Chuyên đề : Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

ề sự độc lập: ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 20 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 2 22 2 2x yx y- =- - + Rồi lấy từng vế (1) (2)- ta được: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 1 2 1 2 1x x x y y y+ + + - + = + + + - + Ta thấy rõ ngay hàm đặc trưng: ( ) 4 2t t tf t= + - Bài ❹: Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 3 1 1 (1) 2 2 5 1 2 2 4 2 (2) y y y x x x x x y ìïï + + + = +ïïíïï + - + = + - +ïïî  Phân tích và hướng giải: Phương trình (2) của hệ có xuất hiện 2 căn thức, một căn thức có sự độc lập là 2 2 5x x- + và căn thức còn lại không có sự độc lập. Nhưng biểu thức trong căn 2x 4 2y- + lại có ẩn x bậc nhất liên hệ mật thiết với ẩn x cũng bậc nhất ở phương trình (1) . Liệu rằng phương pháp thế có phát huy tác dụng trong việc tìm hàm đặc trưng? Lời giải: Điều kiện x 2 02 4y + ³- Khi đó 2 22 2 4( 2 11) 1x y y y yÛ = + - + + thế vào (2) ta được phương trình: 2 2 22 5 1 2 2 1 2 1x x y yx y- + = + ++ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 1 1 4 2 1 1 1 4 2 1 1 1 ( )4 4 4 32 x x y y x x y y x x y y Û - + - + = + + Û - + - + = + + Û - + - + = + + Xét hàm số ( ) 2 4t tf t= + + . ( ) 2 ' 1 0 4 f t t t t = + > " Î + ¡ Hàm số đồng biến trên¡ . Nên 1 2( 2) 13 x y x yÛ - = Û - = thay vào (1) ta được: ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 21 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ( ) 2 2 51 1 2 2 y y y y+ + + = + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 1 2 3 3 9 32 2 9 9 16 41 3 4 4 4 y y y y y y y y y y y y Û + = - ì ìï ïï ï£ £ï ïï ïÛ Û Û = Û = ±í íï ïï ï+ = - + =ï ïï ïî î Với 3 5 4 2 y xÞ == ,với 3 1 4 2 xy Þ =-=- (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có 2 nghiệm ( ) 5 3 1 3; ; ; ; 2 4 2 4 x y æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø . Bài ❺: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 5 3 4 (1) 3 3 1 0 (2) x x x y y x y x y ìï + - + = + +ï íï - - + + =ïïî  Phân tích và hướng giải: Sự xuất hiện những căn thức cho chúng ta những cơ sở để tìm hàm đặc trưng Nhận thấy ( ) 2 2 2 5 1 4x x x- + = - + và 2 4y + nên ta tìm hàm f sao cho ( ) ( )1f x f y- = . Mặt khác khi ta cộng phương trình (1) với phương trình (2) : ( ) 2 2 2x 11x xx + + -=- và 2 23 3 yy y y- =+ thì hàm đặc trưng sẽ xuất hiện Cộng từng vế phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình : ( ) ( ) 2 2 2 21 1 4 4x x y y- + - + = + + Hàm đặc trưng: ( ) 2 2 4t tf t= + + ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 22 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Nghiệm ( ) 3 1; ; 2 2 x y æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷è ø . Bài ❻: Giải hệ phương trình 3 3 2 2 2 3 17 27 3 13 (1) 6 5 10 0 (2) y xy x x x y x y xy y x ìï + - + = - +ïíï + + - - + =ïî  Phân tích và hướng giải: Nhìn thoáng qua phương trình (1) của hệ có dạng hàm bậc 3 quen thuộc. Nhưng chỉ có điều biểu thức 3xy làm mất sự độc lập của hai ẩn nên ta có gắng làm mất biểu thức đó. Mặt