Chuyên đề : phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

     . Cách giải: Đặt x = ty hoặc là ta khử hệ số tự do để đưa về phương trình thuần nhất bậc hai theo hai ẩn x, y và giải x theo y. Bài 14. a.Giải hệ: 2 2 2 2 14 21 22 39 0 35 28 111 10 0 x y x y x y x y           (ĐS: (0;0), (-3;1)) b. 3 3 2 2 8 2 3 6 x x y y x y        (HD: Biến đổi về hệ bán đẳng cấp bậc ba, ĐS (-3;1), (-3;-1), 6 6 6 64 ; , 4 ; 4 13 13 13 13              ) c. 3 3 2 2 4 16 1 5(1 ) x y y x y x         (ĐS: (0; 2),(1; 3),( 1;3)   ) d. 2 2 2 2 2 2 3 5 3 5 x xy y x xy y         e. 2 2 2 2 5 2 ( )(4 2 ) 2 x y x y x y xy y         (ĐS: (1;1), (-1;-1)) f. 2 2 4 ( )( ) 15x y x y y y x        (ĐS: 3 3(2;1),(2 3; 3) ) g. 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y         (Thi thử Ams Hà Nội 2013; ĐS: (1/2; 1/2), (-1;1)) Bài 15. a. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 2 2 2x xy y 1 . (x y) m xy         c. Tìm GTLN,GTNN của P = 2x2+xy-y2 với x,y thỏa mãn x2-2xy+3y2=4. Dạng 6. Phương pháp hàm số. Bài 16. Giải các hệ phương trình sau: a. 2 2 2 (4x 1)x (y 3) 5 2y 0 4x y 2 3 4x 7            (A_2010) b.  2 2 1 y x2 1 x yx y x 1 1 3x 3                 c. 3 (3 x) 2 x 2y 2y 1 0 2 2 x (2y 1) 1            d. 3 3 28x y 3y 5y 4x 3 2x y 5 2x 2            Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, Hệ phương trình GV: NGUYỄN MẠNH HÙNG TEL: 0947876689 18 e. 2 2 3 3 6x y 5xy 7x 3y 2 0 x x 1 y y 1              f. 3 2 2y 2x 1 x 3 1 x y y 2x 1 2xy 1 x            Dạng 7. Hệ phương trình có dạng: 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a x b y c xy d x e y f a x b y c xy d x e y f               Cách giải: Với dạng hệ này, ta sẽ tìm số thực k sao cho lấy phương trình(1)+k.PT(2) có thể phân tích thành nhân tử. Để làm điều này, ta đặt: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2; ; . ; ; ;a a ka b b kb c c k c d d kd e e ke f f kf            . Khi đó k là nghiệm của phương trình 2 2 24dec baf ae bd fc    Ví dụ 1: a. 2 2 2 1 5 574 3 (3 1) ( . 2011) 25 x y x x y x HSG Ng An            Hướng giải: Đặt 1 571 4 , 1, 3 , 3 , , 5 25 a k b c k d k e k f k        . Thay vào 2 2 24dec baf ae bd fc    , Ta có: 3 2638 1207 148 20 0 2k k k k      . Do đó ta lấy phương trình 1 + với phương trình(2) . 2. Vì thế ta có thể giải như sau: Lấy phương trình(2) nhân 2 rồi cộng với phương trình (1) theo từng vế, ta có phương trình : 2 2 1192(3 1) 9 6 0 25 y x y x x      . Tính ' 144 25y   và tìm được 7 173 ; 3 5 5 y x y x      . Từ đó tìm được nghiệm của hệ là: 2 1 11 2( ; ),( ; ) 5 5 5 25 Bài 17. Giải phương trình a. 2 2 2 2 14 21 6 45 14 0 35 28 41 122 56 0 x y x x y x y             (ĐS: (3; 2),(2;1) ) b. 3 3 2 2 35 2 3 4 9 x y x y x y        (ĐS: (-2;3); (-3;2)) c. 3 3 2 2 9 2 4 0 x y x y x y         (ĐS: (-1;2); (-2;1)) d. 2 3 2 2 2 2 3 4 2 0 2 0 x y x x x y x y          (ĐS: (1;-1)) e. 3 2 2 2 3 6 3 49 8 10 25 9 x xy xy x x xy y y x            (ĐS: (-1;5), (-1;3)) Dạng 8. Bài tập tổng hợp. Các phương pháp thường dùng để giải các hệ dạng này: + Phương pháp thế + Phương pháp đánh giá + Phương pháp đặt ẩn phụ… Bài 17. Giải các hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 4 22 4x 9y 6x 11 5y x y 6x 2y 0 a. b. c. 2x 3y 12 x y 8 0 3x 6xy x 3y 0 (x 2y 1)(x 2y 2) 02x + x y 1 0 (x y) 4(x y d. e. f. xy y 3y 1 0x + 12x+2y+10=0                                           2) 117 0 x y 25       Bài 