượng tử m1, hạt thứ hai ở trang thái lượng tử m2, , hạt thứ r ở trạng thái lượng tử mr. - Vậy xác suất để có 1m N hạt ở trạng thái lượng tử m1, 2m N ở trạng thái lượng tử m2, , rm N hạt ở trạng thái lượng tử mr là:     1 2 2 1 2, ,..., , , ,..., ,rm m m rW N N N t C m m m t (2) - Ta kí hiệu  1 2, ,..., ,rC m m m t là hàm sóng trong biểu diễn biến số lấp đầy. ĐHSLY 2012B 32 - Theo ý nghĩa thống kê hàm sóng   2 1 2, ,..., ,rC m m m t cho biết xác suất để hệ lượng tử có 1m N hạt ở trạng thái lượng tử m1, 2m N hạt ở trạng thái lượng tử m2, rm N hạt ở trạng thái lượng tử mr.     1 2 2 2 1 2, ,..., , , ,..., ,rm m m rC N N N t C m m m t (3) - Do tổng dược lấy theo các hệ số khai triển nên nếu mỗi trạng thía lượng tử chỉ có duy nhất một hạt thì ta sẽ có N! số hạng tương ứng với N! cách hoán vị của N hạt. - Ta biết 1m N cùng trang thài m1, 2m N hạt cùng trạng thái m2, nên số hạng sẽ giảm đi một lượng là 1 2 ! !... ! rm m m N N N , nên ta có:     1 2 2 2 1 2 1 2 !, ,..., , , ,..., , ! !... ! r r r m m m NC m m m t C m m m t N N N  (4) - Từ (3) và (4), ta được:     1 2 1 2 2 2 1 2 !, ,..., , , ,..., , ! !... !r r m m m r m m m NC N N N t C m m m t N N N  (5) - Hay    1 2 1 21 2 ! !... , ,..., , , ,..., , ! r r m m m r m m m N N N C m m m t C N N N t N  (6) - Ta chú ý hàm sóng trong F- biểu diễn : +  1 2, ,..., ,rC m m m t mô tả trạng thái lượng tử có 1mN hạt ở trạng thái lượng tử m1, 2mN hạt ở trạng thái lượng tử m2, rm N hạt ở trạng thái lượng tử mr. +  1 1 , 1,..., , ,..., ,i i i NC m m n m m t  mô tả trạng thái mi có số hạt giảm đi một hạt, ngược lại ở trạng thái ni thì tăng thêm một hạt. => Phương trình (6) được viết lại :         1 1 1 !... 1 ! 1 ... ,..., ,... , ! ,... 1, 1..., , (7) i i r i i r m m n m i r m m n m N N N N C m n m t N C N N N N t       - Tương tự ta cũng viết cho trạng thái i và k:            1 1 1 !... 1 ! 1 ! 1 1 !... ,..., ,..., ... , ! ,... 1, 1, 1, 1..., , (8) i k i k r i k i k r m m m n n m i k r m m m n n m N N N N N N C m n n m t N C N N N N N N t           - Thay (6), (7) và (8) vào (1), ta có: ĐHSLY 2012B 33                1 1 1 1 / / 1 / / / / / / 1 , , , , !... ! !... ,..., ,..., ,..., , ! !... 1 ! 1 ... . ,... 1, 1..., , ! !... 1 ! 1 ! 1 1 !...1 2 ! ,... 1, 1,..., 1, r r r r r m m n m m m n m m m n m mn m m n m m n m m n mm n mm nn m m n n m m nm n N N N N i C N N N N t t N N N N N H C N N N N t N N N N N N N W N C N N N N N                    1..., , rm N t - Giản ước các hệ số bằng cách chia hai vế cho 1 !... ! !... ! rm m n m N N N N N , ta được :             1 1 / / / / / / / / 1 , , , , ,..., , 1 . ,... 1, 1..., , 1 . 1 1 2 1 . 1 ,... 1, 1,..., 1, 1..., , r r r m m mn m m n m m n n m mm nn m m n n n mn m m m n mm n i C N N t t H C N N N N t N N W N N N N C N N N N N N t                 (9) - Phương trình (9) là phương trình Schrodinger viết trong biểu diễn biến số lấp đầy. ĐHSLY 2012B 34 Chứng minh các toán tử năng lượng H  , toán tử mật độ dòng năng lượng P  , toán tử số hạt k kN a a        là giao hoán nhau:  2 , 1 1ˆ ˆ 2k kkk H a a                ;  2 , 1 ˆ ˆ k k k p ka a           ;  ˆ ˆ k kN a a         ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' 2 2 , 1, 1 , , 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k kk k k kkkk k k k kk k k kk k H p H p pH k a a a a a a a a k a a a a a a a a                                                                                        ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' 2 2 1, 1 2 2 , 1, 1 2 2 , 1, 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k kk kk k kk k kk kk k kk kk kk kk k kk k a a a a a a a a k a a a a k a                                                                            ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' 2 2 , 1, 1 2 2 , 1, 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k kk k k k kk k k k k k kk kk k kk k k kk k kk a a a a a a a k a a a a k a a a a a a a a                                                                                ' ' ' ' 2 2 , 1, 1 2 , 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 , 0 ( ) k kk k k k kk k k a a a a H p dpcm                                  *    ,H N H N N H     ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' 2 , 1 2 , 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k kk k k kk k k k k kk k k kk k a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' 2 , 1 2 , 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k kk kk k kk k kk k k k k k kk kk kk k k k kk k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                              ' ' ' ' 2 , 1 ˆ ˆ k k k a a         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' 2 2 , 1 , 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k k kk kk k kk k k k kk k k k a a a a a a a a a a a a                                                        ĐHSLY 2012B 35     2 , 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 , 0 ( ) k k k kk k a a a a H N dpcm                        *    ,p N pN N p          ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 ' , 1 2 ' , 1 ' ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k kk k k k k k k k kk kk k kk k k k kk kk k a a a a a a a a k a a a a a a a a k a a                                                                                  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 ' , 1 , 1 2 ' ' , 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k kkk k k k k k k k k k k k kk kk k kk k k k a a k a a a a a a a a k a a a a k a a a a a                                                                                ' ' ' ' ' ' 2 , 1 2 , 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 , 0 ( ) kk k k k k k k k a a a k a a a a H p dpcm                                  