khác, ở phương trình (2) cũng xuất hiện biểu thức xy nên chúng ta muốn tiêu biến 3xy ở phương trình trên thì ta lấy phương trình (1) - 3(2) khi đó ta được: 3 2 33 5 3 2y y xy x- + - = + Nhìn vào biểu thức trên việc chọn hàm đặc trưng dễ nhận thấy, chúng ta lấy biểu thức đơn giản để chọn hàm đặc trưng 3 2xx + khi đó ( ) ( ) 3 3 23 5 3 1 2 1y y y yy - + - = - + - Hàm đặc trưng: ( ) 3 2f t t t= + Nghiệm ( ) ( ) 2 5; 2;3 ; ; 3 3 x y æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø . Bài ❼: Giải hệ phương trình 5 4 10 6 2 (1) 4 5 8 6 (2) x xy y y x y ìï + = +ï íï + + + =ïïî  Phân tích và hướng giải: Đây là bài toán có khác nhiều trong các tìa liệu tham khảo. Mặc dù hàm đặc trưng không có sự độc lập của x và y nhưng số mũ ở phương trình (1) cho chúng ta suy nghĩ đến việc chia cho biểu thức (dạng đẳng cấp). ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 23 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Chia như thế nào. Chú ý phương trình (1)biểu thức 45x xy+ đẳng cấp bậc 5 nên ta chia hai vế phương trình (1) cho 5y được: 5 5x x y y y y æ ö÷ç ÷ + = +ç ÷ç ÷è ø Hàm đặc trưng: ( ) 5f t t t= + Nghiệm ( ) ( ) ( ); 1;1 ; 1; 1x y = - . Bài ❽: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 3 6 4 2 2 2 (1) 2 1 1 (2) x y y x x x y x ìï + = +ïïíï + + = +ïïî  Phân tích và hướng giải: Tương tự như Bài ❼, ta chia 2 vế phương trình (1) cho 3x ta được: 3 32 2 y y x x x x æ ö÷ç ÷ + = +ç ÷ç ÷è ø Hàm đặc trưng: ( ) 3 2f t t t= + Nghiệm:… Bài ❾: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 3 2 3 8 (1) 2 6 (2) x y x y ìï + =ï íï - =ïïî  Phân tích và hướng giải: Đem lại sự cô lập hai ẩn bằng cách đưa hệ về dạng 3 3 8 2 3 (1 ) 6 2 (2 ) y x y x ìïï ¢+ =ïïíïï ¢- =ïïî 3 3(1') (2 ') 2 2 3y y x x æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Þ + = +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø + Hàm đặc trưng: ( ) 3 3f t t t= + ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 24 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Nghiệm ( ) ( ) 1; 1;2 ; 4; 2 x y æ ö÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷è ø . Bài ❿: Giải hệ phương trình ( )( ) ( ) 2 4 6 3 (1) 3 1 4 2 1 1 3 (2) x y x y x y x x y y ìï + - + = - -ïïíï - + + = - +ïïî  Phân tích và hướng giải: Ta không tìm thấy sự liên quan giữa các căn thức nên việc dựa vào các căn thức để tìm hàm đặc trưng khá khó khăn. Tuy nhiên phương trình (1) lại có dạng bậc hai đối với ẩn x hoặc ẩn y nên ta thử phân tích (1) thành tích: ( )( )1 2(1) 4 0x y x yÛ + + - + = Khi đó công việc còn lại khá nhẹ nhàng !!! Các bạn làm tiếp nhé! Bài ⓫: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 4 1 2 1 6 (1) 2 2 4 1 1 (2) x y x x x y y x x ìï + + + =ïïíï + + = + +ïïî  Phân tích và hướng giải: Nhìn phương trình (2) có vẻ quen thuộc hơn. Nếu ta chia cả hai vế (2) cho 2x ( 0x ¹ ) thì ta sẽ nhận ra ngay hàm đặc trưng: ( ) 2 2 1 1 1 12 22 1y x x x y y æ ö÷ç ÷+ = + +ç ÷ç ÷è ø + Hàm đặc trưng: ( ) 2 1t t tf t= + + Lời giải: Điều kiện 0x ³ Nhận thấy 0x = không là nghiệm của hệ, nên ta chiacả hai vế