Chuyên đề: Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và một số bài toán phụ

Chuyên đề: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỤ I- KIẾN THỨC LÝ THUYẾT LIÊN QUAN 1, KIẾN THỨC 6, 7, 8 QUAN TRỌNG CẦN NHỚ. a, Tính chất về phân số (phân thức): )0,0( . .  BM B A MB MA b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ: +) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 +) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 +) A2 - B2 = (A - B)(A + B) +) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 +) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 +) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2) +) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2) 2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI 1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a 2)Để A có nghĩa thì A ≥ 0 3) AA 2 4) BAAB . ( với A  0 và B  0 ) 5) B A B A  ( với A  0 và B > 0 ) 6) BABA 2 (với B  0 ) 7) BABA 2 ( với A  0 và B  0 ) BABA 2 ( với A < 0 và B  0 ) 9) B AB B A  ( với AB  0 và B  0 ) 10) B BA B A  ( với B > 0 ) 11) 2 ( )C C A B A BA B    ( Với A  0 và A  B2 ) 12) ( )C C A B A BA B    ( với A  0, B  0 và A  B ) II. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: 1. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN 1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức AA 2 *)Ví dụ 1: Rút gọn: a) 22 )8()3(  ; b) 2)53(  c) 22 )21()21(  d) 22 )52()35(  Giải: a) 2 2( 3) ( 8) 3 8 3 8 11          b) 2(3 5) 3 5 3 5     c)    2 2(1 2) (1 2) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2                   d) 2 2( 5 3) (2 5) 5 3 2 5 5 3 2 5 1             *)Ví dụ 2: Rút gọn: a) A= 324  b) B = )622.(3814  ; c) C = 347  + 347  d) D = 62725  Giải: a) A = 1313)13(1323 2  b) B = )622.(3814  = )622(48214  = )68.(66.828  = 268)68)(68()68()68( 2  c) C = 347  + 347  = 22 )32()32(32.2732.27  = 2- 3 + 2 + 3 = 4 d) D = 62725  25 2 6 2 6 1 5 2 ( 6 1) 5 2( 6 1) 7 2 6             = 16)16( 2  *)Ví dụ 3: Rút gọn A = 3232  Giải: Cách1: 2 A =    2 24 2 3 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1             3 1 3 1 3 1 3 1 2 3         Suy ra A = 6 Cách 2: Ta có: A2 = 63234232  Do A > 0 nên A = 6 *)Bài tập: Bài 1: Tính:      2 2 2) 1 3 3 ) 2 3 1 3a b     Bài 2: Tính: 5353)7474)728)  cba Bài 3: Rút gọn A = 3122113  Bài 4: Rút gọn A = 6222326  1.2/ Rút gọn vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai: *)Ví dụ 1:Tính a) 56.14 b) 12. 7 33. 2 13 c) 4 7 . 4 7  Giải: a) 56.14 = 282.144.144.144.14.1456.14 22  b) 121212. 7 24. 2 712. 7 24. 2 712. 7 33. 2 13 2  c)   4 7 . 4 7 4 7 4 7 16 7 9 3         *)Ví dụ 2: Rút gọn: ) 5 20 80 ) 3 12 3 2. 24a b    Giải: ) 5 20 80 5 2 5 4 5 (1 2 4) 5 5 ) 3 12 3 2. 24 3 2 3 3.2.2. 3 (1 2 12) 3 15 3 a b                    *) Bài tập: Bài 1: Tính: a) 75.12 b) 25 36. 25 241. 9 72 c) 4,6.90);25.04,0 d e) 9 17 . 9 17  Bài 2: Rút gọn: a) 483512  b) 4532055  c) 18584322  d) 485274123  e) 277512  f) 16227182  1.3/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng phương pháp nhân liên hợp. *)Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau a) 23 1  b) 32 1  c) 21 1  d) 31 1 31 1    Giải: 1 3 2 3 2) 1; 3 23 2 ( 3 2)( 3 2) 1 2 3) 2 3 4 32 3 1 1 2) (1 2) 1 21 2 a b c                    d) 31 1 31 1    = 2 )31(31 31 31 31 31 )31)(31( 31 )31)(31( 31               = 3 2 32 2 3131      *)Ví dụ 2: Trục căn ở mẫu: a) 7 11) 5 3 2 2 3 1 b   Giải: a)      7 5 3 2 7 5 3 27 5 3 2 25 185 3 2 (5 3 2) 5 3 2          b)      11 2 3 1 11 2 3 111 2 3 1 12 12 3 1 (2 3 1) 2 3 1          *)Ví dụ 3: Rút gọn: A = 23 32:4 35 2 35 2             *)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau: a) 1 3 2 3   b) 2 2 3 1 3 1    c) 3 3 3 1 1 3 1 1      d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9                1.4/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phân tích thành nhân tử: *) Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức: a) 3 3 3 1   b) 3 6 2 8 1 2 1 2      c) 3 3 3 32 . 