Chuyên đề Hàm số - Ứng dụng đạo hàm

Sở GD&ĐT Hà Nam Trung Tâm GDTX Duy Tiên Chuyên đề Chuyên đề hàm số BÙI QUỸ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 1.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Ta nói: - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi là đơn điệu trên khoảng đó. 2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) hay f ′(c) = f(b)− f(a) b− a Định lý 1.2 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). a) Nếu f ′(x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. b) Nếu f ′(x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó. Định lý 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f ′(x) ≥ 0 hoặc f ′(x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b), và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó. Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau: - y = f(x) là hàm số đồng biến trên (a; b) ⇐⇒ f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) - y = f(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇐⇒ f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) * Các bước xét tính đơn điệu của hàm số: - Tìm các điểm tới hạn - Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. - Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số. 3. Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai1 1.2 Ví dụ và bài tập . 1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 1Phải nhắc lại định lí thuận và định lí đảo CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 2 a) y = 4x3 − 3x + 1 b) y = 3 4 x4 + x3 − 3x2 + 1 c) y = x + 1 x− 1 d) y = x2 + 3x + 3 x + 1 e) y = x4 + 2x2 − 3 x2 f) y = x4 − 3x2 + 15 . 1.2 Cho hàm số y = −1 3 x3 + (m− 1)x2 + (m + 3)x− 4. Tìm m để hàm số tăng trên (0; 3) . 1.3 Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m− 1. Tìm m để hàm số tăng trên (−1;+∞) . 1.4 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m− 1)x + 1. Tìm m để hàm số tăng trên tập xác định . 1.5 Cho hàm số y = mx2 + 6x− 2 x + 2 . Tìm m để hàm số giảm trên (1; +∞) . 1.6 Cho hàm số y = 1 3 mx3 − (m− 1)x2 + 3(m− 2)x+ 1 3 . Tìm m để hàm số tăng trên (2; +∞) . 1.7 Cho hàm số y = 2x2 + (1−m)x + 1 + m x−m . Tìm m để hàm số tăng trên (1; +∞) . 1.8 Cho hàm số y = 1 3 x3 + mx2 −mx + 1. Tìm m để hàm số: a) Tăng trên tập xác định b) Tăng trên (−∞; 0) . 1.9 Cho hàm số y = x2 + mx− 5 3− x . Tìm m để hàm số: a) Giảm trên tập xác định b) Giảm trên (−1; 0) c) Tăng trên (−2; 2) 2 Cực đại và cực tiểu 2.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý 2.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f ′(x0) = 0. 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ điểm x0). i) Nếu f ′(x) > 0 trên khoảng (x0 − δ; x0); f ′(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x). ii) Nếu f ′(x) 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 3 Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì x0 là một điểm cực trị. Và nếu đổi dấu từ + sang - thì x0 là điểm cực đại còn nếu đổi dấu từ - sang + thì x0 là điểm cực tiểu. Quy tắc I - Tìm f ′(x) - Tìm các điểm tới hạn - Xét dấu đạo hàm - Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Định lý 2.3 (Dấu hiệu II) Giả sử y = f(x) có đạo hàm tới cấp hai liên tục tại x0 và f ′(x0) = 0, f ′′(x0) 6= 0 thì x0 là một điểm cực trị hàm số, hơn nữa: - Nếu f ′′(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. - Nếu f ′′(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. Quy tắc II - Tìm f ′(x). Giải phương trình f ′(x) = 0. Gọi xi là các nghiệm - Tính f ′′(x) - Từ dấu của f ′′(xi) suy ra các điểm cực trị. Chú ý 2 - Nếu f ′(x0) = f ′′(x0) = 0 thì không thể khẳng định được x0 có là điểm cực trị hay không. - Chúng ta dùng dấu hiệu I trong trường hợp tổng quát, còn dấu hiệu II chỉ dùng khi gặp các hàm số dễ tính đạo hàm (như hàm đa thức, hàm lượng giác). 2.2 Ví dụ và bài tập . 2.1 Tìm cực trị của các hàm số: a) y = 2x2 − x4 b) y = x 2 − x + 1 x2 + x + 1 c) y = x + √ 3x2 + 6 d) y = x ln x e) y = ex sin x f) y = 5 √ x4 . 2.2 Xác định m để hàm số y = x2 + mx + 1 x + m đạt cực đại tại x = 2. . 