phương trình (2) cho 2x được: ( ) 2 2 1 1 1 2 1 12 2 (3)y x x y x y æ ö÷ç ÷+ = + +ç ÷ç ÷è ø + ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 25 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Xét hàm số ( ) 2 1t t tf t= + + đơn điệu trên ¡ . Nên 12(3) y x Û = thay vào (1) được: ( ) ( )3 2 3 22 1 1 2 1 6 2 1 6xx x x x x x x æ ö÷ç ÷+ + = Û + + + =ç ÷ç ÷ + è ø Xét hàm số ( ) ( )3 22 1x x xg x x= + + + , 0x ³ ( ) 2 2 13 1 4 2 0 0' x x x xg x x x + = + + + > " ³ . Hàm ( )g x đơn điệu Nhận thấy ( )1 6g = nên suy ra 1x = là nghiệm phương trình ( ) 6g x = . Với 1 2 1x y= Þ = . Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 1; 1; 2 x y æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷è ø . Bài ⓬: Giải hệ phương trình ( )( ) 2 2 2 2 3 2 1 3 2 4 1 1 8 (1) 2 0 (2) x x y y x y x y x ìï + - + + + =ïïíï - + =ïïî  Phân tích và hướng giải: Sự cô lập các ẩn phương trình đặt lên hàn đầu. Để chọn phương trình để tìm ra hàm đặc trưng thì ta nên chọn phương trình (1) vì nó cần nhiều phép biến đổi hơn là phương trình (2) đã quá “trơ trọi”. Bây giờ ta thực hiện công việc cô lập. Nhận thấy 0x = không là nghiệm ( ) 2 2 2 2 3 2 4 ( 1 3 2 8 4 1 1 1) y x x y x y y Û + - + = + - ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 4 1 (3) 1 1 2 1 2 4 1 x x y x y y x y y y x x Û + - + = + - Û + + = + + ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 26 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Bây giờ ta mới thấy ngay vai trò của phương trình (2) . Từ 2 (2) 2 1 y x x Þ =- + thay vào (3) ta có ngay: ( ) 2 21 1 1 1 2 2 1 2y y y x x x æ ö÷ç ÷ + + = + +ç ÷ç ÷è ø Hàm đặc trưng: ( ) 2 1f t t t t= + + đơn điệu trên ¡ Nghiệm: ( ) 1; 4; 8 x y æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø . Bài⓭:Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 2 2 3 2 5 2 1 2 1 2 2 (1) 2 2 4 3 (2) x x x x y y y x y x y ìï - - + + = + + +ï íï + = - +ïïî  Phân tích và hướng giải: Nhìn vào hai căn thức chúng ta đã nhận ra mối liên quan mật thiết 2 1x + và ( ) 2 2 2 2 1 1y y y+ + = + + Ta cố gắng tìm hàm f sao cho ( ) ( )1f x f y= + . Lấy từng vế phương trình (1) (2)- ta được: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1x x y y yx + + = + + + + + Hàm đặc trưng xuất hiện Lời giải: Lấy từng vế phương trình (1) (2)- ta được ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 (3)1x x y yx y+ + = + + + + + ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 27 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Xét hàm số ( ) 2 2 1t tf t t= + + . ( ) 2 2 2 2 1 2 2 | 0 1 ' | t t t t t t t f = + + + ³ + ³ + ( Sử dụng BĐT Cauchy) Hmà số đồng biến trên ¡ nên (3) 1x yÛ = + thay vào (2) được: ( ) ( ) 2 21 2 2 1 4 3y y y y+ + = + - + 2 1 22 53 4 4 0 2 33 2 3 x yy y y xy y ìéï = -ïêïïê = -ïé ê= - ïëïê ïéêÛ + - = Û Û íê =ê ï= êïê ïë êïïêï =êïïëî Vậy phương trình có 2 nghiệm ( ) ( ) 5 2; 1; 2 ; ; 3 3 x y æ ö÷ç ÷= - - ç ÷ç ÷çè ø . Tài liệu viết tặng các bạn là thành viên lớp 12A1. Chúc cho tất cả đều thành công! :) ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 28