2 3 1 3 1                  d) 5 7 5 11 11 5 1 11     Giải: a)  3 3 13 3 3 3 1 3 1      b)    3 1 2 2 1 23 6 2 8 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2             c)    3 3 1 3 3 13 3 3 32 . 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1                                     2 3 . 2 3 4 3 1      d)    5 5 7 11 11 15 7 5 11 11 5 7 11 5 1 11 5 11 1            *)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau: a) 15 12 5 2   b) 5 5 10 5 1 5    c) 5 5 5 51 . 1 5 1 5 1                  d) 2 3 2 5 5 2 1 5     2. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN PHU 2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN: Bước: Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0) Bước :Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được). Bước :Quy đồng, gồm các bước: + Chọn mẫu chung: là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng. + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung. Bước : Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. Bước : Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. Bước : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên). Bước :Rút gọn. Lưu ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thường có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức...Do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại toán. 2.2/ CÁC VÍ DỤ VỀ BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP: *)Ví dụ 1: Cho biểu thức: a a a 2 aA 1 : 1 a 1 a 2                 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A Bài giải: ĐKXĐ: 0 1 0 a a      0 1 a a    Ta có: a a a 2 a a ( a 1) a ( a 2)A 1 : 1 1 : 1 a 1 a 2 a 1 a 2                                    ( 1) : ( 1)a a   Vậy A = 1 1 a a   b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất). Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn được vào và giải phương trình: 1 5 1 a a    1 5( 1) 1 5 5 4 6a a a a a          3 9 2 4 a a    (TMĐK) Vậy với a = 9 4 thì A = 5. c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai). Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các phép tính (Lưu ý: Có thể tính giá trị a rồi thay vào). Ta có: 2 2 22 2 2 1 ( 2) 2. 2.1 1 ( 2 1)a         Suy ra 2 1 2 1a     . Do đó thay vào biểu thức A ta được: A = 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2         d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba). Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chú ý điều kiện xác định. Ta có: A = 1 1 a a   = 1 + 2 1a  Để A nguyên thì 2 1a  nguyên, suy ra 1a  là ước của 2 1 1 0 1 1 4 1 2 9 1 2 a a a a a a a                  (TMĐK). Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên. e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ tư). Phương pháp: Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng M N < 0 (hoặc M N > 0) trong đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được điều kiện của biến. 1 1 a a   < 1  1 1 a a   - 1 < 0  1 1 1 a a a     < 0  2 1a  < 0  1a  < 0  a <1. Kết hợp điều kiện ban đầu, suy ra 0  a < 1. *)Ví dụ 2: Cho biểu thức x 2 1A ( ) : x 1 x x x 1      a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1. Rút gọn 1 1:) )1( 2 1 ( 1 1:)2 1 (         xxxx x xxxx xA 2( x ) 2 x 1 ( x 2 )( x 1) x 2A . 1x ( x 1) x ( x 1) x           b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm). Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức. Ta có A= x 2 2x 2 2 x x     (BĐT Côsi cho hai số dương) min 2A 2 2 x x 2 x       (TMĐK) Vậy Amin = 2 2 x 2  . *)Ví dụ 3: Cho biểu thức 1 1 1A . 