2.3 Chứng minh rằng hàm số y = x2 + 2x + m x2 + 2 luôn có một cực đại và một cực tiểu. . 2.4 Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5 3 a2x3 + 2ax2 − 9x + b đều là những số dương và x0 = −5 9 là điểm cực đại. . 2.5 Cho hàm số y = x3−3mx2 +3(m2−1)x− (m2−1). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. . 2.6 Cho hàm số y = a sin x + 1 3 sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x = pi 3 . . 2.7 Tìm m để hàm số dưới đây đạt cực đại và cực tiểu CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 4 a) y = 1 3 x3 + mx2 + (m + 6)x− 1 b) y = x 2 − 2x + m 4− x . 2.8 Cho hàm số y = x2 + mx + 1 x + m . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2. . 2.9 Cho hàm số y = x3− (m− 3)x2 +(4m− 1)x−m. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 < −2 < x2. . 2.10 Cho hàm số y = x2 − x + m x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Tìm m để hàm số có hai cực trị. c) Tìm m để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu. . 2.11 Cho hàm số y = x2 + (m + 1)x + 1−m x−m . Tìm m để hàm số có: a) Một cực đại và một cực tiểu. b) Hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu. c) Cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1. . 2.12 Cho hàm số y = mx + 1 1− x2 . Tìm m để hàm số có hai cực trị. Trong trường hợp đó chứng minh rằng các điểm cực trị của đồ thị ở cùng một phía đối với trục hoành. . 2.13 Cho hàm số y = mx2 − 2x + m x2 − x . Tìm m để hàm số: a) Tăng trên từng khoảng xác định. b) Chỉ có một cực trị. c) Đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương. . 2.14 Tìm m để hàm số y = −x3 + 3(m + 1)x2 − (3m2 + 7m− 1)x + m2 − 1 đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. . 2.15 Tìm m để hàm số sau có ba cực trị y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 . 2.16 Cho hàm số y = x4 + 8mx3 + 3(1 + 2m)x2 − 4 Tìm m để hàm số có một cực tiểu mà không có cực đại. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 5 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Phương pháp bất đẳng thức2 2. Phương pháp hàm số Phương pháp hàm số thường sử dụng khi gặp bài toán tìm GTLN, GTNN hoặc chứng minh BĐT chỉ có một tham số. Khi đó chúng ta thường tìm điều kiện chặt của tham số. Xét hàm số y = f(x) trên tập X ⊂ D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên X, ta làm như sau: a. Phương pháp chung: - Lập bảng biến thiên của hàm số trên X - Dựa và bảng biến thiên (chú ý đến sự thay đổi giá trị của hàm số trên X), ta tìm được các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên X. b. Trường hợp đặc biệt: Khi X = [a; b], ta có thể làm như sau: - Giải HPT { y′ = 0 hoặc y′ không xác định x ∈ (a; b) , giả sử các nghiệm là x1, x2, ..., xn - Tính f(x1), f(x2), ..., f(xn) và f(a), f(b). - Số lớn nhất trong các số trên là giá trị lớn nhất. - Số nhỏ nhất trong các số trên là giá trị nhỏ nhất. Chú ý 3 Trong trường hợp hàm số có chu kì chúng ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn có độ dài bằng chu kì. 3. Phương pháp sự biến thiên để giải và biện luận phương trình có tham số Phương pháp chung để giải và biện luận phương trình có tham số bằng PP sự biến thiên là: Bước 1: Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t. Bước 2: Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau: f(t) = g(m); f(t) ≥ g(m); f(t) ≤ g(m); f(t) > g(m); f(t) < g(m) Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m. Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước 1. Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f(t). Sử dụng các kết quả bảng biến thiên, để tìm ra kết luận của bài toán. Chú ý 4 Điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t để phương trình t = u(x) có nghiệm. Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D và giả thiết rằng tồn tại các giá trị lớn nhât, nhỏ nhất của f(x), xét trên miền D (kí hiệu là: max x∈D f(x),min x∈D f(x)). Khi đó ta có các định lí sau: Định lý 3.1 Giả sử D = [a; b]. Nếu như f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b). 