Chuyên đề Các phương trình lượng giác

LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC I. KI ẾN TH ỨC C Ơ B ẢN: 1. Vòng tròn l ượng giác 2. M ối liên h ệ gi ữa các góc có liên quan đặc bi ệt 3 Các công th ức l ượng giác - Các h ằng đẳ ng th ức l ượng giác - Công th ức c ộng - Công th ức nhân đôi, nhân ba - Công th ức h ạ b ậc - Công th ức bi ến đổ i t ổng thành tích, tích thành t ổng x - Công th ức bi ến đổ i theo t = tan 2 II. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC: 1. Ph ươ ng trình l ượng giác c ơ b ản: Ví d ụ 1: ( Đề thi đạ i h ọc kh ối D n ăm 2002) Tìm x ∈[0;14 ] nghiệm đúng ph ươ ng trình cos3x− 4cos 2 x + 3cos x − 4 = 0 (1) Gi ải. (1)⇔ (4cos3x − 3cos x ) − 4(2cos 2 x − 1) + 3cos x − 4 = 0 π ⇔4cos2 x (cos x − 2) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + k π (k ∈ » ) 2 π 1 14 1 Vì x ∈[0;14 ] nên 0≤ +kπ ≤ 14 ⇔ − 0,5 = − ≤ k ≤ − ≈ 3,9 ,mà k ∈» nên k ∈{0;1;2;3 } 2 2π 2 π3 π 5 π 7 π  Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x ∈ ; ; ;  2 2 2 2  Ví dụ 2: (Đề thi tuy ển sinh đạ i h ọc kh ối D, n ăm 2004) Gi ải ph ươ ng trình (2cosx− 1)(2sin x + cos x ) = sin 2 x − sinx (2) Gi ải. (2)⇔ (2cosx − 1)(2sin x + cos x ) = sinx(2cos x − 1) ⇔ (2cos x − 1)(si nx + cos x ) = 0  π  π  1 cos x= cos x= ± + k 2π cos x = 3 3 ⇔2 ⇔ ⇔ (k , l ∈ » )   π   π sinx= − cos x t anx= − 1 = tan  −  x= − + l π  4   4 Ví dụ 3: Gi ải ph ươ ng trình sin2x+ sin 2 3 x = c os 2 2 x + c os 2 4 x (3) Gi ải. 1−c os2 x 1 − c os6 x 1 + c os4 x 1 + c os8 x (3) ⇔ + = + ⇔ −(c os2 x + c os6 x ) = c os4 x + c os8 x 2 2 2 2 ⇔ −2cos 4x cos 2 x = 2cos 6 x cos 2 x ⇔ 2 c os2 x ( c os6 x + c os4 x )  πk π x = + cos2 x = 0  4 2   π π ⇔4cos 2x .cos5 x .cos x = 0 ⇔ c os5 x = 0 ⇔ x = + k (k ∈ » )   10 5 cosx = 0   π x= + k π  2 Chú ý: •••• Khi gi ải ph ươ ng trình l ượng giác có ch ứa tanu, cotu, có ẩn ở m ẫu, có ch ứa c ăn b ậc ch ẵn... thì ph ải đặ t điều ki ện để ph ươ ng trình xác định. GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 1 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC •••• Ta có th ể dùng các cách sau để ki ểm tra điều ki ện xem có nh ận hay không + Th ử nghi ệm tìm được xem có th ỏa mãn điều ki ện hay không. + Dùng đường tròn l ượng giác + So điều ki ện trong quá trình gi ải Ví dụ 4: Gi ải ph ươ ng trình tan2 x− t anx.tan 3 x = 2 (4) Gi ải. cosx ≠ 0 π π Điều ki ện  ⇔cos3x ≠ 0 ⇔ x ≠ + l ( l ∈ » ) cos3x= 4cos3 x − 3cos x ≠ 0 6 3 sinx sinx sin3x  Ta có (4)⇔ t anx(t anx − tan 3x ) = 2 ⇔ . −  = 2 cosx cos x cos3 x  ⇔sinx (sinx.cos3 x − cos x .sin 3 x ) = 