Chuyên đề Tính tích phân bằng phương pháp phân tích - Ðổi biến số và từng phần

n xét: Qua ví d trên, ñ tính tích phân ñôi khi h c sinh ph i áp d ng c hai ph ươ ng pháp ñi bi n s lo i 2 và tích phân t ng ph n. Ví d t ươ ng t : (ph i h p hai ph ươ ng pháp) π 2 π 2 4 4 1 e cos lnx a) I =∫ sin x dx b) I =∫ x.ln(1+ x2 ) dx c) I = ∫ dx 0 0 0 x π π 2 3 ln tgx 4 cosx I dx x d) I =∫ e sin2x. dx e) = ∫ 2 f) I =∫ e dx 0 π cos x 0 4 BÀI T P ð NGH 6: 1. Tính các tích phân sau: π π ln2 6 6 a) I =∫ xe-x dx b) I =∫ (12x -2)cos2xdx c) I =∫ (2x2 -4)sin2xdx 0 0 0 π 1 3 2 xdx f) I d) I =∫ (2x -1)ln(x +1)dx e) I =∫ (2x -1)ln(x -1)dx =∫ 2 π 0 2 sin x 4 π 1 2 3 g) I =∫ 2xln2 (x +1)dx h) I =∫ (12x-4+ex )sinxdx i) I =∫ 2xln2 (x-1)dx 0 0 2 π 2 j) I =∫ (x +sin2 x)cosxdx (TNTHPT – 2005) 0 2. Tính các tích phân sau: (Các ñ thi tuy n sinh ði h c) π 4 1 a) I = e3x sin4xdx ( ðH A.Ninh 1997) b) I =( x -1 ) e2x dx ( ðH DLNN-T.H c 1997) ∫ ∫0 0 Trang 28 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI π  2   π 4  c) I =∫ x2 sinxdx ( ðH A.Ninh 1998) d) I =∫ cos xdx ( ðH DLNN-T.H c 1998) 0 0 π 2 lnx 4 e) I (2 ) =∫ 2 dx ( ðH Hu 1998) f) I =∫ x 2cos x -1 dx ( ðH TCKT 1998) 1 x 0 2 ln( x +1 ) 10 h) I 2 g) I =∫ 2 dx ( ðH C ñoàn 2000) =∫ xlg xdx ( ðH Y D ưc 2001) 1 x 1 π  3   2  e i) I = sin3 x dx ( ðH KTrúc HN 2001); j) I = x2 ln 2 xdx ( ðH KT HD ươ ng 2002) ∫ ∫1 0 e x2 +1 0 k) I =∫ lnxdx ( ðHC ð D b 2-2003); l) I =∫ x( e2x +3 x+1 ) dx (ðHC ð D.b 2003) 1 x -1 1 1 3 x 2 m) I = x e dx (ðHC ð D b 2-2003); n) I =( x2 +2x ) e -x dx ( ðH GTVT 2003) ∫0 ∫ 0 III. Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS Trong m t s tr ưng h p m t s bài tích phân ph c t p ñã gi i ñưc k t qu nh ưng ch ưa ñánh giá ñưc ñ chính xác c a k t qu là ñúng hay sai , khi ñó ta có th s d ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS ñ ki m tra k t qu . Ví d v i ñ thi π 2 sin2x +sinx Kh i A n ăm 2005 I=∫ dx ta s d ng máy tính nh ư sau: 0 1+3cosx + Vi k t q a gi i tay là 34 ta chuy n sang s th p phân ≈ 1,259259… 27 + ði v i bài tích phân l ưng giác tr ưc h t chuy n sang ch ñ Rad . + Quy trình b m máy CASIO fx-570MS nh ư sau: ∫ dx ( ( sin ( 2 ALPHA X ) + sin + ALPHA X ) ÷ ( 1 3 cos ALPHA X ) , 0 , SHIFT π ÷ 2 ) = Và k t q a máy tính là 1,2593 . So v i k t qu g n ñúng trên ñng ngh ĩa v i ñáp s bài gi i bng tay trên ñã ñúng. Trang 29 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI BÀI T P ð NGH 7: CÂU H I TR C NGHI M TÍCH PHÂN 1 Câu 1: ∫ 2x +1 dx có giá tr b ng: 0 A. 2 B. 0 C. -2 D. 3 e Câu 2: ∫ x2 -1 dx có giá tr b ng: 0 A. 1 B. 0 C. -1 D. 1 2 Câu 3: Ch n m nh ñ ñúng: 3π 3π π4 π 4 π ≤dx ≤ ≤dx ≤ A. ∫ 2 B. 0 ∫ 2 4π 3 - 2sin x 2 π 3 - 2sin x 2 4 4 3π 3π 4 π 4 π ≤dx ≤ 1≤ dx ≤ C. 0 ∫ 2 D. ∫ 2 π 3 - 2sin x 4 4π 3 - 2sin x 2 4 4 e lnx Câu 4: ∫ dx có giá tr b ng: 1 x A. 1 B. 0 C. -1 D. e 1 Câu 5: ∫ (x + 2 )4 dx có giá tr b ng: 0 A. 211 B. 211 C. 201 D. 201 5 5 π 2 Câu 6: ∫esinx cosx dx có giá tr b ng: 0 A. e - 1 B. 0 C. e D. 1 - e π 2 Câu 7: ∫3 1 +3cosx. sinx dx có giá tr b ng: 0 5 A. 3 B. C. 1 D. 2 3 1 dx Câu 8: ∫ 2 có giá tr b ng: 0 x + x +1 π 3 π π π 3 A. B. C. D. 9 9 9 3 3 Trang 30 