2Làm kĩ về cách chứng minh BĐT nhờ BĐT Cauchy CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 6 Định lý 3.2 Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi: min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). Chứng minh. =⇒ Giả sử phương trình đã cho có nghiệm x0 ∈ D =⇒ f(x0) = m. Ta có: min x∈D f(x) ≤ f(x0) ≤ max x∈D f(x). hay: min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). ⇐= Giả sử min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). Do f(x) liên tục nên nó nhận mọi giá trị từ min x∈D f(x) tới max x∈D f(x) do đó nó nhận giá trị m, tức là ∃x0 ∈ D sao cho f(x0) = m. Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = m, x ∈ D có nghiệm. Định lý 3.3 a) Bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: max x∈D f(x) ≥ m. b) Bất phương trình f(x) ≥ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi min x∈D f(x) ≥ m. Chứng minh. a) =⇒/ Giả sử bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm =⇒ ∃x0 ∈ D sao cho f(x0) ≥ m. Rõ ràng: max x∈D f(x) ≥ f(x0) ≥ m. ⇐=/ Giả sử max x∈D f(x) ≥ m. Phản chứng rằng bất phương trình đã cho vô nghiệm, tức là f(x) < m, ∀x ∈ D =⇒ max x∈D f(x) < m điều này mâu thuẫn với giả thiết.Từ đó suy ra điều phải chứng minh. b) Chứng minh tương tự như phần a). Định lý 3.4 a) Bất phương trình f(x) ≤ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: min x∈D f(x) ≤ m. b) Bất phương trình f(x) ≤ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi max x∈D f(x) ≤ m. Định lý 3.5 Cho phương trình f(x) = g(x) với x ∈ D. Giả sử trên miền D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luôn nghịch biến. Khi đó nếu phương trình trên có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Định lý 3.6 Xét bất phương trình f(x) ≤ g(x) trên miền D. Nếu max x∈D f(x) ≤ min x∈D g(x) thì bất phương trình trên thoả mãn ∀x ∈ D. Chú ý: max x∈D f(x) ≤ min x∈D g(x) chỉ là điều kiện đủ để f(x) ≤ g(x), x ∈ D chứ không phải là điều kiện cần và đủ. Giả sử D = [a; b], α, β ∈ R, α < β. max x∈[a;b] f(x) = β > α = min x∈[a;b] g(x) Nhưng f(x) < g(x), ∀x ∈ D. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 7 3.2 Ví dụ và bài tập . 3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = f(x) = x2 + x + 1 x (x>0) b) y = f(x) = 1 + 4x− x2 c) y = f(x) = x4 − 2x2 + 5 (x ∈ [−2; 3]) d) y = f(x) = √ x− 2 +√4− x e) y = f(x) = 2x2 + 4x + 5 x2 + 1 f) y = sin5 x + √ 3 cosx . 3.2 Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = f(x) = lg2 x + 1 lg2 x + 2 . 3.3 Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 x + 1 4y . 3.4 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 x + 1 y + 1 z = 4 Tìm GTLN của 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z . 3.5 Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của√ 1 + x3 + y3 xy + √ 1 + y3 + z3 yz + √ 1 + z3 + x3 zx . 3.6 Tìm GTLN, GTNN của y = ln2 x x , x ∈ [1; e3]. . 3.7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm m( √ 1 + x2 − √ 1− x2 + 2) = 2 √ 1− x4 + √ 1 + x2 − √ 1− x2 . 3.8 Cho phương trình: log23 x + √ log23 x + 1− 2m− 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 √ 3] . 3.9 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN x x + 1 + y y + 1 + z z + 1 . 3.10 Với giá trị nào của m bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [−5; 1] 4 √ 5−4x−x2 + 21+ √ 5−4x−x2 ≤ m CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 8 . 3.11 Cho phương trình 9x −m3x + 2m = 0 a) Giải phương trình với m = −1 b) Tìm m để phương trình trên có nghiệm. . 3.12 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = √ 1 + sin x + √ 1 + cosx . 3.13 Cho phương trình cos6 x + sin6 x cos2 x− sin2 x = m tan 2x a) Giải phương trình khi m = 13 8 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm. . 3.14 Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1) 4(log2 √ x)2 − log1 2 x + m = 0 . 3.15 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x6 + 4(1− x2)3 x ∈ [−1; 1] . 3.16 Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; pi 2 ] 2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0 . 3.17 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN (a + 1 a )(b + 1 b )(c + 1 c ) . 