Chuyên đề quy nạp trong Hình Học

nh khẳng định đúng với 3n k  . Điều này được thực hiện bằng cách chia tam giác ban đầu thành n tam giác cân. Bây giờ một trong n tam giác cân đó ta thực hiện chia ra làm 4 tam giác cân mới thì số tam giác cân được tăng lên là 3. WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 33 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Chính vì thế tổng số tam giác cân ta có được là 3n  . Bài tập đề nghị 1) Chứng minh rằng có thể chia một tam giác bất kỳ thành 2n tam giác cân với n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 1. 2) Chứng minh rằng có thể chia tam giác bất kỳ thành n tam giác vuông với n là số tự nhiên lớn hơn 1. 3) Chứng minh rằng luôn có thể chia một tam giác bất kỳ thành các tam giác nhọn. 4) Chứng minh rằng không tồn tại hai điểm nằm trong hình vuông sao cho sau khi kẻ các đoạn thẳng nối mỗi điểm đó với các đỉnh hình vuông thì hình vuông được chia làm 9 phần có diện tích bằng nhau. §7. QUY NẠP TRONG BÀI TOÁN DỰNG HÌNH VÀ QUỸ TÍCH Ví dụ1: Trong mặt phẳng cho 2 1n  điểm . Hãy dựng một  2 1n  - giác nhận 2 1n  điểm làm các trung điểm của các cạnh. Giải: Với 1n  ta có bài toán cấp 2 quen thuộc :” dựng một tam giác khi biết ba trung điểm của ba cạnh”.Với 1n k  . Giả sử với 2 1k  điểm cho trước không có 3 điểm nào thẳng hàng , ta đã dựng được 2 1k  - giác thỏa mãn nhận 2 1k  điểm đó làm trung điểm. WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 34 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Tiếp theo ta xét  2 1 1k   điểm tùy ý và không có ba điểm nào thẳng hàng là 1 2 2 1 2 2 2 3, ,..., , ,k k kA A A A A   . Giả sử các điểm này là trung điểm các cạnh 1 2 2 3 2 2 2 3, ,..., k kB B B B B B  . Khi đó ta có các điểm 2 1 2 2 2 3, ,k k kA A A   là trung điểm các cạnh 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 1, ,...,k k k k kB B B B B B     . Ta gọi A là trung điểm 1 2 1kB B  . Rõ ràng tứ giác 2 1 2 2 2 3k k kAA A A   là một hình bình hành. Theo giả thiết ta đã dựng được đa giác 1 2 2 1... kB B B  nhận 2k điểm  1 2iA i k  làm trung điểm và A là trung điểm 1 2 1kB B  . Bây giờ từ điểm 1B ta kẻ đường song song với cạnh 2 1kAA  cắt cạnh 2 1 2 1k kB A  kéo dại tại 2 2kB  . Từ 2 1kB  ta kẻ đường song song với đoạn 2 3kAA  cắt đoạn thẳng 1 2 3kB A  tại điểm 2 3kB  . Ta dễ dàng chứng minh được các điểm 2 2 2 3,k kB B  thỏa mãn điều kiện của bài toán . Ví dụ2: Cho trước n điểm phân biệt. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện tổng bình phương các khoảng cách từ điểm đó tới n điểm đã cho luôn bằng bình phương một hằng số cho trước. Giải: Bài toán có thể khái quát lại thành “ Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức 2 2 2 21 2 ... nMA MA MA k    . Với 2n  thì đây là một bài toán hết sức quen thuộc , tập hợp ta đã biết là một đường tròn. Bằng cách lấy điểm I là trung điểm của đoạn thẳng 1 2A A . Sử dụng công thức đường tủng tuyến ta tính được 2 22 1 22 2 2 1 2 1 2 22 2 2 k A AA AMA MA MI MI      . Với n điểm đã cho giả sử ta đã tìm được tập hợp là một đường tròn. Xét hệ  1n  điểm là 1 2 1, ,..., ,n nA A A A  . Theo giả thiết quy nạp thì ta đã tìm được điểm I thuộc đoạn 1n nA A  sao cho WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 35 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n A AMA MA MI    . Kết hợp với giả thiết quy nạp ta cần tìm điểm sao cho 2 2 2 2 1 2 1... 2 onsnMA MA MA MI c t     . Hệ này có n điểm nên tập hợp điểm M cũng là một đường tròn. Cái điểm lưu ý của bài này là ở bước quy nạp ta giả sử tập hợp là một đường tròn. Bài tập đề nghị Cho n đoạn thẳng 1 1 2 2, ,..., n nBC B C B C mỗi đoạn thẳng nằm trên mỗi cạnh của n - giác lồi 1 2... nA A A . Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong đa giác sao cho tổng diện tích của các tam giác 1 1 2 2, ,..., n nMBC MB C MB C là các hằng số. §8. QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP Ý tưởng quy nạp cũng được tìm thấy trong các bài toán hình học tổ hợp xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Đó là những bài toán được phát biểu thông qua việc cho n - điểm hoặc n - cạnh. Lúc đó ta cần dùng các kiến thức quy nạp để chứng minh tính đắn của các phát biểu theo số n . Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 4n  , khẳng định sau đây đúng: Mỗi tứ giác nội tiếp có thể chia ra thành n tứ giác mà mỗi tứ giác này lại là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh: Ta chứng minh khẳng định đúng với 4n  . Giả sử A là góc nhỏ nhất của tứ giác ABCD. Từ A ta dựng một tia hướng vào bên trong góc BAD . Ta lấy trên tia đó một điểm 1A . Từ điểm này ta kẻ các đường song song với AB, AD cắt các cạnh BC, CD tương ứng tại 1 1,B D ( ta lấy điểm 1A đảm bảo những công việc trên WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 36 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương thực hiện được). Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm L, K sao cho    1 1,A LB ABC AKD ADC  . Lúc đó các hình thang 1 1 1 1,A LBB AKDD cân nên nội tiếp. Còn hình thang 1 1A BCD có các góc bằng góc của hình thang ABCD nên cũng nội tiếp. Cuối cùng hình thang 1AKA L có      0 0 01 1 180 180 180ALA AKA B D      nên nội tiếp. Khẳng định đúng với 4n  . Còn khẳng định 4n  đúng vì sau khi chia ra thành các hình thang cân thì các hình thang cân đó chia ra được thành nhều hình thang cân khác. Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho n điểm ( 3n  ). Ta gọi đường kính của hệ điểm đó là khoảng cách d lớn nhất nối hai điểm bất kì của hệ đó. Chứng minh rằng số lượng các đường kính không vượt quá số n . Chứng minh: Giả sử từ điểm A của hệ ta có các đường kính AB,AC,AD. Khi đó rõ ràng B,C,D cùng nằm trên đường tròn  1 ,C A d . Tất cả những điểm còn lại của hệ điểm chỉ có thể nằm trên hoặc trong  1 ,C A d . Vì các đoạn nối hai trong ba điểm B,C,D không vượt quá d nên chúng phải nằm trong cung có số đo không vượt quá 060 ( ta áp dụng tính chất góc đối diện cạnh lớn hơn thì có số đo lớn hơn). Không mất tổng quát ta giả sử rằng C thuộc cung BD mà  060sdBD  . Bây giờ từ C ta vẽ đường tròn  2 ,C C d . Khi đó những điểm cuối của các đường kính kẻ từ C nó đều nằm trên cung MN của  2C mà nó nằm bên trong đường tròn  1C .Nhưng mọi WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 37 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương điểm trên cung MN ( ngoại trừ điểm A) đều cách các điểm B,D một khoảng nhỏ hơn d . Như vậy CA là đường kính duy nhất xuất phát từ C. Từ những lập luận trên ta đưa ra khẳng định từ n điểm của hệ tồn tại hai khả năng Hoặc là tồn tại một điểm trong hệ mà từ nó có không quá một đường kính ( giống như điểm C) Hoặc từ mọi điểm xuất phát đúng hai đường kính. Ta chứng minh khẳng định này bằng quy nạp. Với 3n  thì khẳng định đúng. Giả sử khẳng định đúng với 3n k  điểm. Ta sẽ chứng minh nó đúng với cả hệ gồm 1n k  điểm. Thật vậy từ 1k  điểm giả sử tồn tại một điểm chẳng hạn là 1A mà từ đó không xuất phát một đường kính nào hoặc chỉ có một đường kính thì số đường kính của hệ 1k  điểm nhiều hơn hệ gồm 2 3 1, ,..., kA A A  không quá một đường. Nên thao giả thiết quy nạp thì số đường kính của hệ 1k  điểm này không vượt quá 1k  đường kính. Ngược lại nếu từ mọi điểm của hệ đều tốn tại đúng hai đường kính thì số đường kính của hệ sẽ là  2 1 12 k k   . Từ đây khẳng định được chứng minh theo nguyên lý quy nạp. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng cho 3n  điểm, tất cả không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong n điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n . Chứng minh: Hiển nhiên khẳng định đúng với 3n  Gỉa sử khẳng định đúng đến 3n k  . Ta phải chứng minh khẳng định đúng với 1n k  . WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 38 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Ta nhận xét nếu có 1k  điểm không cùng nằm trên một đường thẳng thì tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa hai điểm ( bài toán Sylvester). Trở lại với bài toán giả sử ta có 1k  điểm và đường thẳng đi qua hai điểm kA và 1kA  chỉ chứa đúng hai điểm đó mà thôi . Khi đó xảy ra chỉ hai khả năng.  Nếu các điểm 1 2, , , , kA A A nằm trên đường thẳng  nào đó thì điểm 1kA  không thuộc  . Khi đó từ điểm 1kA  ta kẻ được k đường thẳng khác nhau tới các điểm 1 2, , , , kA A A , cùng với đường thẳng  ta có tất cả là 1k  đường thẳng.  Nếu các điểm 1 2, , , , kA A A không cùng năm trên một đường thẳng , khi đó theo giả thiết quy nạp ta có không ít hơn k đường thẳng đi qua các điểm 1 2, , , , kA A A . Theo giả sử ở trên thì tất cả các đường thẳng này đều không có đường nào trùng với đường đi qua kA và 1kA  . Như vậy ta cũng có không ít hơn 1k  đường thẳng từ 1k  điểm đó. Bài tập đề nghị 1) Bên trong một hình vuông cạnh 1 cho n điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có đỉnh tại các điểm đã cho và có diện tích S của nó thỏa mãn bất đẳng thức 1 2S n  . 2) Bên trong một hình vuông cạnh 1 cho n điểm. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có đỉnh tại các điểm đã cho hoặc là đỉnh của hình vuông sao cho diện tích S của nó thỏa mãn bất đẳng thức   1 2 1S n  . 3) Trong mặt phẳng cho n điểm  4n  , biết rằng không có ba điểm nào thẳng hàng . Chứng minh rằng có ít nhất 2 3nC  tứ giác lồi với những đỉnh trong số những điểm đã cho. WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 39 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương 4) Trong mặt phẳng cho 100 điểm , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta xét tất cả những khả năng tạo thành tam giác của những điểm này. Chứng minh rằng có nhiều nhất 70% những tam giác nói trên là tam giác nhọn. WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 40 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương PHẦN III - KẾT QUẢ Trên đây là nội dung của đề tài ”Quy nạp trong hình học ”. Việc áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy được thực hiện theo từng phần. Đề tài được phát huy khá tốt ở các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi. Sau đây là phần kết quả . Sử dụng ở chương trình Bồi dưỡng học sinh giỏi: Chuyên đề này tác giả hằng năm vẫn sử dụng để dạy đội tuyển học sinh giỏi ở các trường không chuyên và bước đầu cũng cho thấy đã có được một số kết quả. Học sinh được bồi dưỡng đã cảm thấy tự tin hơn trong khi làm bai. Các em đã biết sử dụng quy nạp làm công cụ để giải các bài toán về hình học phẳng, số học, đa thức, lượng giác. Một số em cũng đã đạt được một số giải cấp Tỉnh. Họ và tên học sinh Tên giải thưởng Bùi Văn Thanh Hào Nguyễn Thị Mỹ Thu Nguyễn Viết Xuân Đỗ Thị Trang Lại Thị Anh Thư Trần Thị Như Xuân Khuyến khích HSG tỉnh Lương Thế Vinh( giải II) Lương Thế