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI 2 (2x -1) dx Câu 9: ∫ 2 có giá tr b ng: 1 x - x -1 2 3 4 9 A. ln B. ln C. ln D. ln 3 2 9 4 1 (4x +2) dx Câu 10: ∫ 2 có giá tr b ng: 0 x + x +1 A. 3ln2 B. 2ln3 C. ln4 D. ln6 1 dx Câu 11: có giá tr b ng: ∫ 2 -1 x +2x +2 A. ln( 2+ 5 ) B. ln( 2 +5 ) C. ln( 2 + 5 ) D. ln( 5 - 2 ) 2 dx Câu 11: có giá tr b ng: ∫ 2 1 -3x +6x +1 π 3 π 3 π 3 π 3 A. B. C. D. 3 9 12 15 2 (4x +6) dx Câu 12: có giá tr b ng: ∫ 2 1 x -2x +3 A. 4ln( 2+ 3 ) B. 6ln( 2+ 3 ) C. 8ln( 2+ 3 ) D. 10ln( 2+ 3 ) 2 2 Câu 13: ∫ x x2 +1 dx có giá tr b ng: 0 A. 26 B. 28 C. 32 D. 34 3 3 3 3 6 dx Câu 14: có giá tr b ng: ∫ 2 2 x x -3 π π π π A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 2 6 12 36 1 dx Câu 15: có giá tr b ng: ∫ 2 0 x +1 A. ln 2 B. ln2 C. ln( 2 +1 ) D. ln( 2 +2 ) 2 dx Câu 16: ∫ có giá tr b ng: 1 cosx +1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Trang 31 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI π dx Câu 17: ∫ có giá tr b ng: 0 sinx +1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 π dx Câu 18: ∫ có giá tr b ng: 0 sinx - 2cosx -2 A. -ln2 B. ln2 C. 1-ln2 D. 1+ln2 π 2 sinx -cosx  Câu 19: ∫  dx có giá tr b ng: 0 sinx +cosx  π π π π A. 1+ B. -1+ C. 1- D. -1- 4 4 4 4 π cosx Câu 20: ∫ 2 dx có giá tr b ng: 0 11-7sinx -cos x 1 5 1 1 8 1 5 A. - ln B. - ln5 C. ln D. ln 3 8 3 3 5 3 8 π 2 x +cosx Câu 21: ∫ 2 dx có giá tr b ng: -π 4-sin x 2 1 1 1 1 A. ln3 B. ln3 C. ln3 D. ln3 8 6 4 2 π 2 1+sinx  Câu 22: ∫ln  dx có giá tr b ng: 0 1+cosx  π π A. B. 3 C. 0 D. 1 2 2 π 4 sin4x Câu 23: ∫ 4 4 dx có giá tr b ng: 0 sin x +cos x A. -ln2 B. -ln2 C. -ln3 D. -ln3 π - 2 7 Câu 24: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a f(-x) + f(x) = cos x. ∫ f(x)dx có giá tr π - 2 bng: A. 16 B. 32 C. 24 D. 12 35 35 35 35 Trang 32 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI π - 2 4 5 Câu 25: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a 3 f(-x) + f(x) = cos x.sin x . ∫ f(x)dx có π - 2 giá tr b ng: 1 1 1 A. - B. - C. 0 D. 4 2 4 2 Câu 26: ∫ x2 - x dx có giá tr b ng: 0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 Câu 27: ∫ x3 -2x 2 - x + 2 dx có giá tr b ng: -1 A. 9 B. 37 C. 14 D. 41 4 12 12 2 Câu 28: ∫ x2 -3x +2 dx có giá tr b ng: -3 59 2 59 2 A. B. C. - D. - 2 59 2 59 π  π π  2  2 2  2 2 Câu 29: ∫ 5 - 4cosx - 4sinx dx có giá tr b ng:  ∫5 - 4cosx - 4sinx dx = ∫ 2sinx -1 dx  0  0 0    π π π π A. -2 3 -2 - B. 2 3 -2 - C. 2 3 +2 - D. 2 3 +2+ 6 6 6 6 π 2 Câu 30: ∫ 2cosx -1 dx có giá tr b ng: 0 π π π π A. 2 3 -2+ B. 2 3 -2 - C. 2 3 -2+ D. 2 3 -2 - 3 3 6 6 2 Câu 31: ∫ (2x - 4 ) dx có giá tr b ng: -1 1 1 1 1 A. 2+ B. 3 + C. 4+ D. 5 + ln2 ln2 ln2 ln2 2 dx Câu 32: ∫ có giá tr b ng: -1 1+ 1- x A. ln2 B. 2ln2 C. 3ln2 D. 4ln2 Trang 33 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI 2 Câu 33: ∫ (x - x -1 ) dx có giá tr b ng: -1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 Câu 34: ∫ (1- x - 1+ x ) dx có giá tr b ng: 0 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 1 Câu 35: ∫xlnxdx có giá tr b ng: 0 2 2 2 2 A. e +1 B. e +1 C. e +1 D. e +1 2 4 1 3 π 2 Câu 36: ∫xcosxdx có giá tr b ng: 0 π π π π A. +2 B. - 