Chuyên đề: Hàm số

TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 1 Chuyên đề: HÀM SỐ A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT 1. Khảo sát tính biến thiên, cực đại cực tiểu - Tìm miền xác định - Tính đạo hàm cấp 1 - Xét dấu đạo hàm cấp 1 rồi lập bảng biến thiên rồi suy ra kết luận. 2. Khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số - Tính đạo hàm cấp 2 - Lập bảng xét dấu của đạo hàm cấp 2 rồi suy ra kết quả. B. MỘT SỐ BÀI TẬP Bài số 1. Xác định tính biến thiên của hàm số; khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị 1) .. 2) .. (a, b> 0) 3) 2 2 4 3 x y x = + 4) 2 12 12 y xx = − 5) 3 1 x y x = + 6) 2( 1) x y x = + 7) y = 16 3 x 3 + 1 x 8) y= 2 2 4( - 1) x x 9) y = 2 4( - 1)x x 10) 2 2 16y x x = + 11) 2 2 5 2 1 x y x + = + 12) 2 2 5 - 20x 21 x - 4x 5 x y + = + 13) . 2 2 3( -4)y x x= . 14) 2 - 2 2y x x = + 15) y = 2 1 x x + 16) y = 3 2 2 ( 0) 3 x a x a > + 17) y = 3 1 1x + 18) y = 4 5 3 5x + 19) y = 3 2( 1) x x − 20) y = 3 8 2 xx − TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 2 Bài số 2. Tìm a và b sao cho by a x x = + có (1,4) là điểm uốn. C. MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY 1(1997). a) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) của hàm số sau: 2 1 1 x y x − = + b) Chứng tỏ rằng các điểm uốn của (C) thẳng hang. 2(1999) a) Tìm cực trị của hàm số: 2 ln(1 2 )y x x= − + . b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: 2 2 1 x y x = − . 3(2000) Cho hàm số: 2 2 ( ) 1 x y f x x = = + có đồ thị (). Tìm các tiệm cận, khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (). 4(2001) Cho hàm số 4 1 ( ) 1 x y f x x  +  = =    −  có đồ thị (). Tìm các tiệm cận, cực trị, khoảng lồi, lõm, điểm uốn của (). 5(2002) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 1 1 x y e = − . 6(2003) Khảo sát cực trị của hàm số: 3 ; ( 0) ( ) x y a x a = > − . 7(2004) Khảo sát sự biến thiên, tìm tiệm cận, cực trị, khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số: 21 .xy xe= + 8(2006) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị, khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số: 32 ( 4) .y x x= + 9(2007) Khảo sát chiều biến thiên, tìm tiệm cận, khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số 1 1( ) .xy f x e − += = TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 3 10(2008) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số: 2 2 2 1 . 2 2 x x y x x + + = − 11(2009) Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số 2 1 3 . 4 x y x + = + 12(2010-I) Chứng minh rằng đồ thị hàm số: 2 2 1 ( ) 1 x y f x x x + = = + + có ba điểm uốn thẳng hang. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm uốn đó. 13(2010-II) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị, khoảng lồi lõm, các điểm uốn của đồ thị hàm số: 2 . 1 x y x = + 14(2011-I) Xét tính lồi, lõm và tìm các điểm uốn của đường cong: 21 2 1 . 2 x y e pi − = 15.(2011-II) Tìm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số sau:  = / − 5 / . 16. (2012-I) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số: 21 2y x x= − TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 4 Chuyên đề: CỰC TRN HÀM NHIỀU BIẾN A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT 1. Một số khái niệm
Định nghĩa 1: Cho hàm số ( , )z f x y= xác định trong lân cận của 0 0 0 ( , )P x y . a) Nếu 0 0 ( , ) ( , )f x y f x y< với mọi ( , )x y trong lân cận của 0 0 0 ( , )P x y trừ đi điểm đó, đồng thời 0 0 ( , ) ( , )f x y f x y= thì ta nói rằng hàm số ( , )z f x y= đạt cực đại tại 0 0 0 ( , )P x y và 0 0 ( , )x y gọi là điểm cực đại của hàm số, 0 0 0 ( , )z f x y= gọi là giá trị cực đại của hàm số đó. b) Nếu 0 0 ( , ) ( , )f x y f x y> với mọi ( , )x y trong lân cận của 0 0 0 ( , )P x y trừ đi điểm đó, đồng thời 0 0 ( , ) ( , )f x y f x y= thì ta nói rằng hàm số ( , )z f x y= đạt cực tiểu tại 0 0 0 ( , )P x y và 0 0 ( , )x y gọi là điểm cực tiểu của hàm số, 0 0 0 ( , )z f x y= gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đó. Nếu hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại 0 0 ( , )x y thì ta gọi chung đó là điểm cực trị của hàm số và giá trị của hàm số lúc này gọi là cực trị của hàm số đó. 2. Điều kiện cần cực trị của hàm hai biến.
Định lý: Nếu hàm số ( , )z f x y= đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm 0 0 ( , )x y , và tại đó hàm số có đạo hàm cấp một thì 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y  =   = . TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 5 3. Điều kiện đủ cực trị của hàm hai biến.