3.18 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 4x −m.2x −m + 3 ≤ 0 . 3.19 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) 3 sin2 x + 3 tan2 x + m(cot x + tan x)− 1 = 0 b) 5x2 − (x + 1)2 = m + 2 2x2 − x + 1 c) ( 1 + x√ x )2 + 2m( 1 + x√ x ) + 1 = 0 d) 4x2 1 + 2x2 + x4 + 2mx 1 + x2 + 1−m2 = 0 e) x6 + 3x5 + (6−m)x4 + (7− 2m)x3 + (6−m)x2 + 3x + 1 = 0 f) √ x2 + x + 1−√x2 − x + 1 = m g) √ 2x2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3− x = 0 h) √ 3 + x + √ 6− x−√(3 + x)(6− x) = m i) √ x− 1 +√5− x = m j) (x− 3)(x + 1) + 4(x− 3) √ x + 1 x− 3 = 3m−m 2 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 9 . 3.20 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [−pi 2 ; pi 2 ] 2 + 2 sin 2x = m(1 + cosx)2 . 3.21 Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [0; pi 2 ]: sin 3x + m. sin 2x + 3. sin x ≥ 0 . 3.22 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:{ x5 − (x− 3)5 = m 0 ≤ x ≤ 3 . 3.23 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:{√ x + 1 + √ y + 2 = m x + y = 3m . 3.24 Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: a)   (4− 6m). sin3 x + 3(2m− 1) sin x +2(m− 2) sin2 x cosx− (4m− 3) cosx = 0 0 ≤ x ≤ pi 4 b)   2x2 = y + m2 y 2y2 = x + m2 x . 3.25 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x < 0: x4 + x3 + mx2 + 2x + 4 < 0 . 3.26 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: √ x + 1−√4− x ≥ m . 3.27 Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 3 cos4 x−5 cos 3x−36 sin2 x−15 cos x+ 36 + 24m− 12m2 ≥ 0 . 3.28 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi |x| ≥ 2: x4 − 5x2 + x + 4−m ≥ 0 . 3.29 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm trên [1; 2]: 42x−x 2 + 22x−x 2+1 + 2m− 3 ≥ 0 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 10 4 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị 4.1 Tóm tắt lí thuyết Định lý 4.1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a; b). i) Nếu f ′′(x) < 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lồi trên khoảng đó. ii) Nếu f ′′(x) > 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lõm trên khoảng đó. Định lý 4.2 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm U(x0; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. Chú ý 5 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó. Nếu x0 là hoành độ của điểm uốn thì f ′′(x0) = 0, ngược lại thì không đúng. 4.2 Ví dụ và bài tập . 4.1 Tìm khoảng lõm, lồi và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x3 − 6x2 + 2x b) y = 1 2 x4 − 3x2 + 5 2 c) y = x2 − x + 4 x d) y = lnx . 4.2 Tìm a để đồ thị hàm số y = x4 − ax2 + 3 a) Có hai điểm uốn. b) Không có điểm uốn. . 4.3 Chứng minh rằng đường cong y = x + 1 x2 + 1 có ba điểm uốn cùng nằm trên một đường thẳng. . 4.4 Tìm m để y = −x 3 m + 3mx2 − 2 nhận I(1; 0) làm điểm uốn. . 4.5 Tìm a, b để y = ax3 + bx2 + x− 4 nhận J(2;−6) làm điểm uốn. . 4.6 Tìm a, b, c, d để y = x4 + ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm uốn là U1(1; 1), U2(3;−7). . 4.7 Cho hàm số y = x(x − a)(x − b) với a < 0 < b. Tìm a, b để điểm uốn của đồ thị nằm trên đường cong y = x3 . 4.8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 + 8mx3 + 3(2m + 1)x2 − 1 có hai điểm uốn có hoành độ thoả mãn bất phương trình x2 − 2x√ 5− 4x− x2 < 0. . 4.9 Chứng minh rằng y = 2x + 1 x2 + x + 1 có ba điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm uốn đó. . 4.10 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m + 2)x + 2m a) Tìm m để đồ thị của hàm số có điểm uốn nằm trên Parabol y = x2. b) Chứng minh rằng tại điểm uốn thì tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc là nhỏ nhất. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 11 5 Tiệm cận 5.1 Tóm tắt lí thuyết Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). 1. Tiệm cận đứng Định lý 5.1 Nếu lim x−→x0 f(x) = ∞ thì đường thẳng d : x = x0 là một tiệm cận đứng của đồ thị (C). Chú ý 6 Nếu lim x−→x− 0 f(x) = ∞ ( lim x−→x+ 0 f(x) = ∞ ) thì đường thẳng d : x = x0 là một tiệm cận đứng bên phải (bên trái) của đồ thị (C). 