18. Giải hệ phương trình Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, Hệ phương trình GV: NGUYỄN MẠNH HÙNG TEL: 0947876689 19 a. 3 2 22 1 1 ( 1) 1 10 x x y x y y x y y             (ĐS: (3;3)) b. 2 6 2 2 3 2 xy x y y x x y x y             2 2 2 2 32 2 3 2 4 3 2 2 2 4 2 1 1x(x y 1) 3 0 x yxy x 1 7y x yc. d. e. 5(x y) 1 x y xy 1 13y 2y x 1x 5x y x y xy xy xy x y xx 2x y x y 2x 94f. g. h. 5 x 2xy 6x 6x y xy(1 2x) 4                                                  2 2 2 2 2 4 4 3 23 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2y x 2y y x 1 2x 2y x y -2x+y =0 x y 2 x y 2x y 9 i. k. l. l. 3x y 62x - 4x+3+y =0 x 2x 2x y x xy y y 0 5x y 16x 16 0 x 4y y m. n. 5x y 4xy 16x 8y 16 0                                                3 2 2 3 6 3x 2y16x x y o. 1 y 5(1 x ) 2x y 3               Bài 19. Giải các hệ 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 2 (x y) 8xy 2(x y)(8 xy) (x 1)y 2x x y z 2xy zx zy 3 a b. c. 1 1 5x 10x 4y 9 0 x y yz zx 2xy 1x yx y x y 2011x 2011y 0 y(x 4) (x y) 1 d. e. x y 1 (x 1)(x y 2) y                                                      2 2 2 2 4 2 2 2 x (x xy y ) 1 f. x(x y x y) 1 698x y g. 81 x y xy 3x 4y 4 0                     Bài 20. Giải hệ 3 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy 3 x y x y 2 2x y 1 x y 1a. b. c. d. 3x 2y 4x y 25x y x y 2 x 1 y 1 4 x y 5 x y 2xy 8 23( x y ) 4 x y y x 2e. f. g. xy 9 x y 4 x y xy                                                      2 2 3 4 2 3 4 2 2 2 2 2 4x y 1 x y 1 h. 5x 2y 4 21 x y 1 1 4(x y) 3(x y) x(x y 1) y(2y 1) x x x x y y y y k. l. m.3 x 2y y x 12 2(x y) x y 12x y 2 2xyx y 1 x yn. x y x y                                                           x y 7 1 y x xy o. (x,y > 0) xy(x y) 78         Bài 21. Giải các hệ phương trình Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, Hệ phương trình GV: NGUYỄN MẠNH HÙNG TEL: 0947876689 20 a. 3 2 3 2 2 2 x 3x 9x 22 y 3y 9y 1x y x y 2              (A_2012) b. 3 2 2 2 xy x 2 0 2x x x y 2xy y 0           (D-2012) c. 2 2 3 2 2 2 5x 4xy 3y 2(x y) 0 xy(x y ) 2 (x y)            (A_2011) d. 2 2 2 (4x 1)x (y 3) 5 2y 0 4x y 2 3 4x 7            (A_2010) e. 2 2 2 2 2 (x y)(x xy y 3) 3(x y ) 2 4 x 2 16 3y x 8               f. 2 3 2 3 2 4 8 4 12 5 4 13 18 9 4 8 4 2 1 2 7 2 0 x x y y y x x x x y y y                 g.  (2 ) 5(3 ) 4x y xy x y xyx y xy x y xy       h. 2 21 1 x y x y x y x y           i. 33 3 yx y x x x y x x            k. 4 4 2 2 2 2 6 41 ( ) 10 x y x y xy x y        l. 44 2 2 1 1 2 2 ( 1) 6 1 0 x x y y x x y y y               (A_2013) m. 2 2 2 2 2 3 3 2 1 0 4 4 2 4 x y xy x y x y x x y x y                (B_2013) n. 2 3 2 2 2 2 2 4 4 5 3 2 (1 2 ) 2 2 2 x y y x y y x y x y x y            o. 33 3 yx y x x x y x x            (ĐS: (1;8)) Bài 22. (D_2011) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 3 2 2 2 ( 2) 1 2 x y x xy m x x y m           . Bài 23. a.(CĐ 2011). Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3 2 2 2 x y x y x xy y          b.