2cos2 x . c os3 x ⇔ sinx.sin( − 2 x) = 2cos2 x . c os3 x ⇔ −2sin2x .cos x = 2cos 2 x . c os3 x ⇔ − sin 2 x = cos x . c os3 x (do cosx ≠ 0) 1− c os2 x 1 π π ⇔ − =(c os4 x + c os2 x ) ⇔ c os4 x = − 1 ⇔ 4 x =π + k 2 π ⇔ x = + k ( k ∈ » ) 2 2 4 2 π π Kết h ợp v ới điều ki ện ta được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x= + k( k ∈ » ) 4 2 Ví dụ 5: (Đề thi tuy ển sinh đạ i h ọc kh ối D, n ăm 2003) xπ  x Gi ải ph ươ ng trình sin2−  .tan 2 x − c os = 0 (5) 2 4  2 Gi ải. Điều ki ện cosx ≠ 0 ⇔ sinx ≠ ± 1 1π   sin2 x 1 Khi đó (1)⇔ 1 −c os x −   . −[ 1 + cos x ] = 0 2 2   c os2 x 2 (1− sinx)(1 − c os2 x ) ⇔ −(1 + cosx ) = 0 1− sin 2 x 1− c os 2 x ⇔ −(1 + cosx ) = 0 1+ sinx 1− cos x  ⇔(1 + cosx ) − 1  = 0 1+ sin x  ⇔(1 + cosx )( − cos x − sinx) = 0 x=π + k 2 π cosx = − 1  ⇔ ⇔π (k ∈ » ) t anx= − 1 x= − + k π  4 π Kết h ợp điều ki ện ta được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x=π + k2 π ; x = − + k π (k ∈ » ) 4 sin4x+ c os 4 x 1 Ví dụ 6: Gi ải ph ươ ng trình =(t anx + cot 2x ) (6) sin 2x 2 Gi ải. Điều ki ện sin2x ≠ 0 1 Ta có: * sin4x+ c os 4 x = (sin 2 x + c os 2 x ) 2 − 2sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x 2 sinxc os2 x 1 * tanx+ cot 2 x = + = cosx sin 2 x sin 2 x GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 2 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC 1 1− sin2 2 x 1 Vậy (6) ⇔2 = sin 2x 2sin 2 x 1 ⇔1 − sin2 2x = 1 ⇔ sin 2 2 x = 1 2 ⇔cos2 2 x = 0 ⇔ c os2 x = 0 π π π ⇔2x = + kπ ⇔ x = + k (k ∈ » ) 2 4 2 π π Kết h ợp điều ki ện ta được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x= + k (k ∈ » ) 4 2 2. Ph ươ ng trình b ậc hai đố i v ới m ột hàm s ố l ượng giác - Có d ạng: a sin2 u+ b sin u + c = 0 (a ≠ 0) acos2 u+ bco s u + c = 0 (a ≠ 0) atan2u+ b tan u + c = 0 (a ≠ 0) acot2u+ b cot u + c = 0 (a ≠ 0) - Cách gi ải: Đặ t t = sinu hay t = cosu v ới t ≤ 1 π t = tanu ( điều ki ện u≠ + kπ , k ∈ » ) 2 t = cotu ( điều ki ện u≠ kπ , k ∈ » ) Các ph ươ ng trình trên tr ở thành at2 + bt + c = 0 Gi ải ph ươ ng trình trên tìm được t, so v ới điều ki ện để nh ận nghi ệm t. Từ đó gi ải ph ươ ng trình l ượng giác c ơ b ản tìm nghi ệm c ủa ph ươ ng trình Ví d ụ 7: (Đề thi tuy ển sinh đạ i h ọc kh ối A, n ăm 2002) cos3x+sin3x  Tìm các nghi ệm trên (0;2 π ) c ủa ph ươ ng trình 5 sinx+  = 3 + cos 2 x (7) 1+ 2sin 2 x  Gi ải. 1 Điều ki ện sin 2 x ≠ − 2 Ta có sin 3x+ c os3 x = (3sin x − 4sin3 x ) + (4 c os 3 x − 3cos x ) = − 3(cos x − sinx) + 4( c os 3 x − sin 3 x ) 2 2 =(cosx − sinx) − 3 + 4( c os x + cos x sin x + sin x )  = (cos x − sinx)(1 + 2sin 2 x ) Do v ậy: (7)⇔ 5[ sinx + (cosx − sinx)] = 3 + (2cos2 x − 1)  1 cos x = ⇔2cos2 x − 5cos x + 2 = 0 ⇔   2 cosx= 2( loai ) π ⇔x = ± + k 2π (k ∈ » ) (th ỏa mãn điều ki ện) 3 π5 π Vì x ∈(0;2 π ) nên x= ∨ x = 3 3 Ví d ụ 8: (Đề thi tuy ển sinh đạ i h ọc kh ối A, n ăm 2005) Gi ải ph ươ ng trình cos2 3x . c os2 x− c os 2 x = 0 (8) Gi ải. 1+c os6 x 1 + c os2 x (8)⇔ .c os2 x − = 0 ⇔ c os6 x . c os2 x = 0 (8.1) 2 2 GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 3 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC Cách 1: (8.1)⇔ (4cos3 2x − 3cos 2 x ) c os2 x − 1 = 0 ⇔ 4cos4 2 x − 3cos 2 2 x − 1 = 0 cos2 2 x = 1  ⇔ 1 cos2 2 x = − (vô nghiêm)  4 π ⇔sin 2x = 0 ⇔ 2 x = kπ ⇔ x = k (k ∈ » ) 2 1 Cách 2: (8.1)⇔(c os8 x + c os4 x ) − 1 = 0 ⇔ 2 c os2 4 x + c os4 x − 3 = 0 2 cos4 x = 1  π ⇔3 ⇔4x = k 2π ⇔ x = k (k ∈ » ) cos4 x = − (loai) 2  2 Cách 3: Ph ươ ng trình l ượng giác không m ẫu m ực cos6 x= c os2 x = 1 (8.1) ⇔  cos6 x= c os2 x = − 1 1 Cách 4: (8.1)⇔(c os8 x + c os4 x ) − 1 = 0 ⇔ c os8 x + c os4 x − 2 = 0 ⇔ c os8 x = c os4 x = 2 2 π ⇔cos4 x = 1 ⇔ x = k (k ∈ » ) 2 Ví d ụ 9: ( Đề thi tuy ển sinh đạ i h ọc kh ối D, n ăm 2005) π   π  3 Gi ải ph ươ ng trình cos4x+ sin 4 x + c os x −  sin  3 x −  − = 0 (9) 4   4  2 Gi ải. 2 22 2 2 1π   3 (9 ) ⇔( sinx + c os x ) − 2sin xc os x + sin 4 x −  + sin 2 x  − = 0 2 2   2 1 1 3 ⇔1 − sin2 2x +[ − c os4x+sin2x ] − = 0 2 2 2 12 1 2 1 1 ⇔ −sin 2x − 1 − 2sin 2x  + sin 2 x − = 0 2 2 2 2 sin 2x = 1 ⇔sin2 2x + sin 2 x − 2 = 0 ⇔  sin 2x = − 2 (loai) π π 2x= + k 2π ⇔ x = + k π (k ∈ » ) 2 4 Ví d ụ 10: (Đề thi tuy ển sinh đạ i h ọc kh ối B, n ăm 2004) Gi ải ph ươ ng trình 5sinx− 2 = 3(1 − sinx)tan 2 x (10) Gi ải. Điều ki ện cosx ≠ 0 ⇔ sinx ≠ ± 1 sin2 x 3sin 2 x Khi đó: (10)⇔ 5sinx − 2 = 3(1 − sinx) ⇔ 5sin x − 2 = 1− sin2 x 1 + sin x  1 sinx= (nhân do sinx ≠ ± 1) ⇔2sin2 x + 3sin x − 2 = 0 ⇔   2 sinx= − 2 (vô nghiêm )  π x= + k 2π π 6 sinx= sin ⇔ (k ∈ » ) 6  5π x= + k 2π  6 GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 4 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC Ví d ụ 11: (kh ối A n ăm 2006) 2(c os6 x+ sin 6 x) − sin x cos x Gi ải ph ươ ng trình = 0 (11) 2− 2sin x Gi ải. 2 Điều ki ện sinx ≠ 2 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 3  1 2( sin6x+ c os 6 x ) − sin x cos x = 0 ⇔ 2 1 − sin2 2 x  − sin 2 x = 0 4  2 ⇔3sin2 2x + sin 2 x − 4 = 0 ⇔sin 2x = 1 π ⇔2x = + k 2π , k ∈ » 2 π ⇔x = + kπ , k ∈ » 4 5π Do điều ki ện, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x= + m2π , m ∈ » 4 Ví d ụ 12: Gi