1 x 1 x 1 x              a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A. b)Tìm giá trị của x để A A. Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 .    1 1 1 x 1 x 1 x 1A . 1 . x 1 x 1 x xx 1 x 1                    =      2 x x 1 2A x 1x 1 x 1 x      b) 2A A 0 A 1 0 1. x 1          2)0 x 1 0 x 1 1 x 1 2 2 x 3) 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1                    x 3 0 x 1 0        (vì x > 1) x 9  . Vậy x > 9 thì A A . *)Ví dụ 4: Cho biểu thức x 2 x 1A x 1 x x      a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 .           2 2 x 2 x 1 x 1x 2 x 1 x 1A x 1 xx x 1 x x 1 x x 1              b) x 1A A A 0 0 x 1 0 x          (vì x 0 ) x 1 x 1    . Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A . *)Ví dụ 5: Cho biểu thức: 1 1P 1 . x 1 x x       a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P.  25 2 6. x 1 x 2005 2 3.      Bài giải: a) ĐKXĐ: x > 0; x 1 :   1 1 x 1P 1 . x 1 x x x 1 x x 1                  2 1P x 1    b)  2P. 5 2 6. x 1 x 2005 2 3            2 2 2 1 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3 x 1         2 3 x 2005 2 3      x 2005  (TMĐK) Vậy x = 2005 thì P.  25 2 6 x 1 x 2005 2 3      2.3/ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Cho biểu thức 1 1 3A : x 3 x 3 x 3        a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A > 1 3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất. Bài 2. Cho biểu thức 3 1 1P : 1 x x 1 x 1        a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P = 5 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 12 1. Px 1    Bài 3. Cho biểu thức: 2 x x 3x 3 2 x 2D 1 x 9x 3 x 3 x 3                a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < - 1 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D Bài 4. Cho biểu thức: a 2 a a aP 1 : 1 a 2 a 1                 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a Z để P nhận giá trị nguyên. Bài 5. Cho biểu thức     1 1B 2 x 3 1 2 x 3 1       a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B. b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. Bài 6. Cho biểu thức   2 2 x 1x x 2x xP x x 1 x x 1         a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P c) Tìm x để biểu thức 2 xQ P  nhận giá trị nguyên. Bài 7. Cho biểu thức:  2 1 1 x 1P : x x 1 x 1 x        a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0 Bài 8. Cho biểu thức 1 1 a 1 a 2P : a 1 a a 2 a 1               a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị của a để P > 0 Bài 9. (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012) Cho x 10 x 5A x 25x 5 x 5      , với x  0 và x  25. 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A khi x = 9. 3) Tính x để A < 1 3 . Bài 10. Cho biểu thức: x 3 6 x 4P x 1x 1 x 1       a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P. b) Tìm x để P < 1 2 . Bài 11. Cho biểu thức x 1 1A : x 1 x x x 1          a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0 Bài 12. Cho biểu thức: 1 1 1P 1 1 a 1 a a            với a > 0 và a 1. a) Rút gọn biểu thức P. b) Với những giá trị nào của a thì P > 1 2 . Bài 13. Cho biểu thức: A = 2 1 x x x x x x     với ( x > 0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức khi 3 2 2x   Bài 14. Cho biểu thức P = xx x x x x           : 1 1 a) Rút gọn P b) Tính GT của P khi x= 4 c) Tìm GT của x để P = 3 13 (Đề thi Hà Nội năm 2008-2009) Bài 15. Cho biểu thức: A = 1 2 1 1 x x x x x x       1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A 2) Với giá trị nào của x thì A < -1 Bài 16. Cho biểu thức: A = (1 )(1 ) 1 1 x x x x x x       (Với 0; 1x x  ) a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - 1 Bài 17. Cho biểu thức: B = x