2. Tiệm cận ngang Định lý 5.2 Nếu lim x−→∞ f(x) = y0 thì đường thẳng d : y = y0 là một tiệm cận ngang của đồ thị (C). Chú ý 7 Nếu lim x−→+∞ f(x) = y0 ( lim x−→−∞ f(x) = y0 ) thì đường thẳng d : y = y0 là một tiệm cận ngang bên phải (bên trái) của đồ thị (C). 3. Tiệm cận xiên Định lý 5.3 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d : y = ax + b là một tiệm cận xiên của (C) là lim x−→+∞ [f(x)− (ax + b)] = 0 (1) hoặc lim x−→−∞ [f(x)− (ax + b)] = 0 (2) hoặc lim x−→∞ [f(x)− (ax + b)] = 0 (3) Nếu (1) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên bên phải của (C). Nếu (2) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên bên trái của (C). Nếu (3) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên hai bên của (C). Cách xác định tiệm cận xiên d : y = ax + b a = lim x−→∞ f(x) x ; b = lim x−→∞ [f(x)− ax] 5.1.1 Một số chú ý về giới hạn hàm số 5.2 Ví dụ và bài tập . 5.1 Tìm tiệm cận của các hàm số sau: a) y = 2x2 − 1 x2 − 3x + 2 b) y = 1 + e −x2 c) y = 2x2 + x + 1 x + 1 d) y = √ x2 − 1 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 12 . 5.2 Tìm m để hàm số y = x2 x−m có tiệm cận. . 5.3 Tìm m để hàm số y = mx2 + 6x− 2 x + 2 không có tiệm cận đứng. . 5.4 Tìm a để y = −x2 + x + a x + a có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0). 6 Đồ thị của hàm số mang dấu giá trị tuyệt đối 6.1 Tóm tắt lí thuyết + Hai điểm M0(x0; y0) và M1(−x0;−y0) đối xứng nhau qua gốc toạ độ. + Hai điểm M0(x0; y0) và M2(x0;−y0) đối xứng nhau qua trục hoành. + Hai điểm M0(x0; y0) và M3(−x0; y0) đối xứng nhau qua trục trục tung. 6.2 Ví dụ và bài tập . 6.1 Vẽ đồ thị hàm số y = (x− 1)(x + 2) x + 1 (C0) Từ đó hãy vẽ các đồ thị các hàm số sau: y = −(x− 1)(x + 2) x + 1 (C1) y = ∣∣(x− 1)(x + 2) x + 1 ∣∣ (C2) y = (|x| − 1)(|x|+ 2) |x|+ 1 (C3) y = |(x− 1)|(x + 2) x + 1 (C4) y = (x− 1)|x + 2| x + 1 (C5) y = (x− 1)(x + 2) |x + 1| (C6) Từ (C0) chuyển sang (C1) bằng cách lấy đối xứng (C0) qua trục hoành. Từ (C0) chuyển sang (C2) bằng cách giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành của (C0) qua trục hoành. Từ (C0) chuyển sang (C3) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung của (C0) qua trục tung. Từ (C0) chuyển sang (C4) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = 1, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = 1 của (C0) qua trục hoành. Từ (C0) chuyển sang (C5) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −2, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −2 của (C0) qua trục hoành. Từ (C0) chuyển sang (C6) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −1, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −1 của (C0) qua trục hoành. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 13 O y x C0 C1 O y x C0 C2 O y x C0 C3 O y x C0 C4 Chú ý 8 Với hàm số y = u(x).v(x) (C) hoặc y = u(x) v(x) muốn vẽ đồ thị các hàm số y = |u(x)|v(x) (C1) hoặc y = u(x)|v(x)| . Ta giữ nguyên đồ thị (C) trong miền làm cho u(x) > 0 hoặc v(x) > 0, (tương ứng). Lấy đố xứng phần còn lại qua trục hoành. 7 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số 7.1 Tóm tắt lí thuyết Bài toán 1. Tìm giao điểm hai đường Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1). Hãy tìm các giao điểm của (C) và (C1). Hoành độ giao điểm của (C) và (C1) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) Nếu x0, x1, ... là nghiệm của (1) thì các điểm M0(x0; f(x0)), M1(x1; f(x1)), ... là các giao điểm của (C) và (C1). CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 14 O y x C0 C5 O y x C0 C6 Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x) . a) Gọi (C) là đồ thị của nó, hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M0(x0; f(x0)). b) Hãy viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm M1(x1; y1) và tiếp xúc với (C). c) Hãy viết phương trình các đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (C). Cách giải a) Tiếp tuyến của (C) tại M0(x0; f((x0)) là y = f ′(x0)(x− x0) + y0. b) Đường thẳng d đi qua M1(x1; y1) và có hệ số góc k có phương trình là y = k(x − x1) + y1. Để đường thẳng d tiếp xúc với (C), hệ phương trình sau phải có nghiệm:{ f(x) = k(x− x1) + y1 f ′(x) = k Hệ phương trình này cho phép ta xác định hoành độ x0 của tiếp điểm, và hệ số góc k = f ′(x0) của tiếp tuyến. Chú ý 9 - Số nghiệm của hệ trên không phải lúc nào cũng là số tiếp tuyến. - Có thể mở rộng vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung. Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x), gọi (C) và (C ′) theo thứ tự là đồ thị của chúng. Hai đồ thị được gọi là tiếp xúc với nhau tại một điểm chung, nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến. Khi đó điểm chung được gọi là tiếp điểm. Như vậy, hai đồ thị (C) và (C ′) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau đây có nghiệm: { f(x) = g(x) f ′(x) = g′(x) Bài toán 3. Biện luận phương trình bằng PP đồ thị Giả sử chúng ta đã có đồ thị hàm số y = f(x) (nhờ khảo sát, hoặc biến đổi từ đồ thị một hàm số nào đó). Bài toán đặt ra là biện luận số nghiệm phương trình P (x) = Q(x) có chứa tham số m thông thường ta làm như sau. - Biến đổi P (x) = Q(x) về f(x) = g(x,m) - Hạn chế đồ thị hàm số y = f(x) nếu cần - Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị (C) : y = f(x) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 15 ∆ : y = g(x,m) - Cho ∆ chuyển động theo sự biến thiên của tham số m, biện luận theo m số giao điểm của ∆ và (C) từ đó ta được số nghiệm của phương trình. Các dạng đồ thị của y = g(x,m) Dạng 1. g(x,m) = h(m) thì ∆ là đường thẳng vuông góc với Oy và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng h(m). Dạng 2. g(x,m) = kx + h(m), k = const thì ∆ là đường thẳng cùng phương với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng h(m). Tìm các tiếp tuyến song song với đường thẳng y = kx.Để giải và biện luận loại hệ này ta cần so sánh h(m) với các tung độ giao điểm của các tiếp tuyến với Oy. Dạng 3. g(x,m) = h(m)(x− x0) + y0, x0, y0 = const thì ∆ là đường thẳng luôn quay quanh điểm A(x0; y0) cố định. Tìm các tiếp tuyến đi qua điểm A(x0; y0). Để giải và biện luận loại hệ này ta cần so sánh h(m) với các hệ số góc của các tiếp tuyến. 7.2 Ví dụ và bài tập . 7.1 Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số y = x2 − 6x + 3 x + 2 và y = x−m . 7.2 Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 − 2 = m . 7.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = (2− x2)2 (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 4). . 7.4 Khảo sát vị trí tương đối giữa đồ thị (C) của hàm số y = 4x3 − 3x + 1 và đường thẳng d : y = m(x− 1) + 2. . 7.5 Cho hàm số y = x + 2 x− 2 . Chứng minh rằng với mọi b đường thẳng y = x + b luôn cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt. . 7.6 Xác định m sao cho đồ thị của hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. . 7.7 Xác định m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C) của hàm số y = x2 − 2x + 2 x− 1 tại hai điểm A,B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 16 . 7.8 Tìm m để đường thẳng d : y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số y = x2 − 3x + 3 1− x . 7.9 Cho hàm số y = x3 − 3x có đồ thị (C) và đường thẳng d đi qua điểm A(1;−2) và có hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối giữa (C) và d. . 7.10 Xác định định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3ax2 + 4a3 tại ba biểm phân biệt A,B,C sao cho AB = BC. . 7.11 Xác định m để hàm số y = x3 − 3x2 − 9x+m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có các hoành độ lập thành cấp số cộng. . 7.12 Cho hàm số y = (3m + 1)x−m2 + m x + m với m 6= 0. Xác định m để tại giao điểm của đồ thị với trục hoành tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x− 10 . 7.13 Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 − x + 1 x− 1 đều không đi qua điểm I(1; 1). . 7.14 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = x3 − 3x + 1 biết rằng tiếp tuyến này qua A( 2 3 ;−1). . 7.15 Tìm điểm A trên trục tung sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 − x2 + 1. . 7.16 Cho hàm số y = x2 − 3x + 4 2x− 2 a) Tìm phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại điểm A(0;−2) b) Đường thẳng d cắt