ải ph ươ ng trình 3cot2x+ 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2)cos x (12) Gi ải. Điều ki ện sinx≠ 0 ⇔ cosx ≠ ± 1 cos2 x cos x Chia c ả hai v ế c ủa ph ươ ng trình cho sin 2 x ta được: 3+ 2 2 = (2 + 3 2) (12.1) sin4 x sin 2 x  cos x 2 t = 2 Đặt t = 2 ta được ph ươ ng trình 3t− (2 + 3 2) t + 2 2 = 0 ⇔  sin x t = 2 / 3 cos x • Với t = 2 ta có =2 ⇔ cosx = 2(1 − c os2 x ) ⇔ 2 c os 2 x + cos x − 2 = 0 sin 2 x cosx= − 2 (loai)  π ⇔ 2 ⇔x = ± + k 2π (k ∈ » ) cos x = 4  2 2 cosx 2 • Với t = ta có = ⇔3cosx = 2(1 − c os2 x ) ⇔ 2 c os 2 x + 3cos x − 2 = 0 3 sin2 x 3 cosx= − 2 (loai)  π ⇔1 ⇔x = ± + k 2π (k ∈ » ) cos x = 3  2 Kết lu ận: K ết h ợp đ/k được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là π π x= ± + k2π ; x = ± + k 2 π (k ∈ » ) 3 4 π  Ví d ụ 13: Gi ải ph ươ ng trình tan3 x −  = t anx − 1 (13) 4  Gi ải. π π Đặt t= x − ⇔ x = + t . 4 4 GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 5 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC π  1+ tan t Khi đó (13) tr ở thành: tan3 t= tan + t  − 1 = − 1 v ới cost≠ 0 và tant ≠ 1 4  1− tan t 2 tan t ⇔tan3 t = ⇔ tan t (tan t + 1)(tan2 t − 2 tan t + 2) = 0 1− tan t ⇔tant = 0 ∨ tan t = − 1 (nh ận so điều ki ện) π ⇔ t= kπ ∨ t = − + k π , (k ∈ » ) 4 π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (13) là: x= + kπ; x = k π (k ∈ » ) 4 3. Ph ươ ng trình b ậc nh ất đố i v ới sinx và cosx - Có d ạng: a sinu+ b cos u = c (*) - Cách gi ải: Đ/k ph ươ ng trình có nghi ệm: a2+ b 2 ≥ c 2 Cách 1: a b Chia c ả hai v ế c ủa ph ươ ng trình cho a2+ b 2 ≠ 0 . Đặt cos α = và sin α = a2+ b 2 a2+ b 2 c c với α∈[0;2 π ] thì (*)⇔c osα .sinu + sin α .cos u = ⇔sin(u +α ) = a2+ b 2 a2+ b 2 Cách 2: + N ếu u=π + k 2 π là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (*) thì a sinπ+b cos π = c ⇔ − b = c u 2t 1 − t 2 + N ếu u≠π + k 2 π đặt t = tan thì (*) tr ở thành: a.+ b . = c 2 1+t2 1 + t 2 ⇔(b + c ) t2 − 2 at + c − b = 0 u Gi ải ph ươ ng trình trên tìm được nghi ệm t. T ừ t = tan ta tìm được được u 2 2π 6 π  Ví d ụ 15: Tìm x ∈;  th ỏa mãn ph ươ ng trình cos7x− 3 sin 7 x = − 2 (15) 5 7  Gi ải. 1 3 2 Chia c ả hai v ế ph ươ ng trình (12) cho 2 ta được cos 7x− sin 7 x = − 2 2 2 π π 2 ⇔sin cos7x − c os sin 7 x = − 6 6 2 π   π  ⇔sin − 7x  = sin  −  6   4   54π 2 π x= + k 84 7 ⇔ (k , h ∈ » )  11π 2 π x= + h  84 7 2π 6 π  2π 54 π 2 π 6 π 2π 11 π 2 π 6 π Do x ∈;  nên ta ph ải có: ≤ +k ≤ hay ≤ +h ≤ (k,h ∈ » ) 5 7  5 84 7 7 5 84 7 7 ⇒ k = 2, h = 1, h = 2 53π 35 π 59 π  Vậy x ∈ ; ;  84 84 84  Ví d ụ 16: Gi ải ph ươ ng trình 3sin 3x− 