x xx      122 1 22 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B với x = 3 c) Tính giá trị của x để 2 1 A Bài 18. Cho biểu thức: P = x x x x x x        4 52 2 2 2 1 a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P b) Tìm x để P = 2 Bài 19. Cho biểu thức: Q = ( ) 1 2 2 1(:)1 1 1        a a a a aa a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q. b) Tìm a để Q dương. c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5 Bài 20. Cho biểu thức: M =                      112 1 2 a aa a aa a a a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M b) Tìm giá trị của a để M = - 4. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI. Bài 1: Tính: a. 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 A        b. B = 5 + 5 5 - 5 + 5 - 5 5 + 5 c. C = 5. 1 5 + 1 2 . 20 + 5 HƯỚNG DẪN GIẢI: a. 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 A        . 2( 3 3) 2( 3 3) 4 2 3 4 4 2 3 4        2( 3 3) 2( 3 3) 3 1 4 3 1 4        2 22( 3 3) 2( 3 3) 3 9     24 2 4 2 6   b. B = 5 + 5 5 - 5 + 5 - 5 5 + 5 = (5 + 5 )2 + (5 - 5 )2 (5 - 5 )(5 + 5 ) = 25 + 10 5 + 5 + 25 - 10 5 + 5 25 - 5 = 60 20 = 3 c. C = 5. 1 5 + 1 2 . 20 + 5 = 5. 5 52 + 1 2 . 4.5 + 5 = 5 5 5 + 2 2 5 + 5 = 3 5 Bài 2: Cho biểu thức A =  21 1: 1 11            x x xxx a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A b) Tim giá trị của x để A = 3 1 . c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện 0 1x  Với điều kiện đó, ta có:     2 1 1 1: 1 1 x x xA xx x x        b). Để A = 3 1 thì 1 1 3 9 3 2 4 x x x x       (thỏa mãn điều kiện) Vậy 9 4 x  thì A = 3 1 c). Ta có P = A - 9 x = 1 19 9 1x x x x x           Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 1 19 2 9 . 6x x x x    Suy ra: 6 1 5P      . Đẳng thức xảy ra khi 1 19 9 x x x    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức 5P   khi 1 9 x  Bài 3: 1) Cho biểu thức x 4A x 2    . Tính giá trị của A khi x = 36 2) Rút gọn biểu thức x 4 x 16B : x 4 x 4 x 2           (với x 0; x 16  ) 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 36 4 10 5 8 436 2     2) Với x  0, x  16 ta có : B = x( x 4) 4( x 4) x 2 x 16 x 16 x 16           = (x 16)( x 2) x 2 (x 16)(x 16) x 16        3) Ta có: 2 4 2 2 2( 1) . 1 . 16 16 162 2 x x x B A x x xx x                . Để ( 1)B A nguyên, x nguyên thì 16x  là ước của 2, mà Ư(2) =  1; 2  Ta có bảng giá trị tương ứng: 16x  1 1 2 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK 0, 16x x  , để ( 1)B A nguyên thì 14; 15; 17; 18x Bài 4: Cho biểu thức:     yx xy xyx y yyx xP       111))1)(( a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P. b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2. HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện để P xác định là : 0;1;0;0  yxyyx .       (1 ) (1 ) 1 1 x x y y xy x y P x y x y                    ( ) 1 1 x y x x y y xy x y x y x y                1 1 x y x y x xy y xy x y x y                     1 1 1 1 1 1 x x y x y x x x y           1 x y y y x y             1 1 1 1 x y y y y y       .x xy y   Vậy P = .yxyx  b) ĐKXĐ: 0;1;0;0  yxyyx P = 2  .yxyx  = 2        111 111   yx yyx Ta cã: 1 + 1y   1 1x   0 4x    x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ x=4, y=0 vµ x=2, y=2 (tho¶ m·n). Bài 5:Cho biểu thức M = x x x x xx x         2 3 3 12 65 92 a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M b. Tìm x để M = 5 c. Tìm x  Z để M  Z. HƯỚNG DẪN GIẢI: M = x x x x xx x         2 3 3 12 65 92 a.