(A_2006) 3 1 1 4 x y xy x y          c. Tìm m để hệ có nghiệm 1 1 3 x y x x y y m        d. 3 3 2 4 4 6 15 3 14 0 4 x y x x y x y x y             II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT. Bài 22. Giải các hệ phương trình a. 2 2x xy y 2 2 4 4 2 16 1log (x y ) log (xy) 2          b. 2 2log(x y ) 1 3log 2 log(x y) log(x y) log3          c. 3x 1 y 2 y 3x 2 2 2 3.2 3x 1 xy x 1           d. 3 3log (xy) log 2 2 2 4 2 (xy) x y 12x 12y 42 0          e. x y x y x y e e 2x 2 e x y 1            f. 2 2 log(1 2x) log(1 2y) 2(x y) 2x 9xy 2012y 0          e. 2 y 1 2 x 1 x x 2x 2 3 1 y y 2y 2 3 1               f. 3 3 y x 4 2 x y 2 2 (x 1)(y y 1) x(y 2) 1            g. x 1 2 x 2 y 1 0 y 3.4 3        h. (B_2005) 2 3 9 3 1 2 1 3log (9 ) log 3 x y x y         i. (A_2004) 1 44 2 2 1log ( ) log 1 25 y x y x y         k. (D_2002) 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y         Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, Hệ phương trình GV: NGUYỄN MẠNH HÙNG TEL: 0947876689 21 l. 1 3 2 8 174 6 2.9 0 3 log (8 8) log (2 1) 3 x x y x x y            III. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ. Bài 2. b. m = 0, m = -2, m = 1, m = -3. Bài 3. m = -1. Bài 4. m = 2011, m = -2015. Bài 5. m 2 6;m 0, m 2,m 1 3       Bài 6. m 4 m 1    . Bài 8. b. 2 2 2 2 2 2 2 2 24a 9b 16c 4a 9b 16c 4a 9b 16cx , y , z 24bc 16ca 12ab           Bài 9. a. (1;2), (2;1), (1; 3), ( 3;1)  , b. 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ) 2 2 2 2 2 2 2 2             c. (2; 1), ( 1;2), ( 2;1), (1; 2)    , e. (2;3), (3;2) f. (4;8), (8;4) Bài 10. a. (0;1), ( 1;0) , b. 3 5 3 5 3 5 3 5( ;1), ( ;1), (1; ), (1; ) 2 2 2 2     , c. 3 11(1; ),( 2;6), (2; 2), ( 3; ) 2 2    d. ( 1; 2), ( 2; 1)    , e. (4;9), (9;4) , f. 3 1 3 1( ; ), ( ; ) 4 2 8 4 Bài 11. a. 27m 8  , b. m 4 , c. 5 m 3 4   , d. 17 4m 48 3    , e. 7 m 2 4   . Bài 12. Các hệ đối xứng loại 2. Bạn đọc tự giải. Bài 13. a. Trừ hai phương trình cho nhau vế theo vế ta có phương trình 2 2 x y 1(x y) x y 0 x y y 2 x 2x 91 y 91                  . Thay vào phương trình đầu của hệ ta có 2 2 2 2 2 1 1x 91 x 2 x x 91 10 x 2 1 x 9 (x 3) (x 3) 1 0 x 2 1x 91 10 x 3                                b. ta thấy x y 0  là một nghiệm của hệ. Ta xét trường hợp x và y khác 0. Cộng hai phương trình với nhau, vế theo vế, ta có: 2 2 2 23 3 1 12xy x y (x 1) 8 (y 1) 8             Với xy 0 , theo BĐT Cauchy thì vế trái luôn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải, dấu bằng xảy ra khi x y 1  . Với xy 0 ta có vế trái âm, vế phải dương nên phương trình vô nghiệm. Vậy hệ có hai nghiệm là (0;0), (1;1) Bài 14. Các hệ phương trình đẳng cấp, bạn đọc tự giải. Bài 15. a. HD: Đưa về hệ phương trình đẳng cấp, đặt x ty , cô lập m và xét hàm số 2 2 t t 1 1f (t) , t ( , 1) ( , ) 2t t 1 2           14 5 7m 28 11 7     b. MaxP 3(2 6), MinP 3(2 6)    Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, Hệ phương trình GV: NGUYỄN MẠNH HÙNG TEL: 0947876689 22 Bài 16. a. 2 2(4x 1)x (y 3) 5 2y 0 (4x 1)2x (5 2y 1) 5 2y           . Phương trình này có dạng f (2x) f ( 5 2y)  với 2f (t) t(t 1), t .   22 2 5 4x 12x 5 2y 4x 2 3 4x 7 x y 2 2 2                  b. Biến đổi phương trình về dạng: 2y x y 2x x 2xy (y 2x)(y x ) 0       . Với y 2x , ta có phương trình  2 2 2 2x2x x 1 1 3x 3 x 1 2x 3        . Xét hai hàm số ở hai vế trái và phải trên khoảng (0; ) , ta có nghiệm của phương trình là x 3 ( 3;2 3)  . Với y x  thì hệ vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm là ( 3;2 3) c. ĐS: 1 1 5 5 5( ;6), ; 2 2 4         d. Biến đổi phương trình đầu trong hệ thành 3 32(2x) (2x) 2(y 1) (y 1)     . Xét hàm số 3f (t) 2t t , t 2x y 1 y 2x 1         e. Xét hàm số 3f (t) t t 1, t 1 x y (1;1)       f. 3 3 3 32y y 2( 1 x) 1 x y 1 x x c , y 2 sin 10 20 os            