Vinh( giải II) Lương Thế Vinh( giải II) Lương Thế Vinh( khuyến khích) Lương Thế Vinh ( giải III) Sau khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy và bồi dưỡng, bản thân thấy rằng học sinh đã biết áp dụng phương pháp quy nạp vào giải các bài toán hình học. Các em đã tự tin , linh động hơn trong các tình huống phát biểu rườm rà. Biết nhìn ra bản chất của vấn đề. Dù rất cố gắng triển khai tới học sinh để các em học sinh khá giỏi có điều kiện va chạm, nhưng do nội dung kiến thức tương đối khó và mới lạ nên đối tượng học sinh nắm bắt được chưa nhiều. Tuy vậy , tác giả cũng mạnh dạn viết đề tài này giới thiệu với quý đồng nghiệp gần xa, cũng là một phương thức trau dồi kiến thức, kĩ năng học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau. Dù bản thân đã rất cố gắng tìm tòi, chắt lọc trong quá trình viết, nhưng do năng lực và kinh WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 41 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương nghiệm còn nhiều hạn chế nên đề tài sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Mong được sự thông cảm và chia sẽ để đề tài được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin được cảm ơn các đồng nghiệp bộ môn Toán , đặc biệt là sự trao đổi thường xuyên từ thầy Nguyễn Văn Phi ( tổ trưởng tổ Toán chuyên Hùng Vương), thầy Trần Văn Trí đã có những gợi ý thiết thực để giúp tác giả hoàn thành chuyên đề. Xin cám ơn những sự chỉ đạo sát sao từ phía ban giám hiệu trường THPT chuyên Hùng Vương để đề tài hoàn thành đúng thời gian yêu cầu. Thị xã Dĩ An , tháng 2 năm 2015 Người viết đề tài NGUYỄN THÀNH NHÂN WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 42 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG .................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ................................................. WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 43 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC . .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ............................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ................................................. WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 44 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương TÀI LIỆU THAM KHẢO Trong chuyên đề này có sử dụng một số tài liệu tham khảo: 1. Sáng tạo trong giải toán THPT ( NGYỄN HỮU ĐIỂN- NXBGD) 2) Phương pháp quy nạp toán học ( NGYỄN HỮU ĐIỂN- NXBGD) 3) Các bài toán hình học tổ hợp dùng cho THCS ( VŨ HỮU BÌNH- NXBGD ) 4) Chuyên đề BDHSG toán THPT CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP (PHAN HUY KHẢI- NXBGD) 5) Phép quy nạp trong hình học ( L.I LOGOVINA-I.M YAGLOM- KHỔNG XUÂN HIỀN dịch) 6) Báo Toán học và tuổi trẻ ( NXBGD) 7) Nguồn internet 8) Chuyên đề Số phức và ứng dụng ( NGUYỄN THÀNH NHÂN, SKKN năm học 2013-2014) WWW.VNMATH.COM Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học 45 Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương PHỤ LỤC STT NỘI DUNG TRANG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Phần thứ nhất- Phần mở đầu. Phần thứ hai - Nội dung đề tài. §1. Quy nạp trong đếm số miền của mặt phẳng. §2 Quy nạp trong tính toán các đại lượng hình học §3 Quy nạp trong xây dựng dãy §4 Quy nạp trong bài toán lặp §5 Quy nạp trong nghiên cứu tính chất hệ điểm §6 Quy nạp trong bài toán cắt, ghép hình §7 Quy nạp trong bài toán dựng hình và quỹ tích §8 Quy nạp trong bài toán hình học tổ hợp Kết quả. Tài liệu tham khảo. Phụ lục 1 7 7 13 18 23 30 34 37 39 44 47 48 WWW.VNMATH.COM