ĐK 9;4;0  xxx 0,5đ Rút gọn M =        32 2123392   xx xxxxx Biến đổi ta có kết quả: M =   32 2   xx xx M =      3 1 23 21      x xM xx xx   164 4 16 416 1551 351 5 3 15 M . b.         xx x xx xx x x Đối chiếu ĐK: 9;4;0  xxx Vậy x = 16 thì M = 5 c. M = 3 41 3 43 3 1        xx x x x Do M z nên 3x là ước của 4  3x nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4 Lập bảng giá trị ta được:  49;25;16;4;1 x vì  4x  49;25;16;1x Bài 6: Cho biểu thức P = ( a 2 - 1 2 a )2 . ( a - 1 a + 1 - a + 1 a - 1 ) Với a > 0 và a ≠ 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < 0 HƯỚNG DẪN GIẢI: a) P = ( a 2 - 1 2 a )2 . ( a - 1 a + 1 - a + 1 a - 1 ) Với a > 0 và a ≠ 1 2 2 2 2 2 a 1 a 1 a 1 P ( ) .( ) 2 2 a a 1 a 1 a a 1 ( a 1) ( a 1) P ( ) . 2 a ( a 1)( a 1) a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 P ( ) . a 12 a (a 1)4 a 1 a P 4a a                            Vậy P = 1 a a  Víi a > 0 và a ≠ 1 b) Tìm a để P < 0 Với a > 0 và a ≠ 1 nên a > 0  P = 1 - a a 1 ( TMĐK) Bài 7: Cho biểu thức: Q = a a2 - b2 - ( 1 + a a2 - b2 ) : b a - a2 - b2 a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: Q = a a2 - b2 - ( 1 + a a2 - b2 ) : b a - a2 - b2 = a a2 - b2 - a2 - b2 + a a2 - b2 . a - a2 - b2 b = a a2 - b2 - b a2 - b2 = a - b a2 - b2 = ( a - b )2 (a - b)(a + b) = a - b a + b b) Khi có a = 3b ta có: Q = 3b - b 3b + b = 2b 4b = 1 2 Bài 8: Cho biểu thức 33 33 :112.11 xyyx yyxxyx yxyxyx A                     a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > 0 , y > 0 a) 33 33 :112.11 xyyx yyxxyx yxyxyx A                           yxxy yxxyyxyxyx xy yx yxxy yx                :2.     yxxy yxyx xy yx xy             :2   .. 2 xy yx yx xy xy yx      b) Ta có 020 2       xyyxyx .2 xyyx  Do đó 1 16 1622    xy xy xy yx A ( vì xy = 16 ) Vậy min A = 1 khi 4. 16 x y x y xy       Bài 9: Cho biểu thức:                        xx x xx x xx P 2 2 2 2 21 3 1 1 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với 223x . HƯỚNG DẪN GIẢI: a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :            021 02 01 0 x x x x                      3 2 1 3 2 1 0 x x x x x x x b) Đkxđ : 3;2;1  xxx                        xx x xx x xx P 2 2 2 2 21 3 1 1                                 xx x xxx xx xxxx xx 2 2 2 2 2121 213 11 1         xx xx x xx xx xx               2 22. 21 213 1 1       xx x x xx xx xx                 2 2. 3 213 1 1      x x x x x xxx  21.21.211 c) Thay  212223 x vào biểu thức x xP  2 , ta có:     12 122 12 122 12 122 2 2         P 12 12 1    Bài 10: Cho biểu thức: P = 4 8 1 2( ) : ( ) 42 2 x x x xx x x x      a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = -1 c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: ( 3) 1m x P x   HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có: 2 ( 2)x x x x    ĐKXĐ: 0 0 0 4 0 4 2 0 x x x x x x              Với x > 0 và 4x  ta có: P = 4 8 1 2( ) : ( ) 42 ( 2 ) x x x xx x x x      1 2( 2)4 ( 2) 8 : ( 2)( 2) ( 2 ) 4 8 8 1 2 4: ( 2)( 2) ( 2) x xx x x x x x x x x x x x x x x x                  4 8 3: ( 2 )( 2 ) ( 2 ) x x x x x x x         ( Đk: x 9) Với x > 0 , x 4, 9x  thì P = 4 3 x x  4 ( 2) ( 2). ( 2)( 2) 3 4 . ( 2) (3 )( 2) 4 3 x x x x x x x x x x x x x x               b) P = - 1 4 1 3 x x     ( ĐK: x > 0, 4, 9x x  ) 4 3 4 3 0x x x x       Đặt x y đk y > 0 Ta có phương trình: 24 3 0y y   Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0 1 1y   ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0), 2 3 4 y  ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0) Với 3 4 y x  thì x = 9 16 ( thoả mãn đkxđ) Vậy với x = 9 16 thì P = - 1 c) ( 3) 1m x P x   (đk: x > 0; 4, 9x x  ) 4( 3) 1 3 .4 1 1 4 xm x x x m x x xm x            ( Do 4x > 0)  Xét 1 1 1 1 4 4 4 4 4 x x x x x x      Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ) 1 1 9x   ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn) 1 1 4 3 6 1 1 1 1 4 4 4 3 6 1 1 5 4 4 1 8 x x x          Theo kết quả phần trên ta có : 5 1 518 4 1 18 4 x x m xm x        Kết luận: Với 5 , 9 18 m x  thì ( 3) 1m x P x  