Chuyên đề : Bất đẳng thức trong chương trình Toán trung học cơ sở

phẳng toạ độ lấy các điểm: A(0;-1) B(a;1 ), C(b,2) D(3,3) Khi đó ta có: AB=, AD= =5 mà ta luôn có AB+BC+CD AD Vậy 5 Dấu "=" xảy ra khi B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó. Bài 2: Cho 0 < a,b,c 1 chứng minh a+b+c 1+ab +bc +ca Giải: Xét tam giác đều ABC Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên AB,AC,BC sao cho AM=a BP =b và CN =c Khi đó diện tích của tam giác AMN là S AMN = 0,5 AM.AN.sin A = 0,5 a (1-b) sin 60o = a(1-c) Tương tự ta có SBMP = b(1-a) và SCNP = c(1-b) Mặt khác ta có SAMN+S BMP +SCNP S =0,5.AB. AC Sin 60o= a(1-c)+ b(1-a)+ c(1-b) a (1-c)+ b (1-a)+ c (1-b) 1 a+b+c 1+ab +bc +ca Bài 3: Cho x,y,z,t là các số dương hãy chứng minh rằng: .+. (x+y)(z+t) Giải: Vì x, y, z, t là các số dương nên luôn tồn tại tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD tại O và OA=x , OC=y, OB =z, OD =t khi đó ta có AB= , BC= CD =, DA= SABC= 0,5. AB. h 0,5 AB.BC SACD = 0,5 AD. l 0,5. AD.DC Ta có SABCD=SABC+SACD 0,5 (AB.BC +AC.D C) SABCD 0,5 (AB.BC +AC.D C) 0,5(x+y)(z+t) 0,5 (.+.) .+. (x+y)(z+t) (đpcm) Bài tập áp dụng: 1/ Chứng minh rằng: 4 2/Cho a,b ,c là đô dài ba cạnh của một tam giác a’,b’,c’ là ba chiều cao tương ứng chứng minh rằng: (a+b+c)2: (a’2+b’2+c’2) 4 3/Cho x,y thoả mãn điều kiện 2x+y 2, 2x-y 2 và x+4 2y Tìm giá trị nhỏ nhất của x2+y2. 4/ Cho a b c>0 chứng minh rằng: 5/ Cho a,b,c >0 chứng minh rằng: = (a+b).c 6/ Tìm giá trị nhỏ nhất của Trên đây là một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức mặc dù chưa được đầy đủ. Nhưng chúng ta đã biết trong chương trình toán cấp II học sinh chưa được học thật cụ thể và bài bản, mà chủ yếu Bất đẳng thức được tập chung ỏ các lớp luyện thi học sinh giỏi, các kỳ thi vào cấp III và thi vào đại học. Do vậy người giáo viên phải thấy rằng Bất đẳng thức được sử dụng rộng nên giáo viên hướng dẫn cho học sinh tổ chức các buổi học ngoại khoá và tự học ở nhà. Tuỳ từng đối tượng mà giáo viên đưa ra những phương pháp, những bài toán phù hợp với trình độ học sinh để học sinh rễ cảm nhận ,tiếp thu làm cho học sinh không cảm thấy bị gò bó khi học Bất đẳng thức. Cần tạo cho học sinh tính linh hoạt không máy móc sử dụng một phương pháp mà phải tìm các phương pháp có lời giải nhanh nhất. Một điều mà chúng ta thấy rằng khi chứng minh Bất đẳng thức thì cần vận dụng linh hoạt, kết hơp các các phương pháp. d- Một số ứng dụng của Bất đẳng thức (Người thực hiện: Vũ Mạnh Dương) I. Giải phương trình: Dùng bất đẳng thức 1- Phương pháp giải: Để Giải phương trình A(x) = B(x). Cách 1: Ta biến đổi phương trình về dạng g(x) = h(x) mà g(x)a; h(x)a; (a là hằng số). Nghiệm của phương trình là các giá trị thoả mãn đồng thời: g(x) = a; h(x)=a. Cách 2: Ta biến đổi phương trình về dạng h(x) = m; (m là hằng số). Mà h(x) m hoặc m h(x) khi đó nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm Dấu ''='' xảy ra. 2- Các