3 c os9 x = 1 + 4sin3 3 x (16) Gi ải. GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 6 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC (13) ⇔(3sin 3x − 4sin3 3 x) − 3 c os9 x = 1 ⇔ sin 9 x − 3 c os9 x = 1 1 3 1 π  π ⇔sin 9x − c os9 x = ⇔ sin 9 x −  = sin 2 2 2 3  6 π π  π2 π 9x− = + k 2 π  x = + k 3 6 18 9 ⇔ ⇔  (k ∈ » ) π π  7 π 2 π 9x− =π − + k 2 π x = + k 3 6  54 9 Ví d ụ 17: Gi ải ph ươ ng trình tanx− 3cot x = 4(sinx + 3 cos x ) (17) Gi ải. sinx≠ 0 Điều ki ện  ⇔sin 2x ≠ 0 cosx≠ 0 sinx cosx Khi đó: (17 ) ⇔ − 3 = 4(sinx + 3 cosx ) ⇔ sin2 x − 3cos 2 x = 4sin x cos x (sinx + 3 cos x ) cosx sin x sinx = − 3 cos x  ⇔(sinx + 3 cosx )(sinx − 3 cos x − 2sin 2 x ) = 0 ⇔ 1 3  sinx− cosx = sin 2 x 2 2  π x= − + k π  π  3 tanx = − 3 = tan  −   3   π ⇔ ⇔x = − − k2π ( k ∈ » )  π   3 sinx− = sin 2 x     4π 2 π  3  x= + k  9 3 π 4π 2 π Kết h ợp điều ki ện được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x= − + k π ; x= + k (k ∈» ) 3 9 3 π  1 Ví d ụ 18: Gi ải ph ươ ng trình cos4 x+ sin 4  x +  = (18) 4  4 Gi ải. 2 12 1π   1 2 2 (18)⇔ (1 +c os2 x ) + 1 − c os 2 x +   = ⇔⇔ (1 + c os2 x ) + (1 + sin 2 x ) = 1 4 4 2   4 π  1 3 π ⇔cos2 x + sin 2 x = − 1 ⇔ c os 2 x −  = − = c os 4  2 4  π x= + k π π3 π 2 ⇔2x − = ± + k 2π ⇔ ( k ∈ » ) 4 4  π x= − + k π  4 3. Ph ươ ng trình đối x ứng đố i v ới sinu và cosu - Có d ạng: a(sinu+ cos u ) + b sin u cos u = c (*) π  - Cách gi ải: Đặ t t=sinu + cos u = 2 c os  u −  v ới điều ki ện t ≤ 2 4  t 2 −1 ⇒ sinu cos u = 2 Thay vào PT (*) ta được ph ươ ng trình: bt2 +2 at − ( b + 2 c ) = 0 GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 7 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC Gi ải ph ươ ng trình trên tìm được t, r ồi so v ới điều ki ện t ≤ 2 π  Gi ải ph ươ ng trình c ơ b ản 2c os  u−  = t ta tìm được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình. 4  Chú ý: N ếu ph ươ ng trình có d ạng: a(sinu+ cos u ) + b sin u cos u = c (**) π  Thì đặt t=sinu-cos u = 2 sin  u −  v ới điều ki ện t ≤ 2 4  t 2 +1 ⇒ sinu cos u = 2 Ví d ụ 19: Gi ải ph ươ ng trình sinx+ sin2x + c os 3 x = 0 (19) Gi ải. (19) ⇔ sinx( 1 + sinx) + cos x( 1 − sin2 x ) = 0 ⇔( 1 + sinx )( sinx + cos x − sin x cos x ) = 0 sinx= − 1 (1) ⇔  sinx+ cosx − sin x cos x = 0 (2) π • (1)⇔x = − + k 2π ( k ∈ » ) 2 π  t 2 −1 • Xét (2): Đặt t=sinx + cos x = 2 c os  x −  , điều ki ện t ≤ 2 , thì sinx cos x = 4  2 Khi đó (2) tr ở thành: t 2 −1 t =1 − 2 t− =0 ⇔ t2 − 2 t − 1 = 0 ⇔  2 t =1 + 2 (loaïi ) Do đó: π   π  2 2  (2)⇔ 2c os x −  = 1 − 2 ⇔ c os  x −  = − 1 = c