2 C. +1 D. -1 2 2 2 2 1 Câu 37: ∫xex dx có giá tr b ng: 0 A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 π 2 Câu 38: ∫ex sin2x dx có giá tr b ng: 0 π π π π 2   1   2   1   A. -e 2 +1  B. -e2 +1  C. e2 +1  D. e 2 +1  5   5   5   5   π 2 Câu 39: ∫e2x cosx dx có giá tr b ng: 0 1 π 1 π 1 π 1 π A. (e +2 ) B. (e - 2 ) C. (2e +1 ) D. (2e -1 ) 5 5 5 5 1 Câu 40: ∫e2x ( x -2 ) dx có giá tr b ng: 0 2 2 2 2 A. 5 -3e B. 3e -5 C. 3e -5 D. 5 -3e 4 4 2 2 ex Câu 41: ∫cos( lnx ) dx có giá tr b ng: 0 Trang 34 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI 1 π 1 π 1 π 1 π A. (e +1 ) B. − (e +1 ) C. (e -1 ) D. (-e +1 ) 2 2 2 2 e Câu 42: ∫sin( lnx ) dx có giá tr b ng: 0 (sin1-cos1) e+1 (sin1-cos1) e -1 (cos1-sin1) e+1 (cos1-sin1) e+1 A. B. C. D. 2 2 2 2 e 1+sinx Câu 43: ∫ex dx có giá tr b ng: 0 1+cosx π 3π π π A. e2 B. e C. e 2 D. e2 e 2 x 1+ x Câu 44: ∫e2 dx có giá tr b ng: 0 (1+ x ) A. 0 B. 1 C. e D. 2 e x x Câu 45: ∫e2 dx có giá tr b ng: 0 (1+ x ) A. e -2 B. e+2 C. e -1 D. e+1 2 2 2 2 Trang 35 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI Nh n xét: Trong ph n n i dung chuyên ñ trên, tôi ch nêu ra m t s bài t p minh ha c ơ b n tính tích phân ch y u áp d ng ph ươ ng pháp phân tích, ph ươ ng pháp ñi bi n s , ph ươ ng pháp tích phân t ng ph n. Các bài t p ñ ngh là các ñ thi T t nghi p THPT và ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng c a các n ăm tr ưc ñ các em h c sinh rèn luy n k n ăng tính tích phân, bên c nh ñó c ũng h ưng d n h c sinh ki m tra k t qu bài gi i c a mình có kt qu ñúng hay sai b ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS và ph n cu i c a chuyên ñ là m t s câu h i tr c nghi m tích phân. ð ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh kh i 12 ñ các em ñ t k t qu cao trong k ỳ thi T t nghi p THPT và k ỳ thi Tuy n sinh ð i hc và giúp cho các em có n n t ng trong nh ng n ăm h c ð i c ươ ng c a ð i h c. Tuy nhiên v i kinh nghi m còn h n ch nên dù có nhi u c g ng nh ưng khi trình bày chuyên ñ này s không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong ñưc s góp ý chân tình c a quý Th y Cô trong H i ñ ng b môn Toán S Giáo d c và ðào t o t nh ð ng Nai. Mt l n na tôi xin c m ơn Ban lãnh ño nhà tr ưng t o ñiu ki n t t cho tôi và c m ơn quý th y cô trong t Toán tr ưng Nam Hà, các ñng nghi p, b n bè ñã ñóng góp ý ki n cho tôi hoàn thành chuyên ñ này. Tôi xin chân thành cám ơn./. Trang 36 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI TÀI LI U THAM KH O 1. Sách giáo khoa gi i tích 12 2. Sách giáo viên gi i tích 12 3. Tuy n t p các chuyên ñ và k thu t tính tích phân - Tr n Ph ươ ng 4. ðo hàm và tích phân - Võ ði Mau & Võ ði Hoài ðc 5. Chuyên ñ tích phân và ñi s t h p xác su t - Ph m An Hòa & Nguy n V ũ Thanh 6. Các d ng toán c ơ b n gi i tích 12 - Nguy n Ng c Khoa 7. Tr c nghi m khách quan gi i tích và tích phân - ðoàn V ươ ng Nguyên. Trang 37 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI NH N XÉT ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. Trang 38 CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHÔI ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. Trang 39