kiến thức cần nhớ: - Bất đẳng thức Côsi - Bất đẳng thức Bunhiacôpxky - Bất đẳng thức Trebưsep - Một số bất đẳng thức khác - Các kỹ năng biến đổi tương đương, biến đổi đồng nhất. 3-Bài tập mẫu: Bài 1: Giải phương trình: += 4 - 2x -x Nhận xét: Thông thường khi giải dạng bài tập có căn thức ta thường làm mất căn thức bằng cách sử dụng công thức hoặc đưa về . Đối với bài toán này học sinh có thể tìm điều kiện rồi bình phương hai vế. Với các cách làm này thì phương trình đã cho tương đương với phương trình bậc cao hơn có thể không giải được. Vì thế nên ta tìm cách giải khác: Ta thấy VP= 4 - 2x -x =5- Vì - Dấu ''='' xảy ra khi x = -1 Từ đó nghĩ đến việc đánh giá vế trái: Ta có: = . Dấu ''='' xảy ra khi x=-1. Dấu ''='' xảy ra khi x=-1. Suy ra VT 5 Dấu ''='' xảy ra khi x=-1; VT=5 VP Dấu ''='' xảy ra khi x= -1. Vậy nghiệm của phương trình là x= -1 Bài 2: Giải phương trình: + TXD: Ta thấy VP= do Dấu ''='' xảy ra khi x= 3.(*) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho vế trái ta có: VT = (1.+ 1.). Dấu ''=''xảy ra khi x= 3 (**) Từ (*) và (**) suy ra Nghiệm của phương trình đã cho là: x= 3 Bài 3: Giải phương trình: Giải: Ta có: Nhận thấy VT: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được: Dấu ''=''xảy ra khi: . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= 3/2. Bài 4: Giải phương trình: . Giải: Phương trình đã cho tương đương với: áp dụng bất đẳng thức Dấu ''=''xảy ra khi a.b ta có: Dấu ''='' xảy ra khi Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 5 Bài 5: Giải phương trình (8x - 4x-1)(x - 2x +1) = 4(x+x+1) Thông thường ta nhân phân phối được một phương trình bậc 4 đầy đủ. Giải phương trình mất nhiều công và ít hiệu quả.Từ đó nghĩ đến việc hạ bậc phương trình bằng cách nhân hay chia cả hai vế của phương trình cho một nhân tử nào đó cho hợp lý. Thử thấy x=1 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình cho 4(x-1). Ta được phương trình: Ta có: Dấu ''=''xảy ra khi x-1= 0 suy ra x = 1. Mặt khác ta có: Dấu ''='' xảy ra khi Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình đã cho là vô nghiệm. Bài 6: Giải phương trình + = 2 Giải: áp dụngbất đẳng thức (bất đẳng thức trên có thể chứng minh bằng qui nạp toán học) Dấu ''=''xảy ra khi a=b Ta được: ( )=1 + Dấu ''=''xảy ra khi ()=() x=1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= 1 Bài 7: Giải phương trình Giải Ta luôn có áp dụng bất đằng thức: (bất đằng thức trên có thể chứng minh băng qui nạp toán học) Dấu ''=''xảy ra khi a=b. Dấu ''=''xảy ra khi x+1= -x- vây nghiệm của phương trình đã cho là: Bài tập 8: Giải phương trình Giải: Ta thấy x=0 không phải là nghiệm phương trình: chia cả hai vế của (*) cho x Ta được +)=5 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta được: VT = (+). Dấu ''=''xảy ra khi: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 4./Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: a- b- + c- +=6 d- +=2.3 e- +=1 