osϕ  c os ϕ = − 1  4   4  2 2    π ⇔x = ±ϕ + h 2 π , h ∈» ( 0 < ϕ < 2 π ) 4 3( 1+ sinx ) π x  Ví d ụ 20: Gi ải ph ươ ng trình 3tan3 x − t anx+ = 8cos 2  −  (20) cos2 x  4 2  Gi ải. • Điều ki ện: cosx ≠ 0 ⇔ sinx ≠ ± 1 2 2 π   • Khi đó: (20 ) ⇔ t anx( 3tanx − 1 ) + 3( 1 + sinx )( 1 + tan x ) = 4 1 + c os − x   = 4( 1 + sinx ) 2   ⇔tanx( 3tan2 x − 1) +( 1 + sinx)( 3( 1 + tan2 x ) − 4) = 0 ⇔(3tan2 x − 1 )( t anx + 1 − sinx ) = 0 ⇔(3tan2 x − 1 )( sinx + cos x + sin x cos x ) = 0 3tan2 x = 1 (1) ⇔  sinx+ cosx + sin x cos x = 0 (2) 1 1 π • (1 ) ⇔ tan2 x = ⇔ t anx = ± ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ » 3 3 6 GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 8 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC π  • Gi ải (2): Đặ t t=sinx + cos x = 2 sin  x +  , đ/k t ≤ 2 và t ≠ ± 1 4  Khi đó (2) có d ạng 2 t= −1 − 2 loaïi do ñieàu kieän t ≤ 2 t −1 2 ( ) t+ =0 ⇔ t + 2 t − 1 = 0 ⇔  2  t = −1 + 2  π x=ϕ − + k 2 π π  2 4 Vậy sinx +  = 1 − = sinϕ ⇔ (k ∈ » ) 4  2  3π x= −ϕ + k 2 π  4 Ví d ụ 21: Gi ải ph ươ ng trình cos3 x+ sin 3 x = c os2 x (21) Gi ải. (21) ⇔( sinx + cosx)( 1 − sin x cos x) = cos2 x − sin 2 x ⇔( sinx + cosx )( 1 − sin x cos x + sinx − cos x ) = 0 sinx+ cosx = 0 ( 1 ) ⇔  1− sin x cosx + sinx − cos x = 0 ( 2 ) π • (1)⇔ t anx = − 1 ⇔x = − + kπ , k ∈ » 4 π  1− t 2 • Gi ải (2): Đặt t=sinx − cos x = 2 sin  x −  , đ/k t ≤ 2 khi đó sin x cos x = 4  2 Ph ươ ng trình (2) có d ạng: t 2 −1 1− +t = 0 ⇔ t2 + 2 t + 1 = 0 ⇔ t = − 1 2 x= k2π , k ∈ » π 1  π   Vậy (2)⇔ sinx −  = − = sin  −  ⇔ 3π 4 2  4  x= + k2π , k ∈ »  2 Chú ý: Ph ươ ng trình l ượng giác có d ạng: a(t anx± cot x ) + b (tan2 x + cot 2 x ) + c = 0 (***) Ta đặt: t=t anx ± cot x⇒ t2= tan 2 x + cot 2 x ± 2 2 ( t=t anx + cot x = , điều ki ện t ≥ 2 do sin 2x ≤ 1 ) sin 2 x Ví d ụ 22: Gi ải ph ươ ng trình 3tan2 x+ 4 tan x + 4cot x + 4cot2 x + 2 = 0 (22) Gi ải. 2 Đặt t=t anx + cot x = , v ới điều ki ện t ≥ 2 , ta có tan2x+ cot 2 x = t 2 − 2 sin 2 x Khi đó ph ươ ng trình (22) tr ở thành:  2 t= ( loai ) 3t2− 2 + 4 t + 2 = 0 ⇔ 3 t 2 + 4 t − 4 = 0 ⇔  ( )  3 t = − 2 Ta có 2 t= −2 ⇔ = − 2 ⇔ sin 2 x = − 1 2sin x π ⇔ 2x = − + k 2π , k ∈ » 2 π ⇔x = − + kπ , k ∈ » 4 GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 9 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC 5. Ph ươ ng trình đằng c ấp - Có d ạng: a sin2u+ b sin u cos u + cc os 2 u = d - Cách gi ải: π * Ki ểm tra xem cosu = o có th ỏa mãn ph ươ ng trinh hay không (n ếu th ỏa mãn thì u= + kπ , k ∈ » 2 là nghi ệm) * Chia c ả hai