Định lý: Nếu ( , )f x y có đạo hàm đến cấp hai liên tục trong một lân cận của điểm tới hạn ( )0 0,x y và nếu số D (gọi là biệt số) xác định bởi: ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 , , , xx yy xy D f x y f x y f x y = −    (2) thì ( )0 0,x y là i) Điểm cực đại nếu D>0 và ( )0 0, 0xxf x y < ; ii) Điểm cực tiểu nếu D>0 và ( )0 0, 0xxf x y > ; iii) Điểm yên ngựa nếu D<0. Hơn nữa, nếu D=0 thì chưa thể đưa ra kết luận, và bất kì khả năng nào từ (i) đến iii) đều có thể xảy ra. 4. Các bước đi tìm cực trị. Xét hàm số ( , )z f x y= Bước 1: Tính các ĐHR rồi ìm các điểm tời hạn (; ) bằng cách giải hệ phương trình 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y  =   = Bước 2: Tính các ĐHR cấp 2, tại điểm tới hạn Đặt ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , , ,xx xy yyA f x y B f x y C f x y= = = , khi đó ta có bảng tổng kết sau: 2D AC B= − A Kết luận về ( )0 0,x y > 0 < 0 Cực đại > 0 > 0 Cực tiểu < 0 Điểm yên ngựa = 0 Chưa có kết luận Bước 3: Kết luận điểm cực đại, cực tiểu, GTCĐ, GTCT (nếu có). TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 6 B. MỘT SỐ BÀI TẬP Tìm các giá trị cực đại và cực tiểu địa phương và các điểm yên ngựa của các hàm số sau. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. C. MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY 1(1999). Tìm cực trị của hàm hai biến sau: 2 3( , ) 3 12 15 .z z x y x y y x y= = + − − 2(2000). Tìm cực trị của hàm hai biến 4 4 2 2( , ) 2 4 2 ,z f x y x y x xy y= = + − + − trên miền phẳng  bỏ đi điểm (0,0). 3(2001). Tìm cực trị của hàm hai biến 4 4 4( , ) ( ) ( ).u f x y x y x y= = + − + 4(2002). Tìm cực trị của hàm hai biến sau 4 4 3( , ) ( ) .z f x y x y x y= = + − + 5(2003). Tìm cực trị của hàm hai biến sau: 3 2 2 22 5 .z x xy x y= − + + 6(2004). Tìm cực trị của hàm hai biến sau 3 2 2 2( , ) 2 5f x y x xy x y= + + + 2( , ) 6f x y y x y x y= − − + ( , ) (1 )f x y xy x y= − − 2 2 8( , ) x y x yf x y xy − + = 2 2 2 2 1( , )f x y x y x y = + + ( , ) cosxf x y e y= 2 2( , ) (2 )(2 )f x y x x y y= − − ( , ) sinf x y x y= 2 2 2 ( 1)( , ) 1 x yf x y x y + + = + + 2 2( , ) 9 6 10f x y x xy y x y= − + + − + 2 2( , ) 3f x y xy x y xy= − − 2 2( , ) ( ) y f x y x y e= + TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 7 ( ) 1 ( , ) 47 . 2 3 4 x y z z x y xy x y   = = + − − +    7(2006). Tìm cực trị của hàm hai biến sau: 2 2 ( , ) . 8( ) xy z z x y x y x y = = + + 8(2007). Tìm cực trị của hàm hai biến sau 4 4( , ) 16 8 1.z z x y x y xy= = + − + 9(2008). Tìm cực trị của hàm hai biến sau 2( , ) ( ).xz z x y e x y= = + 10(2009). Tìm cực trị của hàm hai biến sau .yz x y xe= + − 11(2010-I). Tìm cực trị của hàm hai biến sau ( ) 3 3, 3 .z z x y x y xy= = − + 12(2010-II). Tìm cực trị của hàm hai biến sau 4 4( , ) 16 8 1.z z x y x y xy= = + − + 13(2011-I). Tìm cực trị của hàm hai biến sau ( ) 1 ( , ) 47 . 2 3 4 x y z z x y xy x y   = = + − − +    14(2011-II). Tìm cực trị tự do của hàm hai biến: 2 2( , ) 1z x y x y= − − 15(2012-I). Tìm cực trị tự do của hàm hai biến: 3 2( , ) 4 .z x y x x xy= − − TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 8 Chuyên đề: ĐẠO HÀM. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ GRADIENT A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT I. Đạo hàm cấp một, cấp cao của hàm số nhiều biến, đạo hàm hàm !n, hàm ngược II. Đạo hàm theo hướng. 1. Gradient của một hàm số Gradient của hàm số ..là một vec tơ, ký hiệu là grad f , được xác định bởi : i j k f f f grad f x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ . (1) 2. Đạo hàm theo hướng Cho hàm số ( , , )w f x y z= xác định trong một miền D. Xét điểm ( , , )P x y z= và : R i j kx y z= + + là véc tơ chỉ vị trí của P, một hướng xác định bởi véc tơ v. Khi đó đạo hàm theo hướng củahàm ( , , )f x y z tại điểm  theo hướng của véc tơ v được xác định bởi công thức: ( ) .u P df grad f ds = trong đó u là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ v, tức là vu v = ; hay là: cos P df grad f ds θ= trong đó θ là góc giữa grad f và u. 3. Một số tính chất: Tính chất 1: Đạo hàm theo hướng df ds theo một hướng nào đó cho trước là tích vô hướng của grad f và véc tơ đơn vị theo hướng đó Tính chất 2: Hướng của véc tơ grad f trùng với hướng mà theo hướng đó hàm f tăng nhanh nhất. Tính chất 3 : Độ dài của véc tơ grad f là tốc độ tăng lớn nhất của f.