g- +=2 II Tìm GTNN và GTLN của biêủ thức Bài 1 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau a = Giải: Biểu thức nhận giá trị phương trình a= (*) có nghiệm Do x2+1 >0 nên (*) với x2 (a-2) -4x +a-5 =0 + Nếu a=2 thì phường trình có nghiệm x=-3:4 + Nếu a khác 2 (*) có nhiệm =4-(a-2)(a-5) 0 a2 -7a +6 1 a 6 Nếu a=1 thì x=-2 Nếu a=6 thì x =0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của BT đã cho là 1 khi x=-2 và giá trị lớn nhất của BT đã cho là 6 khi x=0,5. Bài 2: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức B =2x2 +4xy +5y2. Biết rằng x2 +y 2 =a (1) Với a là hằng số 1. Giải: Vì a 1 nên ta có B:a =(2x2 +4xy +5y2 ):(x2 +y 2) (*) Nếu y=0 thì B:a =2 x Nếu y khác 0 Đặt x:y khi đó (*) trở thành B:a = Theo bài 1 ta có: 1 t 6 1 B:a 6 a B 6a Vậy giá trị nhỏ nhất của BT đã cho là a khi x:y =-0,5 x=-2y thay vào (1) Ta được x=2, y=- :; x=-2, y=- Giá trị lớn nhất của BT đã cho là x:y =0,5 y=2x thay vào (1) Ta được x=, y=2 ; x=-, y=-2 Bài 3 Cho hình vuông ABCD có cạng là a Một điểm M di động trên cạnh AB. Dựng các hình vuông có cạnh là AM và BM Về bên trong hình vuông đó. Xác định vị trí của M để diện tích S còn lại của hình vuông là lớn nhất. Giải: Gọi S1, S2 lần lượt là diệm tích các hình vuông có cạnh là AM và AN S1=AM2, S2+=BM2. S nhỏ nhất khi S1+S2 = AM2 +BM2. lớn nhất Ta có AM2+MB2 0,5 (MA+MB)2=0,5 a2. Dấu "=" xảy ra khi MA=MB hay M là trung điểm củ AB Vậy: S lớn nhất khi M là trung điểm của AB. Bài tập áp dụng: 1/ Chứng minh rằng 3x+4 5 2/ Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 3/ Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x+ biết x>0 Bài 4: Cho đường tròn (O,R) và một điểm M thay đổi trên đường kính AB. Tìm vị trí của điểm M để tổng diện tích hai đường tròn đường kính MA và MB có diện tích nhỏ nhất. E- Phần thực nghiệm: Tổng quát một Bất đẳng thức và ứng dụng Sau mỗi lần chứng minh sông một Bất đẳng thức giáo viên cần định hướng cho học sinh tổng quát hoá Bất đẳng thức vừa chứng minh. nếu làm tốt được việc này sẽ không chỉ làm đẹp và phong phú Bất đẳng thức mà còn đem lại những ứng dụng không nhỏ. Giúp học sinh có vốn kiến thức rộng về Bất đẳng thức tạo điều kiện cho việc học toán nói chung và Bất đẳng thức nói riêng. Sau đây là một ví dụ để chứng minh điều đó: Chúng ta bắt đầu từ một Bất đẳng thức quen thuộc sau: Chứng minh rằng: (1) a,b; R a,b Dấu "=" xảy ra khi a=b Chứng minh rằng: (2) a,b; R a,b Dấu "=" xảy ra khi a=b Bất đẳng thức (1), (2) dễ dàng chứng minh. Giáo viên cho học sinh tổng quát Bất đẳng thức từ Bất đẳng thức (1) và (2) Ta được Bất đẳng thức Chứng minh rằng: (3) a,b; R a,b k là số tự nhiên khác 0 Dấu "=" xảy ra khi a=b Ta có thể chứng minh Bất đẳng thức (3) bằng phương pháp quy nạp. Vấn đề đặt ra với số mũ lẻ có xảy ra Bất đẳng thức tương tự hay không ? Ta so sánh Với a,b; R a,b Ta xét = …..= (a+b)(a-b)2. Ta thấy (a+b)((a-b)2. 