v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos2 u ≠ 0 , ta được ph ươ ng trình atan2 u+ b tan u + c = d (1 + tan2 u ) Đặt t = tanu ta có ph ươ ng trình: (a− d ) t2 + bt + c − d = 0 Gi ải ph ươ ng trình trên tìm được t = tanu. Ví d ụ 23: Gi ải ph ươ ng trình cos2 x− 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x (23) Gi ải. Vì cosx = 0 không là nghi ệm nên chia c ả hai v ế c ủa (23) cho cos2 x ≠ 0 , ta được (23)⇔ 1 − 2 3 t anx =( 1 + tan2x) + tan 2 x t = 0 Đặt t = t anx ta có ph ươ ng trình: 2t2 + 2 3 t = 0 ⇔  t = − 3 x= kπ , k ∈ » t anx= 0  Vậy (23) ⇔ ⇔ π t anx= − 3 x= − + kπ , k ∈ »  3 Ví d ụ 24: Giải ph ươ ng trình cos3 x− 4sin 3 x − 3cos x sin 2 x + sinx = 0 (24) Gi ải. π Khi x= + kπ , k ∈ » thì cosx = 0 và sinx= ± 1 thì ph ươ ng trình (23) vô nghi ệm 2 Do cosx = 0 không là nghi ệm nên chia hai v ế c ủa (23) cho cos 3 x ta có: (23)⇔ 1 − 4 tan4x − 3tan 2 x + tan x( 1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 3tan3x + 3tan 2 x − t anx − 1 = 0 ⇔( t anx + 1 )( 3tan2 x − 1 ) = 0 t anx= − 1  ⇔  3 t anx = ±  3  π x= − + k π 4 ⇔ (k ∈ » ) π x= ± + k π  6 Ví d ụ 25: Cho ph ươ ng trình (4− 6m) sin3 x + 3( 2 m − 1) sinx + 2( m − 2) sin2 x cos x −( 4 m − 3) cos x = 0 (25) a) Gi ải ph ươ ng trình khi m = 2 π  b) Tìm m để ph ươ ng trình (23) có duy nh ất nghi ệm trên 0;  4  Gi ải. GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 10 LUY ỆN THI ĐẠI H ỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC π Khi x= + kπ , k ∈ » thì cosx = 0 và sinx= ± 1 nên ph ươ ng trình (23) thành 2 ±(4 − 6m) ± 3( 2 m − 1) = 0 ⇔ 1 = 0 vô nghi ệm Chia cà hai v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos3 x ≠ 0 thì (4− 6m) tan3 x + 3( 2 m − 1) t anx( 1 + tan2 x) + 2( m − 2) tan 2 x −( 4 m − 3)( 1 + tan 2 x ) = 0 Đặt t = t anx ta được ph ươ ng trình: t3−( 2 m + 1) t 2 + 3( 2 m − 1) t − 4 m + 3 = 0 ⇔(t −1 )( t2 − 2 mt + 4 m − 3 ) = 0 (*) a) Khi m = 2 thì (* trở thành (t−1)( t2 − 4 t + 5) = 0 ⇔ t = 1 π ⇒ tanx= 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ » 4 π  2 b) Ta có x ∈ 0;  thì t anx=t ∈ [ 0;1 ] . Xét ph ươ ng trình t−2 mt + 4 m − 3 = 0 (*) 4  t 2 − 3 ⇔ = 2m (do t = 2 không là nghi ệm) t − 2 t 2 − 2 Đặt y= f( t ) = (C) và (d): y= 2 m t − 2 t2 −4 t + 3 Ta có y'= f '( t ) = (t − 2 )2 t - ∞ 0 1 2 3 + ∞ y' + + - - + 2 y 3 2 Do (*) luôn có nghi ệm trong t =1 ∈ [ 0;1 ] nên yêu c ầu bài toán (d ) : y= 2 m khoâng co ùñieåm chung vôùi (C) ⇔  (d ) caét (C) taïi moät ñieåm duy nhaát t = 1 3  3 2m< m < ⇔  2  4 2m≥ 2  m ≥ 1 GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 11