0 nếu a+b 0 Dấu "=" xảy ra khi a=b và a= -b Vậy (4) a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 Ta thấy (a+b)((a-b)2. 0 nếu a+b 0 Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 Vậy (5) a,b; R a,b với a+b 0 Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 Ta lại tổng quát Bất đẳng thức (4) ta được Bất đẳng thức: (6), a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 Ta lại tổng quát Bất đẳng thức (5) ta được Bất đẳng thức: (7), a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 Chứng minh Bất đẳng thức (6)a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 Xét: = (*) Ta chứng minh Không mất tính tổng quát giả sử b a Xét hiệu: - = (a2k+1 +a2kb + b2ka + b2k+1 -2a2k+1-2b2k+1 ) =[a2k(b-a )-b2k(b-a)] =-(b-a)(b2k-a2k ) Do b a và ta có a+b 0 b-a 0 và b2 a2 b2k a2k. b2k - a2k 0 -(b-a)(b2k-a2k ) 0 (**) Từ (*) và (**)ta có (6)a,b; R a,b với a+b 0. Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 Chứng minh tương tự ta được Bất đẳng thức: (7), a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 Bây giờ ta kêt hợp các Bất đẳng thức (2); (6); (7) ta được Bất đẳng thức tổng quát sau: (8)a,b; R a,b với a+b 0 , Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 nếu n lẻ; a=b nếu n chẵn a, b bất kỳ nếu 1. bài tập áp dụng: Bài 1 - Cho ba số dương a,b,c và số nguyên k chứng minh rằng: ++ (*) Giải: (*) ++ 3 Theo Bất đẳng thức (8) ta có = = Chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại rồi cộng các vế của các Bất đẳng thức đó lại ta được: ++ ++ Ta chứng minh ++ 3 ++1,5 Ta thấy Bất đẳng thức cuối cùng là Bất đẳng thức Lepnit cho ba số ta rễ dàng chứng minh. Vậy Bất đẳng thức (*) được chứng minh. Bài 2: Cho k là số nguyên lẻ và x,y,z là các số thực thoả mãn: .x z; y t và chứng minh rằng 1 Giải: áp dụng Bất đẳng thức (6) ta có ()k =()k ( x-z):2 do k lẻ và x z . Dấu "=" xảy ra khi khi x2=z2. Chứng minh tương tự ta có . Dấu "=" xảy ra khi khi y2=t2. Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối cùng ta được: .+. (:2 .:2 =1 (ĐPCM) Các trường hợp dấu bằng xảy ra học sinh tự xét. Bài 3 Cho các số dương a,b ,c chứng minh rằng: (a+b-c)n +(b+c-a)n +(c+a-b)n an +bn +cn. (@) n là các số tự nhiên Giải: Với 1 Bất đẳng thức đúng. Với n 2 Đặt x= a+b-c; y=b+c-a; z =c+a-b x+y =2b 0 b= 0 tương tự ta có a = 0; c = 0 .Khi đó Bất đẳng thức (@) trở thành . xn +yn + zn ()n +()n+()n Theo Bất đẳng thức (8) ta có ()n+()n+()n ++ = xn +yn + zn Vậy (a+b-c)n +(b+c-a)n +(c+a-b)n an +bn +cn n là các số tự nhiên Bài 4 Giải phương trình Giải ta luôn có áp dụng bất đằng thức: Dấu ''=''xảy ra khi a=b. Dấu ''=''xảy ra khi x+1= -x- Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: Bài tập củng cố và về nhà: Bài 1 Giải phương trình sau. x100 +(x+6)100=2.3100. Bài 2:Chứng minh rằng: x2k +(x+4)2k+(x+2)2k+1 2+2 2k+1 X là số thực. n là các số nguyên dương Bài 3: Cho k >1 là các số lể và các số thực x1,x2, …., ,x n thoả mãn 2k.2-1 x1 x2 …., x n 2 k-1 chứng minh rằng: + +……….+ 1